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丙午年 五月十有一日

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測圓海鏡
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測圓海鏡/卷03
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金朝
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25%
邊股一十七問 或問：乙出東門南行不知步數而立，甲出西門南行四百八十步望見乙，複就乙行五百一十步與乙相會。問答同前。法曰：倍相減步，以乘二之甲南行步為平方實，得城徑。 草曰：識別得二行相減餘三十步，即乙出東門南行步也，倍相減步得六十步，以乘二之甲南行步九百六十步，得五萬七千六百步為平方實。如法開之，得二百四十步即城徑也。合問。 或問：甲出西門南行四百八十步而止，乙從艮隅東行八十步望見甲。問答同前。 法曰：倍南行步，以東行步乘之為實，東行步為從方，一步常法。得全徑。 草曰：立天元一為圓徑，以減於二之甲南行步，得 � 為兩個大差也。以乙東行步乘之，得 � 為圓徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得 � 。以平方開之，得二百四十步即城徑也。合問。 又法：半之乙東行步乘南行步為實，半乙東行步為從，一步常法。得半徑。 草曰：立天元一為半城徑，減甲南行步，得 � 為大差也。以半之東行步乘之，得 � 即半徑冪（寄左）。然後以天元冪為同數，與左相消得 � 。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 或問：甲出西門南行四百八十步而止，乙從艮隅亦南行一百五十步望見甲。問答同前。法曰：兩行步相乘為實，南行步為從方，一為隅。得半徑。 草曰：立天元一為半城徑，以減乙南行步，得 � 為半梯頭；以甲行步為梯底，以乘之，得 � 為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得 � 。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 或問：甲出西門南行四百八十步，乙出東門直行一十六步望見甲。問答同前。 法曰：以四之東行步乘南行冪為實，從空，東行為廉，一步為隅法。得全徑。 草曰：立天元一為圓徑，加乙東行步，得 � 為中勾，其甲南行即中股也。置東行步為小勾，以中股乘之，得 � 太，合以中勾除。今不受除，便以為小股也（內寄中勾分母）。乃複以中股乘之，得三百六十八萬六千四百，又四之，得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑冪（寄中勾分母。寄左）。然後以天元徑自之，又以中勾乘之，得 � 為同數，與左相消得 � 。以立方開之，得二百四十步為城徑也。合問。 或問：乙出南門東行七十二步而止，甲出西門南行四百八十步，望乙與城參相直。問答同前。 法曰：以乙東行冪乘甲南行為實，乙東行冪為從方，甲南行步內減二之東行步為益廉，一步常法。得半徑。 草曰：立天元一為半城徑，以減南行步，得 � 為小股；又以天元加乙東行，得 � 為小勾。又以天元加南行步，得 � 為大股。乃置大股在地，以小勾乘之，得下式 �，合以小股除之。今不受除，便以為大勾（內寄小股分母）。又置天元半徑，以分母小股乘之，得 �，以減大勾，得 � 為半個梯底於上。以乙東行七十二步為半個梯頭，以乘上位，得 � 為半徑冪（內寄小股分母。寄左）。然後置天元冪，又以分母小股乘之，得 � 為同數，與寄左相消得 � 。