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欽定四庫全書
數學九章卷七上 宋 秦九韶 撰營建
計作清臺
問剏築清臺一所正高一十二丈上廣五丈袤七丈下廣一十五丈袤一十七丈其袤當東西廣當南北秋程人日行六十里里法三百六十步钁土鍬土每工各二百尺築土每工九十尺每擔土壤一尺三寸徃來一百六十步内四十步上下棚道築高至少半其棚道三當平道五至中半三當七至太半二當五踟蹰之間十加一載輸之間二十步定一返今甲乙丙三縣差夫甲縣附郭税力一十三萬三千八百六十六乙縣去臺所一百二十里税力二十三萬七千九百八十四丙縣去臺所一百八十里税力三十一萬二千三百五十四俱以道里逺近税力多少均科之臺下舖石脚七層先用甎砌臺身次用甎疊砌轉道周圍五帶並濶六尺須令南北二平道東西三峻道相間始自臺之艮隅於東外道向南順升由巽隅以西左轉週迴厯北復東再升東裏道至巽隅乃登臺頂其東裏道艮隅與北平道兩隅及西道乾隅之高皆以強半其西道坤隅與南道兩隅東外道異隅之高皆以五分之二峻道毎級履高六寸其東裏道級數取弱半東外道級數取五分之二西道級數取強半石長五尺濶二尺厚五寸甎長一尺二寸濶六寸厚二寸五分欲知土積定一返步毎工人到土及總用功各縣起夫甎石峻平道髙長級數踏蹤各幾何
答曰土積一百五十四萬尺 定一返二百步一十八分步之五
〈按此條起共十一條數皆誤〉毎工人到土一百四十尺七百二十一分尺之一百四十八 總用工四萬五千六百八十六工 甲縣差一萬七千一百三十二工乙縣差一萬五千二百二十九工 丙縣差一萬三千三百二十五工 石四千三百一十七片 甎一百一十四萬二千二十四片 東裏道峻艮隅高九丈巽隅高一十一丈九尺四寸級五十踏踏蹤二尺
二寸九分 東外道峻艮隅高六寸巽隅高四丈八尺級八十踏踏蹤二尺一寸五分 西峻道坤隅高四丈八尺乾隅高九丈級七十踏踏蹤二尺一寸四分寸之九南平道高四丈八尺 北平道九丈
按右答數中惟第一條土積未二條南北平道高三數無誤餘數俱有誤處其所以不合之故具詳草後
術曰以啇功求之均輸入之倍臺上袤加下袤乗上廣為寄倍下袤加上袤乗下廣併寄乗高為土率如六而一得堅積以築工尺為法除堅積得築工以穿率乗堅積為實以堅率乗钁鍬工尺半之為鍬法除實得钁鍬共工以壤率因堅積如堅率而一為壤積求負土者先列全分及等至高諸母子以母互乗諸子為寄左行以諸母相乗為寄母次列棚道全分及所當鮮母衍子以鮮母互乗衍子為左行以鮮母相乗以乗寄得數又以列位乗之為總母以左右兩行諸子對乗之併之為總子其總母求等約之為定母子以定子乘棚道為次以定母乗平道加次义以踟蹰之數身下加之又以載輸步乗定母併次為統數以定母除統得定一返步亦為列土法
〈有分復通為法〉置程里通步乗擔土尺有歩母則又以步母乗之為到實實如法而一得每工人到土亦為壤法以除壤積得負土工併前鍬築二工為總用工以各縣日程數約税力各得力率副併為科法以共用工乗未併者各為科實實如法而一各得縣夫求甎者倍轉道濶遍加臺上下廣袤變名上下濶長以甎厚加臺高為臺直次列甎石長濶厚各相乗為甎石積法通廣袤如法乃倍上長加下長乗上濶為寄次倍下長加上長乗濶併寄共乗直得數減土率除如六而一為泛置南北道高子各乗臺高為實如各母而一得五道諸隅高以北道高減臺餘為上停高以南道高減北道高餘為中停高命南道高為下停高以履寸除諸高得級數以上長減下長餘半之為勾以勾乗南道高為實如臺高而一得底率以底率減下長餘為底股以外道級數約底股得外道踏蹤又以底率減底股餘為中股以勾乗中停高為實如臺高而一得中率以中率減中股餘為上股以西道級除上股得西道踏蹤以