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新法算書 (四庫全書本)
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新法算書
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新法算書 (四庫全書本)/卷011
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1205年 (提及);1308年 (提及);652年 (提及);PD-old
欽定四庫全書 新法筭書卷十一 明 徐光啟等 撰測天約説卷上 首篇 度數之學凡有七種共相連綴初為二本曰數曰度數者論物幾何衆其用之則筭法也度者論物幾何大其用之則測法量法也 〈測法與量法不異但近小之物尋尺可度者謂之量法逺而山岳又逺而天象非尋尺可度以儀象測知之謂之測法其量法如筭家之專術其測法如算家之綴術也〉既有二本因生三幹一曰視人目所見一曰聽人耳所聞一曰輕重人手所揣耳所聞者因生樂器樂音手所揣者因生舉運之器舉運之法惟目視一𠏉又生二枝一曰測天一曰測地七者在西土庠士俱有專書今翻譯未廣僅有幾何原本一種或多未見未習然欲略舉測天之理與法而不言此理此法即説者無所措其辭聽者無所施其悟矣七者之中音樂與輕重别為二家故兹所陳特舉其四曰數曰測量曰視曰測地四學之中又每舉其一二為卷中所必需其餘未及縷悉者俟他日續成之也為他篇所共賴故列於篇次之外曰首篇欲知他篇須知此篇故又名須知篇 數學一題 比例者以兩數相比論其幾何 比例有二一曰相等之比例一曰不等之比例若二數相等以此較彼無餘分名曰等比例也若二數不等又有二一曰以大不等一曰以小不等如以四與二相比四之中凡為二者二是為以大即命曰二倍大之比例也如以二與四相比倍其身乃得為四是為以小即命曰二分之一之比例或命曰半比例也 測量學十八題 第一題至十四題論測量之理 第十五題至第十八題論測量之法 幾何原本書中論線論面論體今第一至第五論線也第六至十四論體也此書中不及面故不論面幾何原本中多言直線圜線其理易明今不及論論其稍異者五題前二題言獨線後三題言兩線 第一題 〈獨線一〉 長圓形者一線作圏而首至尾之徑大於腰間徑亦名曰瘦圈界亦名撱圏 如甲乙丙丁圏形甲丙與乙丁兩徑等即成圏今甲首至丙尾之徑大於己至庚之腰間徑是名長圓或問此形何從生荅曰如一長圓柱横斷之其㫁處為兩面皆圓形若㫁處稍斜其兩面必稍長愈斜愈長或 稱卵形亦近似然卵兩 端大小不等非其類也 〈指其面曰平長圓若成體曰立長圓〉 第二題 〈獨線三〉 蛇蟠線者於平面上作一線自内至外恒平行恒為圏線而不遇不盡如上圖自甲至乙者是 旋風線者於平圓柱上作一線亦如蛇蟠但蜿蜓騰凌而 上如旋風也 如上圖自甲至乙者是 螺旋線者於球上從腰至頂作一線如蛇蟠而漸髙如旋 風而漸小 如上圖自甲至乙者是 此書獨用螺旋線欲解其形勢故備言之 第三題 〈下三題言二線者或直或不直或相遇或相離〉 二線相遇者有三但相遇而止名曰至線因至線在所至線之上故又曰在上其割截而過者名曰交線亦曰割線亦曰截線其至而不過又不止者名曰切線其至線而有所分截者亦稱割線或曰截線或曰分線 如上圖甲乙線與丙乙丁線丙乙丁 圈相遇至乙而止則甲乙為至線又 曰丙乙丁上線 如上圖甲乙線截丙丁於戊己庚 線截辛壬癸圏於辛子丑寅圏截 