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新法算書 (四庫全書本)
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新法算書
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新法算書 (四庫全書本)/卷019
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欽定四庫全書 新法算書卷十九 明 徐光啟等 撰渾天儀說卷四 依渾儀製日晷法 太陽左旋以定晝夜十二時 〈二十四小時〉則常依赤道三度四十五分為一刻每十五度為一小時故諸圏以二十四平分之而每分又以四平分之乃得時盤必周分各與赤道皆等之度相應令之竪立與赤道高下等而中依直角安表則表景所射即能定時而赤道晷所繇起也今不必恒以竪立合赤道圏或正立面向南北為立晷或正倒面向天頂為地平晷或復正立面東西正向為子午晷或又正立面偏正南左右或不正立面偏地平各以所向天上之圏得名而各以其面承接日光故立表或正或斜不一即表射景逺近與面分時刻廣狹亦不得一雖太陽左旋同諸時刻平行同而線則實繇景得射景旣異相距之線安得不異此諸晷公有日平行之原而私則各有所異總于本儀可得而明矣 求諸晷方位法 日晷之製原以度數考求而度數必有相應之定處則又在取凖方位焉故凡平面日晷所向方位多變大約相較有二原或較地平即與之為平行有正立有曲立種種不同皆應度數不等或較子午圏亦與之為平行乃有偏左偏右而多寡復以間度為則者又或有偏于地平偏于子午兼地平子午而别為一種總不外此二原乃復得一方位者必先置木或銅取四方直角平面形為甲乙丙丁依其長邊面内作戊己線與甲乙為平行線應平分于壬即以壬為心以辛為界作己辛戊半圏 乃平分一百八十度 也從中線壬辛左右 各一象限而另設垂 線于壬則定方位之 器全矣臨用時如求 地平方位即令此器以丙丁邊倚晷面正立得垂線合壬辛中線者即得其面正與地平同若垂線偏距中線左右則必查象限得晷面前後離地平若干度以垂線依象限辛㸃之前後度為法或令甲丙邊依直角倚晷面得垂線正合壬辛線者即其面正立在地平若得垂線距辛㸃内外則依其距度于象限上亦可得晷面偏前後之廣欲求距子午圏方位即令甲乙邊以直角倚晷面從此器中心壬出尺能旋轉于半圏諸度尺末設指南針其上隨尺同轉乃先安器後轉尺而以羅針對下順尺線者為凖隨以尺距中線之度定晷面距子午圏之廣但羅針未免畧差故又一法晷面上界線自上一直下于線上立表表末另懸垂線候日光射垂線之景必合晷面上線乃凖且將渾儀依法測得日輪高度而以太陽躔度對高弧則高弧所指地平度或正東西或偏左右因偏若干亦可定晷面離正南北之廣也其求重複方位各依所向可得乃向地平如前向子午别有法于晷面立二表任意相距表銳各設垂線距面皆等候日輪出視其二線凖對即於儀上測其地平高以與高弧正合而地平經度可得子午圏方位亦定矣 製正球日晷 凡日晷之表等雖北極出地不等得各時線相距等者謂之正球晷此其製原易可不須球然舍球又無以明其理也如赤道晷因諸時圏與赤道交其相距皆于球心相切設以本儀之樞當表其射景必順時圏行赤道使各依極安儀而表之長短同則時圏在赤道上相距之度亦同或論赤極晷因其面正合卯酉時圏設本面距儀心任表長短等而諸時圏與中心相切從心過晷面相距不等則正午線合儀樞可當儀面中線而餘線左右相距漸逺皆平行如上圖以長方形為晷面其丙丁横線者即赤道與之相切線其甲午正南北線者即合儀樞從赤道頂過時圏所為線也立圏者乃赤道周平 分以指諸時圏相交之㸃者也盖 時圏必皆切表頂 〈當地心是〉而復開之 使過至丙丁線上為時線所居之 界故本晷諸線交心在面外而以 