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欽定四庫全書
數學九章卷六下 宋 秦九韶 撰錢穀
僦直推原
問房廊數内一户日納一百五十六文八分足為準指揮未曽經減者減三分已曽經減三分者減二分已曽經減二分者更減二分今本户累經減者欲知原額房錢幾何
答曰原額三百五十文
術曰以衰分求之列一十分兩行各三位列減分對減右行以餘者相乘為法以左行原列相乘得納錢為實實如法而一得原額錢
草曰列一十三位於左行又列一十分三位於右行其右上減去初減三分右中減去次減二分右下減去更減二分右行餘七八八以相乗得四百四十八為法乃以左行三位一十分相乘得一千為乗率以乘見日納錢一百五十六文八分得一百五十六貫八百文為實實如法而一得三百五十文為本户原額戸錢
推求本息
問三庫息例萬貫以上一釐千貫以上二釐五毫百貫以上三釐甲庫本四十九萬三千八百貫乙庫本三十七萬三百貫丙庫本二十四萬六千八百貫今三庫共約到息錢二萬五千六百四十四貫二百文其典率甲反錐差乙方錐差丙蒺藜差欲知原典三例本息各幾何
按此即衰分題也其差有反錐方錐蒺藜之名蓋以一二三遞減如立錐為反錐以一四九平方遞加為方錐以一三六三數遞加為蒺藜是必古有其名也至以各差求各本則因各本原依各差入之也
答曰甲庫共納息九千五十三貫文一釐息二千四百六十九貫文二釐半息四千一百一十五貫文三釐息二千四百六十九貫文乙庫共納息一萬五十一貫文一釐息二百六十四貫五百文二釐半息二千六百四十五貫文三釐息七千一百四十一貫五百文丙庫共納息六千五百四十貫二百文一釐息二百四十六貫八百文二釐半息一千八百五十一貫文三釐息四千四百四十二貫四百文
術曰置諸庫諸色之差照釐率為三行縱併之為約率横命之為乗率以約率各約自庫之本各得以遍乗未併乗率然後各以釐率横乗之次以縱併之為各庫共息
草曰置甲庫反錐差自下置三二一於右行次置乙庫方錐差自上置一四九於中行次置丙庫蒺藜差自上置一三六於左行各為三庫上中下三等乘率乃縱併甲差三二一得六為甲約率縱併乙差一四九得一十四為乙約率縱併丙差一三六得一十為丙約率直命九位數各為上中下乗率乃先以約率各約自庫之本乃以甲約率六約甲本四十九萬三千八百貫得八萬二千三百貫為甲得次以乙約率一十四約乙本三十七萬三百貫得二萬六千四百五十貫為乙得次以丙約率一十約丙本二十四萬六千八百貫得二萬四千六百八十貫為丙得以各得乗未併乗率其甲所得八萬二千三百貫乘反錐乗率三二一得二十四萬六千九百貫為上率得一十六萬四千六百貫為中率得八萬二千三百貫為下率其乙所得二萬六千四百五十貫以乗方錐差一四九得二萬六千四百五十貫為上率得一十萬五千八百貫為中率得二十三萬八千五十貫為下率其丙所得二萬四千六百八十貫以乗蒺藜差一三六得二萬四千六百八十貫以乘蒺藜七萬四千四十貫為中率得一十四萬八千八十貫為下率然後各以息釐數乘各庫三乗
〈此是變文為庫〉其甲以一釐乗上率二十四萬六千九百貫得二千四百六十九貫為上息以二釐五毫乘中率一十六萬四千六百貫得四千一百一十五貫為中息以三釐乘下率八萬二千三百貫得二千四百六十九貫為下息併上中下三息得九千五十三貫文為甲庫共息其乙庫以一釐乗上率二萬六千四百五十貫得二百六十四貫五百文為上息以二釐五毫乗中率一十萬五千八百貫得二千六百四十五貫為中息以三釐乗下率二十三萬八千五十貫得七千一百四十一貫五百為下息併上中下三息得一萬五十一貫文為乙庫共息其丙庫以一釐乗上率二萬四千六百八十貫得二百四十六貫八百為上息以二釐五毫乘中率七萬四千四十貫得一千八百五十一貫為中息以三釐乗下率一十四萬八千八十貫得四千四百四十二貫四百文為下息併上中下三息得六千五百四十貫二百文為丙庫共息併三庫共息得二萬五千六百四十四貫二百文為總息
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷六下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷六下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷六下>
