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欽定四庫全書
御製厯象考成上編卷七
交食厯理二
〈専論月食〉
太隂食根
月食分秒
月食五限時刻
見食先後
定月食方位
繪月食圖
太陰食限
食限者推太陰交周度距交若干為入食限之始也太陰半徑與地影半徑相切即入食之限故以兩半徑相併之數當黄白兩道之距緯度而求其相當之經度得距交一十一度一十六分四十五秒為必食之限距交一十二度一十六分五十五秒為可食之限盖必食者無不食可食者或食或不食也二者皆實望之限若論平望其限尤寛得距交一十四度五十四分即為有食之限矣解之如左
地影半徑最小者四十二
分三十八秒太陰半徑最
小者一十五分五十三秒
三十微相併得五十八分
三十一秒三十微黄白距
緯度在此數以内者月必
食以此數當距緯求其經
度則用黄白大距四度五
十八分三十秒之正切與
半徑為比例即得一十一
度一十六分四十五秒為
必食之限如圖甲乙為黄
道甲丙為白道甲為二道
之交乙為地影心丙為月
心兩周相切於丁乙丁丙
為兩半徑之共數若距度
在此數以内則月周侵入
地影内而見食故用甲乙
丙正弧三角形求甲丙交
周度距交若干此形有丙
直角有甲角黄白大距度
四度五十八分三十秒有
乙丙兩半徑相併五十八
分三十一秒三十微今以
甲角正切與半徑之比同
於乙丙距緯正切與甲丙
經度正
之比而得一十
一度一十六分四十五秒
為甲丙距交之度也
地影半徑最大者四十六
分四十八秒太陰半徑最
大者一十六分五十一秒
相併得一度零三分三十
九秒黄白距緯度在此數
以内者月可食以此數當
距緯按前法求經度得一
十二度一十六分五十五
秒為可食之限其或不食
者何也盖必兩半徑俱最
大而後得食若有一半徑
畧小即兩周不得相切而
不食矣平望之限又寛於
實望之限而為一十四度
五十四分何也盖太陽最
大之均數二度零三分一
十一秒太陰最大之均數
四度五十八分二十七秒
相併得七度零一分三十
八秒為兩實行相距最逺
之度如圖甲為地心乙為
黄道上平望之點日之實
行正對之度在丙乙丙弧
為二度零三分一十一秒
月之實行度在丁丁乙弧
為四度五十八分二十七
秒兩實行相併得丁丙弧
七度零一分三十八秒為
日實行正對之點與月實
行相距之度迨月實行逐
及於日實行正對之丙則
曰正對之點又行三十一
分餘至戊月更行至戊則
日正對之點又行二分餘
至己月必又行至己方為
實望共計乙己弧得二度
三十七分有餘為實望距
平望之數以此數與實望
之限相加得一十四度五
十四分乃為平望之食限
也
月食分秒
月食分數之淺深視黄白距緯之多少距緯愈少太陰心與地影心相去愈近則太陰入影愈深故用太陰半徑地影半徑相併而與距緯相較併徑大於距緯之較即為月食之分若併徑小於距緯則月不食若太陰恰當交點而無距緯則併徑全為食分為月食之最深也但太陰與地影之半徑分秒皆係弧度而論食分則以太陰全徑直線計之其法命太陰全徑為十分以太陰視徑分秒與併徑距緯之較之比
〈無距緯者即以併徑為比〉同於太陰全徑與食分之比也
如圖甲乙為黄道丙乙為
白道乙為二道之交丙甲
丁戊己庚皆為黄白距度
辛甲壬戊癸庚子乙皆為
地影半徑丙丑丁寅己卯
乙辰皆為太陰半徑如太
陰心在丙地影心在甲丙
丑辛甲兩半徑相併小於
丙甲距緯則太陰不入於
影故不食也如太陰心在
丁地影心在戊丁寅壬戊