表頂為心彼此相距皆平行今設 表長短同雖極高多寡不同其線 則二晷相距無異又設甲午線依 天樞斜竪令晷面偏東或西則午時線不能定在面之中必依面所偏多寡而晷面亦移左右不等至其面向正東正西乃以中線為卯正酉正餘線漸逺惟午時線不入晷面而丙丁線則尚為赤道所切雖時線皆平行乃晷則應以一面斜起庶合赤道高度而得中所横線其高低度與之等也 製斜球正日晷 凡日晷之表等因北極出地不等得各時線相距亦不等者謂之斜球晷其製法原不一今用渾儀列簡法如左如製地平晷先起儀依本北極高乃令過極圏正合子午圈而子午圏之左或右毎扵赤道上查十五度移居子午圏下即識過極圏交地平正南北度復於赤道上查十五度如前移居子午圏下又得過極圏交地平度以此逓查逓移必至盡過極圏交地平度之界而止則諸時線在晷面相距之廣全得焉盖晷面上先作兩直線以直角相交其一為子午線其一為卯酉線而以交㸃為心任意大小作虚圏或用比例尺或依本圏預分度取儀上地平所識度為法 〈自夘酉線至子午線或反之以應儀上所識度為凖〉從心出線過此者皆平晷時線也如北極高四十度以過春分經圏居子午圏下必在地平之正南北初度為午正移之去東十五度 〈依赤道度〉得經圏東交地平十度 〈距子午圏算〉為午初移之去西十五度得經圏西交地平亦十度為未初 〈距午前後等時恒得距度等〉巳正及未正約得二十度半己初及申初約得三十三度辰正申正得四十八度辰初酉初得六十七度半至夘正酉正則各滿九十度而夘酉外與前距時等必皆得度等若求刻線亦依赤道上三度四十五分為一刻如前法逓查之安表使之出晷心向午正距晷面漸逺以北極出地度為則必懸子午線上以正合本地天樞是也若正南北立晷亦用儀上赤道求距度漸移至子午圏法同前其所異惟在交度盖髙弧與過極圏相遇處為交度而高弧則定居東西或夘正酉正茍不用高弧惟以極高所餘度求之如北極高四十度依其地製立晷必使儀北極出地平上五十度如前法定時線盖五十度即極高四十度之餘度其安表漸距晷面正下以至本地赤道高為止此晷自卯正至酉正獨十二小時向南而夘前酉後之時面皆向北其表漸距晷面與前同從上反求得正矣 製斜球单偏日晷 若不正立面向南北製法略與正立同但用高弧必依其偏容有異盖向南面偏北者必查偏度于子午圈從儀頂去北即此安高弧面向南者則偏度宜求於頂之南以此界出高弧其向北晷面偏南者即依偏度於頂南求界或面反偏北尤宜于頂北求界總之偏度多寡及所向方位皆應查于子午圏距頂南或北之處以安高弧而高弧下至地平恒在正東正西之㸃表位必在正午時線從晷心漸距其面與高弧上距北極等若不正立面偏正東正西法用立象半圏先於高弧上取偏度如設面向東而偏西三十度令髙弧自頂下至正西量三十度為限即安半圏于其限以當地平必識其與極圈相交之㸃為各時線之距如北極高四十度安高弧及半圏如前將時盤與夏至圏對試於太陽出時必得春分經圏北交半圏十六度夘初交十二度漸過以南交二十六度後七十等度至未正一刻餘太陽過半圏西晷面無景其本晷表位偏午正線左右距晷面較地平面高不等求其位法使經圏與立象半圏以直角相交即因經圏自交㸃至極中弧得表之高半圏自交㸃至交北地平得表位與午正線相距之逺如依前極高等數則表距三十八度高二十二度若正立面偏東或西製法亦與正向南北立晷同獨高弧下至地平不得定在正東正西之處必依晷面偏度因之距東西等如面向南偏西三十度即高弧距正西亦北去三十度面偏東必高弧距正西之南向北面偏東西皆倣此但偏晷所得高弧度午前後必異時刻多寡不等試令北極高四十度晷面向南偏西三十度先以高弧北距正西三十度轉經圏西十五度 〈赤道上取或用時盤亦同〉得其交高弧㸃距頂十二度為未初乃自正午相距線也又漸轉儀每十五度為限得午後時刻各依交度不同之廣未正交二十三度申初交三十三度半申正交四十四度酉初交五十五度酉正交六十九度戌初交八十七度復移高弧在東距正東之南亦三十度隨轉過極圏東十五度得午初交高弧九度巳正交二十九度巳初交四十八度辰正交七十度辰初則交地平雖夏日最長亦不能全見午前半晝景安表必先查其偏東西若干距晷面多寡法令高弧至地平居本晷偏度限 