易牒知原
〈按舊本此問無題今増入〉
問出度牒差人營運毎三道易鹽一十三袋鹽二袋易布八十四疋布一十五疋易絹三疋半絹六疋易銀七兩二錢今趂到銀九千一百七十二兩八錢欲知原闗度牒道數幾何
答曰度牒一百八十道
術曰以粟米互乘易法求之列各數以本色相對如鴈翅以多一事者相乗為實以少一事者相乘為法除之
草曰先以度牒三道乗鹽二袋得六以乘布一十五得九十文乗絹六疋得五百四十乃乗銀九萬一千七百二十八錢得四千九百五十三萬三千一百二十錢為實次以鹽一十三袋乗布八十四得一千九十二以乗絹三疋五分得三千八百二十二乃乘銀七兩二錢得二十七萬五千一百八十四錢為法除實得一百八十道為原闗度牒
粟米交易
〈按舊本此問無題今増〉
問菽三升易小麥二升小麥一升五合易油麻八合油麻一升二合易粳米一升八合今將菽一十四石四斗欲易油麻又將小麥二十一石六斗欲易粳米問各幾何
答曰油麻五石一斗二升 粳米一十七石二斗
八升
術曰以粟米換易求之置原易率本色對列如鴈翅以多一事者相乘為實以少一事者相乗為法除之各得或問數不干其率者不置
草曰置四色六數列六位率如鴈翅皆化為合先將菽一十四石四斗化作一萬四千四百合乃對前二句率數四位如鴈翅至欲易油麻止共五事為上圖次將小麥二十一石六斗化為二萬一千六百合乃對後兩句率四位鴈翅至欲粳米止共五事為下圖下圖其上圖以菽一萬四千四百合乘麥二十得二十八萬八千又乗油麻八合得二百三十萬四千合為油麻實次以菽三十合乘麥一十五合得四百五十合為法除之得五千一百二十合展為五石一斗二升為油麻其下圖以小麥二萬一千六百合乗油麻八合得一十七萬二千八百合又乗粳米一十八合得三百一十一萬四百合為粳米實以小麥一以五合乗油麻一十二合得一百八十合為法除之得一萬七千二百八十展作一十七石二斗八升為粳米
計米易麴
〈按舊本此問無題今增〉
問庫率粳榖七石出米三石糯米一斗易小麥一斗七升小麥五升踏麴二斤四兩麴一百一十斤醞糯米一石三斗今有糯穀一千七百五十九石三斗八升欲出穀做米易麥踏麴還自醞餘穀之米須令適足各合幾何
答曰共穀一千七百五十九石三斗八升出穀九百二十四石得米三百九十六石易麥六百七十三石二斗踏麴三萬二百九十四斤餘榖八百三十五石三斗八升醞米三百五十八石二升
術曰以粟米換易求之置諸率隨本色對列如鴈翅有分者通之異類者變之以頭位者進乗之以下位退乗之得合數有對者相乗之無對者直命之為諸率併上下無對者為法率
〈諸率可約者又約之〉以今有物徧乘諸率
〈不乗法率〉各為實諸實並如法而一各得其已變者復互易乗除之即得所求
草曰置糯穀七出米三於右行上副兩位次置糯米一斗麥一斗七升於副行副中兩位次置小麥五升踏麥二斤四兩於次行中次兩位次置麥一百一十觔醞米一石三斗於左行次下兩位隨本色對列如鴈翅訖乃驗次行二斤四兩是四分斤之一以母四通次行兩位以子一内次行次位具中位得二次位得九又驗左行下位是糯米是異類於糯米合變為糯穀乃以問中首句率穀七米三變之以七因米一石三斗得九石一斗於左下為穀却以米三因麴一百一十斤為三百三十斤麴於左行得變圖數以左行三百三十乗次行二得六百六十次以六百六十乘副行一十得六千六百次以六千六百乗右上七得四萬六千二百各於原位却以右行副位三因副行一斗七升得五斗一升又以五斗一升乗次行九得四百五十九又以四百五十九乗左下九十一得四萬一千七百六十九列為合圖數乃驗合圖四行其副中次三位有對以對相乗合之其右上左下無對者直命之皆為率列右行上得四萬六千二百為出糯穀率副位得一萬九千八百為得糯米率中得三萬三千六百六十為易得麥率次得一萬五千一百四十七為踏到麴率下得四萬一千七百六十九為餘下糯榖率併上下率共得八萬七千九百六十九為法率今六率共求等得一約之只得原率為率圖始用今有穀一千七百五十九石三斗八升皆化為升徧乘五率不乗法率得八十一億二千八百三十三萬五千六百升為出穀實得三十四億八千三百五十七萬二千四百升為糯米實得五十九億二千二百七萬三千八十升為易麥實得二十六億六千四百九十三萬二千八百八十六為踏麴實得七十三億四千八百七十五萬四千三百二十二升為餘穀實其五實皆如法八萬七千九百六十九而一得九百二十四石為出穀得三百九十六石為做到糯米得六百七十三石二斗為易到小麥得三萬二百九十四斤為踏到麴得八百三十五石三斗八升為餘下穀今將餘下穀變為米乃以乗率三因餘穀八百三十五石三斗八升得二千五百六石一斗四升為實以糯穀率七為法除之得三百五十八石二升為醞米
