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欽定四庫全書
測圓海鏡卷十二
元 李冶 撰
之分一十四問
或問甲乙二人俱在西北隅乙向直東行不知步數而止甲向直南行望見乙復向乙斜行甲告乙云我直行斜行共一千二百八十步汝東行步居我南行步十五分之八
法曰十六之共步冪為實二百五十七之共步為益從一十六步常法得勾圓差
草曰别得共步即股
共也立天元一為小差以乘共步得□為勾冪就分以二百二十五通之得□為二百二十五段勾冪
〈寄左〉然後再置共步内減小差得□□為二股就分四之得□□為一十五勾以自之得□□□為同數與左相消得□□□平方開之得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六百八十步即
也若以減共步而半之得六百步即股也以股冪減
冪餘一十萬二千四百步開平方得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八萬四千步為實以
和和一千六百步為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問
或問甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步數而立甲直東行望見乙復向乙斜行與乙相㑹甲云我共行了一千步又云我東行步居汝南行步十五分之八
法曰二百二十五段共步冪為實七百六之共步為益從二百二十五步常法得股圓差
草曰别得共步即勾
共也立天元一為大差以乘共步得□又就分以二百五十六通之得□為二百五十六个股冪
〈寄左〉然後再置共步内減天元大差得□□為二勾就分以一十五之得□□為十六个股也以自之得□□
〈□□〉為同數與左相消得□□□開平方得三百六十即大差也副置共步上位減大差而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之得六百八十步即
也餘數各依法求之合問
或問甲乙俱在城西北隅甲南行不知步數而立乙東行亦不知步數望見甲就甲斜行與之相㑹乙云我東步少于城周九分之五甲云我南行却多于汝東行二百八十步問答同前
法曰别得周居九分徑居三分乙東行居四分
〈按此法未詳當加倍較步為實徑分數自之内減二分數為法得數三之即城徑二十四字〉
草曰立天元一為一分之數以三之得□為徑以四之得□為勾以徑減勾餘□為小差
〈只天元便是小差〉再置小差加入甲多步得□□為大差倍大差以天元乘之得□□為一段圓徑冪
〈寄左〉再置城徑以自之得下式□□為同數與左相消得□□上法下實得八十步即一分之數也以三之得二百四十步即城徑也合問
或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行望見甲既而乙云我所行居城徑六分之五甲云然則我所行却多于汝二百八十步問答同前
法曰四之却多步為實分自之于上半分母減子得數倍之又以減數乘之減上位為法得一分之數草曰别得却多步即勾股差也乃立天元一為一分數以六之為城徑以五之為乙行置乙行内減半城徑得□為小差也又加入却多步得□□又二之得□□為二大差又以小差乘之得□□為徑冪
〈寄左〉然後以徑冪□□與左相消得下□□上法下實得四十步即一分之數也六之則為城徑五之則為乙行又以却多步加乙行即甲行步也合問
或問甲丙二人俱在西北隅甲向東行不知步數而立丙向南行望見甲與之相㑹丙語甲云我行既多于汝又城徑少于我四十分之十六
〈按四十為股分十六為徑當云徑少於我為四十分之十六原文脫為字似十六為股圓差分矣〉甲云然則吾二人共行了九百二十步問答同前
法曰倍子以減倍母又乘共行步為實倍子減倍母以乘子母併數于上又以子冪加上位為法如法得一十五步即一分之數也
草曰别得共行步即通和也又别得四十分之十六或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分數不同耳乃立天元一為一分之數以十六之為城徑以四十之為丙行丙行減和步得□□為通勾勾内減徑餘得□□為小差于上以分母分子相減餘□又倍之得□為兩个大差以乘上位得□□為圓徑冪
〈寄左〉然後以分子十六分自之得下□□與左相消得□□上法下實得一十五步即一分之數也以十六之得二百四十步即城徑也合問
或問甲乙俱立于城中心乙出東門直行不知步數而立甲出南門直行亦不知步數望見乙向乙斜行與之相㑹乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步内若減甲直行餘三十四步若減乙直行餘一百五十三步問答同前
