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Work: 測圓海鏡分類釋術 (四庫全書本) Viewing: Source
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測圓海鏡分類釋術 (四庫全書本)
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測圓海鏡分類釋術
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測圓海鏡分類釋術 (四庫全書本)/卷04
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欽定四庫全書 測圓海鏡分類釋術卷四 　　元　李　冶　撰 　　明　顧應祥　釋術 　　通勾與别 測望一 　　圓城南門之南有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步乙出西門南行望樹及甲與城相叅直乃斜行二百五十五步至樹下問城徑 　　釋曰此以通勾上高 立法測望甲東行通勾也乙斜行乃天之日上高 也乙從西門南行四百八十步為邊股樹在南門外一百三十五步為明股術曰二行相乘又以半甲東行乘之得一千三百○五萬六千為立方實　二行相乘得八萬一千六百半甲東行乘甲東行得五萬一千二百相併得一十三萬二千八百為益從甲東行三百二十為減從廉減從開立方法除之得半徑 　　帶從以廉減從開立方曰布實於左從於右别置減從廉　約初商得一百　置一於左上為法置一乘從廉得三萬二千　以減從方餘一十○○八百置一自之得一萬併餘從共一十一萬○八百為下法與上法相乘除實一千一百○八萬餘一百九十七萬六千　倍減廉得六萬四千三因隅法得三萬為方法　三因初商得三百為廉法　約次商得二十　置一於左次為上法置一乘減廉得六千四百併倍廉共七萬○四百以減原從餘六萬二千四百　置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方廉隅共三萬六千四百帶餘從共九萬八千八百為下法與上法相乘除實盡得半徑一百二十 　　後凡言帶從以廉減從開立方法者倣此 　　甲從城外西北乾隅東行三百二十步而立乙出南門直行不知步數望見甲與城相叅直遂斜行四百二十五步與乙相㑹問城徑 　　釋曰此以通勾底 立法測望甲東行通勾也乙自南門外斜行就甲為底 乃日之地也 　　術曰二行相減餘一百○五為通勾底 差以乘通勾得三萬三千六百　又以半通勾乘之得五百三十七萬六千為立方實　半通勾乘通勾得五萬一千二百與差乘通勾之數相減餘一萬七千六百為從方　倍東行得六百四十步為益廉作帶從減益廉開立方法除之 帶從減益廉開立方法見三卷 〈明勾邊股下〉 　　圓城南門外有槐樹一株東門外有栁樹一株兩樹斜相距二百八十九步甲從城外西北隅向東行三百二十步望槐栁與城相叅直問城徑 　　釋曰此以通勾皇極 立法測望甲東行通勾也兩樹斜相距皇極 也原法先求出皇極勾即栁至城心步后以勾 求股以皇極勾股求容圓即是術曰通勾與皇極 相乘得九萬二千四百八十自之得八十五億五千二百五十五萬○四百為三乘方實　皇極 自乗得八萬三千五百二十一為皇極 筭以通勾乘之得二千六百七十二萬六千七百二十倍之得五千三百四十五萬三千四百四十為從方　倍通勾皇極 相乘之數得一十八萬四千九百六十為第一從廉　倍皇極 得五百七十八為第二益廉　以二為隅筭作帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方法除之得一百三十六為皇極勾求城徑以皇極勾 求皇極股二百五十五　勾股相乘倍為實以 除之即得容圓全徑 〈勾 求股見一卷〉帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方曰置所得三乘方積為實　列從方從一廉從二益廉約商首一位得一百置一於左上為法　置一自之以乘益廉得五百七十八萬　置一自乘再乘以隅筭因之得二百萬為隅法益廉共七百七十八萬與上法相乘得七億七千八百萬為益實添入積内共九十三億三千○五十五萬○四百為通實置一乘從一廉得一千八百四十九萬六千為益從併入從方共七千一百九十四萬九千四百四十為下法與上法相乘除實七十一億九千四百九十四萬四千餘實二十一億三千五百六十○萬六千四百為次商之實　