勾乗上停高為實如臺高而一得中率以中率減中股餘為上股以西道級除上股得西道踏級以勾乗上停高為實如臺高而一得上率以上率併中率共減上股餘為實如裏道級而一得裏道踏蹤次以道濶併下長為補以南北道高併臺高乗補為需次上廣減下廣餘為址以址乗南道高為實以臺高除之得數減下廣餘為南道長以南長併下廣乗南道高加需又以址乗北道高為實以臺高除之得數減下廣餘為北道長以北道長併下廣乗北道高又加需共乗半道濶得數併泛為共率以基脚層數乗石版厚為基高次倍道濶併下濶乗下長為基率次以下廣乗下袤減基率餘乗基高為石率以石率減共率餘為甎率以甎積法除甎率得甎數以石級積法除石率得石版數
草曰倍上袤七丈得一十四加下袤一十七丈得三十四丈加上袤七丈得四十一乗下廣一十五丈得六百一十五併寄得七百七十乗高一十二丈得九千二百四十丈為土率以六除率一千五百四十丈以千尺通之
〈按舊本誤為十八通之今改正〉為一百五十四萬尺堅積以築工九十尺除之得一萬七千一百一十一工九分工之一為築工次以穿率四因堅積得六百一十六萬尺為實以堅率三因钁鍬工二百尺得六百尺為法除實得一萬二百六十六工三分工之二為穿工次以壤率五因堅積得七百七十萬尺為壤積以三為母具圖如後
乃以右行母互乗左行子左上得一十二副位得九次得六下得一十八乃變右行名為寄子以諸母相乗得一十八為寄母具圖如後
次以棚道全分及所當鮮母衍子三當五及三當七并二當五
乃以右行鮮母互乗左行衍子上得四十五副得四十二次得三十下得一十八為右行以鮮母相乗得一十八乃對寄左圖列之
乃以左右兩行母子對乗之上得五百四十副得三百七十八次得一百八十下得三百二十四母得三百二十四
今以平分術入之併四子得一千四百二十二為總子以列位四乗乗母三百二十四得一千二百九十六為總母
乃以總母子求等得一十八俱約之總子得七十九為定子總母得七十二為定母以定子七十九乗棚道四十步得三千一百六十於次以棚道一四十步減徃來一百六十步餘一百二十為平道以乗定七十二得八千六百四十加次共得一萬一千八百又以踟蹰十加一放身下加一得一萬二千九百八十仍於次又以載二十歩乗定母七十二得一千四百四十併次得一萬四千四百二十為統數以定母七十二除統數得二百步不盡約為一十八分步之五為定一返步乃復通分内子得三千六百五為到法乃置程里六十以三百六十通之得二萬一千六百步乗擔上一尺三寸得二萬八千八十尺以到母一十八乗之得五十萬五千四百四十尺為到實實如法除得一百四十尺不盡七百四十與法求等得五約之為七百二十一分尺之一百四十八為到土復通分内子得一十萬一千八十八又以壤母三因得三十萬二千二百六十四尺為壤法次以到土母七百二十一乗壤積七百七十萬尺得五十五億五千一百七十萬尺為壤實實如法而一得一萬八千三百六工不盡一十四萬九千二百一十六與法求等得三十二俱約之為一萬八千三百六工九千四百七十七分工之四千六百六十三為擔土工
次列前土工圖築一萬七千一百一十一工九分工之一及穿工一萬二百六十六工三分工之二各通分内子築率得一十五萬四千穿率得三萬八百擔率一億七千三百四十九萬六百二十五按術當以通率圖諸母互乗諸率令騐擔母九千四百七十七可用築母九約亦可用穿母三約故從省以築母九約擔母九千四百七十七得一千五十三為築率乗數又以穿母三約擔母九千四百七十七得三千一百五十九為穿率乗數各以乗數乗本率名曰就母圖乃以九千四百七十七變名曰就母先以築率一十五萬四千乗乗數一千五十三得一億六千二百一十六萬二千為築分次以穿率三萬八百乗乗率三千一百五十九得九千七百二十九萬七千二百為穿分就以擔率一億七千三百四十九萬六百二十五為擔分併三分共得四億三千二百九十四萬九千八百二十五為總工分實以就母九千四百七十七除之得四萬九千六百八十五工九千四百七十七分工之三千八十為總用功具圖如後
