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欽定四庫全書
革象新書卷五 元 趙友欽 撰
小罅光景 句股測天
乾象周髀
小罅光景
室有小罅雖不皆圓而罅景所射未有不圓及至日食則罅景亦如所食分數罅雖寛窄不同景郤周徑相等但寛者濃而窄者淡若以物障其所射之處迎奪此景於所障物上則此景較狹而加濃予始未悟其理因熟思之凡大罅有景必隨其罅之方圓長短尖斜而不别乃因罅大而可容日月之體也若罅小則不足容日月之體是以隨日月之形而皆圓及其缺則皆缺罅漸窄則景漸淡景漸逺則周徑漸廣而愈加淡大罅之景漸逺亦漸廣然不減其濃此則濃淡之别也假於兩間樓下各穿圓穽於當中徑皆四尺餘右穽深四尺左穽深八尺置卓案於左穽内案髙四尺如此則雖深八尺只如右穽之淺作兩圓板徑廣四尺俱以蠟燭千餘枝密插於上放置穽内而燃之比其形於日月更作兩圓板徑廣五尺覆於穽口地上板心各開方竅所以方其竅者表其竅小而景必圓也左竅方廣寸許右竅方廣寸半許所以一寛一窄者表其寛者濃而窄者淡也於是觀其樓板之下有二圓景周徑所較甚不多郤有一濃一淡之殊詳察其理千燭自有千景其景皆隨小竅
而方燭在穽心者方景直射在樓板之中燭在南邊者方景斜射在樓板之北燭在北邊者方景斜射在樓板之南至若東西亦然其四旁之景斜射而不直者縁四旁直上之光障礙而不得出從旁達中之光惟有斜穿出竅而已穽内既已斜穿竅外止得偏射偏中之景千數交錯周遍疉砌則總成一景而圓所以有濃淡之殊者葢兩處皆千景疉砌圓徑若無廣狹之分但見其竅寛者所容之光較多乃千景皆廣而疉砌稠厚所以濃竅窄者所容之光較少乃千景皆狹而疉砌稀薄所以淡於是向右穽東邊減郤五百燭觀其右間樓板之景缺其半於西乃小景隨日月虧食之理也又滅左穽之燭但明二三十枝䟱密得所觀其樓板之景雖是周圓布置各自㸃㸃為方不相黏附而愈淡矣又皆滅而但明一燭則只有一景而方緣為竅小而光形尤小竅内可以盡容其光郤為大景隨空罅之象矣若依舊皆燃左穽之燭則左景復圓别將廣大之板二片各懸於樓板之下較低數尺以障樓板而迎奪其景此景較於樓板者斂狹而加濃所以迎奪其景者表其景近則狹而濃逺則廣而淡也燭光斜射愈逺則所至愈偏則距中之數愈多圍旁皆斜射所以愈偏則周徑愈廣景之周徑雖廣燭之光熖不增如是則千景展開而重疉者薄所以愈廣則愈淡亦如水多則味減也然其板不可側髙偏低否則景不正圓而長於是去其所懸之板舉其左穽連板之燭徹去穽内卓案復燃連板之燭置於穽㡳而揜之竅既逺於燭景則斂而狹所以歛狹者葢是竅與燭相逺則斜射之光斂而稍直光皆斂直則景不得不狹景狹則色當濃燭逺則光必薄是以難於加濃也先論景距竅之逺近此復論燭距竅之逺近景之逺近在竅外燭之逺近在竅内凡景近竅者狹景逺竅者廣燭逺竅者景亦狹燭近竅者景亦廣景廣則淡景狹則濃燭雖近而光衰者景亦淡燭雖逺而光盛者景亦濃由是察之燭也光也竅也景也四者消長勝負皆所當論者也於是徹去所覆兩穽之板别作圓板二片徑廣尺餘右片開方竅方廣四寸左片開尖竅三曲皆廣五寸餘各以索懸於樓板之下令其可以漸髙漸低所以漸髙漸低者表其景之逺廣而近狹也仰觀樓板之景左尖右方俯視燭光之形左全右半此則大景隨空之象各自方尖不隨燭光而圓缺也然穽大而板竅仍小今喻以為大罅者葢穽於板竅較逺逺則雖大猶小竅於樓板較近近則雖小猶大方尖竅内可以盡容燭光之形也原尖小竅之千景似乎魚鱗相依周遍布置大罅之景千數比於沓紙重疉不散張張無參差由此觀之大則總是一穽之景似無千燭之分小則不覩一穽之全碎砌千燭之景是故小景隨光之形大景隨空之象斷乎無可疑者
句股測天