兩半徑相併大於丁戊距
緯其較為壬寅即太陰入
影之分也又如太陰心在
己地影心在庚己卯癸庚
兩半徑相併大於巳庚距
緯其較為癸夘與太陰全
徑相等即太陰入影之分
此為月食十分盖月體全
入影中纔食既而即生光
也又太陰恰當交點全無
距緯太陰心地影心相㑹
於乙即以子乙乙辰兩半
徑相併為太陰入影之分
月食遇此其食分為最深
也設太陰在最髙其視半
徑一十五分五十三秒三
十微地影半徑四十三分
一十三秒相併得五十九
分零六秒三十微乃以太
陰視徑三十一分四十七
秒為一率併徑五十九分
零六秒三十微為二率太
陰全徑十分為三率得四
率一十八分三十七秒為
月食之最大分也
月食五限時刻
月食五限一曰食甚乃月入影最深之限也一曰初虧月将入影兩周初切也一曰食既月全入影其光盡掩也是二者在食甚前一曰生光月将出影其光初吐也一曰復圓月全出影兩周方離也是二者在食甚後月食十分以上者有五限十分以下者止三限無食既與生光也其時刻之多寡則由於入影之淺深過影之遲速盖距緯有寛狹寛則入影淺而時刻少狹則入影深而時刻多又月與影之半徑各有小大月大影小則過影速而時刻少月小影大則過影遲而時刻多抑且自行有遲疾遲則出影遲疾則出影速故雖距緯同半徑同而自行不同即時刻亦不同也其食甚前後各限相距之時刻恒等而食甚又非實望之時所差雖微而理則實異夫地影之心即太陽正對之點地影心距交之黄道經度與月心距交之白道經度等是為東西同經即為實望然月心與影心斜距猶逺惟従白極出弧線過影心至白道與白道成直角月心臨此直角之點乃為食甚盖惟此時月心與影心相距甚近食分最深也
如圖甲乙為黄道甲丙為
白道甲為交點丙為實望
之度丁戊己庚為地影乙
為影心甲乙與甲丙等辛
壬癸子丑為五限月心所
在辛為初𧇾戊為初𧇾之
點壬為食既丁為食既之
點癸為食甚癸乙為食甚
距緯較丙乙為近此線引
長必過白極故與白道成
直角子為生光庚為生光
之點丑為復圓己為復圓
之點癸丙為食甚距實望
之弧辛癸為初𧇾距食甚
之弧與復圓距食甚之癸
丑弧等壬癸為食既距食
甚之弧與生光距食甚之
癸子弧等故求得食甚前
兩限距食甚之時刻以減
食甚時刻得食甚前兩限
之時刻以加食甚時刻得
食甚後兩限之時刻也若
以丙為食甚則丙乙之距
大於癸乙必非入影最深
之處而前後各限之距俱
不相等矣
推食甚時刻求癸丙弧法
用乙甲癸正弧三角形此
形有癸直角有甲角有甲
乙黄道度與甲丙交周度
等求得甲癸以甲癸與甲
丙相減得癸丙乃用變時
法以一時之月實行與一
時之比同於癸丙度分與
食分之比即得時之若干
分秒而行癸丙弧為食甚
距實望之時分加減實望
時刻即得食甚之時刻矣
推初𧇾復圓時刻用辛乙
癸正弧三角形此形有癸
直角有癸乙弧有辛戊月
半徑與戊乙影半徑相加
之辛乙弧求得辛癸為初
𧇾距食甚之弧亦用一時
之月實行比例得時分以
減食甚時刻得初𧇾時刻
以加食甚時刻得復圓時
刻也
推食既生光時刻用壬乙
癸正弧三角形此形有癸
直角有癸乙弧有丁壬月
半徑與丁乙影半徑相減
之壬乙弧求得壬癸為食
既距食甚之弧亦用一時之
月實行比例得時分以減食
甚時刻得食既時刻以加食
甚時刻得生光時刻也
見食先後
月食深淺分數天下皆同而𧇾復各限時刻不同者非月入影有先後乃人居地面有東西也盖日之所之為時隨人所居各以見日出入為東西日中為南為子午而平分時刻故其地同居一子午線者雖南北懸殊