置各縣日程約税力得力率副併為科法工置甲縣力一十三萬三千八百六十六以一日程為之只得此為甲率又置乙縣力二十三萬七千九百八十四以二日約得一十一萬八千九百九十二為乙率又置丙縣力三十一萬二千三百五十四以三日約得一十萬四千一百一十八為内率
列三求等得一萬四千八百七十四俱約之甲得九乙得八丙得七各為定率副併得二十四具圖如後
乃以總分四億三千二百九十四萬九千八百二十五遍乗三縣定率為各實以就母九千四百七十七乗併率二十四為科法甲得三十八億九千六百五十四萬八千四百二十五乙得三十四億六千三百五十九萬八千六百丙得三十億三千六十四萬八千七百七十五各為實法得二十二萬七千四百四十八為科法除各實具圖如後
乃以科法除各實甲得一萬七千一百三十一工不盡一十三萬六千七百三十七為甲縣工乙得一萬五千二百二十八不盡二萬四百五十六為乙縣工丙得一萬三千三百二十四不盡一十三萬一千六百二十三為丙縣工諸縣不盡皆輩為一工甲合科一萬七千一百三十二工乙合科一萬五千二百二十九工丙合科一萬三千三百二十五工
按此以上所求擔土定一返數誤其到土工數及總用工數三縣合科工數皆誤盖題言築臺至少半至中半至太半當自平地至三分之一三分之一至二分之一二分之一至三分之二三分之二至臺頂共四段其分數自下而上逐層數應取兩分數之較草中所列諸分子下設一數上即列三分數其段數既不確又即用各分子全數故求得棚道七十二僅當平道七十九與題中所言二當五三當七當五之數顯然不合矣今推歩改正於後
法先求分子較以三之一為第一段分數以三之一與二之一分母對乗得六分母互乗分子三之一得六之二二之一得六之三相減餘六之一得第二段分數以二之一與三之二分母對乗得六分母互乗分子二之一得三三之二得四相減餘六之一為第三段分數以三分之二與全臺三分之三相減餘三之一為第四段分數然後列四段母數於右子數於左以各分母連乗又互乗分子得
三百二十四為總分母第一段一
百零八第二段五十四第三段五
十四第四段一百零八為各分子求等數得五十四徧約之總母得六分子第一段得二第二段得一第三段得一第四段得二為各段分母子
次列棚道一當平道一為下第一段三當五為第二段三當七為第三段二當五為第四段以棚道數為分母以平道數為分子分母連乗又互乗分子得一十八為總分母第一段得一十八第
二段得三十第三段得四十二第四段得四十五為各分子求等數得三徧約之總母得六分子第一段得六第二段得十第三段得一十四第四段得一十五次列前後兩分母分子
〈已約之數〉各對乗得總母三十六分子第一段得一十二第二段得一十第三段得一十四第四段得三十併諸子得六十六為總子又求等得六各約之得定母六為棚道數定子一十一為平道數此即合全臺數總計凡棚道六當平道一十一也乃以定子一十一乗棚道四十步得四百四十步為次以棚道四十步減一百六十步餘一百二十步為平道以定母六乗之得七百二十步加次共得一千一百六十步以踟蹰加一於身得一千二百七十六步又以載輸二十步乗定母六得一百二十步义加次共得一千三百九十六歩為統數以定母六除之得二百三十二步又三分步之二為定一返步乃復通分内子得六百九十八為到法乃置程里六十以三百六十步通之得二萬一千六百步乗上一尺三寸得二萬八千零八十尺以到法分母三乗之得八萬四千二百四十尺為到實以到法除之得一百二十尺不盡四百八十約之為三百四十九分尺之二百四十舊名到土復到土復者一工每日所擔之堅土數也通分内子得四萬二千一百二十以壤母三因之得一十二萬六千 百六十尺為壤法次以到土復母乗壤積七百七十萬尺得二十六億八千七百三十萬尺為壤實實如法而一得二萬一千二百六十七工不盡一千八百八十約之得三千一百五十九分工之四十七為擔土工次列築工穿工擔工三數及分母分子互乗以齊之