句股之術可以測天然髙深廣逺難於推步籌䇿今姑以淺近喻之塔髙十丈未知其數於塔之正東立一木表於表東席地而卧以眼西望塔頂望見塔頂雖髙只與表末相齊於是自塔心量至表根為數五丈又自表根量至測望之眼為數一丈二尺五寸再立後表於前表正東從後表正東如前望之見塔頂亦與後表之末相齊量得兩表相逺三丈自後表之根東至測望之眼為數二丈先量得兩表皆髙二丈有餘從表首下至與眼平只髙二丈亦可以算術求其塔髙兩表相逺三丈名曰表間前目距前表一丈二尺五寸名曰前景後目距後表二丈名曰後景前後兩景相多七尺五寸名曰景差所以名為景者葢是將燈置於塔頂假若兩表有景長短必齊於眼望之處故以名其數也先以心度云移表三丈而景差七尺五寸即是其表每移一丈景差二尺五寸若移前表過西一丈景必減作一丈且移過西四丈景必減盡無餘是猶表直於戴日之下則無景也如此則知塔心與前表相遠五丈以後表名為小股後景名為小句句者矩之短處也股即木匠之曲尺以塔心距前表之五丈通併表間三丈則知塔心距後表八丈更加後景二丈共計十丈名為大句塔頂髙數名為大股以小勾股作大勾股之則例既然小句二丈而小股二丈則知大句十丈大股必十丈矣若不用後表後景為小勾股而求塔髙前表前景亦可用也以前表二丈為小股前景一丈二尺五寸為小句前景一丈二尺五寸通前表距塔心之數五丈共六丈二尺五寸為大勾塔髙之數為大股以小句股為大句股之則例計小句之數每一丈為小股一丈六尺今大句六丈二尺五寸大股必十丈矣若或顯言塔逺之數五丈止立一表以測塔髙者如前名作小句股郤以大句求大股而為塔髙此一表之術乃先知塔逺而止求塔髙若前兩表之術則皆未知所以先求塔逺而郤慿塔逺以求塔髙也既可將逺求髙亦可將髙求逺今以畫圖言之畫一棊枰縱横各十寸每眼比一丈總為百眼如此則縱横各有十一畫邊西第一直畫塗紅喻為塔髙十丈邊東第三直畫偏低塗青喻為後表二丈當中直畫偏低塗黄喻為前表二丈於後表之東横底塗青喻為後景二丈景末作一圏喻為後目於前表之東横底塗黄喻為前景一丈二尺五寸景末作一圏喻為前目從前目斜畫一線向西而髙至塔頂名為前大
後目亦如前畫為後大
此兩條
非實有物乃眼繩也謂之
者葢矩曲畧似乎弓兩端斜距之數則似弓弰安
兩表之末必與斜
相湊可比兩表之末俱與塔頂相齊以圖視之眼繩兩條合尖於塔頂漸低則漸開至地平而開廣三丈七尺五寸表末只開廣三丈如此則是斂窄七尺五寸計髙一表之數二丈以心度云眼繩於地平開廣三丈七尺五寸若將斂窄盡絶則至塔頂而髙五表之數每表髙二丈則知塔髙十丈矣十丈為股用之求大句者則亦以小句股為則例而求之後表小股二丈而小句亦二丈如此則大股十丈可知大句必十丈矣大句即是塔逺後目之數前表小股二丈而小句一丈二尺五寸乃是每股一丈句至六尺二寸五分今大股十丈可知大句必六丈二尺五寸矣此大句即是塔逺前目之數先已知大股而止求大句者不須兩表之小句股但用一表之小句股為則例而求之乃先知塔髙而止求塔逺也大句大股已得其數亦可求大
乃眼繩之斜長即人目距塔頂之斜逺也欲求其數不可不明其乘除開方所謂乘者七其八得五十六名曰七乘八或八其七得五十六名曰八乘七若十二與三十相乘則得三百六十所謂自乘者三其三為九或十其十為百或百其百為萬或十九自乘十九則為三百六十一凡自乘之數名曰幂幂是覆物之巾方而有眼數自乘之數必方故名為幂所謂除者七除其五十六各得八乃置五十六如七而一則為八也或八除其五十六各得七乃置五十六如八而一則為七也或十二除其三百六十而得三十謂之如十二而一或三十除其三百六十而得十二謂之如三十而一或三除其九而得三或十除其百而得十或百除其萬而得百皆曰除也所謂開方者九而開方而得三或百而開方得十或萬而開方得百或三百六十一而開方縱横皆得十九是謂開方也凡已乘之數除則復元已除之數乘則復元今求眼繩斜長之數當用句股求
