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欽定四庫全書
數學九章卷四下 宋 秦九韶 撰
測望
望敵圓營
問敵臨河為圎營不知大小自河南岸至其地七里於其地立兩表相去二步其西表與敵營南北相直人退西表一十二步遥望東表適與敵營圓邉參合圓法用密率里法三百六十欲知其營周及徑各㡬何答曰營周六里一百二步七分步之六 徑二里按答數有誤營周係六里七十六步又一萬一千九百二十一分步之四千九百四十八徑係一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九
術曰以勾股夕桀求之置表間自乗為勾冪以退表自乗為股冪併二冪為
冪置里通步自之乗勾冪為率自乗為泛實
〈按此數當即為實開𢃄從方今不開平方乃以 此數自乗並以此數升他數開𢃄從三乗方不合〉半
冪乗率為泛從上亷
〈按半
冪即半
自乗又倍之之數〉以勾冪減股冪餘四約之
〈按此即半勾半股各自乗相減之數〉自乗為泛益隅
〈三泛可約之為定〉開連枝三乗玲瓏方得營徑以密率二千二乗七除為周
草曰置表間二步自乗得四為
勾冪以退表一十二步自乗得
一百四十四為股冪以勾股二
冪併之得一百四十八為
冪
置七里以里法三百六十步
通之得二千五百二十步自乗
得六百三十五萬四百乗勾冪四得二千五百四十萬一千六百為率以率自乗得六百四十五萬二千四百一十二億八千一百五十六萬為之實乃半
冪得七十四乗率二千五百四十萬一千六百得一十八億七千九百七十一萬八千四百為泛從上亷以勾冪四減股冪一百四十四餘一百四十以四約之得三十五以自乗得一千二百二十五為泛益隅置三泛求等得一千二百二十五
〈按即泛益隅〉俱以約之得五千二百六十七億二千七百五十七萬七千六百為定實一百五十三萬四千四百六十四為從上亷一為定益隅開玲瓏三乗方乃以亷隅超二度約啇置七百上亷為一百五十三億四千四百六十四益隅為一億乃以上啇生隅得七億為益下亷又以上啇生益亷減從亷餘一百四億四千四百六十四萬為從上亷又以上啇生從亷得七百三十一億一千二百四十八萬為從方乃命上啇除實實餘一百四十九億四千二十一萬七千六百又以上啇生益隅入下亷得一十四億為益下亷又以上啇生益亷得益上亷減從亷餘六億四千四百六十四萬為上亷又以上啇生上亷入方得七百七十六億二千四百九十六萬為方又以上啇生益隅入下亷得二十一億又以上啇生下亷為益上亷減從亷餘一百四十億五千五百三十六萬為益上亷又以上啇生益隅入下亷得二十八億諸法皆退方一退為七十七億六千二百四十九萬六千益上亷再退為一億四千五十五萬三千六百益下亷三退為二百八十萬益隅四退為一萬乃於上啇之次續啇置二十步以續啇生隅入下亷為二百八十二萬又以續啇生下亷入上亷為一億四千六百一十九萬三千六百又以續啇生上亷減從方餘七十四億七千一十萬八十八百乃命續啇除實適盡所得七百二十步以里法約之得二萬為營徑次以密率二十二乗七百二十得一萬五千八百四十為實以七除之得二千二百六十二步七分步之六以里法約之得六里一百二步七分步之六為營周
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷四下>
按此題用平方可矣術中所謂率者即平方實也乃復加自乗開三乗方徒為繁冗耳且乗從亷用半
自乗之倍數乗隅數應用半股自乗之數今用勾股冪較四分之一即用半股冪半勾冪之較比半股自乗數小一半勾自乗數故得數較大若轉求表間及退步必與原數不合試以相去七里為大勾