列三工數各通分内子得築率一十五萬四千穿率三萬零八百擔率六千七百一十八萬二千五百驗擔母數築穿二母數皆可度盡用就母法以築母除擔母得三百五十一為築東率以穿母除擔母得一千零五十三為穿乗率各以乗率乗本率得築分五千四百零五萬四千穿分三千二百四十三萬二千四百擔率六千七百一十萬二千五百即為擔分同以擔分母為總分母乃併三分數得一億五千三百六十六萬八千九百分為實以總分母為法除之得四萬八千六百四十四工不盡二千五百零四約之不變即命為三千一百五十九分二之二千五百零四為總用工數次置三縣力役以里數遠近通之先以乙丙二里數求等得六十各約之乙得二丙得三以乙二徧乗甲丙以丙三徧乗甲乙得甲率八十萬零三千一百六十九乙率七十一萬三千九百五十二丙率六十二萬四千七百零八三率求等得八萬九千二百四十四徧約之甲得乙得八丙得七各為率併率得二十四乃以工總分一億五千三百六十六萬八千九百分乗三縣各率得甲實一十三億八千三百零二萬零一百乙實一十二億二千九百三十五萬一千二百丙實一十億零七千五百六十八萬二千三百以就母三千一百五十九乗併率二十四得七萬五千八百一十六為科法除各實不盡者各進一工得甲縣合科一萬八千二百四十二工乙縣合科一萬六千二百一十五工丙縣合科一萬四千一百八十九工
求甎者倍轉道並濶六尺得一丈二尺遍加臺上下廣袤變各為上下濶長以甎厚六寸加臺高
先以甎長一尺二寸濶六寸厚二寸五分相乗之得一百八十寸為甎積法次列石版長五尺濶二尺厚五寸相乗得五千寸為石積法具圖如後
騐得諸法皆寸乃以變各圖上下長濶直按術求率倍上長八百二十寸得一千六百四十寸加下長一千八百二十寸得三千四百六十乗上濶六百二十得二百一十四萬五千二百為寄次倍下長一千八百二十得三千六百四十加上長八百二十得四千四百六十乗下濶一千六百二十得七百二十二萬五千二百併寄得九百三十七萬四百乗臺直一千二百六寸得一百一十三億七十萬二千四百寸仍為寄乃騐土積圖土率九千二百四十丈以一百萬寸通之得九十二億四千萬寸以減寄餘二十億六千七十萬二千四百寸如六而一得三億四千三百四十五萬四百寸為泛
次置南道高五分之二北道高强半係四分之三及臺原高一千二百寸具圖如後
乃以南道高子二乗原臺高得二千四百寸為南寔以南道高子三乗原臺高得三千六百寸為北寔各如本母而一得四百八十寸約為四丈八尺為南道兩隅又為東外道巽隅高又為西道坤隅高所得九百寸約為九丈為北道兩隅高又為西道乾隅高又為東裏道艮隅高具圖如後
以北道高九丈減臺高一十二丈餘三丈為上停高以南道高四丈八尺減北道高九丈餘四丈二尺為中停髙命南道高四丈八尺為下停高
三停高皆如履級寸而一得五十為東裏道級數得七十為西道級數得八十為東外道級數次以上長八百二十寸減下長一千八百二十寸餘一千寸以半之得五百寸為勾以乗南道高四百八十寸得二十四萬寸為實如臺高一千二百寸而一半之
〈按上下長較已半得數又半之誤〉得一百寸為底率以率減下長一千八百二十餘一千七百二十寸為底股以外道級八十約之得二尺一寸五分為外道踏蹤又以底率一百寸減底股一千七百二十寸餘一千六百二十寸為中股乃以勾五百寸乗中停高四丈二尺得二十一萬寸為實如臺高一千二百寸而一得一百七十五寸為中率以中率減中股一千六百二十寸餘一千四百四十五寸為上股以西道級七十除上股一千四百四十五寸得二尺一寸四分寸之九為西道踏蹤又以勾五百寸乗上停高三百寸得一十五萬寸為實如臺高一千二百寸而一得一百二十五寸為上率併中率一百七十五寸得三百減上股一千四百四十五寸餘一千一百四十五寸為實如裏道級五十而一得二尺二寸九分為裏道踏蹤各得具圖以見如後