丑卯寅圏於丑於寅皆名交線 又如上圖甲乙線遇丙丁圏於 丙戊己庚圏遇戊辛壬圈於戊 皆名切線 如上圖甲丙線分甲乙丙圈者曰分圈線亦曰割圏線亦曰截圏 第四題 兩線不相遇而相離之度恒等名曰距等線 〈或稱平行線侶線俱通用〉 如上三圖甲至己乙至戊丙至丁 其相離之度俱等 第五題 兩線相遇即作角 本是一面為兩線所限限以内即成角也 如上圖甲乙與乙丙兩線相遇于乙即包一甲乙丙角 〈第二字即所指角〉 其球上兩圏線相交亦作角如上圖甲丙乙丁兩線交而相分于戊即成甲戊丁丁戊丙丙戊乙乙戊甲四球上角也 第六題 自此至第十四題皆論體諸體中球為第一此書所用獨有球體故未他及 〈凡物之圓者皆名球諸題中名義凡立圓物皆有之非獨天也〉第六至第八言球内之理第九至十四言球外之理 球之内有心心者從此引出線至球面俱相等 如上圖甲乙丙球丁為心從丁引出線至甲至乙至丙各等即作百千萬線皆等 第七題 〈球内〉 徑者一直線過球心兩端各至面半徑者從心至面如上圖甲乙球丙為心一直線過丙兩端至甲至乙即甲乙為徑線其丙乙丙甲皆為半徑線 第八題 〈球内〉 球不離於本所而能旋轉則其一徑之不動者名為軸軸之兩端名為兩極也凡一球止有一心凡球之轉止有 一軸其徑甚多無數可盡 如上圖甲乙丙丁球戊為心乙丁過心此球從甲向丙丙又向甲旋轉而不離其處 則乙戊丁直線為不動之處是名軸也乙與丁則為兩極球心若離于戊㸃如己則從心所出兩半徑線如庚己己辛必不等故曰止有此心凡軸皆利轉若有二軸二俱轉即相礙一不轉即非軸故曰止有一軸從心出直線茍至面皆徑也故曰無數 第九題 〈球外〉 球之面可作多圏圏有大有小大圏者其心即球心若從圏剖球為二則其圏之徑過球心也各大圏從圏面作垂線各有其本圏之軸與其兩極 如圖甲乙丙丁球上作甲戊丙己大圏其垂線乙丁即乙丁為本圈之軸乙丁兩㸃即其兩極故大圏在兩極間離兩極俱等 第十題 〈球外〉 小圏者不分球為兩平分不與球同心其去兩極一近一逺愈近所向極愈小愈近心愈大 如上圖甲乙為大圏丙丁戊己庚皆小圈也故一大圏之上之下可作無數小圏衆小圈之間止可作一大圏 第十一題 〈球外〉 圏不論大小其分之有三等 三等者一曰大分一曰小分一曰細分如兩平分之為半圏四平分之為象限此大分也每象限分為九十度此小分也每度又析為百分每分為百秒遞析為百至纎而止西厯則每度析為六十分每分為六十秒遞析為六十至十位而止此細分也 第十二題 〈球外〉 兩大圈交而相分為角欲測其角之大從交數兩弧各九十度而遇過極之圏兩弧所容過極圏之弧度分即命為本角之度分 如上圖戊丁乙為過極圏有甲乙丙甲丁丙兩大圏交而相分于甲於丙問丁甲乙角為幾何度分之角法從甲交數各九十 度而遇過極之戊丁乙圈為甲丁甲乙此兩弧間所容過極圏之分為丁乙弧如丁乙六十度即命丁甲乙角為六十度角 第十三題 〈球外〉 凡大圏俱相等兩大圏交而相分其所分之圏分兩俱相等 凡大圈必于本球之腰腰者最大之線也凡最大之線止有一不得有二故辰轉作無數大圈俱相等圈既相等則以大圏分大圏其兩交線必在球之腰此交至彼交必居球之半故無數大圏各相分所分之兩圏分各相等有不等者即小圏也 第十四題 〈球外〉 大圈俱相等故所分之度分秒各所容皆相等小圏各不相等故度分秒之名數等其所容各不等 如上圖甲乙己為大圈丙丁戊為小圈大圈既相等即多作大圈皆與甲乙己圈等而各圏之甲至乙其度皆等若丙丁戊小 圏既與甲乙己大圏不等則甲至乙與丙至丁同名為若干度而所容之廣狹不等 第十五題 〈以下四題言測量之法〉 