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丙午年 五月十有二日

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Work: 數度衍 (四庫全書本) Viewing: Source
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數度衍 (四庫全書本)
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數度衍
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數度衍 (四庫全書本)/卷首上
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欽定四庫全書 數度衍卷首上 桐城方中通 撰 數原 勾股原圖説 一 股 較即勾股較 二 勾 較 三 勾 四 股 五 六 股 較與 和 七 勾 較與 和即勾股和 八 勾 和 九 股 和 通曰九數出於勾股勾股出於河圖故河圖為數之原周髀曰勾廣三股修四徑隅五天數二十有五 之開 方也河圖之數五十有五中五不用用其五十合勾自之股自之 自之之數也勾三陽数也居左和 而為八故八與三同位股四隂數也居右和 而為九故九與四同位 五勾股所求之數也居中勾 較得二居上股 較得一居下勾 較與 和為七故七與二同位股 較與 和為六故六與一同位 居中倍為十而倍之之數不可用故洛書不用十也勾股左右両較上下四和四圍豈偶然哉勾不盡於三而始於三股不盡於四而始於四 不盡於五而始於五較不盡於一二而始於一二和不盡於六七八九而始於六七八九此勾股之原也 加減乘除原圖 加減乘除原説 通曰不用十而用九河圖變為洛書加減乘除之數皆從洛生而九數之用備焉加者併也一隂一陽相併而生陽為用故一併六為七七併二為九九併四為十三去十不用所生為三三併八為十一去十不用所生為一數始於陽陽故統隂此加之原也減者去也隂中去陽則六去一為五八去三為五陽中去隂則九去四為五七去二為五邊去中存此減之原也乘者積也除者分也一無積分相對而為乘除者仍為九焉二與八對 二其八八其二所積皆十六截東南三四九之數合矣二分十六得八八分十六得二此二與八之互見也三與七對三其七七其三所積皆二十一不用三下之八七下之六而一二四五九之數合矣三分二十一得七七分二十一得三此三與七之互見也四與六對四其六六其四所積皆二十四三八亦積二十四不用三八而一二五七九之數合矣四分二十四得六六分二十四得四此四與六之互見也五宜與十對而洛書無十故以中五乘四隅所積之數必止於十而無餘五乘二為一十是為兩方之數 〈四正四隅兩方相對皆十〉五乘四為二十是為四方之數 〈四正合為二十四隅亦合為二十兩正兩隅亦合為二十〉五乘八為四十是為八方之數 〈四正四隅合為四十〉五除十得二五除二十得四五除三十得六五除四十得八二除十四除二十六除三十八除四十皆五此即五與十之互見也洛書無十而十藏於中矣足後反無餘不足然後足此乘除之原也 九章皆勾股説 通曰九數曰方田御田疇界域曰粟布御交質變易曰差分御貴賤禀稅曰少廣御積冪方圓曰商功御功程積寔曰均輸御逺近勞費曰盈朒御隱襍互見曰方程御錯糅正負曰勾股御髙深廣逺周禮保氏注也周髀周之算經也陳子曰髀者股也正晷者勾也以勾為首以髀為股又曰髀者表也然周髀獨明勾股不及九章何哉偃矩以望髙覆矩以測深卧矩以知逺勾股之自為用也環矩以為圓合矩以為方方數為典以方出圓勾股之所生也數有可見者有𨼆而不得見者有互見者有旁見者其變無窮藏於圎方少廣圎方所出也方田商功皆少廣所出一方一圎其間不齊始出差分而均輸對差分之數盈朒者借差求均又差分均輸所出而以方程濟其窮度也量也衡也原於黄鐘粟布出焉黄鐘出於方圎者也三分益一圎周變為方周四分用三圎積變自方積故勾股之容圎方不同方田少廣生焉折半以平粟布均輸生焉盈朒方程生於諸和商功差分生於諸較勾股豈非九數之原乎設為九章者便用耳田疇界域或見於勾股少廣方田統之矣交質變易或見於差分均輸粟布統之矣故九章以用而分不以數而分也秦西立十八法盈朒曰疊借互徵方程曰雜和較乘分少廣為九而開方諸法有其七其二曰逓加倍加勾股有其畧差分仍為差分粟布商功見於三率均輸見於重準測名異理同究無同異也加減乘除出於洛亦成於勾股和者勾股 之相併也較者勾股 之相較也併以成加較以成減勾股自之而為 積則乘成 積開方而為 則除成有河即有洛有勾股即有加減乘除何往非圖書引觸哉 四算說 通曰古法用竹徑一分長六寸二百七十一而成六觚為一握即少廣圎以六包也後世有珠算而古法亡矣泰西之筆算籌算皆出九九尺算即比例規出三角籌尺雖不備加減其用甚便葢乘莫善於籌除莫善於筆加減莫善於珠比例莫善於尺用加為減用加減為乘除借此知彼無往而非比例也好學深思可以通而幾矣 九九圖説 此九九全圖即相乘 相除圖也 〈相乗者一一得一一 