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欽定四庫全書
数學九章卷三上 宋 秦九韶 撰田域
按此卷以方圓斜直冪積相求即方田少廣勾股諸法而術中累乘累除錯綜變換與常法迴然其本則出於立天元一法今擇其難解者
以立天元一法明之皆不攻自破矣
古池推元
問有方中古圓池堙圮北餘一角從外方隔斜至内圓邊七尺六寸欲就古跡修之欲求圓方方斜各幾何荅曰池圓徑三丈六尺六寸四百二十九分寸之
四百一十二
方面三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二 方斜五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二
術曰以少廣求之投胎術
〈按即益積之名〉入之斜自乘倍之為實倍斜為益方以半寸為從隅開投胎平方得徑又為方面以隅併之共為方斜
草曰以斜七十六寸自乘得五千七百七十六倍之得一萬一千五百五十二寸為實倍斜七十六寸得一百五十二為益方
〈按有長方積先求長其長濶較名益方〉以半寸為從隅開平方置實一萬一千五百五十二於上益方一百五十二於中從隅五分於下於下起歩約得百
古池圖 乃於實上商置三百寸方
再進為一萬五千二百
〈按再
進者以百乘之也〉隅五進為五千
〈按隅五分以百再乗得五千〉以商隅相
生得一萬五千為正方以
消益方一萬五千二百其
益方餘二百以與商相生
得六百投入實得一萬二
千一百五十二又商隅相
生又得正方一萬五千内消負方二百訖餘一萬四千八百為從方
〈按倍正方減益方之數〉一退為一千四百八十以隅再退為五十乃于上商之次續商置六十寸與隅相生増入正方得一千七百八十乃命續商除實訖實餘一千四百七十四次以商生隅増又正方為二千八十方一退為二百八隅再退為五分乃於續商之次又商置六寸與隅相生増入正方為二百一十一乃命商除實訖實不盡二百六寸不開為分子乃以商生隅増入正方又併隅共得二百一十四寸五分為分母以分母分子求等得五分為等數皆以五分約其分母分子之數為四百二十九分寸之四百一千二通命之得池圓徑及方面皆三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二又倍隅斜七尺六十得一丈五尺二寸併徑三丈六尺六寸共得五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二為方斜
按此術以立天元一法明之法立天元一為池徑即方邊自之得一平方為方冪倍之得二平方為斜冪寄左次倍斜至歩加天元一得一百五十二寸多一元為方斜自之得二萬三千一百零四寸多三百零四元多一平方亦為斜冪與左相消雨邊各減一平方得二萬三千一百零四寸多三百零四元與一平方等寸數為實元數為較或兩邊各半之得一萬一千五百五十二寸多一百五十二元多半平方與一平方等寸數為實元數半方數共為較術中所用葢次數也然不如前數之便至開方法即有長方積有長濶軗帶縱先求長之法也
尖田求積
問有兩尖田一叚其尖長不等兩大斜三十九歩兩小斜二十五歩中廣三十歩欲知其積幾何
荅曰曰積八百四十歩
術曰以少廣求之翻法入之置半廣自乘為半冪與小斜冪相減相乘為小率以半冪與大斜冪相減相乘為大率以二率相減餘自乘為實併二率倍之為從上亷以一為益隅開翻法三乘方得積
〈一位開盡者不用翻法〉
草曰置廣三十歩以半之得一十五自乘得二百二十五為半冪以小斜二十五歩自乘得六百二十五為小斜冪與半冪相減餘四百與半冪二百二十五相乘得九萬歩為小率置大斜三十九歩自乘得一千五百二十一為大斜冪與半冪二百二十五相减餘一千二百九十六與半冪二百二十五相乘得二十九萬一千六百為大率以小率九萬減大率餘二十萬一千六百自乘得四百六億四千二百五十六萬為實以小率九萬併大率二十九萬一千六百得三十八萬一千六百倍之得七十六萬三千二百為從上亷