長方面其中任設一㸃欲定其所在為何度分作經緯度求之法曰先平分其長為若干度分名經線次平分其廣為若干度分名緯線經與緯每度分之小大俱等次視經緯之線其過㸃各若干度分即命為㸃所在之度分 如上圖甲乙丙丁長方形欲知戊㸃所在先從乙向丙作距等經線次從乙向甲作距等緯線次視戊㸃在經緯線之交為是 何度即命曰在經度之四緯度之八也 〈乙至丙丙㸃得命為第六乙㸃不得命為第一而命為初厯家言算外者俱准此〉 第十六題 其在球也亦如之球之中任設一㸃欲定其所在為何度分亦先作球之經度 法曰先於兩極之間作一大圈為腰圏平分腰圏為三百六十度從各度各作一過極大圏即半圈平分為一百八十度是為腰圏上之經度 如上圖甲乙丙丁球乙丁為兩極於其 間作甲戊丙己腰圈從戊向丙丙向己 各作過極大圏即乙庚丁乙辛丁等線 皆腰圏上之經度 第十七題 次作球之緯度即定所設㸃在何度分 腰圏之兩旁有兩極從腰圏向極分為九十度每度各作一距等小圏漸逺腰漸小至極而為一㸃即第九十小圏也次視經緯兩線之交命所設㸃在何度分如圖甲乙丙丁球上依前題既作甲庚丙甲辛丙各經線次於乙戊丁腰圏上向甲極分為九十度每度各作一距等小圏如壬子癸丑之𩔗皆緯圈也次視經緯各遇㸃之交從腰 圈線考其經度從過極線考其緯度即命所設己㸃在從戊向丁之第四經圏從戊向甲之第三緯圏凡言度者各有二義其一一度之廣能包一度之地是其容也其一自此度至彼度各以一㸃為界是其限也腰圏度之容以各過極度之線限之過極度之容以各距等線限之 凡圏互相為經亦互相為緯如以過極為經則距等為緯若以距等為經則過極為緯如幾何原本之論線互相為直線互相為垂線也 第十八題 論緯圏以大圏為宗 過極經圏皆大圏也皆等距等線限之諸度分之容亦等距等緯圏皆小圏也各不等過極圏限之諸度分之容愈近極愈狹至極而盡矣故緯度之容等于經度者獨有腰圏一線獨有初度初分初秒之一率過此以上無不狹也故當以大圏為宗大圏左右諸緯圏之上凡言經度之容者皆從此推減之圏愈小度愈狹即差愈多也 視學一題 凡物必有影影有等大小有盡不盡 不透光之物體前對光體後必有影焉若光體大於物體其影漸逺漸殺鋭極而盡若光體小於物體其影漸逺漸大以至無窮若光物相等其影亦相等亦無窮 測地學四題 第一題 地為圓體與海合為一球 何以徵之凡人任於一處向北行二日半則北方之星在子午線上者必髙一度次後二日半復髙一度恒如是為相等之差向南行亦如之知從南至北為圓體也 如上圖甲為北星 丁為南星乙辛丙 圏為地球人在乙 則見甲正在其頂 至戊則少一度矣從戊至己與乙至戊道里等又少一度矣迨至辛則不見甲至壬則反見丁安得非圓體乎若云地為平體則見星當如癸從丑向寅至辰宜常見不隠又丑至寅寅至卯若見子之髙下所差等則道里宜不等 〈别有算數〉安得有時不見又恒為相等之差也若人東行漸逺則諸星出地者漸先見西行漸逺漸後見故東西人見日月食遲速先後各異是知東西必圓體也 第二題 地在大圜天之最中 何以徵之人任於所在見天星半恒在上半恒在下故知地在最中也 如上圖丙為地東見甲西見乙甲乙以上恒為天星之半知丙在中也若云非中當在丁則東望戊西望己當見天之小半而 不見者大半 第三題 地之體恒不動 一不去本所二亦不旋轉云不去本所者去即不在天之最中也云在本所又不旋轉者若旋轉人當覺之且不轉則已轉須一日一周其行至速一切雲行鳥飛順行則遲逆行則速人或從地擲物空中復歸於地不宜在其初所今皆不然足明地之不轉 第四題 地球在天中止于一㸃 