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欽定四庫全書
律吕成書卷一 元 劉瑾 撰𠉀氣求黄鍾法第一
〈以律吕新書證辨第一第九第十章及彭氏律法第七章參定〉
後漢志曰𠉀氣之法為室三重户閉塗釁必周密
〈長樂陳氏曰三室各有門為門之位外以子中以午内復以子楊子所謂九閉之中也〉布緹縵
〈繒無文也〉室中以木為案每律各一案内庳外髙從其方位加律其上以葭莩灰抑其内端
〈長樂陳氏曰室中上圓下方依辰位埋律管使其端與地齊而以薄紗覆之中秋白露降採葭莩為灰加管端 彭氏曰律管各當其辰斜埋地下入地處庳出地處髙故云内庳外髙黄鍾則埋於子位上頭向南〉按歴而𠉀之氣至者灰去氣所動者灰散人及風所動者灰聚
蔡氏曰律吕散亡其器不可復見然古人所以制作之意則猶可攷也太史公曰細若氣微若聲聖人因神而存之雖妙必効言黄鍾始於聲氣之元也班固所謂黄帝使伶倫取竹斷兩節間吹之以為黄鍾又曰天地之風氣正而十二律定
〈漢前志曰黄帝使伶倫自大夏之西崑崙之隂取竹之解谷生其竅厚均者斷兩節間而吹之以為黄鍾之宫制十二筩以聽鳯之鳴其雄鳴為六雌鳴亦六比黄鍾之宫而皆可以生之是為律本至治之世天地之氣合以生風天地之風氣正十二律定〉劉昭所謂伏羲紀陽氣之初以為律法又曰吹以攷聲列以𠉀氣
〈漢後志曰伏羲作易紀陽氣之初以為律法建日冬至之聲以黄鍾為宫太簇為商姑洗為角林鍾為徵南吕為羽應鍾為變宫蕤賓為變徵此聲氣之元五音之正也又曰截管為律吹以攷聲列以𠉀氣道之本也〉皆以聲之清濁氣之先後求黃鍾者也是古人制作之意也夫律長則聲濁而氣先至極長則不成聲而氣不應律短則聲清而氣後至極短則不成聲而氣不應此其大凡也今欲求聲氣之中而莫適為凖則莫若且多截竹以擬黄鍾之管或極其短或極其長長短之内每差一分而為一管皆即以其長權為九分而度其圍徑如黄鍾之法焉如是而更迭以吹則中聲可得淺深以列則中氣可驗苟聲和氣應則黄鍾之為黄鍾者信矣黄鍾者信則十一律與度量權衡者得矣後世不知出此而唯尺之求
〈又曰隋志載十五等尺一周尺及王莽時劉歆銅斛尺後漢建武銅尺晉荀朂所造晉前尺祖冲之所傳銅尺長短近同按荀朂尺出於汲
之律與劉歆之斛最為近古葢去古未逺古之律度量衡猶在也自董卓之亂而樂律散亾故魏杜夔之律圍徑差小而尺因以長荀朂雖改定新尺然其樂聲髙急不知當時律之圍徑又果何如也後周以玉斗生律玉斗之容受則近古矣然當時以斗制律圍徑不及三分其尺遂長於荀朂尺一寸五分八釐意者後世尺度之差皆由律圍徑之誤也今司馬公所傳此尺者出於王莽之法錢葢丁度所奏髙若訥所定者也後之君子有能驗聲氣之元以求古之律吕者於此當有考而不可忽也二晉田父玉尺及梁法尺實比晉前尺一尺七釐三梁表尺實比晉前尺一尺二分二釐一毫有竒按此即祖暅所筭造銅圭影表者也四漢官尺及晉時始平掘地所得古銅尺實比晉前尺一尺三分七毫五魏杜夔尺實比晉前尺一尺四分七釐六晉後尺江左所用實比晉前尺一尺六分二釐七後魏前尺實比晉前尺一尺二寸七釐八後魏中尺實比晉前尺一尺二寸一分一釐九後魏後尺實比晉前尺一尺二寸八分一釐十東魏尺實比晉前尺一尺五寸八毫十一蔡邕銅龠尺及後周玉尺實比晉前尺一尺一寸五分八釐按銅龠玉斗二者當是古之嘉量後周㨿斗造尺但以容受乘除求之耳然皆惑於三分之徑故其尺律遂長唐之度量權衡與玉斗相符即此尺爾十二宋氏尺及錢樂之渾天儀尺後周鐵尺實比晉前尺一尺六分四釐按隋平陳以後即用此尺即本朝和峴所用影表尺也范蜀公以為即今大府帛尺誤矣十三萬寳常所造律吕水尺實比晉前尺一尺一寸八分六釐十四雜尺及劉暉渾天儀土圭尺實比晉前尺一尺五分十五梁朝俗間尺實比晉前尺一尺七分一釐按前十五等尺其間多無所取証所以存而不削者要見諸代之不同多由於累黍及圍徑之誤也〉晉氏而下則多求之金石梁隋以來又參之秬黍
〈隋志曰晉
泰始十年
中書考古器揆校今杜夔尺長四分半所校古法有七器一曰姑洗玉律二曰小吕玉律三曰西京銅望臬四曰金錯望臬五曰銅斛六曰古錢七曰建武銅尺後魏律歴志公孫崇永平中更造新尺以一黍之長累為寸法劉芳受詔修樂以秬黍中者一黍之廣即為一分而元匡以一黍之廣度黍二縫以取一分三家紛競久不能决大和十九年遂用劉芳典修金石後周武帝保定中詔盧景宣等累黍造尺縱横不定後因修倉掘地得古玉斗據斗造律度量衡〉下至王朴剛果自用専恃累黍而金石亦不復攷矣
〈又曰唐張文收鑄銅斛銘云大唐
貞觀十年
歲次元枵月旅應鍾依新令累黍尺定律校龠成兹嘉量與古玉斗相符故唐樂器雖無法而聲不失於古自王朴以黍定尺以尺生律聲與器始皆失之矣〉夫金石真偽固難盡信若秬黍則嵗有凶豐地有肥瘠種有長短大小圓妥不同尤不可恃况古人謂秬黍中者實其龠則是先得黄鍾而後度之以黍不足則易之以大有餘則易之以小約九十黍之長中容千二百之實以見周徑之廣以生度量權衡之數而已非律生於黍也百世之下欲求百世之前之律者其亦求之於聲氣之元而毋必之於秬黍則得之矣
