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緝古算經 (四庫全書本)
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緝古算經
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緝古算經 (四庫全書本)
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1084年 (提及);1781年 (提及);626年 (提及);PD-old
 欽定四庫全書 子部六 緝古算經 天文算法類二 〈算書之屬〉提要 〈臣〉等謹案緝古算經一卷唐王孝通撰其結銜稱通直郎太史丞其始末未詳惟唐書律厯志戊寅厯條下有 武徳九年 校厯人算厯博士臣王孝通題盖即其人也是書一名緝古算術唐書藝文志崇文總目俱稱李淳風注今案此本卷首實題孝通撰并注則唐志及總目為誤又宋志作一卷唐志鄭樵藝文畧俱作四卷王應麟玉海謂今亡其三案孝通原表稱二十術檢勘書内條目相同並無缺佚不知應麟何所據而云然也書中大㫖以九章商功篇有平地役功受袤之術其於上寛下狭前髙後卑闕而不論世人多不達其理因於平地明其法凡推朔夜半時月之所離者一術推仰觀臺及羡道高廣袤者一術推築堤授工上下廣及髙袤不同者一術推築龍尾堤者一術推穿河授工斜正袤上廣及深并漘上廣不同者一術推四郡輸粟窖上下廣袤餘郡别出人及窖深廣者一術推亭倉上下方髙者一術推芻甍圓囤者各一求推方倉圓窖對待者五術推勾股邊積亘求者六術共合二十術之數中間毎以人户道里大小逺近及材物之輕重工作之時日乗除進退叅伍以得其法頗不以深淺為次第故讀者或不能驟通而卒篇以後由源竟委端緒足尋洵為思極毫芒曲盡事理唐代明算立學習此書者以三年為限亦知其術之精妙非旦夕所克竟其義矣其書世罕流播此乃宋 元豐七年 秘書監趙彦若等校定刋行舊本常熟毛扆得之章邱李氏而影抄傳之者今詳加勘正其文間有脱闕不敢妄補謹撮取其義别加圖説附諸本文之左以便觀覽云 乾隆四十六年 十一月恭校上 總纂官 〈臣〉紀昀 〈臣〉陸錫熊 〈臣〉孫士毅 總 校 官 〈臣〉陸 費 墀 上緝古算經表 臣孝通言臣聞九疇載叙紀法著於彛倫六藝成功數術參於造化夫為君上者司牧黔首布神道而設教采能事而經綸盡性窮源莫重於筭昔周公制禮有九數之名竊尋九數即九章是也其理幽而㣲其形祕而約重句聊用測海寸木可以量天非宇宙之至精其孰能與於此者漢代張蒼删補殘缺校其條目頗與古術不同魏朝劉徽篤好斯言博綜纎隠更為之注徽思極毫芒觸類増長乃造重差之法列於終篇雖即未為司南然亦一時獨步自兹厥後不繼前蹤賀循徐岳之徒王彪甄鸞之輩㑹通之數無聞焉耳但舊經殘駮尚有闕漏自劉已下更不足言其祖暅之綴術時人稱之精妙曾不覺方邑進行之術全錯不通芻亭方亭之問於理未盡臣今更作新術於此附伸臣長自閭閻少小學算鐫磨愚鈍迄將皓首鑚尋祕奥曲盡無遺代乏知音終成寡和伏蒙聖朝收拾用臣為太史丞比年已來奉勅校勘傅仁均厯凡駮正術錯三十餘道即付太史施行伏尋九章商功篇有平地役功受袤之術至于上寛下狹前高後卑正經之内闕而不論致使今代之人不達深理就平正之門同欹邪之用斯乃圎孔方柄如何可安臣晝思夜想臨書浩歎恐一旦瞑目将來莫覩遂於平地之餘續狹斜之法凡二十術名曰緝古請訪能算之人考論得失如有排其一字臣欲謝以千金輕用陳聞伏深戰悚謹言 