和營徑三里為倍大勾相減得五里為大勾
較和相乗得較三十五為大股冪大勾
里自之仍得一為大勾冪置小勾冪四步以大股冪乗之得百百四十步以大勾冪除之仍得一百四十步為小股冪比原小股冪少四步其術之疎可知矣設用平方法如左
法立天元一為營徑相去七里通為二千五百二十步為大勾
和相減得二千五百二十步少一元為大勾
較和較相乗得六百三十五萬零四百步二千五百二十元為大少股冪天元一半之以減相去步得二千五百二十步少二分天元之一為大
自之得六百三十五萬零四百步少二千五百二十元多四分平方之一為大
冪退步十二為小股自之得一百四十四步為小股冪表間二步為小勾自之得四步為小勾冪相併得一百四十八步為小
冪以小
冪乗大股冪得九億三千九百八十五萬九千二百步少三十七萬二千九百六十元寄之又以小股冪乗大
冪得九億一千四百四十五萬七千六百步少三十六萬二千八百八十元多三十六平方與寄數為相等兩邉各減九億一千四百四十五萬七千六百步各加三十七萬二千九百六十元得二千五百四十萬零一千六百步
〈即術中率數〉與三十六平方多一萬零八十元等三數求總等得三十六約步數得七十萬零五千六百為長方積為實約元數得二百八十為從方為長闊較約平方數得一為隅用𢃄從平方法開得闊七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九為營徑步以密率用二十二乗之徑七除之得二千二百三十六步又一萬一千九百二十一分步之四千九百四十八為營周步各以里率収之得營周六里七十六步又一萬一千九百二十一分步之四千九百四十八營徑一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九還原之法置營徑步數通分納子得一二一一八三二分為倍大勾分數又以分母通相去步得四二九一五六 分為大勾
和分數二數相減餘三 七九七二八分為大勾
較分數和較分數相乗得一三二一六八三七四五九六八分為大股冪分倍大勾分折半得六 五九一六自之得三六七一三四一九九 五六分為大勾冪分及以小勾冪四步乗大股冪分得五二八六七三四九九八二七二 分以大勾冪分除之得一百四十四步為小股冪與原數合此猶用西表相去步也若細較之當用人目相去步則營周當多十二步餘營徑當多四步不足也
望知敵衆
問敵為圓營在水北平沙不知人數諜稱彼營布卒占地方八尺我軍在水南山原於下立表髙八丈與原山腰等平自表端引䋲虚量平至人足三十步人立其處望彼營北陵與表端參合又望營南陵入表端八尺人目髙四尺八寸以圓密率入重差求敵衆合得㡬何
答曰敵衆八百四十九人
按數不合應二百七十三人其故詳草後
術曰以勾股乗之置人退表步
〈按此條誤法應置表髙〉乗入表為實以人目髙為法除之得徑以密周率乗徑得數為實以密徑率因人立為法約之得外周人數餘収為一副置加六以乗副得數為實如一十二而一餘亦収為全
望知敵衆圖
〈按舊圖畵山水在術前今刪改移於此〉
草曰置人立退表三十步以步
法五尺展為五十寸通之得一
千五百寸乗入表八尺得一十
二萬寸為實
以人目髙四十八寸為法除之
以密率周法二十二乗徑二千五百得五萬五千寸為實
以密率徑法七因諜稱人立八尺得五百六十為法
以法五百六十寸約實五萬五千寸得九十八人為外周人數不盡一百二十寸棄之
副置外周九十八人加六得一百四人乗副為實
按此術應置表髙加人目髙以入表棄之誤置退步以入表乗之故人數差多二倍盖思省偶未至耳至求人數先用密率次用束箭法亦未盡合題問今依其數各步於後
