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欽定四庫全書
數度衍卷十六
桐城 方中通 撰
開築
〈商功之一〉
垺實率
穿地四尺 為壤五尺 為堅三尺
通曰壤者垺土也堅者實土也
互求法
穿地求壤及堅式穿地一萬尺問壤土堅土各若干曰壤土一萬二千五百尺堅土七千五百尺術以五因穿地得五萬尺為實以四為法除得壤土以三因穿地得三萬尺為實以四為法除得堅土
壤地求穿及堅式壤地一萬二千五百尺問穿土堅土各若干曰穿土一萬尺堅土七千五百尺術以四因壤地得五萬尺為實以五為法除得穿土以三因壤地得三萬七千五百尺為實以五為法除得堅土
堅地求穿及壤式堅地七千五百尺問穿土壤土各若干曰穿土一萬尺壤土一萬二千五百尺術以四因堅地得三萬尺為實以三為法除得穿土以五因堅地得三萬七千五百尺為實以三為法除得壤土
開法
求日式開壕上廣七尺下廣九尺深四尺長一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名問幾日可完曰二日術并上下廣得十六尺折半得八尺以乘深得三十二尺又乘長得五萬七千六百尺為實以二百名乗每日穿數得二萬八千八百尺為法除實得日數
求夫式開渠上廣二丈四尺下廣二丈一尺深九尺長三百八十四尺每夫十二名開積六百尺問該夫幾何曰一萬五千五百五十二名術并兩廣得四十五尺折半得二十二尺五寸以乘深得二百○二尺五寸又乘長得七十七萬七千六百尺又乘夫十二名得九百三十三萬一千二百尺為實以六百尺為法除實得夫數求工式開河長七千五百五十尺上廣五十四尺下廣四十尺深十二尺每日一工開三百尺問用工幾何曰一萬四千一百九十四工術并兩廣得九十四尺折半得四十七尺以乗深得五百六十四尺又乗長得四百二十五萬八千二百尺為實以三百尺為法除實得工數
遲速式甲乙二人開河甲每日開積四百尺乙每日開積三百五十尺甲開七十日問乙開多幾日與甲同曰十日術以甲開七十日乗每日四百尺得二萬八千尺為實以乙每日三百五十尺為法除實得八十日減甲七十日餘十日為乙多數
築法
築牆式原牆上廣一尺下廣三尺髙一丈二尺今欲築高九尺問上廣幾何曰一尺五寸術以原下廣減原上廣餘二尺以今高九尺乗之得十八尺為實以原高為法除實得一尺五寸乃於原下廣内減之餘一尺五寸為今上廣
式二原牆上廣一尺下廣三尺高一丈二尺今欲築高一丈五尺問上廣幾何曰五寸術以原上廣減原下廣餘二尺以原高減今高餘三尺兩餘相乗得六尺為實以原高為法除實得五寸乃於原上廣内減之餘五寸為今上廣
通曰前式今高少於原高後式今高多於原高故法不同後式可用前法而前式不可用後法也
式三原牆上廣一尺下廣四尺高一丈二尺今上廣如故下廣僅二尺一寸問高幾何曰七尺六寸術以原下廣減今下廣餘一尺九寸以乘原高得二十二尺八寸為實以原下廣減原上廣餘三尺為法除實得今高式四原牆上廣二尺下廣六尺高二丈今已築至上廣三尺六寸問已得高幾何曰一丈二尺術以今上廣減原下廣餘二尺四寸以乗原高得四丈八尺為實以原上廣減原下廣餘四尺為法除實得今高
式五原牆上廣十尺下廣三十尺高四十尺今欲築至上廣九尺問該增高幾何曰二尺術以原上廣減原下廣餘二十尺又減原高餘二十尺為實以今上廣減原上廣餘一尺為法除實得今高又術以今上廣減原上廣餘一尺乗原高得四十尺為實以原上廣減原下廣餘二十尺為法除實亦合
築臺求積式築直臺上廣八尺長二丈下廣一丈八尺長三丈高一丈八尺問積若干曰六千尺術倍上長為四丈加下長共七丈乘上廣得五百六十尺倍下長為六丈加上長共八丈乗下廣得一千四百四十尺并兩乘數得二千尺乘高得三萬六千尺為實以六為法除實得積
築堤求積式築堤東頭上廣八尺下廣十四尺高九尺西頭上廣二十尺下廣二十二尺高二十一尺東西長九十六尺問積若干曰二萬八千八百尺術倍東高為十八尺加西高共三十九尺以東上下廣并得二十二尺乘之得八百五十八尺折半得四百二十九尺倍西高為四十二尺加東高共五十一尺以西上下廣并得四十二尺乗之得二千一百四十二尺折半得一千○七十一尺并兩折數得一千五百尺乘長得十四萬四千尺為實以五為法除實得積
