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欽定四庫全書
數學九章巻八上 宋 秦九韶 撰軍旅
計立方營
問一軍三将将三十三隊隊一百二十五人遇暮立營人占立地方八尺須令隊間容隊師居中央欲知營方幾何
答曰方營一百七十一丈 隊方九丈
術曰以少廣求之置人占方冪乗每隊人為隊實以一為隅開平方所得為隊方圖
〈或開不盡就為全盡〉次置隊數乗将數又四因之増三為寔以二為從隅開平方得率以乗隊方面為營方面
〈開不盡為全數〉
按舊圖各隊四眼内每人作一小圓為識今去之總圖内各隊仍畫四眼今只以一小方為一隊舊總圖太大難於撿閲今收入半頁内又按總圖内係百隊筭内只有九十九隊圖中應虚一隊舊本未詳
草曰置人占八尺自乗得六十四尺為人占方冪以乗每隊一百二十五人得八千尺為寔以一為隅開平方歩法常超一位今隅超一度至寔之百下約寔置啇八十尺以啇八十生隅一得八十為方乃命上啇除寔訖實餘一千六百次以啇生隅入方得一百六十畢方一退隅再退之復於上啇之次續啇九尺乃以續啇九生隅一入方得一百六十九乃命續啇除寔訖得八十九尺不盡七十九尺就為九十尺得隊方面次置三十三隊乗三将得九十九又四因得三百九十六増三得三百九十九為寔以二為從方一為從隅開平方歩法以從方進一位至寔之十下隅隅超一位至寔之百下乃約寔置啇一十生隅一入方得一十二乃命上啇除寔訖餘二百七十九又以啇一十生隅入方得二十二畢方一退隅再退之續于寔上啇九隊以續啇九生隅入方得三十一乃命續啇除寔適盡得一十九乗隊方面九十得一千七百十尺展為營方一百七十一丈合問
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷八上>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷八上>
方變鋭陣
問歩兵五軍軍一萬二千五百人作方陣人立地方八尺欲變為前後鋭陣陣後闊令多原方面半倍陣間仍容騎路五丈以上順鋭形出入求方陣面鋭陣長及前後鋭陣各布兵幾何
答曰方面二百丈 方面布兵二百五十人 鋭後廣二百丈 鋭廣列共三百六十二人鋭通正長三百丈 騎路二條各闊五丈三尺 内鋭陣廣一百四十五丈六尺列一百八十二人長一百四十五丈六尺計布兵一萬六千六百五十三人 外鋭兩廣各七十二丈列九十人計布兵四萬五千八百四十七人
按鋭陣數惟内鋭數合外鋭通廣丈數及布兵數皆不合詳見草後
術曰以少廣求之置兵開平方得方面人數
〈開不盡方為補隊〉以人立尺數乗之為原方面置原方面以欲多數加之為鋭後闊亦為通長倍馬路減之餘為實以人立尺約為闊布兵不盡半歸馬路以四約闊布兵得外鋭一邉人倍一邉人併不歸為内鋭長闊人數副置減一餘乗其副得數半之為内鋭布兵以減總兵餘為外鋭布兵
計立六萬二千五百人鋭後廣通長各三百丈内鋭立一萬六千六百五十三人外鋭立四萬五千八百四十七人
〈按舊圖式不細且在題後今改正移于此〉
草曰置一軍一萬二千五百以五軍因之得總兵六萬二千五百人為寔開平方得二百五十人以人立八尺乗之得方面二百丈置二百丈加半倍一百丈得三百丈為鋭陣後闊亦為鋭陣道長先倍騎路五丈得一十丈以減後闊二百丈餘二百九十丈為實以人立八尺約之得三百六十二為鋭後闊布兵不盡四尺以半之得二尺軰歸騎路作五丈二尺以四約鋭後闊布兵三百六十二人得九十人為外鋭一邉人倍一邉九十得一百八十併不盡二人共得一百八十二人為内鋭廣布兵數亦為長布兵副置加一得一百八十三乗副一百八十二得三萬三千三百六以半之得一萬六千六百五十三人為内鋭陣布兵以減總兵六萬二千五百餘四萬五千八百四十七人為外鋭兵
按草中以内鋭陣兵數减前方陣兵數餘為外鋭陣兵數非是盖無以知兩總數為相等也試以數明之依束箭法以總闊求得總三角數七萬零五百以鋭闊求得内三角數一萬六千六百五十三又以每人八尺除兩騎路濶十丈零四尺得一十三人與内鋭闊相加得闊二百求得内外間三角數二萬零一百置總三角數減内外間三角數加内三角數得六萬七千零五十三與前方陣兵數相較多四千五百五十三安得謂之等乎今另設歩法于後
法設騎路之闊當二十人先以總三角數與前方陣數相减得今多八千人乃倍騎路闊人數得四十人為截騎路上小三角之闊求得小三角數八百二十以减今多數餘七千一百八十為寔以四十為法除之得一百七十九人為内鋭闊餘二十人依術内不盡者為補隊兵次置總闊減去内闊餘一百九十六人再減併騎闊四十人餘一百五十六人半之得七十八人為外後闊是内鋭闊長皆為一百七十九人外鋭長為三百七十五人後兩闊共一百五十六人騎路闊二十人乃以内鋭闊求得内三角數一萬六千一百一十人以内闊併兩騎闊得二百一十九人為闊求得内外間三角數二萬四千零九十人未置總三角數内減去内外間三角數餘四萬六千四百一十人加内三角數得六萬二千五百二十人再減補隊兵二十人得六萬二千五百人與方陣總兵原數脗合