〈晷面偏東用高弧于東地平偏西用高弧於西〉乃轉儀使過極圏距子午圏與偏度等必得以直角交高弧則自頂至交㸃於高弧上得表在晷面上垂線之度自極至交㸃于經圏上得表距晷面之度假如前設偏西三十度之晷將高弧下至西地平北距正西三十度過極圏亦應於北地平距子午圏三十度得其與高弧以直角相交則自交㸃至北極中約四十二度為表出心漸距晷面之高復自交㸃至頂約三十度為表漸距中垂線之廣此立晷之面南偏西用高弧及經圏之法與面北偏東而面南偏東與面北偏西者亦同但表末於面南晷以向南極為正而面北晷反應向北極也 製斜球重偏日晷 若不正立面向南北復偏東西則較本晷面與地平面或偏向或偏離為交角時鋭時鈍之異故依偏容分别其晷為二種先論鋭角向地平者法查本晷所偏東西度於其本向地平或晷向西南東南必從子午圏南交地平起其所止限為高弧當至之處則自頂依高弧求晷面偏地平度即以合度處於球上作識復自高弧交地平處去北九十度為限因之以安高弧移居頂而過前所識處即於高弧上得諸時線相距之度則因交前所識及子午圏間弧為晷面中垂線距正午線之廣也次轉球過極圏以十五度為交高弧之界與前法同得午前或後依面向東或西各時線之距而餘方則移高弧於正對地平度轉球使極圏漸交高弧各時俱可定矣若以鈍角向地平法反查偏東西度於本晷所向正對地平或晷向西南東南則從子午圏北交地平起所止限亦為高弧當至之處乃於球上作識依之求時線相距皆與前同獨高弧宜去南九十度以定復安之限雖高弧不能過球上所識并至子午圏惟令立象半圏過正相對地平而左右轉球則午前後時線度半圏上可得假如北極高四十度晷面偏西距正南三十度向地平偏二十度必使高弧在子午圏西與地平三十度合令夏至圏正居子午圏下乃自頂依高弧量二十度得近黄道處為實沈宫二十一度與高弧二十度合為㸃作識後復安高弧或立象半圏在地平正西之北三十度從前㸃過 〈球尚不動〉與正相對之度至地平則所交子午圏處距頂約二十三度距㸃一十二度則一十二度為晷中垂線距午正線之度便轉球西一十五度 〈用時盤亦可〉夏至圏必交高弧八十七度為未初次交七十二度為未正次五十八度次四十五度次三十三度次一十八度末五度為申初申正等時以至戌初始盡復轉球令夏至圏距子午東一十五度得交對度高弧六十四度為午初次四十六度次二十六度次一十一度次即入地平盖辰初不載晷面因其偏西故也欲安表必先查其應距晷面若干偏午正線左右若干因而從晷心出依偏距度起射景與各時正合求距面度法使高弧在晷正面地平 〈末求餘方時之前〉漸轉球以過夏至圏得北極及高弧中最小之弧即因本弧量表距面之廣或於本方使過至圏與高弧以直角交則自交處至極中弧亦為表距面度查表偏午正法用高弧交過至圏與前同獨偏度當於高弧上從交㸃至子午圏上求之必中弧為相應之距度假如前晷求表安高弧在西地平北去正西三十度使之上距頂南二十三度轉球令過至圈以直角交高弧即從交㸃至北極中約得六十度為表距晷面度復從交㸃至高弧切子午圈約得五十五度為表距午正時線之度餘倣此 畧節氣線於正球日晷 凡節氣在黄道上正相對者以較赤道其距内外天上必等盖隨宗動左旋必為平行圏故乃平晷節氣線則不然雖赤道線為直線而内外節氣線其形甚曲多縁彼此相距漸逺或不以赤道為中界故較赤道平有異向焉惟赤道晷之節氣線亦自為平行圏亦内外相距等其形正與天合試就渾儀先論之設儀上赤道為實圏天樞上任取其表之長作識切赤道面向外并取過極圏上與表相等弧識之從所識處量各節氣之距而每界出直線過表頂得凡線至晷面所止之處因以定節氣當居之位焉法用規器以赤道心為心以線止位為界作平行圖如左外圏限赤道晷面周平分為時刻其中心出表為甲戊設庚己辛為過極圏即從庚外取庚己與甲戊等而己為諸節氣距内外之中界盖以戊為心作辛己壬弧從己至辛至壬取二十三度三十一分得夏至及冬至界取二十度一十三分得大暑小滿及 