四因隅法得八百萬為方法　初商自之六因又以隅筭因之得一十二萬為上廉　初商四之隅因得八百為下廉次商三十置一於左次為上法　倍初商加次商得二百三十併初次商為一百三十相乘得二萬九千九百又加初商自之一萬共三萬九千九百以乘從二益廉得二千三百○六萬二千二百為益廉之實　置一乘上廉得三百六十萬　置一自之得九百以乘下廉得七十二萬　置一自乘再乘得二萬七千隅因得五萬四千為隅法併方廉隅共一千二百三十七萬四千為益隅之實與益廉之實相併得三千五百四十三萬六千二百為益積之法與上次法相乘得一十○億六千三百○八萬六千為益積之實添入餘實共三十一億九千八百六十九萬二千四百為通實　倍初商加次商得二百三十　以乘從一廉得四千二百五十四萬○八百為益從併入從方共九千五百九十九萬四千二百四十為下法　與上次法相乘除實二十八億七千九百八十二萬七千二百尚餘三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實　二因上廉得七百二十萬　三因下廉得二百一十六萬　四因隅法得二十一萬六千併入方法共一千七百五十七萬六千為方法　併初次商自之　又六因得一十○萬一千四百以隅筭因之得二十○萬二千八百為上廉　併初次商四之得五百二十以隅因得一千○四十為下廉　三商得六　置一於左上為法　倍初次商加三商得二百六十六　併初次商加三商得一百三十六　相乘得三萬六千一百七十六又以初次商併自之得一萬六千九百加之共五萬三千○七十六以乘從二益廉得三千○六十七萬七千九百二十八為益廉之實　置一乘上廉得一百二十一萬六千八百　置一自之以乘下廉得三萬七千四百四十相併得一百二十五萬四千二百四十為廉法　置一自乘再乘得二百一十六　以隅因之得四百三十二為隅法併方法廉法隅法共一千八百八十三萬○六百七十二為益隅之實　併益廉之實共四千九百五十○萬八千六百為益積之法　與上法相乘得二億九千七百○五萬一千六百為益積　添入餘實共六億一千五百九十一萬六千八百為通實　倍初次商加三商得二百六十六　以乘從一廉四千九百一十九萬九千三百六十為益從　併從方共一億○二百六十五萬二千八百為下法與上法六相乘除實盡得一百三十六為皇極勾此法以二廉與隅添積以第一廉益從為法 　　又為帶從負隅以廉隅減從開三乘方法 　　其法曰以八十五億五千二百五十五萬○四百為正實　以五千三百四十五萬三千四百四十為從方　以一十八萬四千九百六十為從一廉以五百七十八為從二減廉　二為隅算　約 　　初商得一百　置一於左上為法　置一自之得一萬以乘從二廉得五百七十八萬為減廉置一自乘再乘　又以隅因得二百萬為隅法　併減廉隅法得七百七十八萬為減從　置一乘從一廉得一千八百四十九萬六千為益從　以益從加入原從得七千一百九十四萬九千四百四十以減從減之餘六千四百一十六萬九千四百 　　四十為下法　與上法相乘除實六十四億一千六百九十四萬四千　餘實二十一億三千五百六十○萬六千四百為次商之實　四因隅法得八百萬為方法　初商自之六因又以隅因之得一十二萬為上廉　初商四之隅因得八百為下廉　約次商得三十置一於左上為法　倍初商加次商得二百三十　併初次商得一百三十相因得二萬九千九百又加初商自乘一萬共三萬九千九百以乘從二廉得二千三百○六萬二千二百為減廉　置一乘上廉得三百六十萬　置一自之以乘下廉得七十二萬　置一自乘再乘隅因得五萬四千為隅法　併方廉隅共一千二百三十七萬四千為減隅　併減廉減隅共三千五百四十三萬六千二百為減從　倍初加次商得二百三十以乘從一廉得四千二百五十四萬○八百為益從以加原從得九千五百九十九萬四千二百四十以減從減之餘六千○五十五萬八千○四十為下法　與上法相乘除實一十八億一千六百七十四萬一千二百　餘實三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實　二因上廉得七百二十萬三因下廉得二百一十六萬四因隅法得二十一萬六千併入方法共一千 　　七百五十七萬六千為方法　初次商併自之六因又以隅筭因之得二十○萬二千八百為上廉　初次商併四之隅因得一千○四十為下廉約三商得六置一於左次為上法　倍初次商 　　加三商得二百六十六　併初次三商共一百三十六相因得三萬六千一百七十六又加初次商相併自之一萬六千九百共五萬三千○七十六以乘從二廉得三千○六十七萬七千九百二十八為減廉　置一乘上廉得一百二十一萬六千八百　