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割圜密率捷法卷二
用法
今之法所以密於古者，以其能用三角形也。然三角形非八線表，不能相求，若一時不得其表，雖精于其法者，亦無從措手。惟用此法，以之立表，則甚以之，推三角形，則不用表，而得數與用表者同，其用可謂溥矣，爰著法數條如左：
角度求八線
設圜半徑一千萬，求四十三度二十一分五十秒之正弦幾何
法以周天度化為一百二十九萬六千秒，為一率；倍圜周定率
〈
通徑設為二千萬，倍于定率，故圜周定率亦倍之
〉
得六千二百八十三萬一千八百五十三，為二率；設度化為一十五萬六千一百一十秒，為三率，乘除得四率七百五十六萬八千四百二十六
〈小餘三，帶小餘一位單位數方密，後仿此〉，為弧背
〈
角度為旋轉一周之虛數，弧背為半徑上圜周之曲線
〉，為第一條，書右；次以半徑一千萬為連比例第一率，第一條
〈即弧背〉
為連比例第二率，乘除得連比例第三率五百七十二萬八千一百零七，為比例常用之數；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得四率數，六除之
〈與二除之又三除之同〉，得七十二萬二千五百四十五
〈八〉，為第二條，書左；次置第二條，以三率乘之，一率除之，得六率數，二十除之
〈與四除之又五除之同，餘仿此〉，得二萬零六百九十四，為第三條，書右；次置第三條，以三率乘之，一率除之，得八率數，四十二除之，得二百八十二，為第四條，書左
〈
每次得數降二位，第四條數尚有三位，須求第五條數
〉
；次置第四條，以三率乘之，一率除之，得十率數，七十二除之，得二
〈二〉，為第五條，書右
〈
第五條數止一位，第六條數必在小餘下，故可省求
〉
；次併右三條，得總數七百五十八萬九千一百二十二
〈五〉，併左二條，得總數七十二萬二千八百二十七
〈八〉，置右總數減左總數得六百八十六萬六千二百九十五
〈
小餘七進為一。在舊法當一減、一加累求之，今以應加者書右，應減者書左，只用加二次、減一次，較為省便
〉，即四十三度二十一分五十秒之正弦線也。
又法借四十五度，與所設弧度相減，餘一度三十八分十秒，為較度，化秒比例得較弧背二八五五五五
〈二〉
。先求正弦，以弧背為第一條書右；次以半徑為連比例第一率，第一條為連比例第二率，求得連比例第三率八一五四，為連比例常用之數；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得四率數，六除之，得三八
〈八〉，為第三條，書左
〈
第二條得數僅二位，而比第一條數降四位，則第三條數必降至奇零下，即無庸求
〉，左右二條相減，得二八五五一六
〈四〉，為較弧正弦；次求正矢，置前得第三率之數，二除之，得四〇七七，為第一條，書右；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得五率數，十二除得小餘
〈二〉，為第二條，書左，左右二條相減，得四〇七六
〈八〉，為較弧正矢次，以半徑一〇〇〇〇〇〇〇為一率，四十五度正弦七〇七一〇六八為二率，較弧正弦正矢相加
〈設弧于借弧故加〉，得二八九五九三
〈二〉，為三率，乘除得四率二〇四七七三，為正弦較，與四十五度正弦七〇七一〇六八相減，餘六八六六二九五，為設弧正弦，與前得數相同。
設圜半徑一千萬，求四十三度二十一分五十秒之餘弦幾何
法用周天秒及圜周定率比例得弧背
〈法數俱見前題〉，次以圜半徑為連比例第一率，弧背為連比例第二率，求得第三率
〈數見前〉，二除之，得二八六四〇五三
〈五〉，為第一條，書右；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得五率數，十二除之，得一三六七一三