二得二之類相除者九除八十一得九八 除六十四得八之類〉 此自乘圖也 〈一一得一 二二得四三三得九之類〉 此各併圖也 〈三與六併九四與八併十 二之類〉 此隔一位併圖也 〈四與十二併十六五與十五併二十之類〉隔二位併 〈五與二十併二十五六與二十四併三十之類其隔中又 併者五之左十二十之右十五亦併二十五也餘倣此〉隔三位併隔四位併 隔五位併 隔六位併 〈無不合隔中挨次而併亦無不合〉 此相減生陽圖也 〈四去 一而生三六十四去一而生六十三九去 四而生五四十九去四而生四十五之類 右而左者自少而多即據見數減之左而 右者自多而少當除十而減其餘也除皆 陰數始除八十次除六十次除四十次除 二十〉 此相減生隂圖也 〈六去 二而生四五十六去二而生五十四十二 去六而生六四十二去六而生三十六之 類自左而右者亦除十餘皆陽數始除七 十次除五十次除三十〉 〈併首尾之一九為十併一與十六為十七併一與二十五為二以九乘之得九十折以十六乘之得二百十六以二十五乘之半得四十五為實以七十二折半得一百得六百五十折半得三為法除之得十五三十六為實以四為三百二十五為實以 故縱横皆十五也 法除之得縱横皆三五為法除之得縱横此用少廣章順加求十四 皆六十五積法得實〉 〈併一與三十六為三十七以三十六乘之得一千三百三〉 〈十二折半得六百六十六為併一與四十九為五十以四十九實以六為法除之得縱横皆乘之得二千四百五十折半得一 一百一十一 千二百二十五為實以七為法除之得縱横皆一百七十五 併一與六十四為六十五以六十四乘之得四 千一百六十折半得二千零八十為實以八為 法除之得縱横〉 〈皆二百六十併一與八十一為八十二以八十 一乘之得六千六百四十二折半得三千三百 二十一為實以九為法除〉 〈併一與一百為一百零一以一百乘之得 一萬零一百折半得五千零五十為實以 十為法除之得縱横〉 <子部,天文算法類,算書之屬,數度衍,卷首上> 〈六十四子順逆安置用横行八位為一陣首行數居北之右八行數居北之左二行數居南之左七行數居南之右三行數居東之上五行數居東之下四行數居西之下六行數居西之上其求積法如前八八圖每陣得二百六十每陣各取半面四子積一百三十合而俱成一陣數無不同如截坎東四子艮西四子共得二百六十截乾南四子兌北四子亦得二百六十 用七十二子為圖併一與七十二得七十三以七十二乘 之得五千二百五十六折半得二千六百二十八為實以 九為法除之得每環八子為一陣各二百九十二以九陣 化為十三陣也〉 通曰商髙曰圎出於方方出於矩矩出於九九八十一趙君卿曰九九者乘除之原也乘之九九見乎外除之九九藏乎内故為乘之原即為除之原也夫九九者生生之謂也人知夫數始於一而不知數始於九人知夫數終於十而不知數終於九葢九與九遇始以繼終終以繼始旋相為用而無始無終此所謂生生也一三五七為陽而九統之二四六八為隂而九統之陽故不統陽而統隂陽者也如右諸圖靡不適合然猶一定位次至錯綜變化無方無體而中天然之節藏往知來寧獨九九而已哉 倚數圖說 通曰易曰參天兩地而倚數無倚不生則無數也有中倚焉有偏倚焉數始於一二何自來乎一之自併也三何自來乎一與二併也四何自來乎二之自併也一與三併也推至京垓亦無不然兩相倚而生者中也以此倚彼而生者偏也不特生為然也即用亦有倚焉積小知大則用中倚由博反約則用偏倚中可互用偏惟専成裒多益寡則偏中皆用葢用之無節雖中亦偏用之當位雖偏亦中存乎其人耳數故可倚而不可倚不可倚而後可倚者若夫相追而合有偶合不可為率者有巧合可為準者相距而合有不合而適合者有似合而非合者故參兩之倚可以神遇不可盡以言傳苟非黙悟㑹通未免倚彼失此倚此失彼逐物者中無所主 自恃者有所不見此不可以入數即不可以入理也 今之五量用數圖說 十百 萬千百十○分釐毫絲忽微纎沙塵埃渺漠 〈或作微塵渺漠埃纎 沙或作㣲僉或作纎塵沙渺漠茫〉 權衡 十斤兩錢分 〈凡分以下俱同前〉 十兩錢分 升斛 十石斗升合勺抄撮圭粟粒顆 〈或作粒黍䄽糠粃或作顆粒〉尺丈 十丈尺寸分 里步 十里百十步分 〈三百六十步為里〉 十畆分 〈或用萬千百十頃十畆分 百畆為頃〉 十弓分 〈二百四十弓為畆 弓與𡵯同〉 通曰家語黄帝設五量曰權衡曰升斛曰尺丈曰里步曰十百不以升斛獨為量也度量衡同律皆以黍生里歩不通量衡十百可通五量故今之五量用有非一則者數有相通者十之上分之下皆同十百之名惟升斛無分名耳皆遇十則升而權衡里步稍有不同斤法十六里法三百六十故也權衡之用有二或用斤或止用兩里步之用有三或用里或用畆或用弓十百之用無窮矣度之通於量也二尺五寸為斛法衡之通於量也百二十斤為石法曰億曰兆曰京曰垓曰秭曰穰曰溝曰澗曰王曰載此十等數也而其用分上中下數下數者十十變之十萬曰億十億曰兆十兆曰京至載皆以十進中數者萬萬變之萬萬曰億萬億曰兆萬兆曰京之類也上數者數窮則變萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京之類也雖然數不可以名拘河洛有數無名聖人因其數而名之曰一曰二亦物謂之而然也 數度衍巻首上