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷八上>
圓營敷布
問周制一軍欲布圓營九重毎卒立圓邉六尺重間相去比立尺數倍之于内摘差兵四分之一出竒不可縮營示弱須令仍用原營布滿餘兵欲知原營内外周及立人數並出竒後每卒數立尺數外周人數各幾何
答曰周制一軍一萬二千五百人出竒三千一百二十五人 原内周八百四丈立一千三百四十人原外周八百六十一丈六尺立一千四百三十六人 出竒後原外周立一千八十九人原内周立一千一十六人内外周人立七尺九寸一分
術曰以啇功求之置重數減一餘為叚以叚乗圓差為衰以衰乗重數為率求圓周以率減兵餘如重數而一得内周人數不滿為餘兵以人立圓邉乗内周人得内周尺倍衰乗圓邉為泛以泛併内周尺得外周尺為實如圓邉而一得外周人求出竒後以率加存兵如重數而一得外周人不滿為餘兵以外周人約原外周尺得後立尺以後立尺約原内周得内周人
按求圓陣草中用圓束法圓束實六等邉形非圖形也盖圓形重數相距等則弧邉上相距不等弧邉上相距等則重數相距不等惟圓束可並取相等故用其法至次陣減人數不減營周尺數則各重周上相距不能相等故草中又以尺數求内周人數然未免與圓束逐層相差數不合亦僅取其大畧也又舊用二圖各㸃為圓周九重今用一圖㸃為六等邉形三重惟取易見則二圖九重其理一也
草曰置九重減一餘八為叚以乗圓束差六得四十八為衰
〈按圓束每層差不今内外重數相距倍於人立相距則每層差一十二為倍差常法重數減一與半差相乗為衰今倍差故即與差數相乗為衰也〉九重得四百三十二為率
求原周以率四百三十二減周制一軍一萬二千五百餘一萬二千六十八為實如重數九而一得一千三百四十人為内周人數不滿八人為餘兵
次以人立圓邉六尺乗内周人一千三百四十得八千四十尺收作八百四丈為内周尺數
倍衰四十八得九十六乗圓邉六尺得五百七十六尺為泛
以泛五百七十六尺併内周八千四十尺得八千六百一十六尺為外周尺
以外周尺八千六百一十六為實如圓邉六尺而一得一千四百三十六人為外周人數
求出竒後以竒母四約一萬二千五百得三千一百二十五為竒兵以減總軍餘九千三百七十五為存兵次以率四百三十二加之得九千八百七十為實加重數九而一得一千八十九為外周人不盡六
次以原外周八千六百一十六尺為實以外周人一千八十九約之得七尺九寸一分不盡二尺一分與法求等得三俱約之為分下三百六十三分之六十七
置原内周八千四十尺為實以後立尺七尺九寸一分約之得一千一十六為内周人數不盡三尺四寸四分為寛地
本術所求内外周之人數既定不拘竒出竒入皆以六人為重差或累差加減各得諸重圍數或併九重人課總軍存兵
計布圓陣
問歩率二千六百人為圖陣人立圓九尺形如車輻無麗布陣陣重間倍人立圓邉尺數須合内徑七十二丈圓法用周三徑一之率欲知陣重幾數及内外周通徑並所立人數各幾何
答曰内周二百一十六丈立二百四十人 外周三百二丈四尺立三百三十六人 通徑一百丈八尺陣計九重
〈不盡八人〉
術曰以啇功求之以圓率因内徑為内周以人立尺約之為内周人數乃以圓求差率為隅次置内周人減隅餘約從方列兵數為寛開平方得重數不盡為餘兵置重數減一餘四因又乗圓邉尺數併内徑共為通徑以圓率因通徑得外周
按舊本有圖前題同今删去
草曰以圓率三因内徑七十二丈得二千一百六十尺為内周以圓邉九尺約内周得二百四十為内周人數乃以圓束差六為從隅次置内周二百四十人減隅餘二百三十四為從方列兵二千六百為寔開平方歩法從方進一位隅法超一位今方隅皆不可超進乃于寔約啇置九重以啇生隅六得五十四増入從方内共得二百八十八乃命上啇九重除寔訖寔餘八人為餘兵副置九重減一餘八以四因之
〈按九重八間徑両端應二因之間倍于立歩又應二因之今合為四因〉得三十二又乗圖邉九尺得二百八十八尺併内徑七百二十尺得一千八尺為通徑又以圓率三因通徑得三千二十四尺為外周次以圓邉九尺為法除外周尺數得三百三十六人為外周人數合問
按圓束環積有内周求重數法置積為寔圓束差半之為從隅又以半差減内周餘為從方開平方得重數此圓束環積每層為倍差故即以圓束差為從隅減内周為從方也又按周三徑一正與六邉形相合故人數尺俱無竒零也
數學九章卷八上