欽定四庫全書 緝古筭經 唐 王孝通 撰 假令天正十一月朔夜半日在斗十度七百分度之四百八十一章嵗為母朔月行定分九千朔日定小餘一萬日法二萬章嵗七百亦名行分也今不取加時度問天正朔夜半之時月在何處 〈推朔夜半月度舊術要須加時日度自古先儒雖復修撰改制意見甚衆竝未得筭妙有理不盡考校尤難臣毎日夜思量常以此理屈滯恐後代無人知者今奉勅造厯因即改制為此新術舊推日度之術已得朔夜半日度仍須更求加時日度然知月䖏臣今作新術但得朔夜半日度不須加時日度即知月處此新術比於舊術一年之中十二倍省功使學者易知〉荅曰在斗四度七百分度之五百三十 術曰 〈推朔夜半月度新術不復加時日度月蝕乃可用之〉以章嵗减朔月行定分餘以乘朔日定小餘滿日法而一為先行分不盡者半法已上收成一已下者棄之若先行分滿日行分而一為度分以减朔日夜半日所在度分若度分不足减加往宿度其分不足减者退一度為行分而减之餘即朔日夜半月行所在度及分也 〈凡入厯當月行定分即是月一日之行分但此定分滿章嵗而一為度凡日一日行一度然則章嵗者即是日之一日行分也今按九章均輸篇有犬追兔術與此術相似彼問犬走一百步兔走七十步令兔先走七十五步犬始追之問幾何步追及荅曰二百五十步追及彼術曰以兔走减犬走餘者為法又以犬走乘兔先走為實實如法而一即得追及步數此術亦然何者假令月行定分九千章嵗七百即是日行七百分月行九千分令日月行數相减餘八千三百分者是日先行之數然月始追之必用一日而相及也令定小餘者亦是日月相及之日分假令定小餘一萬即相及定分此乃無對為數其日法者亦是相及之分此又同數為有八千三百是先行分也斯則異矣但用日法除之即四千一百五十即先行分故以夜半之時日在月前月在日後以日月相去之數四千一百五十减日行所在度分即月夜半所在度分也〉 假令太史造仰觀臺上廣袤少下廣袤多上下廣差二丈上下袤差四丈上廣袤差三丈髙多上廣一十一丈甲縣差一千四百一十八人乙縣差三千二百二十二人夏程人功常積七十五尺限五日役臺畢羡道從臺南面起上廣多下廣一丈二尺少袤一百四尺髙多袤四丈甲縣一十三鄉乙縣四十三鄉毎鄉别均賦常積六千三百尺限一日役羡道畢二縣差到人共造仰觀臺二縣鄉人共造羡道皆從先給甲縣以次與乙縣臺自下基給髙道自初登給袤問臺道廣髙袤及縣别給髙廣袤各幾何 荅曰 臺髙一十八丈 上廣七丈 下廣九丈 上袤一十丈 下袤一十四丈 甲縣給髙四丈五尺 上廣八丈五尺 下廣九丈 上袤一十三丈 下袤一十四丈 乙縣給髙一十三丈五尺 上廣七丈 下廣八丈五尺 上袤一十丈 下袤一十三丈 羡道髙一十八丈 上廣三丈六尺 下廣二丈四尺 袤一十四丈 甲縣鄉人給髙九丈 上廣三丈 下廣二丈四尺 上袤七丈 下袤一十四丈 乙縣鄉人給髙九丈 上廣三丈六尺 下廣三丈 下袤七丈 術曰以程功尺數乘二縣人又以限日乘之為臺積又以上下袤差乘上下廣差三而一為隅陽羃以乘截髙為隅陽截積羃又半上下廣差乘斬上袤為隅頭羃以乘截髙為隅頭截積所得并二積以减臺積餘為實以上下廣差并上下袤差半之為正數加截上袤以乘截髙所得増隅陽羃加隅頭羃為方法又并截髙及截上袤與正數為亷法從聞立方除之即得上廣各加差得臺下廣及上下袤髙 