填基式填基東六丈五尺西七丈五尺南八丈北九丈高二尺用土長濶方丈髙一尺為一方問該方若干曰一百一十九方術并東西為十四折半得七并南北為十七折半得八五兩折數乗得五十九五又乗高得一百一十九為方數
垜捆
〈商功之二〉
堆垜法
通曰有與少廣遞加之法相同者兩章皆有所屬故復衍於此
一面尖堆式一面尖堆脚濶十八問積若干曰一百七十一術用順加求積法以十九乗十八得三百四十二折半即得說詳少廣
一面平堆式一面平堆脚七上三問積若干曰二十五術用順加異首求積法以脚七并上三得一十為實以脚七減上三餘四加一得五為法乘之得五十折半即得
四面尖堆式底長濶皆十二問積若干曰六百五十術置底十二以十二加一為十三乗之得一百五十六又以十二加半為十二五乗之得一千九百五十為實以三為法除實即得
四面平堆式底濶八長十三問積若干曰三百八十四術以長減濶餘五折半得二五又加半得三并入長得十六以濶乗之得一百二十八又以濶加一作九乗之得一千一百五十二為實以三為法除實即得 四面尖堆即四面順加四面平堆即長濶順加說詳少廣又式横面下十上一正面下十二上三問積若干曰四百九十五術倍正下為二十四加正上得二十七以横下乗之得二百七十再乗横下得二千七百加入二百七十共二千九百七十為實以六為法除實即得通曰右二式前式若知正面上數可用後法後式可用前法
四面半堆式上長二十五濶十二下長三十濶十七中高六問積若干曰二千四百一十術倍上長得五十加下長得八十乗上濶得九百六十倍下長得六十加上長得八十五乗下濶得一千四百四十五并兩乗數共二千四百○五以下長減上長餘五并之得二千四百一十乘高得一萬四千四百六十為實以六為法除實即得
圓底尖堆式底外周十五問積若干曰六十九術通曰用少廣超三遞加法首三尾十五得積外加一得四十六又首三尾九得積外加一得十九相并得六十九又加四共六十九為積
通曰凡圓堆每層外周自頂一起第二層是三第三層加三為六從此每層加三故用超三也每次以三為首故每外加頂一也底外周十五用圓包加六率推之内周減六必九故初曰首三尾十五次曰首三尾九也内周九内又減六餘三為底中心三上必有一頂故又加四也蓋底周至九者必加四至十二者必加十一為率也
三角尖堆式底面七問積若干曰八十四術以底七加一為八乗底七得五十六又以底七加二得九乗之得五百○四為實以六為法除實即得
三角半堆式每面上濶五底濶十二問積若干曰三百四十四術以底濶求出全積得三百六十四另以上尖虚底四求出虚積二十相減餘為實積又術上濶自乗得二十五底濶自乗得一百四十四兩濶相乗得六十倍下濶加上濶得二十九并四數共二百五十八為實以下濶減上濶餘七加一得高八為法除實得二千○六十四又以六除之亦合
磚堆式長三丈高九尺入深四尺每塊長一尺濶五寸厚二寸問該磚若干曰一萬○八百塊術以長為實以每塊厚為法除得一百五十塊以高為實以每塊濶為法除得十八塊兩除得數相乗得二千七百塊又以入深乗之即得
量捆法
木每根大率作長一丈五尺濶五寸以立法至其實數隨時求之可耳
一封書式捆深七尺五寸濶四丈七尺長九丈問該木若干曰一萬四千八百○五根術倍深得十五根倍濶得九十四根相乗得一千四百一十根為實以長率一丈五尺除長得六根為法乗實得八千四百六十根又以深七尺五寸首加一作一七五乗之即得
通曰濶率五寸每尺作二根故深濶皆用倍法
方捆式捆深七尺濶五丈長六丈問該木若干曰八千四百根術倍深作十四根倍濶作一百根相乗得一千四百根為實以長率一丈五尺除長得四根為法乗實得五千六百根又以濶五丈首加一作一五乗之即得荒排式排深二丈一尺濶四丈四尺長六丈問該木若干曰八千三百七十七根六分術以三除深得七尺倍作十四根倍濶作八十八根相乗得一千二百三十二根為實以長率一丈五尺除長得四根為法乗實得四千九百二十八根又以三除深得七尺首加一作一七乘之即得
通曰相乗固有應得之數而有以虚乗者其數却非應得之數不過借以相求耳如一十七尺五寸乗八千四百六十根應得十四萬八千○五十根而今止得一萬四千八百○五根者是也首不加一用定身法
〈見珠算〉乗之亦可
數度衍巻十六