大寒小雪其餘節氣皆倣此 乃從其各界引辛戊乙等直 線得乙丙丁等圏於向北晷 為赤道北節氣向南晷為赤 道南節氣也凡正球晷之節 氣線以赤道為中線餘線凡 相對者左右距必等而各漸 開距必不等法設儀心為表頂其面任距逺近必依表長短為則與前製晷法同即將過極圏於赤道内外識各節氣之距度隨以各度出直線從儀心過使至本時線上必得赤道在中左右諸㸃為節氣應過之處此即界線之所以然臨製時以表頂為心時線交赤道㸃為界作圏即得切割等線依八線表取用盖赤道為全數時線左右為切線從圏心出線與時線相交得割線故將全數載比例尺餘線依之取載晷面是也如後圖上下為時線設製赤極晷即午正居中卯酉居邊製東西正向晷午正居邊卯酉居中而赤道横交諸時線彼此必同甲丙為表長依之為圏而左右定節氣之距如丙 己丙丁等弧即得甲丙全數丙己丙 丁直線為切線甲己甲丁其割線以 定夏至及冬至於午時或卯酉時線 而定兩至中節氣亦不異此試於申 巳時線必以乙為心 〈表頂之距〉作壬丁辛 圏左右取丁壬丁辛各至之距弧餘 節氣線弧皆與前同即乙丁為全數丁壬丁辛直線為切線甲壬甲辛為割線而節氣宜過其㸃位亦依之定矣又試于午初酉初即丙為心以作圏求子庚子癸兩至距赤道中界而求他節氣皆同一法也 界節氣線于斜球日晷 凡斜球晷之節氣線雖以赤道分内外然各節氣正相對者距赤道逺近不等而自為曲形則其曲必等故設過極圏以定各節氣初度之距令出直線過儀心至各時線上皆與前同法先依本地北極高求各節依各時應出地平高 〈見前二卷〉隨以高弧考對即儀心當表末依所行直線各至時線為㸃而毎時識㸃處連之必為曲線以指本節氣也假如儀心在乙以辛庚為晷面得甲乙表 癸巳為過極圏設北極高 四十度欲製地平晷節氣 線即辛庚為午時線辛壬 為天樞距面四十度入地 于辛以定出時線之心任 安表于甲即因表鋭當地 心亦并為過極圏之心得癸丁弧為赤道出地平高而餘節氣初度則必距赤道内外皆在戊己二至之中設從各距度引直線至乙㸃復引過晷面午正線而赤道止於丙夏至在子冬至過赤道下在庚又設過極圏在表頂周轉以對未申等時 〈午前後同〉而赤道二至等節氣初度皆合高弧上本時所對高度令出直線過表頂必至本時線為㸃以引節氣于此過矣凡製立晷節氣線即辛壬距晷面宜依赤道高癸丁弧依北極出地高 〈癸為天頂癸丁弧即赤道距頂弧必與北極出地等故〉餘節氣度俱依之出直線至午未等時線上以赤道上者為冬赤道下者為夏則各節氣自明矣如圖以乙為心甲為界作甲丑弧即乙子乙丙乙庚等線皆為割線甲子甲丙甲庚皆為切線以表為全數查節氣依各時高度於八線表用比例尺或平分直線如法簡取盖依本北極出地地平晷用餘切線立晷反用正切線何也地平晷算高度于癸巳弧而用甲丑弧之切線立晷則于癸巳算節氣距面之弧其餘即正高度亦應甲丑上取切線也偏晷同一法以各節氣依各時高度出直線過表頂下至晷面定其曲線宜引之㸃則除正向南北偏晷外其餘安表必于午正線外求位盖因天樞斜過晷面故乃樞正下别為直線從晷心出與赤道線以直角相交則線上交表線中節氣線相距最近左右復開展相距必等依前圖論表既不竪在午正線而在天樞線上則癸乙過極圏徑不以本線平行且以直角與甲乙表相交雖轉以對各時線交表法必不變矣 界地平經緯等線于日晷 凡日晷有面與表為公而載線其私也一切定時分節氣列方位種種各異種種能互為用而總入諸晷之面與表矣即地平一晷時刻節氣線外尚有可界于其上者如地平經線 〈太陽方位線〉相交于表位自為直線其相距必等地平緯線 