次以道濶六尺併下長一千八百二十寸得一千八百八十寸為補以南北道高併臺高共得二千五百八十寸乗補得四百八十五萬四百寸為需
〈按此二數不合其法太疎故也〉次以上廣五百寸減下廣一千五百寸餘一千寸為址乗南道高四百八十寸得四十八萬寸為實以臺高一千二百寸除之得四百寸為減率以減下廣一千五百寸餘一千一百寸為南道長併下廣一千五百寸得二千六百乗南道高四百八十寸得一百二十四萬八千寸加需又以址一千寸乗北道高九百寸得九十萬寸為實亦如臺高一千二百而一得七百五十以減下廣一千五百寸餘七百五十寸為北道長併下廣一千五百得二千二百五十寸乗北道九百寸得二百二萬五千寸又加需共得八百一十二萬三千四百以半道濶三尺乗之得二億四千三百七十萬二千寸併泛三億四千三百四十五萬四百得五億八千七百一十五萬二千四百寸為共率次以基脚七層乗石版厚五寸得三十五寸為基高次倍道濶得一百二十併下濶一千六百二十寸得一千七百四十乗下長一千八百二十得二百一十六萬六千八百為基率次以下廣一千五百寸乗下袤一千七百寸得二百五十五萬減基率餘六十一萬六千八百寸乗基高三十五寸得二千一百五十八萬八千寸為石率以石率減共率餘五億六千五百五十六萬四千四百寸為甎率以甎積法一百八十寸除之得一
〈按三訛一〉百一十四萬二千二十四片九分片之四乃以石積法五千寸除石率二千一百五十八萬八千寸得四千三百一十七片為石版不盡三十寸棄之不輩合問
按右草自求甎砌臺身積至級數皆無誤求踏蹤數有誤至求補數需數其法更多未合如題内云先用甎砌臺身次用甎砌轉道周圍五帶並濶六尺南北二平道東西三峻道如自臺下艮隅南升至巽西折行至坤北升至乾東折行至艮復南升至巽乃登臺頂是南北二平道至臺址皆如一面平堆形西峻道至臺址東裏峻道至臺址皆上如一面三角斜堆下如一面平堆形東外峻道至臺址如一面三角斜堆形法當按各形取積草中取二平道皆如法至取峻道乃以道濶併下長為補以南北道高臺高三數併乗之為需然後以半道濶乗之為積其意殊不可解然以數考之有差至三之一者又臺身外四面甎砌各加六尺轉道東面加二層三面各加一層是臺基長一十九丈四尺濶一十八丈草中以下濶為一千七百四十寸差少六尺下長仍用一千八百二十寸差少一丈二尺皆疎漏之誤今自求踏蹤至末皆另步之法以臺上長減下長餘一千寸半之得五百寸為勾率以乗南道高四百八十寸得二十四萬寸為實如臺高一千二百寸而一得二百寸為底率以減下長得一千六百二十寸為底股以外道級八十約之得二尺零二分半為東外道踏蹤又以底率減底股餘一千四百二十寸為中底以勾率五百乗中停高四百二十寸得二十一萬寸如臺高寸而一得一百七十五寸為中率以減中底餘一千二百四十五寸為中股以西道級七十約之得一尺七寸七分又七分分之六為西道踏蹤以中率減中股餘一千零七十寸為上底以勾率五百乗上停高三百寸得一十五萬寸如臺高而一得一百二十五寸為上率以減上底餘九百四十五寸為上股以裏道五十約之得一尺八寸九分為裏道踏蹤次以道濶加下長與下停高相乗得九十萬二千四百寸為倍東外峻道三角形立面中底與中停高相乗得五十九萬六千四百寸為倍上下外濶相減餘一千寸以北道高乗之得九十萬以臺高寸數除之得七百五十寸以減北下外濶得九百九十寸為北道上濶與北下外濶相加以北道乗之得二百四十五萬七千寸為倍北道至臺址平堆形立面併倍二面數得