〈又曰律者陽氣之動陽氣之始必聲和氣應然後可以見天地之心今不此之先而乃區區於黍之縱横古錢之大小其亦難矣然非精於歴數則氣節亦未易正也〉
歐陽穎伯曰候冬至驗諸管之中有氣應灰飛之律者即黄鍾九寸之真數今歲得之則來年又從而驗之以兩冬至相距三百六旬有六日内應者為可凖不必拘於當時太史筭歴所定冬至之時可也
〈彭氏曰欲求黄鍾的實者須依蔡元定說多截竹管以擬黄鍾或短或長每差纎微各為一管悉以此諸管埋地中俟冬至時驗之若諸管之中有氣應者即知此管合於造化自然也葢律之大要莫先𠉀氣故太史論律謂氣始於冬至周而復生神生於無形成於有形然後數形而成聲〉
求黄鍾從長法第二
〈以新書本原第一章定〉
古法黄鍾長九寸今據此冬至氣應之管分作九寸
〈蔡氏曰天地之數始於一終於十其一三五七九為陽九者陽之成也其二四六八十為隂十者隂之成也黄鍾者陽聲之始陽氣之動也故其數九分寸之數具於聲氣之元不可得而見及斷竹為管吹之聲和𠉀之氣應而後數始形焉故約其長得九寸〉寸作十分分作十𨤲𨤲作十毫毫作十絲絲作十忽此乃元氣距地淺深長短自然之度是為黄鍾律管從長之數
〈歐陽穎伯曰一二三四五皆生數也六七八九十皆成數也天九與地十則隂陽成數之極者也以九乘十以十乘九皆為九十此黄鍾之長以九為寸數以十為分數也總而計之為九十分者用隂陽之極也陽之極則隂生焉隂之極則陽生焉是以冬至一陽生於積隂之下而黄鍾之律應則理也氣也數也出於一而不可以異觀矣〉既得從長之數如此於是凖此分釐毫絲之度用九章筭經羃
〈音覔〉積周徑法互相推筭以求黄鍾律管闊狹之的筭法詳具後章
求黄鍾積實面羃法第三
〈以新書本原第一章及彭氏律法第六章參定〉
〈此圎内空者黄鍾管内面羃也互算得九方分〉
古法黄鍾積實八百一十分今據前氣應之管其長九十分之分為凖以度之凡一分管長知空圍中當積九立方分十分管長空圍中當積九十立方分九十分管長則空圍中當積八百一十立方分是為黄鍾之積實也
〈凡論黄鍾管内積分者宜取方分而漢志止言積實八百一十分者省文耳〉既得積實之數如此知管面深一分則空圍中的容九方分無疑是又黄鍾之面羃也
〈羃者覆籩豆巾也有方目可紀故筭管面平方忽絲毫釐分者皆取象於羃〉即蔡氏所謂審其圍得九分
〈蔡氏又曰空圍中廣九分〉積其實得八百一十分者是也
〈面羃九方分者九數也積實八百一十分者九九數也皆陽數也〉既得面羃之數如此乃以平方羃法推之知一分有百𨤲
〈從長一分該十釐故平方面有百釐餘倣此有圖見後〉釐有百毫毫有百絲絲有百忽積而計之一平方分通有面羃一萬萬忽九平方分通有面羃九萬萬忽由是可以起筭黄鍾之圍徑矣苐歴代諸儒議論不一不可不先知也並附其說如左
蔡氏曰按十二律圍徑自先漢以前傳記並無明文惟班志曰黄鍾八百一十分繇此之義起十二律之周徑然其說乃是以律之長自乗而因之以十葢配合為說爾未可以為據也
〈又曰漢志以黃鍾長九寸九九八十一又以十因之為八百一十應歴一統八十一章之數此倚數配合為說而已其云起律之周徑者葢空圍九分長九寸積八百一十分則其周徑可以數起矣〉惟審度章云一黍之廣度之九十分黄鍾之長一為一分嘉量章則以千二百黍實其龠謹權衡章則以千二百黍為十二銖則是累九十黍以為長積千二百黍以為廣可見也夫長九十黍容千二百黍則空圍當有九方分乃是圍十分三釐八毫徑三分四釐六毫也每一分容十三黍又三分黍之一以九十因之則一千二百也又漢斛銘文云律嘉量方尺
〈斛面内平方一尺也〉圓其外
〈循其方外四角而規圓之其徑一尺四寸有竒〉庣
〈音條〉旁九釐五毫
〈庣過也謂圓外四旁略加開廣也〉羃百六十二寸
〈方尺羃百寸圎其外每旁約十五寸四旁共六十寸庣旁約二寸方圎皆在積羃之數〉深尺積一千六百二十寸
〈斛面平方平圎一寸面羃一百六十二寸斛深立方立圎十寸故積一千六百二十寸〉容十斗嘉量之法合龠為合十合為升十升為斗十斗為石一石積一千六百二十寸為分者一百六十二萬
〈斛内立方立圎積分之數也下放此〉一斗積一百六十二寸為分者十六萬二千一升積十六寸二分為分者一萬六千二百一合積一寸六分二釐為分者一千六百二十則黄鍾之龠為八百一十分明矣空圍八百一十分則長累九十黍廣容一千二百黍矣葢十其廣之分以為長十一其長之分以為廣自然之數也自孟康以律之長十之一為圍之謬其後韋昭之徒遂皆有徑三分之說而隋志始著以為定論
〈又曰鄭康成月令注云凡律空圍九分蔡邕銅龠銘亦云空圍九分葢空圍中廣九分也東都之亂樂律散亡邕之時未亂當親見之又曉解律書而於月令章句云徑三分何也孟康韋昭之時漢斛雖在而律不存矣康昭等不通律吕故康注漢志云黄鍾徑三分圍九分林鍾長六寸圍六分太簇長八寸圍八分昭注周語云黄鍾徑三分圍九分皆無足怪者隋氏之失制律管俱徑三分豈康昭等有以啓之歟又曰漢魏而下造律竟不能成而度之長短量之容受權衡之輕重皆戾於古大率皆由徑三分之說誤之也〉然累九十黍徑三分止容黍八百有竒終與一千二百黍之法兩不相通而律竟不成唐因聲制樂雖近於古而律亦非是本朝承襲皆不能覺獨胡安定以為九分者方分也以破徑三分之法然所定之律不本於聲氣之元一取之秬黍故其廣量權衡皆與古不合