〈太陽高度〉以表位為心周皆為平行圏線相距不等十二舍線為南北平行乃相距逺近不等之直線太陽出沒後時線皆偏左或右皆斜交赤道線亦自為直線七政時線左右向其中線亦皆為直線晝夜長短線復倣節氣線之曲形而疎宻復異東西諸方相距線與時線同任用多寡乃所以異何也地平經線即高弧自頂至地平所為者儀上移高弧任取十度或多或少距限恒等而依之視正對地平度必為直線故恒得儀心居間此本線所以合於表位也其地平緯線必安高弧于定處從下漸上以相等之距限視儀心則以目光線所射之面為界初寛而後狹若移高弧他處亦依此為法此以表位為心而圖平行圏之所以然也其製法惟量表大小依之開比例尺于上取各距度之切線從表位帶入面上為圏即地平緯度限則表景所至必指太陽出地平高度隨將地平緯度平分或五或十等距度 〈從午正線起〉則表位所出直線皆過其分弧界即地平經度已定而表景所至必指太陽所向方位論十二舍線即立象半圏所為本圏儀上皆合子午圏交地平為一㸃者但若左右倒耳故正東西從儀上視之至面必為平行直線其製法亦不異正向東西之偏晷也論太陽出沒已距時線即過極圏依各赤緯度所為起儀依本極高將時盤午正與過極圏合令之轉東或西以太陽本方春秋分出沒為止則即地平分赤道及二至圏皆不等而赤道恒得六時至午正夏至若過冬至反不及今設去夷地平圏上一時或二時至滿半晝時皆并過横線至第六時其線赤道上必交子午圏夏至上未及冬至上已過即因其横線指太陽出沒相離時若干依之從渾儀心視晷面必皆斜交赤道而愈離愈斜法必先于晷面界赤道線就内或外加一節氣得晝時雙數者因以太陽至本節氣出沒之時定為初時而餘時漸依之列也如北極高四十度太陽至立夏晝長約十四時而立冬止得十時皆雙數則因立冬日出辰初必得辰正為距日出第一時而餘時次之立夏日沒戌初而戌正即日沒後第一時餘時亦隨次之今赤道上辰初恒為日出後第一時戌初為日没後之初時即前所識節氣線上諸時㸃與赤道上相應之時㸃以直線連引之得太陽出沒後諸時線也論七政時線其向中線繇赤道等圏則自午前及午後以至地平皆平分各六時盖夏至午前後弧大于冬至午前後之各弧而赤道得居中必與諸時線斜相交是以其線自向中也法先依最長之晝平分時盤或六或十二分遂于地平求各時相距度 〈皆依前二卷〉帶入夏至節氣必得其平分午正左右各六時也然後將赤道與夏至相應之時以直線連之得左右皆同皆與斜球斜交赤道其晝長短線總繇赤道緯度任用疎或宻故其理不異節氣線製法亦同若諸方相距東西線皆子午圏所為與時圏同必以過兩極圏取凖與製地平晷線同法以上晷面所得諸線依本容因之有異必從其儀上所得圏視儀心至面止俱依前法如試於立晷即地平與赤道為平行故地平緯似節氣線形地平經皆上下平行逺疎而近午時則宻全倣赤極晷線十二舍線皆出地平與子午線相交太陽出沒距時線如前地平面同七政線亦出地平交子午線之㸃晝夜長短亦如節氣線諸方相距東西線亦與正時線同製法各隨本類全載日晷本欵此不復詳 地球用法 地球以圓形倣地之本體又以旋動反其性情者總欲因各處向頂之自然也盖地居萬物之中心隨處向天即如圓圏中心出直線無一線不正向其界者然乃製之為球反若偏居 〈在地面故〉距天此近彼遠 〈俱以子午圏求天頂故〉必宜活動以隨處能移至頂與天相近而從之向頂可也故安球必先取平以合于地平使子午圏南北得正而因以諸方向得本所焉後令球前後起或左右轉務以本處至中頂乃得向天之勢有以二處相提而論或經緯皆異者或經同而緯異者或求二處相距之里及所向之位緯同而經異者總于本球得明矣先論其經緯皆異者法任令一處居頂而從此下高弧至地平使之南北游移以正交其彼處為度乃識交度與頂之中弧化為里則得二處直相距之里數又復識本高弧交地平度因以得彼處較前處所居之方位假如順天府北極出地四十度令球極起四十度隨轉球使順天府至子午圈即以之居頂乃依之安高弧過雲南則自頂至交㸃約二十二度即算得六千里 〈依二百七十里一度算〉而高弧至地平則從正南去西五十二度即西南第四向位也 