〈三〉，為第二條，書左；次置第二條，以三率乘之，一率除之，得七率數，三十除之，得二六一〇
〈三〉，為第三條，書右；次置第三條，以三率乘之，一率除之，得九率數，五十六除之，得二六
〈七〉，為第四條，書左；次置第四條，以三率乘之，一率除之，得十一率數，九十除之，得小餘
〈一〉，為第五條，書右；次併右三條得總數二八六六六六四，併左二條得總數一三六七四〇，置右總數減左總數，得二七二九九二四，為四十三度二十一分五十秒之正矢，與半徑相減，得七二七〇〇七六，即所求之餘弦也。
又法借四十五度與所設度相減，得較弧，度、分、秒比例得較弧弧背，求得正弦及正矢
〈數俱見前題〉，及以半徑為一率，四十五度餘弦七〇七一〇六八為二率，較弧正弦、正矢相減，得二八一四三九
〈六〉，為三率，乘除得四率一九九〇〇七
〈八〉，與四十五度餘弦相加，得七二七〇〇七六，即設弧餘弦，與前得數同。
設圜半徑一千萬，求四十六度三十八分十秒之正弦幾何
法以所設弧度、分、秒與象限九十度相減，餘四十三度二十一分五十秒，為餘弧，以餘弧求得正矢
〈法數俱見前題〉，與半徑相減得七二七〇〇七六，即設弧之正弦也。
又法借四十五度，與所設度相減，餘一度三十八分十秒，為較弧，以較弦求得正弦、正矢；次以半徑為一率，四十五度正弦為二率，較弧正弦、正矢相減餘為三率，求得四率，為正弦較，與四十五度正弦相加，得七二七〇〇七六，即設弧之正弦也
〈法數俱與前題求餘弦同〉
。
設圜半徑一千萬，求四十六度三十八分十秒之餘弦幾何
法以所設度、分、秒與象限九十度相減，餘四十三度二十一分五十秒，為餘弧，以餘弧求得正弦六八六六二九五，即設弧之餘弦也
〈法數俱見前題〉
。
又法求得設弧，與四十五度較弧之正弦、正矢，次以半徑為一率，四十五度餘弦為二率，較弧正弦、正矢相加為三率，乘除得四率，與四十五度餘弦相減，得六八六六二九五，即設弧久餘弦也
〈法數俱與前題求正弦同〉
。
直線三角形邊角相求
設甲乙丙直線三角形，甲乙邊一丈八尺七寸三分，甲角七十四度，乙角六十二度，求餘二邊一角各幾何
如圖：甲乙丙形，有甲乙邊及甲乙二角，求餘二邊、一角。先併二角，與半周相減，得丙角四十四度；次以圜周度與倍圜周率比例，得乙角餘弧背四八八六九
〈二〉、丙角弧背七六七九四
〈五〉，命半徑為十萬，求得乙餘角正矢一一七〇五與半徑相減，餘八八二九五，為乙角正弦
〈丁戊〉，求得丙角正弦
〈己庚〉
六九四六五
〈八〉
；次以半徑
〈乙丁〉
為一率，乙角正弦
〈丁戊〉
為二率，甲乙邊為三率，求得四率一丈六尺五寸三分七釐六毫為中垂線
〈甲辛〉
；次以丙角正弦
〈己庚〉
為一率，半徑
〈己丙〉
為二率一中垂線
〈甲辛〉
為三率，求得四率二丈三尺八寸零六釐八毫為甲丙邊；次以中垂線
〈甲辛〉
為股，甲乙邊為弦，求得勾八尺七寸九分三釐二毫，為小分底
〈乙辛〉
；又以中垂線
〈甲辛〉
為股，甲丙邊為弦，求得勾一丈七尺一寸二分五釐二毫為大分底
〈丙辛〉，併二分底得二丈五尺九寸一分八釐四毫，為乙丙邊。
設甲乙丙直線三角形，甲丙邊二丈三尺八寸零六釐八毫，乙丙邊二丈五尺九寸一分八釐四毫，丙角四十四度，求餘二角一邊各幾何
法先比例得丙角弧背
〈見前題〉，求得正矢二八〇六六，與半徑相減，得七一九三四為丙角餘弦
〈丙庚〉
；次以半徑
〈丙己〉
為一率，丙角餘弦
〈丙庚〉
為二率，甲丙邊為三率，求得四率一丈七尺一寸二分五釐二毫為大分底
〈丙辛〉，與乙丙邊相減餘八尺七寸九分三釐二毫為小分底
〈乙辛〉
；次以甲丙邊自乘，大分底
〈丙辛〉、小分底
〈乙辛〉
和較相乘，二積相減餘數開平方得一丈八尺七寸三分為甲乙邊
〈