〈胡瑗取羊頭山黍用三等篩子篩之取中等者横累一百黍為尺〉又不知變律之法但見仲吕反生不及黄鍾之數乃遷就林鍾以下諸律圍徑以就黄鍾清聲以夷則南吕為徑三分圍九分無射為徑二分八釐圍八分四釐應鍾為徑二分六釐五毫圍七分九釐五毫夫律以空圍之同故其長短之異可以定聲之髙下而其所以為廣狹長短者莫不有自然之數非人之所能為也今其律之空圍不同如此則亦不成律矣遂使十二律之聲皆不當位反不如和峴舊樂之為條理亦可惜也房庻以徑三分周圍九分累黍容受不能相通遂廢一黍為一分之法而増益班志八字以就其說范蜀公乃從而信之過矣
彭氏曰予得蔡氏律吕新書又得九章筭經載祖冲之筭圎徑術極為精宻乃若西山推求聲氣之元欲多截竹管測𠉀實為冠絶古今然布筭又與祖氏未合竊以為依蔡氏之𠉀法加之以祖氏之筭術何黄鍾不可定之有
又曰東漢蔡邕始創為徑三分之說試依所言徑三分以祖冲之宻率乗除止得面羃七分七釐竒乃少一分九十二釐竒
〈平方羃法方一分計百釐也〉積實止得六百三十六分竒乃少一百七十三分竒如此則黄鍾之管無乃大狹謂曰不然請以圖証之凡論黄鍾空圍内羃積分者宜取方分今姑以九方分平置如此□則是九方分縱横信有三分徑矣若以九方分宛轉為圎則須得三分有餘徑方可容之故必如此□使圎徑積闊則圎内始可容九方分不然則止從三分方徑取圎如此□則圎内所容方分少而方分之四角猶有餘分者皆溢出圎外而無所容矣其面羃既差則其積實愈差由此觀之黄鍾徑止三分則面羃無九方分積亦無八百一十分以之造律未為得也晉孟康注漢律歴志曰律孔徑三分參天數也圍九分終天數也韋昭注國語唐魏徵作隋志及後周王朴宋房庻和峴阮逸范鎮等並從此說按此諸儒言徑三分與蔡邕同其說已差至於言圍九分用徑一圍三之法尤誤蓋徑一圍三雖是古率然古人大約以此筭圎田耳若以密率推之徑一則圍三有竒假如徑七則圍當有二十二若依孟氏所言徑三分則圍長當九分四釐二毫八絲强不但止於九分也若依九分圍長之數則徑當止有二分八釐六毫三絲六忽强又不及三分也謂曰不信請以圖証之今且以此○圎形取徑取得圎内徑長如此□又以此○圎長分摺為三如此□三摺之中取一摺以比圎形内徑□或通以三摺比之圎内之徑必短而三摺者必長以此觀之知圍三徑一乃大約之法長短自有差殊圎田或可用此至於律管則空積忽微以之造律未為得也
宋胡瑗不主諸儒徑三圍九之說駁之曰後世儒者執守孤法但制尺求律便為堅証因謂圍九分者取空圍長九分耳以是圍九分之誤遂有徑三分之說若從徑三圍九之說則黄鍾之管止容九百黍積止六百七分半如此則黄鍾之聲無從而正大要空圍中容九方分乃是圍長十分三釐八毫徑三分四釐六毫也按胡氏此言圍徑數雖與諸儒異然亦用徑一圍三之率殊不知此率未密故若依所言三分四釐六毫徑當得圍長十分八釐七毫四絲二忽强不但止於十分三釐八毫也若依十分三釐八毫圍長之數則徑止得三分三釐竒又不及三分四釐六毫也謂曰不信亦當以前圖証之大槩胡氏知諸儒徑三分之短不知自說徑三分四釐六毫者又失於長兼又不知徑七圍二十有二密率止以徑一圍三約率言故所言徑圍分數皆有參差不齊圎田或可用此至於律管則空積忽微以之造律未為得也宋蔡元定說徑圍分數與胡氏同辨己見前蔡氏又曰筭法置八百一十分分作九重每重得九分圎田術三分益一得一十二以開方法除之得三分四釐六毫强為實徑之數不盡二毫八絲四忽今求圎積之數以徑三分四釐六毫自相乗得十一分九釐七毫一絲六忽加以開方不盡之數二毫八絲四忽得一十二分以管長九十分乗之得一千八十分為方積之數四分取三為圎積得八百一十分今姑依其說以九方分平置如此□又以三分益一以三方分割置於九方分之外如此□共積十二方分其縱横可得三分四釐六毫强不盡二毫八絲四忽的如蔡氏說依古率十二方分通計十二億忽開方亦得此數但依此徑以密率相乗則空圍内面羃不但止得九方分乃得九方分零四十釐六十毫五十七絲十四忽竒空圍内積實不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五釐一百四十二絲六百忽竒如此則黄鍾之管無乃太大謂曰不信亦當以圖証之假如設此□為十二方分就此十二方分之中取徑則方内徑如此□乃就方内之徑圎之如此□細考之則方内之圎所占者不止四分三圎外之方所當退者又不及四分一以此知三分益一四分退一乃虛加實退筭家大約之法至於律管則空積忽微以之造律未為得也蓋律之大要莫先𠉀氣以求從長又在善筭以求周徑今具筭法於後
求黄鍾圍長法第四
〈以彭氏律法八章定〉
〈此圎者黄鍾管之周圍也又名圍長互算得十分六釐三毫六絲八忽强〉
算法從長平方立方圖
一分從長十釐當萬忽 平方百釐當萬萬忽約一億忽 立方千釐當萬億忽