以立方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 又法曰：以雲數相乘為實，相減為從，一虛法，平開得半徑。 草曰：別得二數相並為大股內少一虛勾，其二數相減為大差弦也。立天元一為半徑，副置之。上位減於四百八十，得 � 為股圓差（即大差股也）。下位加七十二，得 � 為大差勾。勾股相乘得下式 � 為一段大差積（寄左）。再以大差勾減於大差股，餘 � 為較，又加入大差弦四百單八，共得 � 為弦較共也。以天元乘之，得 � 為同數，與左相消得 � 。以平方開之得一百二十步，即半徑。合問。 前法太煩，故又立此法以就簡也。 或問：乙出南門東行不知步數而立，甲出西門南行四百八十步望見乙，與城參相直。又就乙行四百○八步與乙相會。問答同前。 法曰：二行步相減以乘甲南行步為實，甲南行步內減相減步為益方，一步常法。得半徑。 草曰：識別得二行相減餘七十二步，即是乙出南門東行數也，更不須用弦。遂立天元一為半城徑，加乙東行，得 � 為小勾也。副置南行步，上減天元，得 � 為小股；下加天元，得 � 為大股。乃置大股以小勾乘之，得下式 �，合以小股除之。今不受除，便以此為大勾也（內帶小股分母）。又倍天元，以小股乘之得下式 �，以減於大勾，得 � 為勾圓差也。合以股圓差乘之，緣此勾圓差內已帶小股分母（小股即股圓差也），更不須乘，便以此為半段黃方冪（更無分母也。寄左）。乃以天元自之，又倍之為同數，與左相消得 � 。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 或問：乙出東門直行不知步數而止，甲出西門南行四百八十步望見乙，複就乙斜行五百四十四步與乙相會。問答同前。 法曰：半南行步減半斜行步，以乘南行冪為實，從方空，半斜行半南行相減，得數加入南行步為隅法。得半徑。 草曰：識別得二行相減餘六十四步，即半徑為股之勾也。立天元為半徑，就以為小股，其二行相減餘六十四步即小勾也。乃置甲南行步加天元，得下式 � 為大股，以小勾乘之得 �，又以小股除之得 � 為大勾。又倍天元一減之，得下式 � 為勾圓差也，半之得 � 於上。乃以天元減甲南行步，得 � 為股圓差，以乘上位得 � 為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式 � 。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 又法：以二數差乘二數並，開方得邊勾，複以邊股乘之為實，並二數而半之為法，實如法得二百四十步，即城徑（此蓋用前勾上容圓法也）。 或問：乙從乾地東行，不知幾步而止，甲出西門南行四百八十步望見乙，複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。 法曰：並二行數以二行差乘之，內減二行差冪為實，並二行步及二行差為從方，二步常法。得半徑。 草曰：識別得二行相減餘二百步，即半圓徑與小差共數也。立天元一為半城徑，加於二百步得 � 為大勾也。又以天元加於甲南行四百八十步，得 � 即大股也。乃以大勾自之，得 � 為勾冪（寄左）。乃置甲斜行六百八十步為大弦，加入大股，共得 � 於上。再置二行差內減天元，得 � 為小差，以乘上位，得 � 為同數，與左相消得 � 。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 又法：求小差：二行相減以自之，又四之為實；二行相減，八之於上，二之南行步內減二之二行相減數，又以加上位為益方；二步常法。 草曰：立天元一為小差，減二行差得 � 為半城徑，以自之得 �，又四之得 � 為圓徑冪（寄左）。然後以半城徑減於甲南行，得 �，又倍之得 � 為兩個大差也，又以天元乘之得 � 為同數，與左相消得下式 � 。以平方開之，得八十步為小差也。 或問：乙出南門不知步數而立，甲出西門南行四百八十步，望乙與城參相直，複就乙斜行二百五十五步與乙相會。問答同前。 