法曰以云數二減步為小差大差以相乘倍之開平方加入大小差併以自之於上又以大小差相較數以自之減上位為實甲行分乙行分相乘又倍之為隅法得一分之數
草曰别得云步相併得一百八十七是于皇極
内少一个皇極黄方靣也又别得三十四步是个小勾圓差其一百五十三步是一个小股圓差此二差又相減餘一百一十九即中差也乃立天元一為一分之數以八之得□為乙東行數以十五之得□為甲南行數以二數相乘又倍之得□□為二直積于上
〈寄左〉然後以云步三十四乘一百五十三得五千二百二又倍之得一萬四百四為平方實開之得一百二步即小黄方也加入相併數一百八十七得二百八十九為小
也以自之得八萬三千五百二十一為
冪于上以中差冪一萬四千一百六十一減上位餘□與左相消得□□□平方開之得一十七步即一分之數也副置一分之數上位以八之得一百三十六即乙東行也下位以十五之得二百五十五即甲東行也二位相乘得三萬四千六百八十又倍之得六萬九千三百六十為實以
二百八十九為法如法得二百四十步即城徑也合問
或問甲出西門南行乙出北門東行各不知逺近兩相望見復相斜行各行了三百四十步相㑹甲云城徑居我南行二分之一乙云我東行居城徑六分之五問答同前
法曰以二之斜行步自之為實以各行分數自之為冪
〈按此語未詳當云以城徑六分乘甲南行二分得十二分加半城徑三分得十五分為大股分乙東行五分加半城徑三分得八分為大勾分各自之為冪〉又相併為隅法開平方得一分之數
草曰别得倍斜行為大
又别得乙行五分城徑六分甲行十二分乃立天元一為一分之數以六之得□為城徑以五之得□為乙行分以十二之得□為甲行分乃副置半城徑上位加甲行步得□以自之得□□為甲行冪下位加乙行步得□以自之得□□為乙行冪二冪又相併得□□為大
冪
〈寄左〉然後置大
六百八十步以自之得□與左相消得□□□平方開之得四十步即一分之數也以六之得二百四十步即城徑也合問
或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之乙斜行與甲相㑹甲乙二人共行了一千三百六十步其甲南行居斜十七分之十二其乙東行居斜十七分之五問答同前
法曰别得共步即二
也半共步得六百八十步副置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步即乙東行也下位以十二之得八萬一千六百以十七而一得四百八十即甲南行也二行相減餘二百八十即勾股差也其餘各依法求之合問
或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行望見之既而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲謂乙云我取汝五分之三亦得六百步問答同前法曰求得各行步
〈按見後草〉相併以自之于上併甲南行冪乙東行冪以減上為實併各行為從半步常法得全徑
草曰置
〈乙取甲六分之五六百步甲取乙五分之三六百步〉以上六分五分各自直乗步數訖得人
〈六分 之五 三千六百步五分 之三 三千步〉别得左行三千六百步為六乙行五甲行也右行三千步為五甲行三乙行也以方程法入之乃再置
〈五甲行 六乙行 三千六百步五甲行 三乙行 三 千 步〉先以左行直減右行右上空中餘三乙行下餘六百步上法下實得二百步即乙行也却以今右行減于元左行上餘五甲行空中下餘二千四百步上法下實得四百八十步即甲行也既得此數乃立天元一為城徑以半之副置二位上以加甲行得□□為通股以自之得□□□為大股冪下位加乙行得□□為通勾以自之得□□□為大勾冪二冪相併得□□□為大
冪
〈寄左〉乃併甲行乙行以自乗得下式□亦為大
冪與左相消得下□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅東行望見之既而乙謂甲云我所行取汝所行三分之一得二百步甲謂乙云我所行内減汝所行四分之三得三百步問答同前
法曰如法求得各行
〈按見後草〉以相乗又二之開平方得全徑
草曰置
〈乙取甲三分 之一 二百步甲減乙四分 之三 三百步〉以上三分四分置乗步數訖得
〈三分之一 六百步 四分之三 一千二百步〉别得右行六百步為三乙行一甲行也左行一千二百步為四甲行内少三之乙行步也以方程法入之乃再置
〈一甲行 三乙行 六 百 步四甲行 三乙行負 一千二百步〉先以左行直加右行右上得五甲行中空下一千八百步上法下實得三百六十步即甲行也次以一甲行減元右行六百步餘二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也甲行乙行二數相乘得數又倍之開平方即城徑也合問