求營徑置表髙八丈加人目髙四尺八寸得八丈四尺八寸以入表八尺乗之得六萬七千八百四十寸以人目髙除之得一十四丈一尺三寸又三分寸之一為營徑盖以表髙加人目髙為大股營徑為大勾較人目髙為小股入表為小勾較置大股以小勾較乗之以小股除之即得大勾較也
求人數用密率置徑為實倍每人占地八尺得一十六尺為法除實得八為外層數加最内一層得九為共層數餘一十三尺三寸又三分寸之一為最内徑以最内徑與最外徑
〈即營陘〉相加以九層乗之折半得六百九十六尺為九層共徑數以密周率二十二乗之得一萬五千三百一十二尺為實以密率七乗每人占地八尺得五十六尺為法除之得二百七十三人餘三尺又七分尺之三棄之此法應先求得内外圓周再求九層共周數今先求九層共徑數然後變為圓周其理一也
望敵逺近
問敵軍處北山下原不知相去逺近乃於平地立一表髙四尺人退表九百步
〈步法五尺〉遥望山原適與表端參合人目髙四尺八欲之敵軍相去㡬何
答曰一十二里半
術曰以勾股求之重差入之置人目髙以表髙減之餘為法置退表乗表髙為實實如法而一
草曰置人目髙四尺八寸減表
髙四尺餘八寸為法置退表九
百步以步五十寸通之得四萬
五千寸乗表髙四十寸得一百
八十萬寸為實如法八寸而一
得二十二萬五千寸以步法五十寸約之得四千五百步為相去步以里法三百六十步約之得一十二里半為敵去表所合問
表望浮圖
問有浮圖欹側欲換塔心木不知其髙去塔六丈有刹竿亦不知其髙竿本去地九尺二寸始釘鋦
〈按鋦原本作鈎今改正〉鋦一十四枚枚長五寸每鋦下股相去二尺五寸就竿為表人退竿三丈遥望浮圖尖適與竿端斜合又望相輪之本影鋦第七枚上股人目入去地四尺八寸心木放三尺為㔼
〈按㔼原本作□今改正〉卯剪截欲求塔髙輪髙合用塔心木長各㡬何
答曰塔髙一十一丈七尺 相輪髙三丈 塔身髙八丈七尺 竿髙四丈二尺二寸 塔心木九丈内三尺為剪截穿鑿㔼卯
按塔髙竿髙二數合相輪髙塔身髙塔心木長三數俱誤相輪髙四丈五尺塔身髙七丈二尺塔心木長七丈五尺説詳草後
術曰以勾股求之重差入之置鋦數減一餘乗鋦相去數併一枚長數加竿本共為表竿髙以退表為法以人目髙減表竿髙餘乗竿去塔為實實如法而一得數加表竿髙共為塔髙置相輪入本鋦數減一餘乗鋦相去又乗竿去塔為實實如法而一得相輪髙
〈按未加入鋦人數法誤〉以減塔髙餘為塔身髙以益㔼卯尺數為塔心木長
草曰置鋦一十
四枚減一餘一
十三以乗鋦相
去二尺五寸得
三百二十五寸併
最上鋦一枚長
五寸得三百三十寸又加竿本九尺二寸共得四百二十二尺為表竿髙以人退表三丈通為三百寸為法次以人目髙四尺八寸減表竿髙四百二十二寸餘三百七千四寸以乗竿去塔六丈得二十二萬四千四百寸為實實如法三百兩一得七百四十八寸加表竿髙四百二十二寸得一千一百七十寸以十約之為一十一丈七尺為塔髙置相輪本入第七鋦減一餘六以乗鋦相去二尺五寸得一百五十寸又乗竿去塔六丈得九萬寸為實實如前法三百寸而一得三百寸約為三丈得相輪髙
〈按不加入鋦即為相輪髙誤〉以相輪髙三丈減塔髙一十一丈七尺餘八丈七尺為塔身髙
〈按此數及塔心木數皆因上數而誤〉益三尺為剪截㔼卯共得九丈為塔心木長合前問
按此皆大小形同式相求法也人目去塔為總勾人目上塔尖髙塔身皆為總股髙相輪髙為總股較人目去竿為分小勾人目上竿髙及相輪本入竿髙俱為分小股相輪本入竿為小股較竿去塔為分大勾術以竿去塔分大勾與小勾股乗除得大股數加小股為總股故塔尖髙數合以大勾與小勾小股較乗除得大股較數即為總股較故相輪髙數少一小股較一丈五尺也塔身髙塔心木長皆本此數加減而得故誤數相等
數學九章卷四下