何以徴之人在地面不論所在仰視填星歳星熒惑彼此所見恒是同度故知地體較于天體則為極小若地大者兩人相去絶逺其視三星彼此所見不宜同躔如上圖丙己戊乙為天甲為地丁為星地體若大能為天分數者則人在庚宜見丁在己度人在辛宜見丁在戊度今不然者 是地與天其小大無分數可論也 名義篇第一 測天本義 一條 問測天者何事所論者何義也曰此度數之學度數學有七支此為第六也所論者一言三曜 〈日月星〉形像大小之比例一言其各去離地心地面各幾何一言其運動自相去離幾何一言其躔離逆順晦明朓朒一言其五相視五相視者一曰會聚 〈會聚或同一宿或同一宮或相掩或凌犯〉二曰六合照 〈每隔一宮〉三曰隅照 〈三方相望〉四曰方照 〈四方相望〉五曰對照 〈即衘〉一因其行度次舍以定歳月日時此為大端也 大圜名數厯十條 大圜者上天下地之總名也 〈亦稱宇宙亦稱天下亦稱六合之内下文通用〉天實渾圓其中毫無空隙譬如葱本重重包裹其分數幾何則自下數之 〈地居天中為最下亦曰最内〉第一為地水補其闕 〈地有卑窪水則就之若據地面則水土相半蹠實論之水之視地僅當千分之一〉共為一球地外為氣氣之外為七政之天七政之外為𢘆星 〈亦曰經星下文通用〉之天𢘆星之外為宗動之天宗動之外為常靜之天問地水與氣相次之序其理易明今何以知七政在下𢘆星在上曰有二騐焉其一六曜有時能掩恒星 〈六曜者日五星也不言日者日大光星不可見也唐肅宗 上元元年 五月癸丑月掩昴代宗大厯三年正月壬子月掩畢八月己未月復掩畢是月掩𢘆星也唐髙宗 永徽三年 正月丁亥歳星掩太微上將五月戊子熒惑掩右執法元武宗 至大元年 十二月戊寅太白掩建星是五緯掩𢘆星也〉掩之者在下所掩者在上也其二七政循黄道行皆速𢘆星最遲也 問七政中復有上下逺近否曰有之月最近也何以知之亦有二驗其一能掩日五星也 〈月掩日而日為食不待論也唐文宗 泰和五年 二月甲甲月掩熒惑六年四月辛未月掩填星于端門九年六月庚寅月掩歳星於太微武宗㑹昌二年正月壬戌月掩太白於羽林是月掩五星也〉其二循黄道行二十七日有竒而周天餘皆一年以上是七政中為最速也 問行度遲速以别逺近是則然矣太白辰星與日同一歳而周為無逺近乎曰舊説或云日内月外相去𨖚絶不應空然無物則當在日天之下或云在日天之上二説皆疑了無確據若以相掩正之則大光中無復可見論其行度則三曜運旋終古若一兩説既窮故知從前所論皆為臆説也獨西方之國近歳有度數名家造為望逺之鏡以測太白則有時晦有時光滿有時為上下 計太白附日而行逺時僅得象限之半與月異理因悟時在日上故光滿而體微 〈若地日星𠫵直則不可見稍逺而猶在上則若幾望之月也〉時在日下則晦 〈三叅直故晦稍逺而猶在下若復蘇之月體微而光燿煜然〉在旁故為上下 也辰星體小去日更近難見其晦明因其運行不異太白度亦與之同理 問熒惑歳星填星孰逺近乎曰熒惑在歳填星之内在日之外何者一為其行黄道速於二星遲於日也歳星在其次外其行黄道速於填星遲於熒惑也填星在於最外其行黄道最遲也又恒星皆無視差七政皆有之以此明其逺近又最確之證無可疑者 問何為視差曰如一人在極西一人在極東同一時仰觀七政則其躔度各不同也七政愈近人者差愈大愈逺者差愈小月最大日次之熒惑次之歳星又次之填星最小幾於無有故知月最近填星最逺也 如上圖丙為地甲為東目乙為 西目甲望戊月在己度乙則在 庚度甲望丁星在辛度乙則在 壬度己庚差大則月去人近辛壬差小則星去人逺也問東西相去既是極逺何以得同在一時仰觀七政曰此在一時一地亦可測之特縁算數所得難可遽明故以東西權説若月食則亦東西同時兩地並測亦足諗知也 