兩分底和較相乘之積與兩腰和較相乘之積等，亦即與兩腰方相較之積等，故大腰自乘之積內減分底和較相乘之積，餘即小腰自乘之積也
〉
；次以甲乙邊為一率，小分底
〈乙辛〉
為二率，半徑
〈乙丁〉
為三率，求得四率四六九四七
〈一〉，為乙角餘弦
〈乙戊〉
；次按以乙角餘弦為乙餘角正弦用正弦求弧背法，求得弧背四八八六八
〈八〉，以一度之弧背數一七四五三
〈三〉
除之餘，得二十八度，為乙餘角度，與九十度相減得六十二度，即乙角度；次併乙、丙二角，與半周相減，得七十二度為甲角度。
弧線三角形邊角相求
設黃赤大距二十三度二十九分，太陽黃道實行酉宮十度，問赤道同升度及距緯度各幾何
如圖
〈取渾圜八分之一〉
：甲乙丙正弧三角形，甲丁為黃道，甲戊為赤道，甲為春分，甲角為交角，即丁戊大距度，丁己為半徑，丁庚為正弦，乙為太陽，甲乙為大陽距春分黃道度四十度，甲丙為距春分赤道度，乙丙為距緯，乙辛為黃道正弦，乙壬為距緯正弦，自壬至辛聯辛壬線成乙辛壬勾股形，與丁己庚勾股形為同式形，丙癸為赤道正弦，丙己癸與壬己辛亦為同式勾股形。法先比例得大距弧背
〈丁戊〉
四〇九六一四
〈八〉、黃道弧背
〈甲乙〉
六九八一三一七，求得大距正弦
〈丁庚〉
二九八四八二三、黃道正弦
〈乙辛〉
六四二七八七六；次以半徑
〈丁己〉
為一率，大距正弦
〈丁庚〉
為二率，黃道正弦
〈乙辛〉
為三率，求得四率二五六一三九五為距緯正弦
〈乙壬〉
；次按正弦求弧背法，求得二五九〇二六二
〈九〉
為距緯弧背，以一秒之弧背四八
〈四八一三六八〉
除之，得五三四二八為距緯秒數，遞以六十進之，得十四度五十分二十八秒即太陽距赤道北之緯度；次以半徑
〈乙己〉
為弦，距緯正弦
〈乙壬〉
為股，求得勾九六六六三九八為距緯餘弦
〈己壬〉，又以黃道正弦
〈乙辛〉
為弦，距緯正弦
〈乙壬〉
為股，求得勾五八九五四九三六為壬辛線；次以距緯餘弦
〈己壬〉
為一率，壬辛線為二率，半徑
〈丙己〉
為三率，求得四率六〇九八九五五
〈九〉
為赤道正弦
〈
丙癸或以半徑距緯正弦和較相乘為一率，黃道正弦距緯正弦和較相乘為二率，半徑自乘為三率，求得四率為赤道正弦自乘方，開平方得赤道正弦
〉
；次用借弦求弧背法，以赤道正弦與四十五度正弦相減，餘九七一一一一
〈九〉
為股，求得赤道餘弦
〈己癸〉
七九二四八一七
〈七〉，與四十五度餘弦相減餘八五三七四九
〈九〉
為勾，求得弦一二九三七八九
〈三〉
為較通弦，用通弦求弧背法求得一二九四六九三
〈二〉
為較弧背，以一秒之弧背數除之得數，以六十遞進之，得七度二十五分零五秒為較弧度，與四十五度相減，得三十七度三十四分五十五秒為距分赤道度，加春分距冬至九十度，滿三十度進一宮，為酉宮零七度五十四分五十五秒，即太陽赤道同升也。
設金星黃道經度午宮十度五十五分緯北六度四十四分，黃赤大距二十三度二十九分，問赤道經緯度各幾何
如圖：甲為赤極，乙丙為赤道，丁為黃極，戊己為黃道，己為冬至，戊為夏至，庚為秋分，辛為金星，成甲丁辛斜弧三角形，甲丁為二極相距，丁辛為星距黃極，甲辛為星距赤極，丁角為星距夏至，黃道經度當戊壬弧，甲角為星距赤道，經度當丙癸弧，此形有甲丁、丁辛二邊及丁角，求甲辛邊及甲角自秋分庚㸃作庚子象限弧。辛子為形外垂弧。用丁辛子、甲辛子二正弧三角形算之，先用丁辛子形，如第二圖比例，得丁辛星距黃極之餘弧背
〈即辛壬星距黃道北緯度之弧背〉
一一七五一八八三
〈三〉，求得正矢六八九七四，與半徑相減得九九三一〇二六，為丁辛星距黃極之正弦
〈辛丑〉，又比例得丁角星距夏至黃道弧背七一四一三〇五
〈五〉，求得正弦
〈壬寅〉
六五四九六〇五；次以半徑
〈壬卯〉
為一率，丁角正弦
〈壬寅〉
為二率，丁辛正弦
〈辛丑〉
為三率，求得四率六五〇四四三〇為垂弧正弦