一釐從長十毫當千忽 平方百毫當百萬忽 立方千毫當十萬萬忽約十億忽
一毫從長十絲當百忽 平方百絲當萬忽 立方千絲當百萬忽
一絲從長十忽 平方百忽 立方千忽
彭氏曰筭經少廣章開圎唐李氏注依密率八十八乗之七而一開方除之即周此置積求周法也又方田章圎田術李氏注密率以七乗周二十二而一即徑以二十二乗徑七而一即周此置周求徑置徑求周法也此密率本祖氏冲之所作比之古率極為精密今以黄鍾面羃開方求周徑一依此術既得黄鍾面羃九方分該九萬萬忽約之為九億忽依密律筭圎周法置九億忽以八十八乗之得七百九十二億忽乃以七歸之得一百一十三億一千四百二十八萬五千七百一十四忽七分忽之二是為實數以此實數開方求圎周置此實數在地借一筭子歩約至億下約得至萬而止是名下法
〈謂億之面萬以此記方面從長數〉乃於實數之上商置一十萬名上商
〈記方面從長就以此除地上實數〉乃於實數之下下法直上置一十億名方法
□
□
忽
⚊十
丌百
□千
萬 下法丨
上商⚊ □十
百
⚊千
川億
⚊十 方法⚊
實丨百
方法一十億合商一
〈呼一一如一為一百億〉乃命上商除實數一百億猶存實數一十三億一千四百二十八萬五千七百一十四忽七分忽之二第二重開之方法十億倍之得二十億一退得二億下法萬一退得千乃於上商十萬位下續商置六千又於方法之下下法直上置六百萬名廉法
□
□
忽
⚊十
丌百
丄 □千 下法⚊
□
萬
上商⚊ □十
百 㢘法丅
⚊千
川億
實⚊ 十
方法二億合商六得十二億
〈呼二六一十二也〉廉法六百萬亦從上商六得三千六百萬
〈呼六六三十六也〉乃命上商除實數十二億三千六百萬猶存實數七千八百二十八萬五千七百一十四忽七分忽之二第三重開之倍廉法六百萬得一千二百萬并入方法二億内共得二億一千二百萬一退得二千一百二十萬下法千再退百乃命上商六千位下續商置三百又於下法直上置三萬亦名廉法
□
□
□忽
一十
□ 丌百 下法丨
丄 □千
□ □萬 廉法□
上商一 二十 二
□百 丨
實□千 方法□
方法二千一百二十萬合商三得六千
〈呼二三得六也〉三百
〈又呼一三如三也〉六十萬
〈又呼二三如六也〉廉法三萬亦從上商三得九萬
〈呼三三如九也〉乃命上商除實數六千三百六十九萬猶存實數一千四百五十九萬五千七百一十四忽七分忽之二第四重開之倍廉法得六萬并入方法二千一百二十萬内共得二千一百二十六萬一退得二百一十二萬六千下法再退得十乃於上商三百位下續商置六十又於下法之上置六百亦名廉法
□
忽
丄 一十 下法一
□ 丌百 㢘法丅
丨 □千 丄
囗
萬
上商⚊ □十 ⚊
百 方法
實⚊千
方法二百一十二萬六千合商六得一千二百七十五萬六千
〈呼二六一十二又呼一六如六又呼二六一十二又呼六六三十六共得此數〉廉法六百亦從上商六得三千六百
〈呼六六三十六也〉乃命上商除實數一千二百七十五萬九千六百忽猶存實數一百八十三萬六千一百一十四忽七分忽之二第五次開之又倍廉法六百得一千二百併入方法二百一十二萬六千中共得二百一十二萬七千二百一退得二十一萬二千七百二十下法再退得一乃於上商六十位下續商置八又於下法之上置八亦名廉法
□
忽
忽 廉法
下法丨
丄十⚊十 □
□百丨百 丌
丄千丄千 □
囗 □萬
上商一 □十 方法□
實丨百
方法二十一萬二千七百二十合商八得一百七十□萬一千七百六十
〈以八呼上方法而得此數也〉廉法八亦從上商八得六十四
〈呼八八六十四也〉乃命上商除實數一百七十□萬一千八百二十四忽猶存實數一十三萬四千二百九十□忽七分忽之二在地又須第六重開之乃以一忽作萬萬分
〈毎一忽從計一萬分毎一忽平方計一萬萬方〉約之為一億分則在地不盡實數共積得一十三萬四千二百九十□億二千八百五十七萬一千四百二十六分竒
〈以一忽作一億分筭故通前七分忽之二以七歸之共得此數〉前開方已得毎一面從計一十□萬六千三百六十八忽乃倍前廉法八得一十六忽并入前方法内共得二十一萬二千七百三十六忽以億法通之
〈前所餘實數既以一忽作一億分筭故此方法忽數亦以億法通之〉計得二十一萬二千七百三十六億分一退得二萬一千二百七十三億六十萬分前下法一升為萬再退得千前上商十□萬六千三百六十八升為十□億六千三百六十八萬乃於前上商八忽位下續商置六千又於下法之上置六百萬亦名廉法
丅分
□十
百
丄 ⚊ 千 下法⚊
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丄 □十
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百 廉法丅
丄 □千 丄
□ 億 川
上商⚊ □十 □
百
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川萬 方法