〈按從上亷平方和數也〉以一為益隅開玲瓏翻法三乘方歩法乃以從亷超一位益隅超三位約商得十今再超進乃商置百其從上亷為七十六億三千二百萬其益隅為一億約實置商八百為定商以商生益隅得八億為益下亷又以商生下亷得六十四億為益上亷與從上亷七十六億三千二百萬相消從上亷餘十二億三千二百萬又與商相生得九十八億五千六百萬為從方又與商相生得七百八十八億四千八百萬為正積與元實四百六億四千二百五十六萬相消正積餘三百八十二億五百四十四萬為正實又以益隅一億與商相生得八億増入益下亷為一十六億又以益下亷與商相生得一百二十八億為益上亷乃以益上亷與從上亷一十二億三千二百萬相消餘一百一十五億六千八百萬為益上亷又與商相生得九百二十五億四千四百萬為益方與從方九十八億五千六百萬相消益餘八百二十六億八千八百萬為益方又以商生益隅一億得八億増入益下亷得二十四億又以商相生得一百九十二億入益上亷得三百七億六千八百萬為益上亷又以商生益隅一億得八億入益下亷得三十二億畢其益方一退為八十二億六千八百八十萬益上亷再退得三億七百六十八萬益十亷三退得三百二十萬益隅四退為一萬畢乃約正實續置置四十歩與益隅一萬相生得四萬入益下亷為三百二十四萬又與商相生得一千二百九十六萬入益上亷内為三億二千六十四萬又與商相生得一十二億八千二百五十六萬入從方内為九十五億五千一百三十六萬乃命上續啇四十除實適盡所得八百四十歩為田積今列求率開方圖於後按此術以立天元一法明之法立天元一為尖積即大小兩三角積和自之得一平方為和自乘以半廣冪減大斜冪與餘積相乘得二十九萬一千六百歩為大三角積自乘以坐廣冪減小斜冪與餘數相乘得九萬歩為小三角積自乘二自乘數併而倍之内減去和自乘得七十六萬三千二百歩少一平方為較自乘與和自乘再相乘得七十六萬三千二百平方少一三乘方寄左次以大小兩三角積相減餘二十萬零一千六百歩為和較相乘數自之得四百零六億四千二百五十六萬歩與左相等則後歩數為實前平方數為從上亷三乘方數即益隅與草中所取之數悉合又按此苦以小率九萬歩開平方得三百歩即小三角積以大率二十九萬一千六百歩開平方得五百四十歩即大三角積併之得八百四十歩即尖積其法甚易然必如此費算者殆欲用立天元一法不求分積即得所問之總積也
正負開三乘方圖
術曰商常為正 實常為負 從常為正 益常
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷三上>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷三上>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷三上>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷三上>
已上係開三乘方翻法圖後篇效此
三斜求積
問沙田一叚有三斜其小斜一十三里中斜一十四里大斜一十五里里法三百歩欲知為田幾何
荅曰田積三百一十五頃
術曰以少廣求之以小斜冪併大斜冪減中斜冪餘半之自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上餘四約之為實一為從隅開平方得積
草曰以斜一十三里自乘得一百六十九里為小斜冪以大斜一十五里自乘得二百二十五里為大斜冪併小斜冪得三百九十四里於上以中斜一十四里自乘得一百九十六里為中斜冪減上餘一百九十八里以半之得九十九里自乘得九千八百一里於上以小斜冪一百六十九乘大斜冪二百二十五得三萬八千二十五減上餘二萬八千二百二十四以四約之得七千五十六里為實以為一隅開平方以隅超歩為一百乃於實上商置八十以商生隅得八百為從方乃命上商除實餘六百五十六又以商生隅入方得數退一位為一百六十隅退二位為一乃於實上續商四里生隅入從方内得一百六十四乃命續商除實適盡所得八十四里為田積其形長八十四廣一里以里法三百歩自乘得九萬歩乘八十四里得七百五十六萬歩以畝法二百四十除之得三萬一千五百畆又以頃法一百畆約之得三百一十五頃