或問股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云其大小差相減餘二百八十步問答同前
法曰二之中差為實置股子以勾母乗之内減股母為法得小差
草曰别得勾圓差即小差股圓差即大差云步即中差乃立天元一為小差以四之得□為勾勾上加中差得□□為股又三之得□□為五个大差也内減五个天元得□□為五个中差也
〈寄左〉乃以五之相減步□與左相消得□□上法下實得八十步即小差也合問
或問股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云勾母每分少于股母每分四十步問答同前法曰二之少步實以股子母相減數減勾子母相減數為法如法得小差
草曰立天元一為勾圓差便為勾母每分數以天元加四十步得□□為股母每分數于上乃以股子減股母餘二分以乘上位得□□為城徑
〈寄左〉再置天元在地以勾子減勾母餘三分以乗之得□□為同數與左相消得下丨□上法下實得八十步即勾圓差也合問
或問甲出南門直行乙出東門直行望見甲斜行與甲相㑹甲云我行不及股圓差二十四分之十五乙云我行不及勾圓差五分之四又云甲行多于乙行一百一十九股圓差多于勾圓差二百八十問答同前法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得數倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乗二之二差相較數又九之減上位為實倍小差母得一十却以小差乗之又九之于上倍甲分母以小差母乗之得數減上位以為法得小差一分之數草曰立天元一為小差一分之數
〈此一分之數便是乙直行之數也〉以五之得□為小差加二百八十得下□□為大差又倍之得□□以小差乗之得下式□□為一个圓徑冪又九之得□□
〈寄左〉乃又置乙行步加一百一十九□□即甲行步也以二十四之得□□為九个大差也倍小差母得□以乘之得□□為同數與左相消得□□上法下實得一十六步即小差一分之數也既得此數餘各如法求之合問
或問大勾大股大
三事和一千六百步以明勾除大股得八步三分之一以□股除大勾得一十步三分之二以虚勾明勾相減餘二十四步以虚股□股相減餘六十步問答同前
法曰六十步加入大三事和又三之二而一為實併二云數分母分子内減六步為法如法得□股草曰别得六十步與二十四步二數相併而半之得□即明勾□股差也又為虚勾虚股差也若以二數直相減即虚黄方也其二十四步得二虚勾即半徑也其六十步得二□股亦為半徑也立天元一為□股加差步得□□為明勾也以乗八步三分之一得□□為大股也以天元乗一十步三分之二得□為大勾也勾股相併得下□□為大和也
〈寄左〉然後四之天元加入二之六十步得□□為小三事和以小三事和加入大三事和得□□為二个大和也合折半為大和了又就三分之為前數今不折半三因但身外加五得□□為同數與左相消得□□上法下實得三十步即□股也四之□股加入二之六十步得二百四十步即城徑也合問
按之分即通分也張邱建謂學者不患乘除之為難而患通分之為難又謂夏侯陽之方倉孫子之蕩杯皆未盡其妙於是作為算經三卷以發其義是書末設十四問皆以立天元一之法御之尤為簡妙殆所以明立天元一之法其用無不周也又按問中兩言以方程入之張邱建算經内數問亦然蓋有通分而乗除不窮有方程而通分益便此又因通分及之非立天元一本法也秦九韶謂時人誤以大衍法為方程者蓋此類也
按右書十二卷皆為立天元一法而作也其法神明變化不可端倪今略舉數端言之如諸法中有求之不可得者此法求之可得若此法求之不可得者則必不可求矣又諸法中有難求者雖强探力索毫釐未至則不可得此法但知大意不待深思加以步算即可得矣又諸法中有所求或先得彼而後得此者不能移易此法任其所求或先得此或先得彼無不如志又諸法有數始可求一數不具則不可求此法數不具亦可求且有無數即可求者又諸法遇甚繁甚密者湏次第步算或累日累月其功不能再省此法有經年步算可約之頃刻而得者凡此皆尋常智慮所不能及要皆自然之理數易知易從然自不習者觀之蓋有茫然莫解其故者矣是書之作殆深憂𫝊習者難其人而其法遂泯於後世也其謄寫魯魚算式舛訛今悉正之
測圓海鏡卷十二
後序
敬齋先生病且革語其子克修曰吾平生著述死後可盡燔去獨測圓海鏡一書雖九九小數吾嘗精思致力焉後世必有知者庶可布廣垂永乎先生于六藝百家靡不貫串文集近數百卷常謙謙不自伐惟于此書不忘稱異于易簀之間想有𤣥妙内得于心者予以先生與先人同牓之故素常兄事克修克修兄命予重為序之予不敢詭論艷藻刻畫無鹽唐突西子直以所聞語意載之于後
至元二十四年
春三月朔翰林修撰承直郎廣平王德淵後序