實⚊十
方法二萬一千二百七十三億六千萬分合商六得一十二萬七千六百四十一億六千萬分
〈以六呼上文方法而得此數也〉廉法六百萬分亦從上商六得三千六百萬分
〈呼六六三十六也〉乃命上商除實數一十二萬七千六百四十一億九千六百萬分猶存實數六千六百四十八億三千二百五十七萬一千四百二十六分第七重開之倍廉法六百萬得一千二百萬并入前方法内共得二萬一千二百七十三億七千二百萬一退得二千一百二十七億三千七百二十萬下法再退得百乃於上商六千位下續商置三百分又於下法之上置三萬亦名廉法
丅分
□十
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百 下法丨
丄 一 千
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丄 □十
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丄 ☰千 ☰
□
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上商⚊ □十 □
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實丄千 方法□
方法二千一百二十七億三千七百二十萬合商三得六千三百八十二億一千一百六十萬分
〈以三呼上文方法而得此數也〉廉法三萬亦從上商三得九萬分
〈呼三三如九也〉乃命上商除實數六千三百八十二億一千一百六十九萬分猶存實數二百六十六億二千 八十八萬一千四百二十六分第八重開之倍廉法三萬得六萬併入前方法内共得二千一百二十七億三千七百二十六萬一退得二百一十二億七千三百七十二萬六千下法再退得十乃於上商三百分下續商置一十分又於下法之上置一百分亦名廉法
丄分
⚊ □十 下法⚊
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百 廉法丨
丄 ⚊千 丄
萬
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川 百 川
丄 □千 □
□ 丅億
上商一 丄十 ⚊
實
百 方法
方法二百一十二億七千三百七十二萬六千分廉法一百分皆以上商一命之共計除實數二百一十二億七千三百七十二萬六千一百分猶存實數五十三億四千七百一十五萬五千三百二十六分第九重開之倍廉法一百得二百并入前方法内共得二百一十二億七千三百七十二萬六千二百一退得二十一億二千七百三十七萬二千六百二十下法再退得一乃於上商一十位下續商置二又於下
法之上置二名隅法
丅分 隅法
下法丨
⚊ □十 □
川 川百 丅
丄 □千 □
萬 丌
丄 ⚊十 ☰
□ □百 □
□ □千 □
□ □億 丨
上商一 實□十 方法二十
方法二十一億二千七百三十七萬二千六百二十分合商二得四十二億五千四百七十四萬五千二百四十分
〈以二呼上文方法而得此數也〉隅法二亦從上商二得四分
〈呼二二如四也〉乃命上商除實數四十二億五千四百七十四萬五千二百四十四分猶存實數一十 億九千二百四十一萬 八十二分計一十忽竒開不盡棄之
已上黄鍾靣冪九方分該九億忽開方得一十萬六千三百六十八忽萬分忽之六千三百一十二分即圎周數以一萬忽為從分法除之得一十分不盡六千三百六十八忽萬分忽之六千三百一十二分以一千忽為從釐法除之得六釐不盡三百六十八忽萬分忽之六千三百一十二分以一百忽為從毫法除之得三毫不盡六十八忽萬分忽之六千三百一十二分以一十忽為從絲法除之得六絲餘八忽萬分忽之六千三百一十二分黄鍾律圎周的計一十分六釐三毫六絲八忽萬分忽之六千三百一十二分
求黄鍾徑長法第五
〈以彭氏律法八章定〉
〈圎内直者黄鍾管内徑長也互算得三分三釐八毫四絲四忽强〉
彭氏曰置前黄鍾圎周數一十□萬六千三百六十八忽萬分忽之六千三百一十二分在地今具數如左
□分
□十
□百
丄千
□忽
丄十
□百
丄千
□萬
一十
據前在地之數依算經密率置周求徑法以七乗之
〈其以七相乗布筭之法㳺移増减筭位無常今不可以具圖曉筭法者當自知之後不具圖者倣此〉得七十四萬四千五百八十忽萬分忽之四千一百八十四分今具所得之數如左
□分
十
□百
□千
□忽
☰十
□百
□千
□萬
□十
乃據上文以七乗之所得之數却以二十二而一除之
〈即筭法二歸二除也葢於二十二分中取其一分以為徑長之數〉得三萬三千八百四十四忽不盡一十二忽萬分忽之四千一百八十四分今具所得之數及不盡之數如左
分
〈此上一層三萬三千八百四十四忽者即以二歸二〉□十
〈除所得全忽之數也下一層一十二忽四千一百八〉丨百