法曰：甲南行內減二之兩行差，餘以乘甲南行，又倍之為實，二步為隅。得半徑。 草曰：別得二行步相減，餘二百二十五步乃是半徑為勾之股也。立天元一為半城徑，就以為小勾率，其二行差二百二十五步即為小股率。乃置甲南行步加入天元，得 � 為大股，以天元小勾乘之，得 �，合以小股除。今不受除，便以此為大勾（內寄小股為母）。乃倍天元，以小股乘之得 � 元，以減大勾，餘 � 為一個小差於上（內寄小股分母）。乃以天元減甲南行步，得 � 為大差也，以乘上位得 �，又倍之得 � 為圓徑冪（內寄小股分母。寄左）。然後倍天元以自之，又以小股乘之，得 � 為同數，與左相消得 � 。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 或問：乙出南門直行一百三十五步而止，甲出西門南行四百八十步，望乙與城參相直。問答同前。 法曰：二行步相減餘以自乘，內減乙行冪為實，二之甲南行為益從，一步常法。得半徑。 草曰：立天元一以為半徑，便以為勾率；又以天元加乙行步，並以減於甲行步，得 � 為股率。乃置乙南行步一百三十五步為小股，以勾率乘之得 � 元，合以股率除之。今不受除，乃便以此為小勾（內寄股率分母）。又置乙南行步，加二天元，得 � 為大股，以勾率乘之得 �，合以股率除之。今不受除，便以此為大勾（內寄股率分母）。以小勾大勾相乘，得 � 為半徑冪（內帶股率冪為分母。寄左）。然後置天元以自乘，又以股率冪乘之，得 � 為同數，與左相消得 � 。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 或問：甲乙二人同出西門向南行，至西南十字道口分路。乙折東行一百九十二步而立，甲又南行，甲通行四百八十步，望乙與城參相直。問答同前。 法曰：兩行相乘得數，又以乙東行乘之為實，二行相乘於上位，又置乙東行以二行相減數乘之，得數加上位為法。 草曰：立天元一為半城徑，副之。上位加甲行步，得 � 為大股也；下位減於甲行步，得 � 為小股也；其乙東行即小勾也。置大股以小勾乘之，得 � （內寄小股�為母）。便以為大勾也。置天元以母通之，得 �，減於大勾，得 � 為半個矮梯底於上，再置乙東行內減天元，得下式 � 為半個矮梯頭，以乘上位得下式 � 為半徑冪（寄左）。再置天元以自之為冪，又以分母乘之，得 � 為如積，與左相消得 � 。上法下實，得一百二十步，即城之半徑也。合問。 又法：二行步相乘為實，倍甲南行內減乙東行為法。 草曰：立天元一為半城徑，副之。上位加甲南行，得 � 為大股；下位減甲行步，得 � 為小股，便是股圓差也。其乙東行即小勾也。置大股以小勾乘之，得 �，內寄小股 � 為母，便以為大勾也。再置天元以二之，又以分母乘之，得 � 為全徑。以減於大勾，餘 � 為勾圓差也。合以股圓差乘之，緣內已有小股分母，不須更乘，便以此為兩段之半徑冪也，更無分母（寄左）。然後置天元冪以二之，得 � 為如積，以左相消得 � 。上法下實，得一百二十步即半城徑也。合問。 或問：見邊股四百八十步，叀弦三十四步。問答同前。 法曰：叀弦乘邊股，半之為實，半叀弦半邊股相並為從，半步隅法。開平方，得叀股 � 。 草曰：立天元一為叀股，加叀弦得 �，為平勾也。又以天元減邊股而半之，得 � 為高股也。平勾高股相乘，得 � 為半徑冪（寄左）。然後以天元乘邊股為同數，與左相消得下式 � 。開平方得叀股三十步，以乘邊股，開平方倍之即圓徑也。合問。 或問：見邊股四百八十，明弦一百五十齲粒保問答同前。 法曰：二雲數相減複倍之，內減邊股，複以邊股乘之於上；又以明弦冪乘上位為實，以邊股乘明弦冪又二之為從；二雲數相減餘以自之為第一廉，二雲數相減又倍之為第二益廉，一常法。開三乘方，得明勾 � 。 草曰：立天元一為明勾，加明弦得 � 為高股也。以高股減邊股，餘 � 為高弦，以倍之得 � 為黃廣弦也。內卻減邊股，得 � 為叀股，複以邊股乘之，得 � 於上。又以明弦自乘，得二萬三千四百○九為分母，以乘上位得 � 為帶分半徑冪（寄左）。