求均給積尺受廣袤術曰以程功尺數乘乙縣人又以限日乘之為乙積三因之又以髙羃乘之以上下廣差乘袤差而一為實又以臺髙乘上廣廣差而一為上廣之髙又以臺髙乘上袤差而一為上袤之髙又以上廣之髙乘上袤之髙三之為方法又并兩髙三之二而一為㢘法從開立方除之即乙髙以减本髙餘即甲髙此是從下給臺甲髙又以廣差乘乙髙以本髙而一所得加上廣即甲上廣又以袤差乘乙髙如本髙而一所得加上袤即甲上袤其甲上廣袤即乙下廣袤臺上廣袤即乙上廣袤其後求廣袤有増損者皆放此 〈此應三因乙積臺髙𠕂乘上下廣差𠕂乘袤差而一又以臺髙乘上廣為上廣之髙又以臺髙乘上袤為上袤之髙為小羃二因下袤之髙為中羃一凡下袤下廣之髙即是截髙與上袤與上廣之髙相連并數然此有中羃定有小羃一又有上廣之髙乘截髙為羃各一又下廣之髙乘下袤之髙為大羃二乘上袤之髙為中羃一其大羃之中又小羃一復有上廣上袤之髙為中羃各乘截髙為中羃各一又截髙自乘為羃一其中羃之内有小羃一又上袤之髙乘截髙為羃一然則截髙自相乘為羃二小羃六又上廣上袤之髙各三以乘截髙為羃六令皆半之故以三乘小羃又上廣上袤之髙各三令但半之各得一又二分之一故三之二而一諸羃截為積尺〉 求羡道廣袤髙術曰以均賦常積乘二縣五十六鄉又六因為積又以道上廣多下廣數加上廣少袤為下廣少袤又以髙多袤加下廣少袤為下廣少髙以乘下廣少袤為隅陽羃又以下廣少上廣乘之為鼈隅以减積餘三而一為實并下廣少袤與下廣少高以下廣少上廣乘之為鼈從横亷羃三而一加隅羃為方法又以三除上廣多下廣以下廣少袤下廣少高加之為亷法從開立方除之即下廣加廣差即上廣加袤多上廣於上廣即袤加廣多袤即道髙 求羡道均給積尺甲縣受廣袤術曰以均賦常積乘甲縣一十三鄉又六因為積以袤再乘之以道上下廣差乘臺髙為法而一為實又三因下廣以袤乘之如上下廣差而一為都亷從開立方除之即甲袤以廣差乘甲袤本袤而一以下廣加之即甲上廣又以臺髙乘甲袤本袤除之即甲髙 假令築隄西頭上下廣差六丈八尺二寸東頭上下廣差六尺二寸東頭髙少於西頭髙三丈一尺上廣多東頭髙四尺九寸正袤多於東頭髙四百七十六尺九寸甲縣六千七百二十四人乙縣一萬六千六百七十七人丙縣一萬九千四百四十八人丁縣一萬二千七百八十一人四縣毎人一日穿土九石九斗二升毎人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六穿方一尺得土八斗古人負土二斗四升八合平道行一百九十二步一日六十二到今隔山渡水取土其平道只有一十一步山斜髙三十步水寛一十二步上山三當四下山六當五水行一當二平道踟蹰十加一載輸一十四步减計一人作功為均積四縣共造一日役畢今從東頭與甲其次與乙丙丁問給斜正袤與髙及下廣并每人一日自穿運築程功及隄上下髙廣各幾何 荅曰 一人一日自穿運築程功四尺九寸二分西頭髙三丈四尺一寸 上廣八尺 下廣七丈六尺二寸 東頭髙三尺一寸 上廣八尺 下廣一丈四尺二寸 正袤四十八丈 斜袤四十八丈一尺 甲縣正袤一十九丈二尺 斜袤一十九丈二尺四寸 下廣三丈九尺 髙一丈五尺五寸 乙縣正袤一十四丈四尺 斜袤一十四丈四尺三寸 下廣五丈七尺六寸 髙二丈四尺八寸 丙縣正袤九丈六尺 斜袤九丈六尺二寸 下廣七尺 髙三丈一尺 丁縣正袤四丈八尺 斜袤四丈八尺一寸 下廣七丈六尺二寸 髙三丈四尺一寸 