之術其術曰句自乘名句幂股自乘名股幂兩幂相併為
幂開為平方即得其
凡以丈尺求者宜改為寸數以算之今以後表所測大句十丈準為大句一千寸其一千寸共乗得一百萬寸名曰句幂大股數同名為股幂相併得二百萬寸名為
幂開為平方得後大
乃一千四百一十四寸有竒是後表之眼繩長一十四丈一尺四寸有餘也以前表求前
者倣之後
之幂二百萬寸而開方譬似方磚二百萬片砌於方臺之上東西南北縱横數之皆廣一千四百一十四片尚有方磚六百四片若欲用盡無餘則碎之而砌作大方餘數此術以塔心喻戴日之下以塔頂喻日之髙以燈影喻日景喻月景亦然衆星無景則人以目就地望而準之測得三辰之髙則可知日月不附著於天而懸虛運轉若五緯較逺於經星則是五緯亦懸虛而不附著設或五緯與經星之髙逺相齊則是五緯如磨蟻而右旋矣塔之為物髙數不多兩表相距三丈亦可以測若夫三辰之髙必須兩表相距數百里否則不覺其景差里之為數長三百步每步之長伸手一度也浙尺約六淮尺約五世間路里迢遥難取徑直既然地上量之不直豈能推其三辰髙逺是以古人測表景千里一寸之差猶未親切姑以其術言之然古者制表未精今别定表之制度併述元有算法就地中各去南北數百里仍不偏於東西俱立一表約髙四丈於表首之下數寸許作一方竅所以低數寸者恐其表首景淡也所以方其竅者葢小竅有景不隨空罅之象必隨日月之形可以測日月之周徑也其竅外廣而内狹當中薄如連邉兩旁如側置漏底之盌形圓而竅方所以然者葢日光斜射之際恐其竅枵相妨也竅空之大小當於地上試景而定之直立其表而後試稍有偏斜則不可準若試而光淡者竅差小也景不圓者竅差大也須得酌中為佳若表末細而不可開大竅者以木接之以薄板接之尤妙葢為作側盌之狀也自表根量至空竅下際其寸數名曰表髙兩表制度須同不可差異少許同日測表景於正午之時自表根量地至於空竅下際之景其寸數名曰表景以南北表景之數相減餘名景差兩表相距路里變作寸數名曰表間各乗南北表景各如景差而一即得二表各與戴日之地相距寸數名曰平逺南北各以表景加之所得各以表髙乘之各如表景而一即得日輪頂與戴日地相距寸數名曰日髙乘表間如景差而一卻加表髙亦得日髙也若求日輪底之髙者量表髙則至空竅上際量表景亦至空竅上際之景算法竝不殊若將日輪頂底之兩髙數相減則知日圓之徑以南北表景各加平逺所得自乗名句幂日髙自乗名股幂兩幂相併名
幂開為平方名曰日逺乃南北表竅之景距日斜逺也然南北各有兩數葢日輪頂底各距表竅上下之景際其相逺寸數可於南北各作兩次求之凡測早晚者倣此太隂亦然若謂表髙難直者當併樹兩表構横木以為髙架横木之中釘一方環如前表竅之制須當穏實不揺曵卻懸一壯繩以代木表繫於懸虛之中墜石去地寸許令其急而不緩則直可準矣若測衆星者量表則至於竅心望亦須在竅心也此句股之法以横測逺以樹測髙乃測髙逺也若測廣逺者則以繩引於地而為句股句與股皆横測之若測深逺者髙立表木横構二平木於表前以横測逺以樹測𭰹此句股則又有横樹之分矣夫測三辰之髙逺者必須逺量兩表之間然難於地平直步要當節節測望地平之逺數卻通併以為表間是又不可不知也
乾象周髀
日之圓徑一度以算術求其周圍計三度一十四分一十六秒月之周徑比似之赤道周天三百六十五度二十五分七十五秒以算術求其中徑計一百一十六度二十六分五十一秒徑當周中似乎圓扇夾脊平分兩旁即是南北二極相距之直數折半計五十八度一十三分二十五秒有奇乃是六合各距天中之均數天體圓如彈丸東西南北相距皆然凡相距平分之數皆圓中之徑也古人謂圓徑一尺周圍三尺方廣一尺邊旁四尺圓象天而天數三方象地而地數四數分隂陽自然有理後世考究則不然方廣一尺而邊旁四尺無可言者若言圓徑一尺而周圍三尺則三尺尚有餘圍三尺而中徑一尺則一尺為不足葢圍三尺徑一尺是六角之田也或謂圓徑一尺周圍三尺一寸四分