按術中互乗進乗退乗對乗皆通分法也張邱建云學者不患乗除之為難而患通分之為難此術曲盡其妙今各釋於後
第一圖互乗以右上穀七乗左下米一十三得九十一應以右下米三除之方得穀數今不除便如得穀數又以米三乗之矣故以米三乗麴一十一得三十三與穀數九十一相當仍同於麴一十一與米一十三相當也
第二圖左進乗自下而上右退乗自上而下左四位連乗至穀應以右上三位連乗之數除之得踏麴三十三所用穀數今不除為寄右上三位連乗之數為分母右四位連乘至穀即如麴三十三所醞穀數同寄右上三位連乗之數為分母也併之即如踏麴用穀麴所醞穀總數同寄右上三位連乗之分也
第三圖對乗左下一位麴數以前寄分母右上三位連乗之數乗之即同寄一分母也左下二位相乗應以右上第三位除之得踏麴所用麥數不除為寄右上第三位麴數又以右上二位相乘之數乗之是應用麥數内同寄右上三位連乘之分母也左下三位連乘應以右中二位相乗之數除之得易麥應用米數不除為寄右中二位相乗之數又以右上第一位米數乗之是應用米數内同寄右上三位連乗之分母也右總穀出穀餘穀易米易麥踏麴六數皆同寄一分母則用以乗除求得數即與本數無異故以題中總穀數乗寄分母各數以寄分母總數除之即得所求各數也
再此術不獨法之巧即圖式布置亦皆皆具精義熟玩之可以得其往來變通之故原第三合圖仍斜排為上圖第四率圖即各寄寄母數直列為下圖今合圖改為正圖列於右各得寄母數並列於左
𮅕囘運費
問有江西水運米一十二萬三千四百石原係鎮江交卸計水程二千一百三十里每石水脚錢一貫二百文今截上件米就池州安頓池州至鎮江八百八十里欲收囘不該水脚錢幾何
答曰收囘錢六萬一千一百七十八貫五百九十一文
術曰以粟米互易求之置池州至鎮江里數乗水脚錢得數又乗運米為實以原至鎮江水程為法除實得收囘錢
草曰置池州至鎮江八百八十里乗毎石水脚錢一貫二百得一千五十六貫文又乗運米一十二萬三千四百石得一億三千三十一萬四百貫文為實以原至鎮江水程二千一百三十里為法除實得六萬一千一百七十八貫五百九十一文為收囘錢三合均價
〈按舊本此問無題今増〉
問庫有三色金共五千兩内八分金一千二百五十兩兩價四百貫文七分五釐金一千六百兩兩價三百七十五貫文八分五釐金二千一百五十兩兩價四百二十五貫文並欲煉為足色每兩工食藥炭錢三貫文耗金九百七十二兩五錢欲知色分及兩價各幾何答曰色十分
兩價五百三貫七百二十四文五百三十七分文之二百一十二
術曰以方田及粟米求之置共數以耗減之餘為法以三色分數各乗兩數併之為色分實以三色價數各乗兩數為寄以工藥價乗共金併寄共為價實二實皆如法而一即各得
草曰置共金五千兩減耗九百七十二兩五錢外餘四千二十七兩五錢為法次置一千二百五十兩乘八分得一萬分於上置一千六百兩以七分五釐乗之得一萬二千分加上置二千一百五十兩乗八分五釐得一萬八千二百七十五分又加上共得四萬二百七十五分為分實次置一千二百五十兩乗四百貫得五十萬貫為寄次置一千六百兩乘價三百七十五貫得六十萬貫加寄次置二千一百五十兩乗價四百二十五貫得九十一萬三千七百五十貫又加寄次置共金五千兩乗工藥錢三貫得一萬五千貫又加寄共得二百二萬八千七百五十貫為貫實二實並如法四千二十七兩五錢而一得其色一十分其價每兩得五百三貫七百二十四文不盡一貫五百九十與法求等得七十五俱約之為五百三十七文之二百一十二
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷六下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷六下>
其色實餘盡得一十分為金色其價除得五百三貫七百二十四文為十分金毎兩價不盡一貫五百九十文與法求等得七半俱以約之為五百三十七分文之二百一十二
數學九章卷六下
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章>