求人到程功運築積尺術曰置上山四十步下山二十五步渡水二十四步平道一十一步踟蹰之間十加一載輸一十四步一返計一百二十四步以古人負土二斗四升八合平道行一百九十二步以乘一日六十二到為實却以一返步為法除得自運土到數也又以一到負土數乘之却以穿方一尺土數除之得一人一日運功積又以一人穿土九石九斗二升以穿方一尺土數除之為法除之得穿用人數復置運功積以毎人一日常積除之得築用人數併之得六人共成二十九尺七寸六分以六人除之即一人程功也 求隄上下廣及髙袤術曰一人一日程功乘總人為隄積以髙差乘下廣差六而一為鼈羃又以髙差小頭廣差二而一為大臥壍頭羃又半髙差乘上廣多東頭髙之數為小卧壍頭羃并三羃為大小壍鼈率乘正袤多小髙之數以减隄積餘為實又置半髙差及半小頭廣差與上廣多小頭髙之數并三差以乘正袤多小頭髙之數以加率為方法又并正袤多小頭并上廣多小髙及半髙差而増之兼半小頭廣差加之為亷法從開方立除之即小髙加差即各得廣袤髙又正袤自乘髙差自乘并而開方除之即斜袤 求甲縣髙廣正斜袤術曰以程功乘甲縣人以六因取積又乘袤羃以下廣差乘髙差以法除之為實又并小頭上下廣以乘小髙三因之為垣頭羃又乘袤羃如法而一為垣方又三因小頭下廣以乘正袤以廣差除之為都亷從開立方除之得小頭即甲袤又以下廣差乘之所得以正袤除之所得加東頭下廣即甲廣又以両頭髙差乘甲袤以正袤除之以加東頭髙即甲髙又以甲袤自乘以隄東頭髙减甲髙餘自乘并二位以開方除之即得斜袤求髙廣以本袤及髙廣差求之若求乙丙丁各以本縣人功積尺毎以前大髙廣為後小髙廣凡亷母自乘為方母亷母乘方母為實母 〈此平隄在上羡除在下兩髙之差即除髙其餘両邊各一鼈腝中一壍堵今以袤再乘積廣差乘袤差而一得截鼈腝袤再乘為立方一又壍堵袤自乘為羃三又三因小頭下廣大袤乘之廣差而一與羃為髙故為亷法又并小頭上下廣又三之意同六除然此頭羃本乘截袤又袤乘之差相乘而一今還依數乘除一頭羃為從得截袤為廣〉 求隄都積術曰置西頭髙倍之加東頭髙又并西頭上下廣半而乘之又置東頭髙倍之加西頭髙又并東頭上下廣半而乘之并二位積以正袤乘之六而一得隄積也 假令築龍尾隄其隄從頭髙上闊以次低狹至尾上廣多下廣少隄頭上下廣差六尺下廣少髙一丈二尺少袤四丈八尺甲縣二千三百七十五人乙縣二千三百七十八人丙縣五千二百四十七人各人程功常積一尺九寸八分一日役畢三縣共築今從隄尾與甲縣以次與乙丙問龍尾隄從頭至尾髙袤廣及各縣别給髙袤廣各多少 荅曰 髙三丈 上廣二丈四尺 下廣一丈八尺 袤六丈六尺 甲縣髙一丈五尺 袤三丈三尺 上廣二丈一尺 乙縣髙二丈一尺 袤一丈三尺二寸 上廣二丈二尺二寸 丙縣髙三丈 袤一丈九尺八寸 上廣二丈四尺 求龍尾隄廣袤髙術曰以程功乘總人為隄積又六因之為虚積以少髙乘少袤為隅羃以少上廣乘之為鼈隅羃以减虚積餘三約之所得為實并少髙袤以少上廣乘之為鼈從横亷羃三而一加隅羃為方法又三除少上廣以少袤少髙加之為亷法從開立方除之得下廣加差即髙廣袤求逐縣均給積尺受廣袤術曰以程功乘當縣人為積尺各六因積尺又乘袤羃廣差乘髙為法除之為實又三因末廣以袤乘之廣差而一為都亷從開立方除之即甲袤以本髙乘之以本袤除之即甲髙又以廣差乘甲袤以本袤除之所得加末廣即甲上廣其甲上廣即乙末廣其甲髙即垣髙求都亷如前又并甲上下廣三之乘甲髙以乘袤羃以法除之得垣方從開立方除之即乙袤餘放此 