問何以知七政之上復有恒星之天曰恒星布列終古常然而一體東行行度最遲殆如不動既與七政異行知其不得共居一天也故當别有一恒星之天衆星皆麗其上矣 問恒星天之上何以知有宗動無星之天曰七政恒星其運行皆有兩種其一自西而東各有本行如月二十七日而周日則一歳此類是也其一自東而西一日一周者是也非有二天何能作此二動故知七政恒星之上復有宗動一天牽掣諸天一日一周而諸天更在其中各行其本行也又七政恒星既隨宗動西行一日而周其為戚速殆非思議所及而諸天又欲各遂其本行一東一西勢相違悖故近于宗動東行極難逺于宗動東行最易此又七政恒星遲速所因矣 問宗動天之上又有常靜大天何以知之曰今所論者度數也姑以度數之理明之凡測量動物皆以一不動之物為凖譬如舟行水中遲速逺近若干道里何從知之以離地知之地本不動故也若以此舟度彼舟何從可得諸天自宗動以下隨時展轉八極不同二行各異若以動論動雜糅無紀將何慿藉用資考算故當有不動之天其上有不動之道不動之極然後諸天運行依此立算凡所云某曜若干時行天若干度分若干時一周天之類所言天者皆此天也厯家謂之天元道天元極天元分至此皆繫於靜天終古不動矣 常靜篇第三 總論一條 常靜天者有三理一為此下各動天之一切諸㸃 〈七政恒星彗孛及諸道諸圏之交之分但須測算者總名為㸃不言星者交與分非星也日月大矣亦言㸃凡測皆測其心心則㸃也〉藉此天以測知其所在也二為測各動天運行之時之度與夫各㸃之出入隠見以定歳月日時也三為測諸動天之各㸃相去離㡬何也凡常靜天上諸名皆繫之天元因其不動以驗他動也其最尊者有三圏一曰天元赤道圏 〈或稱中圏或稱腰圏下文通用〉以定諸㸃二曰天元地平圏 〈或稱四方圏或稱八風圏或稱分光圏下文通用〉以驗運行三曰天元距圏 〈或稱去離圏下文通用〉以辨去離 論三圏共七章 論天元赤道圏一條 天元赤道者繫于宗動之天平分天體者也 〈各圏各有心天元赤道之心即大寰之心也即地心也各圏各有極各有軸天元赤道之極之軸即大寰之極之軸也即地之極之軸也〉天元赤道之左右各有距等圏以度論則九十為天元緯圏其前後各有過極圏以度論則一百八十為天元經圏過極圏者所以定經度容緯度也 如上圖甲乙為中圏其上五經圏為甲丙有兩過極圏以限之丁甲戊限其首丁丙戊限其尾甲丙在其中是大圏上所容之六經度也又如丙己為過極圏上四緯圏則首尾兩㸃 有兩距等圏以限之甲丙乙限其首庚己辛限其尾丙己在其中是過極圏上所容之五緯度也 論天元地平圏三條 常靜天下諸所測𠉀欲知各㸃所在與各㸃之道各道之交之分則一中圏足矣為地在中心不能透明明為地隔人在各所所見止有半天其分明分暗處有一大圏即地平圏也地球之大人居各所明暗所分處處各異故隨在有一地平圏 地平圏分四象限定天下之東西南北故可曰方道亦可名風道所謂不周廣莫八風所來也四象限分為三百六十是地平之經度地平之兩端一在人頂為頂極一在人對足之下為底極地平之左右各有距等小圏從大圏至極各九十為地平之緯度 〈亦名髙度亦名上度下文通用〉其算以大圏為初度次小圏為一度其最髙為九十度即頂極下亦如之 〈亦名低度亦名下度下文通用〉其最下為九十度即底極也從地平經度每度出一過頂大圏凡一百八十以定方維之分數其最尊而用大者有二一曰地平東西圏一曰地平南北圈如天元赤道上之有極至極分二圏也 〈極至極分見後篇〉 如上圖甲乙為地平丙為頂極丁為底極丙戊丁南北圏也甲丙乙丁東西圏也丙子丁丙丑丁皆經圏庚寅辛壬卯癸皆緯 圏算地平之經度或從東西圏起或從南北圏起其緯度或從地平起或從頂極起各任用 