三百九十九萬三千寸又併前五數之共數得九百九十六萬九千寸以半道濶三十寸乗之得二億九千九百零七萬寸為共道峻道積又併前砌臺身積三億四千三百四十五萬零四百寸得總積六億四千二百五十二萬零四百寸為共率次二因道濶與下長相加得一千九百四十寸與南道下外濶一千八百寸相乗得三百四十九萬二千寸又以原下廣一千五百寸下袤一千七百寸相乗得二百五十五萬寸以減外長濶相乗餘九十四萬二千寸以石基三十五寸乗之得三千二百九十七萬寸為西峻道上三角形立面中底下底併與下停高相乗得一百五十五萬五千二百寸為倍西峻道下平堆形立面上底上停高相乗得三十二萬一千寸為倍東裏道上三角形立面上底下底併與中停高下停高併相乗得二百六十萬零一千寸為倍東裏道下平堆形立面倂五數共得五百九十七萬六千寸比舊草所用需數大一百一十二萬五千六百寸次求南北平道立面先以上下濶俱加三道濶得上外濶八百寸下外濶一千八百寸上下外濶相減餘一千寸以南道高乗之得四十八萬寸以臺高寸除之得四百寸為減率以減下外濶得一千四百寸為南道上濶與下外濶相併以南道高乗之得一百五十三萬六千寸為倍南道至臺址平堆形立面又以上下濶各加倍道濶得北上外濶七百四十寸北下外濶一千七百四十寸北石率以石率減共率餘六億零九百五十五萬零四百寸為甎率以甎長濶厚連乗得一百八十寸為甎法以石長濶厚連乗得五千寸為石法以甎法除甎率得三百三十八萬六千三百九十一片九分片之一為共用甎數以石法除石率得六千五百九十四片為共用石數
堂隍程築
問有營造地基長二十一丈濶一十七丈先令七人築堅三丈計功二日今涓吉立木有日欲限三日築了每日合收杵手幾何
答曰日收五百五十五工三分工之一
術曰以長乗濶又乗原日原人為實以限日乗築丈數為法除之得人夫
草曰以長二十一丈乗濶一十七丈得三百五十七丈又乗原二日得七百一十四又乗原七人得四千九百九十八為工實以限三日乗原築三丈得九為法除實得五百五十五工不盡三與法俱三約之為三分工之一為日收五百五十五工三分工之一合問
砌甎計積
問有交到六門甎一十五垜每垜高五尺濶八尺長一丈其甎毎片長八寸濶四寸厚一寸欲砌地面使用堂屋三間各深三丈共濶五丈二尺書院六間各深一丈五尺各濶一丈二尺後閤四間各深一丈三尺内二間濶一丈次二間濶一丈五尺亭子地面之長濶幾何
答曰見有一十八萬七千五百片今用一萬六千四百六片四分片之一外餘一十七萬一千九十三片四分片之三
術曰以少廣求之置各地面深濶相乗以間數若所數乗之共為實甎長濶相乗為甎平法除得今用甎數次以甎垜高長濶相乗為實却以甎法乗厚得數為甎積法除之得毎垜甎數次以垜數乗之得見有甎以減今用甎得餘甎
草曰置堂濶五丈二尺乗深三丈得一十五萬六千寸於上又置書院深一丈五尺乗濶一丈二尺得一萬八千寸又以六間乗之得一十萬八千寸加上共得二十六萬四千寸併上又置後閤濶一丈併濶一丈五尺得二丈五尺又以各二間乗之得五百寸以乗各深一丈三尺得六萬五千寸加上得三十二萬九千寸併上次置亭基一丈四尺自乗得一萬九千六百寸以一十所乗之得一十九萬六千寸又併上共得五十二萬五千寸為實以甎長八寸乗濶四寸得三十二寸為甎平法除之得一萬六千四百六片四分片之一為共用甎次置毎垜高五尺乗濶八尺得四千寸又乗長一丈得四十萬寸為毎垜實却以甎平法三十二寸乗厚一寸只得三十二寸為甎積法除之得一萬二千五百片又以十五垜乗之得一十八萬七千五百片為見有甎内減今用甎餘有一十七萬一千九十三片四分片之三為外餘瓦數合問
數學九章卷七上
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章>