〈此龍尾猶羡除也其壍堵一鼈腝一并而相連今以袤再乘積廣差乘髙而一所得截鼈腝袤再自乘為立方一又各一鼈腝截袤再自乘為立方一又壍堵袤自乘為羃三又三因末廣以袤乘之廣差而一與羃為髙故為亷法〉 假令穿河袤一里二百七十六步下廣六步一尺二寸北頭深一丈八尺六寸上廣十二步二尺四寸南頭深二百四十一尺八寸上廣八十六步四尺八寸運土於河西岸造漘北頭髙二百二十三尺二寸南頭無髙下廣四百六尺七寸五氂袤與河同甲郡二萬二千三百二十人乙郡六萬八千七十六人丙郡五萬九千九百八十五人丁郡三萬七千九百四十四人自穿負築各人程功常積三尺七寸二分限九十六日役河漘俱了四郡分共造漘其河自北頭先給甲郡以次與乙合均賦積尺問逐郡各給斜正袤上廣及深并漘上廣各多少 荅曰 漘上廣五丈八尺二寸一分 甲郡正袤一百四十四丈 斜袤一百四十四丈三尺 上廣二十六丈四寸 深一十一丈一尺六寸 乙郡正袤一百一十五丈二尺 斜袤一百一十五丈四尺四寸 上廣四十丈九尺二寸 深一十八丈六尺 丙郡正袤五十七丈六尺 斜袤五十七丈七尺二寸 上廣四十八丈三尺六寸 深二十二丈三尺二寸 丁郡正袤二十八丈八尺六寸 斜袤二十八丈八尺六寸 上廣五十二丈八寸 深二十四丈一尺八寸 術曰如築隄術入之 〈覆隄為河彼注甚明髙深稍殊程功是同意可知也〉以程功乘甲郡人又以隄日乘之四之三而一為積又六因以乘袤羃以上廣差乘深差為法除之為實又并小頭上下廣以乘小頭深三之為垣頭羃又乘袤羃以法除之為垣方三因小頭上廣以乘正袤以廣差除之為都亷從開立方除之即得小頭為甲袤求深廣以本袤及深廣差求之為法以両頭上廣差乘甲袤以本袤除之所得加小頭上廣即甲上廣以小頭深减南頭深餘以乘甲袤以本袤除之所得加小頭深即甲深又正袤自乘深差自乘并而開方除之即斜袤若求乙丙丁毎以前大深廣為後小深廣準甲求之即得 求漘上廣術曰以程功乘總人又以限日乘之為積六因之為實以正袤除之又以髙除之所得以下廣减之餘又半之即漘上廣 假令四郡輸粟斛法二尺五寸一人作功為均自上給甲以次與乙其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗丙郡輸粟二萬六千二百七十石四斗丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗四郡共穿窖上袤多於上廣一丈少於下袤三丈多於深六丈少於下廣一丈各計粟多少均出丁夫自穿負築冬程人功常積一十二尺一日役問窖上下廣袤深郡别出人及窖深廣各多少 荅曰 窖上廣八丈 上袤九丈 下廣一十丈 下袤一十二丈 深三丈 甲郡八千七十二人 深一十二尺 下袤一十丈二尺 廣八丈八尺 乙郡七千二百七十二人 深九尺 下袤一十一丈一尺 廣九丈四尺 丙郡五千四百七十三人 深六尺 下袤一十一丈七尺 廣九丈八尺 丁郡二千九百三十三人 深三尺 下袤一十二丈 廣一十丈 求窖深廣袤術曰以斛法乘總粟為積尺又廣差乘袤差三而一為隅陽羃乃置壍上廣半廣差加之以乘壍上袤為隅陽羃及隅頭羃加之為方法又置壍上袤及壍上廣并之為大廣又并廣差及袤差半之以加大廣為亷法從開立方除之即深各加差即合所問 求均給積尺受廣袤深術曰如築隄術入之以斛法乘甲郡輸粟為積尺又三因以深羃乘之以廣差乘袤差而一為實深乘上廣廣差而一為上廣之髙深乘上袤袤差而一為上袤之髙上廣之髙乘上袤之髙三之為方法又并兩髙三之二而一為亷法從開立方除之即甲深以袤差乘之以本深除之所得加上袤即甲下袤以廣差乘之本深除之所得加廣即甲下廣若求乙丙丁毎以前下廣袤為後上廣袤以次皆準此求之即得若求人數各以程功約當郡積尺 