地為圓體故球之上每一㸃各有一地平圏從人所居目所四望者即是其多無數 如上圖戊己為地甲乙丙丁為天人在戊即甲丙是其地平而庚為頂極人在己即乙丁是其地平而辛為頂極 赤道地平二圏比論四條 常靜天上有天元赤道天元南北極恒定不動就人目所視又有天元地平圏今以二圏合論則六合之内共有三球一為正球二為欹球三為平球正有一平有一離此即欹欹者無數正球者天元赤道之二極在地平則天元赤道與地平為直角而其左右緯圏各半在地平上半在地平下如上圖甲戊丙己為天甲乙丙丁為地平甲丙即天元赤道之兩極戊乙丁己為地平之東西圏亦即天元赤道庚辛壬癸等 則地平之經圏是正球也 欹球者天元赤道之二極一在地平上一在地平下赤道與地平為斜角 〈斜角者一鋭一鈍之總名〉而天元赤道與地平之各經緯圏伏見多寡各不等其極出地之度為用甚大測𠉀者所必須也赤道緯圏之中隨地各有一緯圏為用甚大名為常見緯圏凡極出地若干度即有一去極若干度之緯圏其底㸃常切地平者是也 如上圖甲丙乙丁為地平戊己為赤道極若己乙為極出地四十度則壬癸乙常見緯圏亦去極四十度而緯圏之乙㸃即地 平之乙㸃 平球者一極在頂天元赤道與地平為一線各距等圏皆與地平平行也 如圖甲乙丙丁為地平即為天元赤道而戊極在頂庚 辛等緯圏皆與地平平行 論地平南北圏一條 地平大圏上之過頂圏一百八十名頂圏皆地平圏之伴侣故又名侶圏其中大者二曰東西曰南北其又最尊者南北也其兩極在地平與東西侶圏之交此圏平分球為東西二方不但過頂極亦過天元赤道極與天元赤道相交為直角亦不動與地平圏等但其游移也人於地面上南北遷此圏止有一不得有二東西遷則隨在不同與地平俱無數如上圖甲乙丙為南北圏人在戊在己在庚俱南北一線則恒以甲乙丙圏為頂移極不移圏故云有一無二也若從己東西 遷丁為其頂即以甲丁丙為南北圏矣 地平南北圏與天元赤道比論一條 此圏交於天元赤道即為天元赤道之極髙從天元赤道至頂極之度即北極出地之度 如圖甲己為赤道丙為頂極乙為赤道極戊丁為地平 今言甲丙與乙丁等者甲乙弧丙丁弧 各相去九十度各減一丙乙弧則甲丙 與乙丁等若赤道極髙之甲戊弧亦與 丙乙弧等其理同也 論地平東西圏二條 東西亦地平之侣圏也其兩極在地平與南北侣圏之交過此兩極者有六大圏亦分天元球為十二舍地平以上常見者六舍最尊者地平與南北圏也其次序從東地平起算為初舍入東一舍為第一入東二舍為第二至南北圏之底起第四西地平上起第七南北之頂起第十此法為用甚大醫家農家及行海者所必須也 如上圖丙丁壬為東西侣圏甲乙為兩極甲丁乙為地平圏甲戊乙甲庚乙等皆過極大圏也 其用之則以此圖甲乙丙丁為地平甲為東地平起一舍己為底極起四丙為西地平起七戊為頂極起十也 東西圏平分球為南北二方造日晷必用之 論天元去離圏二條 天元三大圏其一赤道其二地平若欲知兩㸃相距幾何則二圏為未足也故有去離大圏過所設二㸃自此㸃至彼㸃其間之容則相去離之度分也若此二㸃俱在天元赤道或俱在其過極圏或俱在地平圏即所在圏為去離圏不用百游去離圏 〈游者游移不一百言其多〉 如上圖甲乙丙丁為地平戊己為南北極庚辛為黄道設壬癸㸃則子癸壬丑大圏上之癸壬是其度分 或問二㸃或俱在緯圏則即以緯圏為去離圏不可乎曰凡測量必用准分之尺度准度者止有一不得有二靜天上之大圏分則准度也各緯圏之小大與其度分之廣狹一一不等若多寡不齊之尺度豈能得物之准分乎故測去離必用大圏不得用緯圏也 新法算書卷十一 <子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>