然後置黃廣弦，以天元乘之，得 � 。複合以明弦除之，不除，寄為母，便以此為全徑。又半之，得 � 為半徑，以自之得 � 為同數，與左相消得下式 � 。開三乘方得七十二步，即明勾也。餘各依法入之。合問。 又法：邊股內減二明弦，複以邊股乘之，複以明弦冪乘之為三乘方實。廉從並與前同。 草曰：識別得二數相減餘 � 為高股虛弦共，又為高弦明勾共。此餘數內又去半徑即明和也。明和明弦相並即股圓差，相減則明黃方也。又倍明弦加明黃亦得股圓差也。邊股內減明勾餘即大差弦也。立天元一為明勾，減於雲數相減數，得 � 即高弦也。以高弦減邊股得 � 即高股也，以高股減於雲數相減數，得 � 即虛弦也。以天元又減虛弦，得 � 即叀股也。乃置高弦，以天元乘之，得 �，合明弦除。不受除，便以此為高勾也（即半徑）。高勾自之，得 � 為半徑冪（內帶明弦冪分母。寄左）。然後置邊股以叀股乘之，得 � 為半徑冪；又以明弦冪二萬三千四百○九分母通之，得 � 為同數，與左相消得實、從、廉、隅五層，一如前式。 或問：邊股四百八十步，高弦二百五十五步。問答同前。法曰：以邊股減於二之高弦，複以邊股乘之。開平方，得半徑。 草曰：立天元一為半徑。先倍高弦，內減邊股餘 �，複以邊股乘之，得 � （寄左）。以天元冪與左相消，得 � 。開平方得數，倍之即城徑也。合問。 或問：邊股四百八十步，平弦一百三十六步。問答同前。 法曰：置平弦以邊股再乘之為實，以邊股自之為益從，平弦為益廉，一虛隅。開立方，得半徑。 草曰：別得平弦即皇極勾也。立天元一為半徑，副之。上位加平弦，得 � 即邊勾也；下位減於平弦，得 � 即叀勾也。置叀勾以邊股乘之，得 �，合邊勾除。今不受除，寄為母，便以此為叀股。乃以此邊股乘之，得 � 為半徑冪（內帶邊勾分母。寄左）。然後以天元為冪，以分母邊勾乘之，得 � 為同數，與左相消得 � 。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。 或問：邊股四百八十步，明股明弦和二百八十八步。問答同前。 法曰：以二雲數相減餘加邊股，複以減餘乘之，訖。又折半於上，又以減餘自之，減上位為實，並雲數半之為法。得明勾 � 。 草曰：別得二數相減餘 � 為大差勾。立天元一為明勾，減於大差勾，得 � 即半徑也。又以天元減半徑，得 � 為虛勾於上；又以半徑加邊股，得 � 為通股於下。上下相乘，得 � 。折半得 � 為半徑冪（寄左）。然後以半徑冪 � 為同數，與左相消得 � 。上法下實，得七十二步，即明勾也。合問。 或問：見邊股四百八十步，叀勾叀弦和五十步。問答同前。 法曰：半邊股、半和步相並得 � 為汛率。以汛率減邊股，以自之，又二之於上，以和步乘汛率減上位為實，以汛率減邊股六之於上，內又加半個邊股、三個和步為益從，三步常法。得叀股 � 。 草曰：別得和步得叀股即小差也，小差邊股共即二中差。立天元一為叀股，加和步得 � 即小差也。以小差加邊股而半之，得 � 即中差也。中小差相並得 � 即大差也。以小差乘之，得 � 為半段徑冪（寄左）。然後置邊股內減大差得 � 為半徑，以自之，得 �，又倍之得下式 � 。與左相消得下式 � 。開平方，得三十步即叀股也。合問。 法曰：和步乘邊股，又以和步乘之為實；倍邊股加和步，又以和步乘之為從；邊股內減二之和步為益廉，一常法。開立方，得叀股 � 。 草曰：別得邊勾邊弦和內減和步即黃廣勾弦和也。邊股得叀股即黃廣弦也。黃廣勾即圓徑。叀弦上三事和即小差。立天元一為叀股。以和步乘邊股得 �，以叀股除之得 � 為邊勾邊弦和也。以和步減之，餘得下式 � 為黃廣勾弦和也。以天元加邊股得下式 � 為黃廣弦，以減於黃廣勾弦和，餘得下式 � 為圓徑。倍邊股得下 � 太，內減圓徑得下式 � 為兩個大差於上。又以和步加天元，得下式 � 為小差，以乘上位得 � 為徑冪（寄左）。然後以天元乘邊股，又四之得 � 為同數，與左相消得 � 。開立方得三十步，即叀股也。合問。