〈北極出地髙下不同〉而時刻不異若東西易地雖北極同髙而西方見食必先東方見食必後也凡東西差一度則時差四分今以京師為主視各省之子午線在京師東者以時差加在京師西者以時差減皆加減京師各限時刻為各省各限時刻也是故欲定各省之時刻必先定各省之子午線而欲定各省之子午線非分測各省之月食其道無由也
定月食方位
厯來厯書定月食初𧇾復圓方位距緯在黄道北初𧇾東南復圓西南在黄道南初𧇾東北復圓西北食八分以上則初𧇾正東復圓正西此東西南北主黄道之經緯言非謂地平經度之東西南北也惟月實行之度在初宫六宫初度望時又為子正則黄道經緯之東西南北與地平經度合否則黄道升降有斜正而加時距午有逺近故兩經緯迥然各别而所推之東西南北必不與地平之方位相符不如實指其在月體之上下左右為衆目所共覩乃為親切也其法従天頂作髙弧過月心至地平即分月體為左右兩半周乂平分為上下兩象限即成左上左下右上右下四象限而黄道在地平上之半周亦平分為東西兩象限乃於初𧇾復圓二限各求其黄道交髙弧之角若月當黄道無距緯而交角滿九十度則初𧇾正左復圓正右在黄道西象限而交角在四十五度以上初𧇾左稍偏上復圓右稍偏下交角在四十五度以下初𧇾上稍偏左復圓下稍偏右在黄道東象限者反是若月在交前後有距緯則又須求得緯差角與髙弧交角相加減為定交角然後可定其上下左右也加減之法月距黄道北而在西象限初𧇾為加復圓為減在東象限初𧇾為減復圓為加月距黄道南者反是乃視定交角為相加者在九十度以内則𧇾復之上下左右如前論若過九十度為鈍角則易象限之上下又或定交角為相減者而交角内減去差角則𧇾復之上下左右如前論若差角内減去交角則易象限之左右也
求黄道髙弧交角如圖甲
乙丙為子午規甲為天頂
乙丙為地平甲丁戊為髙
弧己庚辛為黄道壬庚癸
為赤道庚為春分子為北
極子丑丁為過極經圏丁
庚為月距春分黄道度丑
庚為月距春分赤道度
〈度〉壬丑為月距正午赤道
〈即食
甚時太陽距子正赤道度〉壬庚為春分
距正午赤道度月實行度
在丁求黄道與髙弧相交
之丁角先用庚辛癸斜弧
三角形求黄道交地平之
辛角此形有庚角為春分
角有癸角為赤道髙減半
周之餘有庚癸春分距地
平弧為春分距正午之餘
求得辛角為黄道交地平
之角并求得庚辛弧為黄
道距地平之邊乃以丁庚
月距春分度與庚辛弧相
加得丁辛弧因用丁辛戊
正弧三角形求丁角此形
有丁辛弧有辛角有戊直
角即求得丁角為黄道與
髙弧相交之角也
緯差角者初𧇾復圓時月
與地影兩心相距之線與
黄道相交之角也如圖甲
乙丙為黄道丁戊巳為白
道乙為地影心庚戊辛皆
為月心乙戊為距緯即食
其時兩心相距之數乙庚
為併徑即初𧇾時兩心相
距之數壬庚為距緯乙辛
亦併徑為復圓時兩心相
距之數癸辛為距緯如月
適當黄道無距緯則初𧇾
復圓時兩心相距之線與
甲乙丙黄道相合而無差
角矣因有緯度故乙庚兩
心相距之線與甲乙丙黄
道相離即成甲乙庚角乙
戊之距愈寛其差角愈大
也法以乙庚併徑之正
與
初𧇾距緯壬庚之正
為比
同於半徑一千萬與乙角之
正
為比即初𧇾之緯差角
也又以乙辛併徑之正
與
復圓距緯癸辛之正
為比
同於半徑一千萬與乙角之
正
為比即復圓之緯差角
也月正當交點無距緯
則無緯差角如圖甲乙丙為
黄道一象限庚為初𧇾月心
辛為復圓月心如在黄道西
象限則黄道左昂右低而甲
乙丑或丙乙卯交角在四十
五度以上故初𧇾子點在月
體之左稍偏上復圓寅點在