〈辛辰〉，次用辛子辰勾股形，有辛丑弦、辛辰股，求得丑辰勾七五〇四五一〇；次以垂弧餘弦
〈卯辰〉
為一率，丑辰為二率，半徑
〈子卯〉
為三率，求得四率九八八〇一三九，為垂弧距黃極
〈丁子〉
之正弦
〈子己〉
；次以垂弧距黃極之正弦與半徑相減，餘一一九八六一為餘矢，按正矢求弧背法，求得弧背一五四九八四六，以一秒之弧背除之，得三一九六八，滿六十遞進之，得八度五十二分四十八秒為餘弧，與九十度相減，得八十一度零七分一十二秒為垂弧，距黃極
〈丁子〉
與二極相距度
〈甲丁〉
相減，得五十七度三十八分一十二秒為垂弧距赤極
〈甲子〉，如第三圖，以甲子之餘度三十二度二十一分四十八秒比例得弧背五六四八四六七
〈二〉，求得正矢一五五三二九三
〈三〉，與半徑相減得八四四六七〇六
〈七〉，為垂弧距赤極之正弦
〈子午〉
；次以半徑
〈子卯〉
為一率，垂弧距赤極正弦
〈子午〉
為二率，垂弧餘弦
〈卯辰〉
為三率，求得四率六四一五七三九，為辰未線；次以辰未為勾，辛辰為股，求得辛未弦九一三六一五四為星距赤極正弦，以正弦與半徑相減，餘八六三八四六為星距赤極餘矢，按正矢求弧背法，求得弧背四一八七〇七〇，以一秒之弧背除之，得八六三六四
〈五〉
為秒數，遞以六十進之，得二十三度五十九分二十四秒半為星距赤極餘度，即星距赤道北緯度
〈辛癸〉，與象限九十度相減，得六十六度零三十五秒半，為星距赤極
〈甲辛〉
；次以星距赤極正弦
〈辛未〉
為一率，垂弧正弦
〈辛辰〉
為二率，半徑
〈癸卯〉
為三率，求得四率七一一九四四〇，為星距夏至赤道正弦
〈癸申〉，隨求得餘弦
〈卯申〉
七〇二三〇七四，用借弦求弧背法，借四十五度之正弦、餘弦，減得正弦較四八三七二、餘弦較四七九九四，求得較弧通弦六八一四一
〈六〉
；次按通弦求弧背法，求得較弧背六八一四一
〈七〉，以一秒之弧背除之，得一四〇五
〈五〉，為秒數，滿六十進之，得二十三分二十五秒半，與借弧四十五度相加，滿三十度進一宮，得一宮十五度二十三分二十五秒半，為星距夏至赤道宮度，加夏至距冬至六宮，得七宮為午宮十五度二十三分三十五秒半，即金星赤道經度也。
設金星黃道北緯度六度四十四分，赤道北緯度二十三度五十九分二十四秒三十微，黃赤大距二十三度二十九分，問黃道經度赤道經度各幾何
如圖：以星距黃極
〈丁辛〉
與二極相距
〈甲丁〉
相加，得一百零六度四十五分，為總弧
〈甲子〉，相減得五十九度四十七分，為較弧
〈甲丑〉，比例得丙子
〈總弧減去象限〉
弧背二九二三四二六
〈五〉，求得正弦
〈子寅〉
二八八一九六三為總弧餘弦，比例得乙丑
〈甲丑之餘〉
弧背五二七三八〇三
〈二〉，求得正弦
〈丑卯〉
五〇三二七一三，為較弧餘弦，以兩餘弦相加，得七九一四六七六
〈子辰〉，折半得三九五七三三八
〈辰巳與午未等〉
為中數，為一率，比例得辛癸
〈甲辛之餘〉
弧背四一八七〇六九
〈一〉，求得正弦
〈辛申〉
四〇六五七九四，為星距赤極餘弦，與較弧餘弦
〈丑卯〉
相減，餘九六六九一九為矢較
〈丑酉與戌辛等〉，為二率，半徑
〈戊庚〉
為三率，求得四率二四四三三五七
〈一二〉，為星距夏至黃道正矢
〈戊壬〉，求得弧背七一四一二八五
〈五〉，以一秒之弧背除之，得一四七三〇〇為秒數，收作一宮十度五十五分，為星距夏至黃道度，加六宮，得七宮，為午宮十度五十五分為金星黃道經度
〈矢較比例之理詳見考成上編〉
；次以星距赤極
〈甲辛〉
正弦為一率，星距夏至黃道經度
〈丁角〉
正弦為二率，星距黃極
〈丁辛〉
正弦為三率，求得四率七一一九四三九，為星距夏至赤道經度
〈甲外角〉
正弦，求得弧背秒數收作一宮十五度二十三分二十五秒半
〈各數俱見前題〉，加六宮，得七宮為午宮十五度二十三分二十五秒半，即金星赤道經度也。
割圜密率捷法卷二終