假令亭倉上小下大上下方差六尺髙多上方九尺容粟一百八十七石二斗今已運出五十石四斗問倉上下方髙及餘粟深上方各多少 荅曰 上方三尺 下方九尺 髙一丈二尺 餘粟深上方俱六尺 求倉方髙術曰以斛法乘容粟為積尺又方差自乘三而一為隅陽羃以乘截髙以减積餘為實又方差乘截髙加隅陽羃為方法又置方差加截髙為亷法從開立方除之即上方加差即合所問求餘粟髙及上方術曰以斛法乘出粟三之以乘髙羃令方差羃而一為實 〈此是大小髙各自乘又相乘各乘取髙是大髙者即是取髙與小髙并〉髙乘上方方差而一為小髙令自乘三之為方法三因小髙為亷法從開立方除之得取出髙以减本髙餘即殘粟髙置出粟髙又以方差乘之以本髙除之所得加上方即餘粟上方 〈此本術曰上下方相乘又各自乘并以髙乘之三而一今還元三之又髙羃乘之差羃而一得大小髙相乘又各自乘之數何者若髙乘下方方差而一得大髙也若髙乘上方方差而一得小髙也然則斯本下方自乘故湏髙自乘乘之差自乘而一即得大髙自乘之數小髙亦然凡大髙者即是取髙與小髙并相連今大髙自乘為大方大方之内即有取髙自乘羃一隅頭小髙自乘羃一又其兩邊各一以取髙乘小髙為羃二又大小髙相乘為中方中方之内即有小髙乘取髙羃一又小髙自乘即是小方之羃又一則小髙乘大髙又各自乘三等羃皆以乘取髙為立積故三因小羃為方及三小髙為亷也〉 假令芻甍上袤三丈下袤九丈廣六丈髙一十二丈有甲縣六百三十二人乙縣二百四十三人夏程人功當積三十六尺限八日役自穿築二縣共造今甲縣先到問自下給髙廣袤各多少 荅曰 髙四丈八尺 上廣三丈六尺 袤六丈六尺 求甲縣均給積尺受廣袤術曰以程功乘乙縣人數又以限日乘之為積尺以六因之又髙羃乘之又袤差乘廣而一所得又半之為實髙乘上袤袤差而一為上袤之髙三因上袤之髙半之為亷法從開立方除之得乙髙以减甍髙餘即甲髙求廣袤依率求之 〈此乙積本倍下袤上袤從之以下廣及髙乘之六而一為一甍積今還元須六因之以髙羃乘之為實袤差乘廣而一得取髙自乘以乘二上袤之髙并大廣袤相連之數則三小髙為亷法各以取髙為方仍有取髙為立方者故半之為立方一又須半亷法〉 假令圓囤上小下大斛法二尺五寸以率徑一周三上下周差一丈二尺髙多上周一丈八尺容粟七百五斛六斗今已運出二百六十六石四斗問殘粟去口上下周髙各多少 荅曰 上周一丈八尺 下周三丈 髙三丈六尺 去口一丈八尺 粟周二丈四尺 求圓囤上下周及髙術曰以斛法乘容粟又三十六乘之三而一為方亭之積又以周差自乘三而一為隅陽羃以乘截髙以减亭積餘為實又周差乘截髙加隅陽羃為方法又以周差加截髙為亷法從開立方除之得上周加差而合所問 求粟去口術曰以斛法乘出斛三十六乘之以乘髙羃如周差羃而一為實髙乘上周周差而一為小髙令自乘三之為方法三因小髙為亷法從開立方除之即去口 〈三十六乘訖即是截方亭之前方窖不别〉置去口以周差乘之以本髙除之所得加上周即粟周 假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升欲作方倉一圓窖一盛各滿中而粟適盡令髙深等使方面少於圓徑九寸多於髙二丈九尺八寸率徑七周二十二問方徑深多少 