按此術以立天元一法明之法立天元一為三角積倍之得二元自之得四平方為中長冪乘底冪以大斜為底寄之又以小斜冪與大斜冪相加内減中斜冪得一百九十八里半之得九十九里為小分底與底相乘長冪自之得九千八百零一里為小分底冪乘底冪之數又以小斜冪大斜冪相乘得三萬八千零二十五里為小分底冪乘底冪中長冪乘底冪各一内減小分底冪乘底冪之數餘二萬八千二百二十四里為中長冪乘底冪之數與寄數等兩邊各以四約之得七千零五十六里與一平方等里數為實方數即從隅也從二題同此
斜蕩求積
問有蕩一所正北濶一十七里自南尖穿徑中長二十四里東南斜二十里東北斜一十五里西斜二十六里欲知畆積幾何
荅曰蕩積一千九百一十一頃六十畆
術曰以少廣求之置中長乘北濶半之為寄以中長冪減西斜冪餘為實以一為隅開平方得數減北濶餘自乘併中長冪共為内率以小斜冪併率减中斜
冪餘半之自乘於上以
小斜冪乘率減上餘四
約之為實以一為隅開
平方得數加寄共為蕩
積
草曰以中長二十四里
乘北濶一十七里得四
百八乃半之得二百四里為寄以中長自乘得五百七十六為長冪以西斜二十六里自乘得六百七十六為大斜冪以減長冪餘一百里為實開平方得一十里以減北濶數一十七里餘七里自乘得四十九里併長冪五百七十六得六百二十五為内率次置東小斜一十五里自乘得二百二十五為小斜冪又置東南中斜二十里自乘得四百為中冪却以小斜冪併率得八百五十以減中冪四百餘四百五十乃半之得二百二十五自乘得五萬六百二十五里于上又以小斜冪二百二十五乘率六百二十五得一十四萬六百二十五減上餘九萬里以四約得二萬二千五百為實開平方得一百五十併寄二百四里得三百五十四里為泛以里法三百六十自乘得一十二萬九千六百歩乘泛得四千五百八十七萬八千四百歩以畆法二百四十歩約之得一千九百一十一頃六十畆為蕩積
計地容民
問沙洲一叚形如棹力廣一千九百二十歩從三十六百歩大斜二千五百歩小斜一千八百二十歩以安集民每户給一十五畆欲知地積容民幾何
荅曰池積一百四十九頃九十五畆 容民九百
九十九戸 餘地一十畆
術曰以少廣求之置廣乘長半之為寄以廣冪併從冪為中冪
〈按實大斜冪〉以小斜冪併中冪減大斜冪
〈按實中斜冪〉餘半之自乘于上以小斜冪棄中冪減上餘以四約之為實以一為隅開平方得數加寄共為積以每户給數除積得容民戸數
草曰置廣一千九百
二十歩乘從三千六
百歩得六百九十一
萬二千歩乃半之得
三百四十五萬六千
歩為寄以廣自乘得三百六十八萬六千四百歩為廣冪又以從自乘得一千二百九十六萬步為從冪併廣冪得一千六百六十四萬六千四百步為中冪次以小斜一千八百二十歩自乘得三百三十一萬二千四百歩為小斜冪又以大斜二千五百歩自乘得六百二十五萬歩為大斜冪却以小⿰冪併中冪得一千九百九十五萬八千八百歩以大斜冪減之餘一千三百七十萬八千八百歩乃半之得六百八十五萬四千四百歩自乘得四十六萬九千八百二十七億九千九百三十六萬歩於上次以小斜冪乘中冪得五十五萬一千三百九十五億三千五百三十六萬歩減上餘八萬一千五百六十七億三千六百萬為實以四約之得二萬三百九十一億八千四百萬為實以一為隅開平方得一十四萬二千八百歩併寄三百四十五萬六千歩共得三百五十九萬八千八百歩以畆法二百四十歩除之得一萬四千九百九十五畆次以頃法一百畆約之為一百四十九頃九十五畆為地積又為實以每户所給一十五畆為法除實得九百九十九户不盡一十畆不及一戸所給數以為餘地一十畆
蕉田求積
問蕉葉田一叚中長五百七十六歩中廣三十四歩不知其周求積畆合幾何
荅曰田積四十五畆一角
〈按六十歩為一角葢四分畆之一也〉十一歩六萬三千七十分歩之五千二百一十三
術曰以長併廣再自乗又十乘之為實半廣半長各自乘所得相減餘為從方一為從隅開平方半之得積