〈十四分者乃不盡之餘數不可歸除作全忽之數又〉□千
〈須别歸除之作忽外零數詳見下文〉
忽
忽
□十 □十
百
☰千
□萬
通分内子
〈即以前不盡之數通而計之也〉得一十二萬四千一百八十四分以二十二而一除之得五千六百四十四分餘二十二分分之一十六
〈餘分少六數於筭法二十二分之數不足故不能滿一分止當得七釐有竒〉今以餘分姑作一分通計五千六百四十五分今具圖說如左
丅分
〈此上一層五千六百四十四者即以二歸二除已前〉⚊十
〈不盡之數而得此忽外全分之數也下一層一十六〉
分
〈分者又歸除分外不盡之餘數不可歸除作全分之〉
□十
〈數者也若歸除之止得七釐强不滿一分然此數所〉
丅百
〈少者微塵耳筭法不容不然今故舉成數言姑作五〉
□千
〈千六百四十五分計之〉
乃合前後歸除所得全忽全分之數通計之共得三萬三千八百四十四忽萬分忽之五千六百四十五分乃黄鍾管徑長之數也其圖如左
分
□十
丅百
□千
忽
□十
百
☰千
川萬
已上以七乗黄鍾圎周之數以二十二除之得三萬三千八百四十四忽萬分忽之五千六百四十五分如上文所具即圎徑數也乃以一萬忽為從分法除之得三分不盡三千八百四十四忽萬分忽之五千六百四十五分以一千忽為從釐法除之得三釐不盡八百四十四忽萬分忽之五千六百四十五分以一百忽為從毫法除之得八毫不盡四十四忽萬分忽之五千六百四十五分以一十忽為從絲法除之得四絲餘四忽萬分忽之五千六百四十五分黄鍾律圎徑的計三分三釐八毫四絲四忽萬分忽之五千六百四十五分
復以半周半徑求黄鍾羃積元數法第六
〈以彭氏律法八章定〉
彭氏曰既得黄鍾周徑數乃以半周半徑求面羃九方分其法置所得圎周數一十□萬六千三百六十八忽萬分忽之六千三百一十二分半之得五萬三千一百八十四忽萬分忽之三千一百五十六分通分内子計五億三千一百八十四萬三千一百五十六分各具圖如左
圎周數 半周數 半周通分内子數
分 丅分 丅分
⚊十 □十 □十
□百 丨百 丨百
丄千 ☰千 ☰千
忽
忽
萬
丄十 ☰十 ☰十
川百 丨百 丨百
丄千 ☰千 ☰千
萬
萬 □億
⚊十
另置所得圎徑數三萬三千八百四十四忽萬分忽之五千六百四十五分半之得一萬六千九百二十二忽萬分忽之二千八百二十二分半通分内子計一億六千九百二十二萬二千八百二十二分半各具圖如左
圎徑數 半徑數 半徑通分内子數
半
半
分 □分 □分
□十
十 □十
丅百 □百 □百
□千 □千 □千
□忽 □忽 □萬
□十 □十 □十
百
百
百
☰千 丄千 丄千
川萬 丨萬 丨億
乃置所得半徑内子分數列於上一位另置所得半周内子分數列於下一位乗之得八億九千九百九十九萬九千九百九十九億八千五百六十二萬七千八百一十分各具圖如左
半徑
〈置半徑内〉半周
〈置半周内〉乗所得此數
〈下一位與子分數於 子分數於 上數此上一位 此下一位 相乗〉
□分
□十
百
□千
□萬
□十
□百
□半 ☰千
分 □分
億
□十 □十 □十
百 丨百
百
□千 ☰千 □千
萬
萬
萬
□十 ☰十 □十
百 丨百
百
丄千 ☰千 □千
丨億
億
億
已上半周半徑相乗所得數即面羃數乃以億分當一忽為法除之得八億九千九百九十九萬九千九百九十九忽億分忽之八千五百六十二萬七千八百一十分此介乎有形無形之間雖微塵不足以喻之筭法不容不然故云一忽弱
〈蓋前以面羃九億忽開方求圎周有不盡之數故此面羃元數九億忽内有此一弱忽〉具圖如左
□分
一十
□百
□千
萬
丄十
百
☰千
忽
□十
百
□千
萬
□十
百
□千
億
通前一忽弱姑以成數計之通作一忽筭加入所少之數一千四百三十七萬二千一百九十分在前數内凑得面羃元法九億平方忽乃以百忽當一絲為法除之得九百萬平方絲既得九百萬絲又以百絲當一毫為法除之得九萬平方毫既得九萬毫又當以百毫當一釐為法除之得九百平方釐既得九百釐又以百釐為一分除之得九平方分是為黄鍾面羃元數既得面羃九平方分乃以九十分管長乗之一分管長面羃容九平方分則十分管長當積九十立方分九十分管長當積八百一十立方分是為黄鍾積實元數
復以羃積求黄鍾從長元數法第七
彭氏曰既得黄鍾元積八百一十立方分知空圍内積九立方分則其管當深長一分空圍内積九十立方分則其管當深長九分空圍内積八百一十立方分則其管當深長九十分是為黄鍾從長元數則黄鍾筭法至此而成矣合而論之的計從長九十分為九寸積實八百一十分面羃九方分圎周十分六釐三毫六絲八忽萬分忽之六千三百一十二分圓徑三分三釐八毫四絲四忽萬分忽之五千六百四十五分蓋以從長羃積周徑五法參較推算而各得其數如此皆出於自然無不符合則算法於此而成而黄鍾之所以為黄鍾者信矣於是可以造律矣
造黄鍾律管法第八
〈以彭氏律法六章及新書本原第二章參定〉