荅曰 倉方四丈五尺三寸 〈容粟一萬二千七百二十二斛九斗五升八合〉窖徑四丈六尺二寸 〈容粟一萬三百九十七石七斗七升二合〉髙與深各一丈五尺五寸 求方徑髙深術曰十四乘斛法以乘粟數二十五而一為實又倍多加少以乘少數又十一乘之二十五而一多自乘加之為方法又倍少數十一乘之二十五而一又倍多加之為亷法從開立方除之即髙深各加差即方徑 〈一十四乘斛法以乘粟為積尺前一十四除今還元一十四乘為徑自乘者是一十一方自乘者是一十四故并之為二十五凡此方圓二徑長短不同二徑各自乘為方大小各别然則此壍方二丈九尺八寸壍徑三丈七寸皆成立方此應壍方自乘一十四乘之壍徑一十一乘之二十五而一為隅羃即方法也但二隅皆以壍數為方面今此術就省倍小隅方加差為短以差乘之為短羃一十一乘之二十五而一又小隅方自乘之數即是方圎之隅同有此此數若二十五乘之還湏二十五除直以小隅方自乘加之故不復乘除又湏倍二亷之差一十一乘之二十五而一倍二亷加之故為亷法不復二十五乘除之也〉 還元術曰倉方自乘以髙乘之為實圓徑自乘以深乘之一十一乘一十四而一為實皆以斛法除之即得容粟 〈斛法二尺五寸〉 假令有粟一萬六千三百四十八石八斗欲作方倉四圓窖三令髙深等方面少於圓徑一丈多於髙五尺斛法二尺五寸率徑七周二十二問方髙徑多少 荅曰 方一丈八尺 髙深一丈三尺 圓徑二丈八尺 術曰以一十四乘斛法以乘粟數如八十九而一為實倍多加少以乘少數三十三乘之八十九而一多自乘加之為方法又倍少數以三十三乘之八十九而一倍多加之為亷法從開立方除之即髙深各加差即方徑 〈一十四乘斛法以乘粟為徑自乘及方自乘數與前同今方倉四即四因十四圓窖三即三因十一并之為八十九而一此壍徑一丈五尺壍方五尺以髙為立方自外意同前〉 假令有粟三千七十二石欲作方倉一圓窖一令徑與方等方多於窖深二尺少於倉髙三尺盛各滿中而粟適盡 〈圓率斛法竝與前同〉問方徑髙深各多少 荅曰 方徑各一丈六尺 髙一丈九尺 深一丈四尺 術曰三十五乘粟二十五而一為率多自乘以并多少乘之以乘一十四如二十五而一所得以减率餘為實并多少以乘多倍之乘一十四如二十五而一多自乘加之為方法又并多少以乘一十四如二十五而一加多加之為㢘法從開立方除之即窖深各加差即方徑髙 〈截髙五尺壍徑及方二尺以深為立方十四乘斛法故三十五乘粟多自乘并多少乘之為截髙隅積减率餘即二方亷各二尺長五尺自外意㫖皆與前同〉 假令有粟五千一百四十五石欲作方窖圓窖各一令口小底大方面於圓徑等兩深亦同其深少於下方七尺多於上方一丈四尺盛各滿中而粟適盡 〈圓率斛法竝與前同〉問方徑深各多少 荅曰 上方徑各七尺 下方徑各二丈八寸 深各二丈一尺 術曰以四十二乘斛法以乘粟七十五而一為方亭積令方差自乘三而一為隅陽羃以截多乘之减積餘為實以多乘差加羃為方法多加差為亷法從開立方除之即上方加差即合所問 〈凡方亭上下方相乘又命自乘并以乘髙為虚命三而一為方亭積若圓亭上下徑相乘又各自乘并以乘髙為虚又十一乘之四十二而一為圓亭積今方圓二積并在一處故以四十二復乘之即得圓虚十一方虚十四凡二十五而一得一虚之積又三除虚積為方亭實乃依方髙覆問法見上下方差及髙差與積求上下方髙術入之故三乘二十五而一〉 假令有粟二萬六千三百四十二石四斗欲作方窖六圓窖四令口小底大方面與圓徑等其深亦同令深少於下方七尺多於上方一丈四尺盛各滿中而粟適盡 