〈各向詳下文〉又使高弧過星宿海得自頂至本海之中弧為一十八度化得四千八百餘里而高弧至地平乃距正南六十二度則因本海較順天府在西南第三向位矣若經同而緯異即先移其處同居子午圏下以本圏上度識二處各距赤道若干度以之相減乃得其相距度因以化為里如順天府與南昌府約在同經試於子午圏上得南昌北距赤道二十八度順天距四十度相差十二度化得三千六百餘里設一處在赤道内一處在赤道外各以所得數相加即其相距度乃因以化為里若緯同而經異即先各以其處移至子午圏下從鶯島圏線起至子午圏下止赤道上算各經度以之相減即得二處經度差但距赤道内外逺近者依赤道平行小圈似不能如前法求里數盖小圏所應一度之里較本赤道度相應者不等因而度小里數亦應少今惟于球上用高弧乃有一簡即得者何也以一處居頂安高弧使從地處過則止視高弧上交㸃與頂之間弧即其相距度因復算得里數如前假如大西之極西地得北極高四十度與順天府同緯因屬距赤道四十度之平行小圏論其本經度應差一百三十度依度求里亦應距三萬五千一百有奇今止以高弧為主則二處直相距約九十度算得為二萬四千三百里而相應之向位且亦不在正東西焉使以順天府居頂極西地必北去正西五十餘里入從西第五方位使以極西地居頂順天府亦必北去正東五十餘度以入東第五方位凡此皆地為圓形而更得斜容故也 任以一處依經緯度安於球 地球以東西為經南北為緯與天球不異但求緯甚易惟一測其極出地高即得其頂距赤道度而緯定矣若經度必以其所先定處為界依之東去加度至某處止乃較前所得距度是其本經度也如測緯依測北極諸法即以所得極高度于子午圏上從赤道徃極數至本度隨識之球上乃得緯圏應過之界焉測經一法以月食為凖因先知某處月食初虧食甚等時分秒今復得他處所測分秒以之相較必得二處相距之時乃化為度盖前處居西所得差度加前經度前處居東所得差度減於前經度乃因得本處之經度次於本球赤道上從前處查得其度而於本度左或右即以距弧所至之處復移至子午圏則本圏交前緯圏之㸃即某處在地面方位也第月食不常遇更有一法止須測太隂在黄道度并識其臨測之時刻而復考他處所載太隂細行 〈務求極凖者〉應于何時至所測度分則較二時所距化為度如前加減乃復得二處距經度然太隂每多視差必候其在冬夏至之時于正過子午線上測之乃可免視差也又或以其角依上下垂線取凖盖兩角居一線上則月體正在黄平象限全無時差否則上角偏東即未及上角偏西即已過也因之求時與度法同前又一法可于行程中求之于起程時以自鳴鍾凖合天任去一二日復以他器測日考時得之與鍾正合則較前處必南北相距東西猶同若不合即以所差時加減之乃得二處東西相距之時而鍾必求其分毫之不爽者始克有濟 求海中舟道 漂海者依指南針行此定法也總分針盤為三十二向如正南北東西乃四正向如東南東北西南西北乃四角向又有在正與角之中各三向各相距一十一度一十五分而各向線乃其過頂及交地平之大圏也臨行時其道有三等皆依盤上向線引舟而實有與盤所載直線異同者盖正南北行則依針線所引之道與所指子午圏同正東西在赤道下行則以東西線所引之道與所指過頂之赤道圏同若正東西在赤道内外行者雖依東西線引舟而其實所行之道與赤道為平行與線所指之圏則不同 〈線指過頂交地平大圏因至地平并交赤道與之斜行乃舟離去二界皆距赤道等而路以直角交中子午圏必與赤道平行〉若西南西北東南東北行雖依針盤所分正角中諸線引舟而其實所引之舟與所行之道異盖所行之道非大圏亦非平行圏且亦非圓圏線何者大圏因過天頂斜交子午圏則所交子午圏之角不等必漸逺得角漸大而平行圏皆以直角交乃舟道之交子午者為等角隨處方向同故自與大小等圏不同也今舟行正南北或正東西赤道下即未嘗離子午或赤道因而皆為大圏則須以度加減之乃可得其路程即正東西與赤道為平行亦不離此小圏而以所去度化為赤道度 〈平行圏度大小不等〉復以加減求之亦可得惟斜行推路甚煩故或以經緯推距度及方向或以經及方向推距與緯又或以緯與距度推經及方位或以方向及距推經緯必先知總方所引 