如上章算法既成之後或以竹或以銅别為黄鍾之管依前冬至氣應管長如前分作九十分乃取其分為凖計三分三釐八毫四絲四忽萬分忽之五千六百四十五以合孔徑乃取子糓秬黍
〈漢書師古注曰子糓猶言糓子秬即黒黍也〉或大者或中者或小者各以一黍凖一分累九十黍以審其管之長而實千二百黍於中以審其管之廣必其所累之黍與其所實之黍大小一同而所累之數與所實之數各無餘欠則與古人造律之法無不合矣如此則圍長面羃與夫空圍内積實自然無不諧㑹特徑數自八毫以下非可細分而算法不容不然故其製造之際非有上工如離婁之明公輸之巧師曠之聰弗能為已製造黄鍾既成其從長羃積周徑皆如前法則黄鍾之體由是立矣度量權衡可於此而受法十一律可於此而相生又所以為黄鍾之妙用也今先具度量權衡之法于下又可以交相審驗黄鍾律管之長闊焉
審度第九
〈以新書本原第十一章定〉
度者分寸尺丈引所以度長短也生於黄鍾之長以前黄鍾管長所累秬黍九十枚度之一黍為一分
〈凡黍實於管中則十三黍三分黍之一而滿一分積九十分長則容千有二百黍矣其長與廣必相符也〉十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引數始於一終於十者天地之全數也律未成之前有是數而未見律成而後數始得以形焉度之成在律之後度之數在律之前故律之長短圍徑以度之寸分之數而定焉
嘉量第十
〈以新書本原第十二章定〉
量者龠合升斗斛所以量多少也生於黄鍾之容以其管内所容秬黍一千二百實其龠以井水凖其槩
〈孟康曰井水清清則平也〉以度數審其容
〈一龠積八百一十分〉合龠為合
〈兩龠也積一千六百二十分〉十合為升
〈二十龠也積一萬六千二百分〉十升為斗
〈百合二百龠也積十六萬二千分〉十斗為斛
〈二千龠千合百升也積一百六十二萬分〉
謹權衡第十一
〈以新書本原第十三章定〉
權衡者銖兩斤鈞石所以權輕重也生於黄鍾之重以其管内所容秬黍一千二百實其龠百黍一銖一龠十二銖二十四銖為一兩
〈兩龠也〉十六兩為斤
〈三十二龠三百八十四銖也〉三十斤為鈞
〈九百六十龠一萬一千五百二十銖四百八十兩也〉四鈞為石
〈三千八百四十龠四萬六千八十銖一萬九千二百兩也〉
胡安定曰黄鍾管長九十黍之廣積九寸度之所由起也容千二百黍積八百一十分量之所由起也重十有二銖權衡之所由起也既度量權衡皆出於黄鍾之龠則黄鍾之龠圍徑容受可取四者之法交相酧驗使不失其實也
〈歐陽永叔曰聲無形而樂有器古之作樂者知器之必有弊而聲不可以言傳懼夫器失而聲遂亾也乃多為法以識之故求聲者以律而識律者以黍自一黍之廣積而為分寸一黍之多積而為龠合一黍之重積而為銖兩使皆起於黄鍾然後律度量權衡相用為表裏使得律者可以制度量衡而度量衡亦可以制律用其長短多少輕重以相參考四者既同而聲必至聲至而樂可作 蔡九峯曰黄鍾之長九寸以之審度而度長短則九十分黄鍾之長一為一分以之審量而量多少則其管容子榖秬黍中者一千二百以為龠而兩龠為合以之平衡而權輕重則所容千二百黍其重十二銖兩龠則二十四銖為兩此黄鍾所以為萬事根本也〉
黄鍾律寸九分十分法第十二
〈以新書本原第二章及彭氏律法第八章參定〉
律寸九分十分圖
如上章度量權衡之法皆生扵黄鍾之管則黄鍾之管圍徑容受可以參校審驗而無差矣乃取所造黄鍾之管分為九寸寸作九分分作九釐釐作九毫毫作九絲𢇁作九忽以為十一律相生之法
〈凢律吕相生寸分釐毫絲忽之法並以九為度〉其分數以下雖别以九紀數然只是此律也故蔡氏曰徑圍之分以十為法者天地之全數也相生之分釐毫絲以九為法者因三分損益而立也全數者即十而取九相生者約十而為九即十而取九者體之所以立約十而為九者用之所以行
〈蓋地之數極於十十者隂數也造化之體所以立也天之數極扵九九者陽數也造化之用所以行也〉體者所以定中聲用者所以生十一律也
彭氏曰諸家言黄鍾周徑數各有差互而黄鍾管又有九分寸有十分寸九分寸則通一管為八十一分十分寸則通一管為九十分管與寸雖無異而分則有闊狭不同不知先儒論黄鍾周徑分數者指言何分故今先以十分之分算出黄鍾周徑的數既如前章所載矣因復用八十一分之分度之得圓周九分五釐一毫五絲四忽强徑長三分□□五毫一絲四忽强亦不止如先儒所言徑三分圍九分也
黄鍾律本三歴十二辰法第十三
〈以新書本原第二章證辨第三章參定〉
子 一 黄鍾之律
辰起於子數起於一子之一為黄鍾之律者乃聲氣之元而具十二辰之全體者也故置一而以三歴十二辰則各得黄鍾之一體以為分寸釐毫絲之法與數也至亥而得十七萬七千一百四十七是為黄鍾之實凡分寸釐毫絲之法與數皆以此數乗除而得之詳具下文
丑 三
〈三其子之一也〉黄鍾絲法
其法以三為一絲以此絲法三歸黄鍾十七萬七千一百四十七之數則得五萬九千□□四十九為絲數
〈其絲法與絲數自然相符餘倣此〉
寅 九
〈三其丑之三也〉黄鍾寸數
其寸數共九以黄鍾十七萬七千一百四十七之數九歸之則得一萬九千六百八十三為寸法