〈圓率斛法並與前同〉問上下方深數各多少 荅曰 方窖上方七尺 下方二丈八尺 深二丈一尺 圓窖上下方深與方窖同 術曰以四十二乘斛法以乘粟三百八十四而一為方亭積尺令方差自乘三而一為隅陽羃以截多乘之以减積餘為實以多乘差加羃為方法又以多加差為亷法從開立方除之即上方加差即合所問 〈今以四十二乘圓虚十一者四方虚十四者六合一百二十八虚除之為一虚之積得者仍三而一為方亭實積乃依方亭見差覆問求之故三乘一百二十八除之〉 假令有句股相乘羃七百六五十分之一 多於句三十六十分之九問三事各多少 荅曰 句十四二十分之七 股四十九五分之一 五十一四分之一 術曰羃自乘倍多數而一為實半多數為㢘法從開立方除之即句以 多句加之即 以句除羃即股 〈句股相乘羃自乘與句羃乘股羃積等故以倍句 差而一得一句與半差之共乘句羃為方故半差為亷從開立方除之 按此術原本不全今依句股義擬補十三字〉 假令有句股相乘羃四千三十六五分之○股少於 六五分之一問 多少 〈按此問原本缺二字今依文補一股字其股字上之○係所設分數未便懸擬今姑闕之〉 荅曰 一百一十四十分之七 術曰羃自乘倍少數而一為實半少為亷法從開立方除之即股加差即 假令有句 相乘羃一千三百三十七二十分之一 多股一十分之一問股多少 荅曰九十二五分之二 術曰羃自乘倍多而一為立羃又多再 乘半之减立羃餘為實又多数自乘 為方法又置多數五之二而一為亷 開立方除之即股 〈句 相乘 羃自 羃乘 羃之 股 差而一得一股與半差 為方令多再自乘半 之為隅 横虚二立㢘倍之為從隅〉 〈多為上廣即二多 法故五之二而一○案此術原本不全今加案於後〉 〈并别立一術繪圖加説以補其闕〉 案此術脱簡既多法亦煩擾冝云羃自乘多數而一所得四之為實多為亷法從立方開之得減差半之即股 〈羃自乘與勾羃 羃相乘積等令勾羃變為股 併乘股 差故差而一所得乃股 併乘 羃〉 如圗之甲乙丙丁戊 戊巳為股 併乘 羃 〈甲巳與丙丁䓁為股 併庚丁戊巳 為 羃〉即差而一所得 四之成甲乙丙辛壬 癸子丑立方實其庚 壬癸子為四 羃甲乙寅夘辰午未形為股 併再自乘實故丑未或寅辛類皆股 差為亷實之從開得甲己類股 併减差半之得股矣 假令有股 相乘羃 三句少於 五十 荅曰六 術曰羃自乘 再自乘半之以矣 乘倍之為方法 亷法從開立方 羃即股 假令有股 相乘羃 七問股多少 荅曰股二十 術曰羃自 除之所得 〈數亦是股為長以股〉 〈得股羃又開股北分母常〉 假令有股十六二分 十四二十五分 荅曰 術曰羃自乘 除之所得又開方 緝古算經 緝古算經䟦 按唐書選舉志制科之目明算居一其定制云凡算學孫子五曹共限一嵗九章海島共三嵗張邱建夏侯陽各一嵗周髀五經算共一嵗綴術四嵗緝古三嵗記遺三等數皆兼習之竊惟數學為六藝之一唐以取士共十經周髀家塾曾刋行之餘則世有不能舉其名者扆半生求之從太倉王氏得孫子五曹張邱建夏侯陽四種從章邱李氏得周髀緝古二種後從黄俞邰又得九章皆 元豐七年 秘書省刋板字畫端楷雕鏤精工真世之寳也每卷後有秘書省官銜姓名一幅又一幅宰輔大臣自司馬相公而下俱列名於後用見當時鄭重若此因求善書者刻畫影摹不爽毫末什襲而藏之但焉得海島五經綴術三種竟成完璧并得好事者刋刻流布俾數學不絶於世所深願也 康熙甲子仲秋汲古後人毛扆謹識