月體之右稍
偏下也
〈如交角在四十五度以下則初𧇾為
上稍偏左復圓為下稍偏右〉若在黄道
東象限則黄道左低右昂而
甲乙卯或丙乙丑交角在四
十五度以下故初𧇾子點在
月體之下稍偏左復圓寅點
在月體之上稍偏右也如月
距黄道
〈如交角在四十五度以上則初𧇾為
左稍偏下復圓為右稍偏上〉
之南而在黄道東象限如圖
甲乙卯或丙乙丑為黄道交
髙弧之角庚乙甲為初𧇾緯
差角辛乙丙為復圓緯差角
因月距黄道之南初𧇾時宜
以庚乙甲緯差角與甲乙卯
交角相加得卯乙庚為定交
角在四十五度以上如交角
在四十五度以下則初𧇾為
故初𧇾子點在月體之左
稍偏下復圓時須以辛乙
丙緯差角與丙乙丑交角
相減餘丑乙辛為定交角
在四十五度以下故復圓
寅點在月體之上稍偏右
也若在黄道西象限則初
𧇾之緯差角為減復圓之
緯差角為加與此相反
如月距黄道之北而在黄
道東象限如圖甲乙卯或
丙乙丑為黄道交髙弧之
角庚乙甲為初𧇾緯差角
辛乙丙為復圓緯差角因
月距黄道之北初𧇾時宜
以庚乙甲緯差角與甲乙
卯交角相減餘卯乙庚為
定交角在四十五度以下
故初𧇾子點在月體之下
稍偏左復圓時須以辛乙
内緯差角與内乙丑交角
相加得丑乙辛為定交角
在四十五度以上故復圓
寅點在月體之右稍偏上
也若在黄道西象限則初
𧇾之緯差角為加復圓之
緯差角為減與此相反
繪月食圖
凡繪月食圖先作横豎二線直角相交横線當黄道豎線當黄道經圈用地影半徑為度於中心作圜以象闇虚又以月半徑與地影半徑相減用其餘數為度作内虚圈為食既生光之限又以兩半徑相併為度作外虚圈為初𧇾復圓之限次視實交周在初宫十一宫於外虚圈上周黄經線右取黄白大距五度作識實交周在五宫六宫於外虚圈上周黄經線左取黄白大距五度作識乃自所識作線過圜心至外虚圈下周即為白道經圈於此線上自圜心取食其距緯度作識即食甚時月心所在従此作横線與白道經圈相交成直角即為白道而白道割外虚圈右周之點乃初𧇾時月心所在割内虚圈右周之點乃食既時月心所在割内虚圈左周之點乃生光時月心所在割外虚圈左周之點乃復圓時月心所在也末以五限月心所到之點為心月半徑為度作各小圜以象月體即初𧇾食既食甚生光復圓之象俱備矣
如圖甲乙豎線如黄道經
圈丙丁横線如黄道戊己
庚圈為地影甲丙乙丁外
虚圈為初𧇾復圓之限其
丙辛半徑為月與地影兩
半徑相併之數壬癸内虚
圈為食既生光之限其癸
辛半徑為月與地影兩半
徑相較之數設實交周五
宫或六宫則於外虚圈上
周甲乙經線之左取黄白
大距五度如子従子作線
過圜心辛至下周丑為白
道經圈於子丑白道經圈
上自圜心辛向上取食甚
距緯度如寅辛此寅點即
食甚時月心所在也
〈此以實交
周五宫為例其緯在北故自圜心辛向上取寅點若
實交周是六宫其緯在南則自圜心辛向下取寅點〉乃従寅取直角作卯辰線
與子丑白道經圈相交即
為白道而白道割外虚圈
右周卯點為初𧇾限割内
虚圈右周巳點為食既限
割内虚圈左周午點為生
光限割外虚圈左周辰點
為復圓限於卯巳寅午辰
五點各為心月半徑為度
作圜以象月體即見月心
在卯其周正切闇虚而光
将缺是為初𧇾月心至巳
其體全入闇虚而光盡掩
是為食既月心至寅其體
深入闇虚兩心相距甚近
是為食甚月心至午其體
将出闇虚而光初吐是為
生光月心至辰其體全出
闇虚而光纔滿是爲復圓
也
御製歴象考成上編卷七
<子部,天文算法類,推步之屬,御製歷象考成>