〈案此劉徽所推〉或謂圓徑七尺周圍二十二尺
〈案此祖沖之所推約率〉或謂圓徑一百一十三周圍三百五十五
〈案此祖沖之所推密率〉徑一尺而周三尺一寸四分猶自徑多圍少徑七尺而周二十二尺却是徑少周多徑一百一十三而周圍三百五十五最為精密今求日周天徑是此法也既論其異同亦當言其考究之術畫為百眼棊盤一眼廣一寸横十寸名句在於東西相距方圖之内畫為圓圖是去其方之四角也圓徑十寸與外方之股數相同圓徑名髀圓之髀比方之股其數同而字義不異但有方圓之别就圓圖之内又畫小方圖其小方四角不指外方之四角而斜抵東西南北之四正葢其外大方四角在於乾坤艮巽其内小四角在於坎離震兊小方四角斜
一十寸尚是圓中之髀為數不殊於外方之股以外方而比内方包容之積相半外方積一百寸内方積五十寸何以知其然葢將外方均作四隅而視之一半歸於内一半出於外由是察之圓中之直髀即内方之斜
内方既用為
圓中難以名股句股與
名不可紊故稱為髀以别之内方之
十寸自乗得一百寸名
幂凡
幂必兼得句股兩幂之數今圖方而縱横相同當以
幂均為句股兩幂各得五十寸而開方即知句股皆七寸有餘考究圓圍本起於此考究之術將薄紙剪圓而臨於棊枰之上不須於紙上畫為方眼但景映以為準則然後於此薄紙之上模下之小方以算術展為圓象充滿所定之圓圍自四角之方添為八角曲圓為第一次若第二次則求其為曲十六若第三次則求其為曲三十二若第四次則求其為曲六十四凡多一次其曲必倍若至十二次則求其為曲一萬六千三百八十四其初之小方漸加漸展漸滿漸實角數愈多而其為方者不復方而變為圓矣故自一二次求之以至一十二次可謂極其精密若節節求之雖至千萬次其數終不窮須當逐節作為大小句大小股大小句幂大小股幂小
小
幂大
大
幂但大
與大
幂不於節次作之畢竟止用本數而已今先以第一次言之内方之
十寸名大
自乗淂一百寸名大
幂内方之句幂五十寸名第一次大句幂以第一次大句幂減其大
幂餘五十寸名第一次大股幂開方得七寸七釐一毫有竒名第一次大股以第一次大股減其大
餘二寸九分二釐八毫有奇名第一較以此較折半得一寸四分六釐四毫有竒名第一次小句此小句之數乃是内方之四邉與圎圍最相逺䖏也以第一次小句自乗得二寸一分四釐四毫有竒名第一次小句幂以第一次大句幂折半得二十五寸又折半得一十二寸五分名第一次小股幂以第一次小股幂併第一次小句幂得一十四寸六分四釐四毫有奇名第一次小
幂以第一次小
幂開方得三寸八分二釐六毫有竒名第一次小
即是八曲之一八乗其第一次小
得三十寸六分一釐有奇是即八曲之周圍也此以小數求之不若改為大數所以然者盖求至十二次數之降者漸小愈小則不便於數名當将大
改為一千寸大
幂改為一百萬寸第一次大句幂改為五十萬寸大股亦如之然後依法而求若求至第二次者以第一次小
幂就名第二次大句幂以第一次大股幂減其大
幂餘為第二次大股幂開方為第二次大股以減其大
餘為第二較折半名二次小句此小句之數即是八曲之邊與圎圍最相逺䖏也以第二次小句自乗名第二次小句幂以第二次大句幂兩折名第二次小股幂以第二次小股幂併第二次小句幂名第二次小
幂以第二次小
幂開方為第二次小
即是十六曲之一以十六乗其第二小
即是十六曲之周圍也以第二次倣第一次若至十二次亦遞次相倣而已置第十二次之小
以第十二次之曲數一萬六千三百八十四乗之得三千一百四十一寸五分九釐二毫有奇即是千寸徑之周圍也置此周圍之數降呼作三尺一寸四分一釐五毫九絲二忽有奇以一百一十三乗之果得三百五十五尺故言其法精密要之方為數之始圓為數之終圓始於方方終於圓周髀之術無出於此矣