〈西南西北東南東北全圏四分之一〉及原界之緯度所開乃依本球求得此簡法也 以經緯推距度及方向 法於子午圏上識開舟時二界 〈繇此界以至彼界故名二界〉相距之緯隨於球上任用一方向線以交子午圏於前緯為度因以得二界相距之經乃轉球令之東或西 〈依引舟總方是〉視本方向線能復交前緯㸃則其線必為舟所應隨之線否則另試一方向線務以得交如前法假如利未亞洲之西獅山距鶯島東一十五度二十分距赤道北七度三十分設於此處開舟引之至依勒納島乃更距東九度一十分距赤道南一十五度三十分試轉球以東南之偏南中線交子午圏距北七度三十分復轉球西 〈因去界在東故〉過赤道九度一十分 〈二界經度差是〉則得本線距赤道南一十五度三十分交子午圏乃依針盤本線引舟至依勒納島也又一法用規器于球上量二界之距必本則正合方向線在二界緯圏上即本線必為引舟之線矣假如取瓊州府與小琉球之距因瓊州府距赤道北一十八度小琉球距赤道北二十二度必求方向線于十八及二十二度各緯圏線上得在東南之偏東中線依之從瓊州府去小琉球必正道也向線定矣因求二處相距之至法用規器于里表上取相應半度之數 〈為一百三十五里愈少取愈凖〉依二處緯圏中之向線量之得數與一百三十五相乗因得總里數或用後表更凖初行指一總方向線之數次三行指大向度分秒所應各向線之緯度如自瓊州府至小琉球其路為東北之偏東中者應從正 八百二十一里為此二處之總路餘倣此 以經及方向求距與緯 法將球本向線至子午圏與開舟處之緯相交復轉球令其經度差過子午圏 〈東西必繇彼界之距〉亦視其向線在何度復交子午圏即是舟所至界之緯設從依勒納島舟行西 北之偏西中向相距經約二十四度因使本向線交子午圏得距赤道南一十五度三十分 〈本島緯是〉隨轉之東行至二十四度止得原向線交子午圏為距赤道南五度三十分即舟所至界之緯而其距前界之里數亦可依前法推定矣 以緯與距度推經及方向 法依前小表自顯于球如從利未亞洲白山 〈最西邊〉徃西北行其所應止之緯為距赤道北三十度三十分相去四千八百六十餘里乃白山在赤道北二十度三十分則緯差十度以所應里總數推一度應里四百八十六以二百七十除之餘一度四十八分為應一緯度之距查表得第五向線即西北偏西左向線為舟行之道耳方向已定隨查球上本向線交所至界緯圏㸃乃自本㸃至前界中赤道弧即得二處經度差 以距及方向推經緯 法畧同前假如從大浪山開舟繇西北之偏北中向行二千九百二十五里乃先求所止界之緯因本向為去正北第二線則此緯一度之距應平度一度零五分得里數二百九十二有半故總行之里數得十度為三十五度所減 〈大浪山在赤道南三十五度故〉餘二十五度即舟行所止之緯因求經度如前 大小圏度相應表 大小圏皆以三百六十平分為度但各圏不等必隨其圏之大小為則又小圏距中大圏愈逺得度愈狹故必依南北緯算表乃可初行載諸緯度次二行載諸緯過小圏所應一度之分秒因而緯逺得分秒漸少其所量小度亦更小以至近極之一小度得對大圏度之一分耳 用表法或以里數推經度或以經度反求里數如從順天府一直東去至鴨緑江為二千二百里或一直西去至寧夏其里等盖東西路皆與赤道平行相距俱四十度因表中查四十度之緯得小圏一度為大圏之四十五分五十八秒應里數二百零七里為二千二百所除得二處各距順天府十度三十七分以之較順天府總經度東加西減即得二處各經度若以經度求里數法於球上子午圏對二處之緯得同度即轉球識二處赤道上距即經度也經已定隨用表中相應之緯分秒以推彼此相距之里如成都府與杭州府皆距赤道北三十度試以杭州居子午圏漸轉球使成都亦居子午圏得赤道中弧約一十五度今二緯各三十度應五十一 分五十七秒乃以此數與十五度相乗得十五小度之分秒而以一平度相應之里求比得二處直相距之里為三千五百六里有竒凡南北小圏俱倣此 新法算書卷十九