草曰以長五百七十六歩併廣三十四歩得六百一十兩度自乘
〈按即自乘再乘〉得二億二千六百九十八萬一千歩進一位即是以十乘之得二十二億六千九百八十一萬歩定得此數以為實置長五百七十六以半之得二百八十八自乘得八萬二千九百四十四於上又置廣三十四歩以半之得一十七自乘得二百八十九減上餘八萬二千六百五十五為從方以一為從隅開平方得二萬一千七百四十二歩不盡一萬四百二十六歩以商生隅入方又併隅算共得一十二萬六千一百四十為母與不盡及開方田積數皆半之田積定得一萬八百七十一步六萬三千七十分歩之五千二百一十三以畆法二百四十約之得四十五畆一角一十一歩六萬三千七十分歩之五千二百一十三
按此術以長與廣相加自乘再乘又以十乘之為長方積以半長自乘半廣自乘相減為長濶較求得闊折半為田積非法也此題中廣甚小故得數較古法多七百餘較密法少二千七百餘若設長為七百零七廣為二百九十三亦以此法求之長廣相加自之再之又十乘之得一百億為實半長半廣各自之相減得十萬零三千五百為長闊較求得闊折半得三萬零四百二十六歩餘為田積依宻法求之實十四萬四千九百餘歩所差甚逺其術之不合顯然矣葢數必三乘而後可以平方求之今再乘之後僅以十進之宜其不可用也
漂田堆積
問三斜田被水衝去一隅而成四不等直田之狀元中斜一十六步如多長水直五歩如少濶殘小斜一十三歩如
殘大斜二十歩如元中斜之
横量徑一十二歩如殘田之廣又如元中斜之勾亦是水直之股欲求元積殘積水積元大斜元中斜二水斜各幾何
荅曰元積一百三十八歩一十一分歩之八水積一十二歩一十一分歩一八
〈按應一十三歩一十一分歩之七〉
殘積一百二十六歩
元大斜二十九歩一十一分歩之一
元小斜一十八歩一十一分歩之一
〈按應一十一分歩之十〉水大斜九歩一十一分歩之一
水小斜五歩一十一分歩之一
〈按應一十一分歩之一〉
術曰以少廣求之連枝入之又勾股入之置水直減中斜餘為法以中斜乘大殘為大斜實以法除實得元大殘以殘大斜減之餘為水大斜以法乘徑又自之為小斜隅以水直冪併徑冪為
冪又乘徑冪又乘中斜冪為小斜實與隅可約約之閉連枝平方得元小斜以殘小斜減之餘為水小斜以水直乘之為水實倍水小母為法除之得水積
〈按此處法踈〉以水直併中斜乘徑為實以二為法除之得殘積以殘積併水積共為元積分者通之重有者重通之
草曰以水直五減中
斜一十六餘一十一
為法以中斜一十六
乘大殘二十得三百
二十為大斜實以法
除之得二十九歩一
十一分歩之一為元大斜内減殘大斜二十歩餘九歩一十一分歩之一為水大斜以法一十一乘徑一十二
〈按乘徑可省〉得一百三十二自之得一萬七十四百二十四為小斜隅以水直五自乘得二十五為水直冪以徑一十二自之得一百四十四為徑冪併水直冪得一百六十九為
冪以乘徑冪
〈按此乘徑冪亦可省葢以此乘復以此除徒為多筭耳〉一百四十四得二萬四千三百三十六於上又以中斜一十六自乘得二百五十六為中斜冪以乘上得六百二十三萬一十六為小斜實開平方與隅求等得一百四十四俱約之實得四萬三千二百六十四隅得一百二十一開方不盡以連枝術入之用隅一百二十一乘實四萬三千二百六十四得五百二十三萬四千九百四十四為定實以一為定隅開平方得二千二百八十八為實以約隅一百二十一除之得一十八歩不盡一百一十一
〈按一百一十整〉與法一百二十一俱以一十一約之得一十一分歩之十為元小斜減殘小斜一十三歩餘五歩一十一分歩之一
〈按十訛一故下數誤〉為水小斜通歩内子得五十六以水直五歩乘之得二百八十為水實倍水小母一十一得二十二為法除之得一十二歩不盡一十六與法俱以二約之為一十二歩一十一分歩之八
〈按應一十二歩一十一分步之七〉水積置中斜一十六併水直五得二十一乗徑一十二得二百五十二以半之得一百二十六為殘積以水併積共得一百三十八歩一十一分歩之八為元積
〈按應一百三十九步一十一分步之七〉
數學九章卷三上
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章>