〈其寸數又與寸法自相符餘倣此〉
卯 二十七
〈三其寅之九也〉黄鍾毫法
其法以二十七為一毫以此毫法歸除黄鍾十七萬七千一百四十七之數則得六千五百六十一為毫數
辰 八十一
〈三其卯之二十七也〉黄鍾分數
其分數共八十一以黄鍾十七萬七千一百四十七之數歸除之則得二千一百八十七為分法
已 二百四十三
〈三其辰之八十一也〉黄鍾釐法
其法以二百四十三為一釐以此釐法歸除黄鍾十七萬七千一百四十七之數則得七百二十九為釐數
午 七百二十九
〈三其已之二百四十三也〉黄鍾釐數
其釐數共七百二十九以黄鍾十七萬七千一百四十七之數歸除之則得二百四十三為釐法
未 二千一百八十七
〈三其午之七百二十九也〉黄鍾分法其法以二千一百八十七為一分以此分法歸除黄鍾十七萬七千一百四十七之數則得八十一為分數
申 六千五百六十一
〈三其未之二千一百八十七也〉黄鍾毫數其毫數共六千五百六十一以黄鍾十七萬七千一百四十七之數歸除之則得二十七為毫法
酉 一萬九千六百八十三
〈三其申之六千五百六十一也〉黄鍾寸法其法以一萬九千六百八十三為一寸以此寸法除黄鍾十七萬七千一百四十七之數則得九為寸數
戌 五萬九千□□四十九
〈三其酉之一萬九千六百八十三也〉黄鍾絲數其絲數共五萬九千□□四十九以黄鍾十七萬七千一百四十七之數歸除之則得三為絲法
亥 十七萬七千一百四十七
〈三其戌之五萬九千四十九也〉黄鍾之實置子之一而以三歴十二辰至亥而得此數是為黄鍾之實所以統體十二辰之全數蓋與子之一相為首尾故凡黄鍾寸分釐毫絲之法與數皆以此數乗除而得之若由此數而三分損益之又所以逓生十一律也詳見下章
蔡氏曰黄鍾九寸以三分為損益故以三歴十二辰得一十七萬七千一百四十七為黄鍾之實其十二辰所得之數在子寅辰午申戌六陽辰為黄鍾寸分釐毫絲之數在亥酉未己卯丑六陰辰為黄鍾寸分釐毫絲之法其寸分釐毫絲之法皆用九數故九絲為毫九毫為釐九釐為分九分為寸九寸為黄鍾由是三分損益以生十一律焉
又曰按淮南子謂置一而十一三之積十七萬七千一百四十七為黄鍾大數即律書所謂置一而九三之以為寸法者其術一也
〈彭氏曰史記律書曰置一而九三之以為法實如法得長一寸凡得九寸命曰黄鍾之律按漢志太極元氣函三為一三者天地人也一即天也二則兼天與地三則參天地與人故元氣之動始于子一而即巳具三三之于丑得三三之于寅得九三之于卯得二十七三之于辰得八十一三之于巳得二百四十三三之于午得七百二十九三之于未得二千一百八十七三之于中得六千五百六十一三之于酉得一萬九千六百八十三三之于戌得五萬九千四十九三之于亥得十七萬七千一百四十七此元氣運行于十二辰用三施化其自然之數有如此也黄鍾居子位其忽數亦始于一凡十一次三之得十七萬七千一百四十七忽與亥數合此即是黄鍾一律從長忽數所謂實也既得實數乃置一忽之數凡九次三之得萬九千六百八十三忽與酉數合以此求黄鍾從長寸數此即所謂置一而九三之以為法也以法除實每萬九千六百八十三得一寸凡九次除之而實數盡適得九寸此即所謂實如法得長一寸凡得九寸命曰黄鍾之律也〉夫置一而九三之既為寸法則七三之為分法五三之為釐法三三之為毫法一三之為絲法從可知矣律書獨舉寸法者蓋已於生鍾分内黙具律寸分釐毫絲之法而又於此律數之下指其大者以明凡例也一三之而得三三三之而得二十七五三之而得二百四十三七三之而得二千一百八十七九三之而得一萬九千六百八十三故一萬九千六百八十三以九分之則為二千一百八十七二千一百八十七以九分之則為二百四十三二百四十三以九分之則為二十七二十七以九分之則為三三者絲法也九其三得二十七則毫法也九其二十七得二百四十三則釐法也九其二百四十三得二千一百八十七則分法也九其二千一百八十七得一萬九千六百八十三則寸法也一寸九分一分九釐一釐九毫一毫九絲以之生十一律以之生五聲二變上下乗除參同契合無所不通蓋數之自然也顧自淮南太史公之後即無識其意者如京房之六十律雖亦用此十七萬七千一百四十七之數然乃謂不盈寸者十之所得為分又不盈分者十之所得為小分以其餘為强弱不知黄鍾九寸以三損益數不出九苟不盈分者十之則其竒零無時而能盡雖泛以强弱該之而卒無以見强弱之為幾何則其數之精微固有不可得而紀者矣至於杜佑胡瑗范蜀公等則又不復知有此數而以意强為之法故通典則自南吕而下各自為法固不可以見分釐毫絲之實故范則止用八百一十分乃是以積實生量之數為律之長而其因乗之法亦用十數故其餘算亦皆棄而不録蓋非有意於棄之實其重分累析至於無數之可紀故有所不得而録耳夫自絲以下雖非目力之所能分然既有其數而或一算之差則法於此而遂變不以約十為九之法分之則有終不可得而齊者故淮南太史公之書其論此也已詳特房等有不察耳
〈司馬禎史記索隠注黄鍾八寸十分一云律九九八十一故云八寸十分一漢書云長九寸者九分之寸也此則古人論律以九分為寸之明驗也〉
<經部,樂類,律呂成書>