置一自之以乘下廉得三萬七千四百四十置一自乘再乘以隅因得四百三十二為隅法併方廉隅共一千八百八十三萬○六百七十 　　二為減隅　減廉減隅相和得四千九百五十○萬八千六百為減從倍初次加三商得二百六十六以乘從一廉得四千九百一十九萬九千三百六十為益從　以加原從得一億○二百六十五萬二千八百　以減從減之餘五千三百一十四萬四千二百為下法　與上法相乘除實盡此法以第一廉為益從第二廉與隅為減從以從為法 後凡如此類者俱倣此 　　圓城南門外往東有樹甲從城外西北隅東行三百二十步望樹與城叅直復斜行二百七十二步至樹下問城徑 　　釋曰此以通勾黄長 立法測望南門外往東七十二步有樹明勾也甲東行通勾也斜行至樹下地之月黄長 也 　　術曰二行相減餘四十八為差　倍差倍東行相乘得六萬一千四百四十為實　倍差倍東行步相併得七百三十六為益從　二為隅法　作負隅減從翻法開平方法除之得全徑 　　負隅減從翻法開平方法見三卷通勾□股條下前以半徑此以全徑推廣即是 　　丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步望乙丙俱與城相叅直既而乙欲就丙乃斜行一百○二步相㑹問城徑 　　釋曰此以通勾太虚 立法測望丙出南門東行七十二為明勾乙出東門南行三十步為□股甲東行通勾也乙斜行太虚 也以此勾 立法 　　術曰甲東行自之得一十○萬二千四百為東行筭倍斜行乘之得二千○八十八萬九千六百為立 　　方實　倍斜行乘東行得數又加倍東行筭得二十七萬○○八十為從方四之東行得一千二百八十為益廉　四為隅法　作帶從負隅以廉添積開立方法除之得半徑 　　帶從負隅以廉添積開立方曰置所得立方實于左　以從方益廉隅筭約之　初商一百　置一於左上為法　置一乘益廉得一十二萬八千與上法相乘得一千二百八十萬為益實　添入積内得三千三百六十八萬九千六百為通實　置一自之又以隅筭因之得四萬為隅法　併從方共三十一萬○○八十為下法與上法相乘除實三千一百○○萬八千餘實二百六十八萬一千六百為次實　二因乘過益廉得二十五萬六千為益廉　三因隅法得一十二萬為方法　三因初商得三百為廉法　次商二十　置一於左上為法　置一乘原益廉得二萬五千六百併入乘過益廉得二十八萬一千六百與上法相乘得五百六十三萬二千為益實　添入次實共八百三十一萬三千六百為通實　置一乘廉法得六千隅因得二萬四千　置一自之隅因得一千六百為隅法　併方廉隅共一十四萬五千六百帶從方共四十一萬五千六百八十為下法與上法相乘除實盡 　　後凡言帶從負隅以廉添積開立方法俱倣此 　　又為帶從廉半翻法減從負隅開立方法 　　法曰初商一百　置一於左上為法　置一乘從廉得一十二萬八千以減從方餘一十四萬二千○八十　置一自之隅因得四萬為隅法併減餘從方共一十八萬二千○八十為下法與上法相乘除實一千八百二十○萬八千餘實二百六十八萬一千六百為次商之實　二因從廉得二十五萬六千　三因隅法得一十二萬為方法　三因初商得三百為廉法　約次商得二十　置一於左次為上法　置一乘從廉得二萬五千六百併入前二因從廉得二十八萬一千六百　以減從方不及反減從方二十七萬○○八十餘一萬一千五百二十為負從　置一乘廉法以隅因得二萬四千　置一自之隅因得一千六百為隅法併方廉隅共一十四萬五千六百反減負從餘一十三萬四千○八十為下法與上法相乘除實盡後凡如此類者俱倣此 　　又術曰斜行乘東行筭半之得五百二十二萬二千四百為實　斜行乘東行如東行筭半之得六萬七千五百二十為從方　東行三百二十為從廉如前法求之得半徑 　　不用隅算　添積減從隨意 　　又曰四之斜行以乘東行筭得四千一百七十七萬九千二百為正實　倍斜行乘東行加二之東行筭得二十七萬○○八十為從方　倍東行得六百四十為從廉　如前法開之得全徑二百四十　添積減從俱同 　　乙出城東門上南不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步望乙與城相叅直復斜行一百七十步與乙相㑹問城徑 　　釋曰此以通勾小差 立法測望甲東行通勾也斜行小差 也 　　術曰二行相減餘一百五十為差自之得二萬二千五百以乘東行得七百二十萬為實　倍差以乘東行得九萬六千為從方　倍差得三百為隅算　作負隅減從開平方法除之得半徑 負隅減從開平方法見二卷 〈通勾□勾條〉 　　又術倍東行筭得二十三萬四千八百　倍二行相乘數得一十○萬八千八百　相減餘九萬六千為實　倍東行得六百四十為從作減從開平方法除之得全徑二百四十 　　減從開平方法曰列實于左從于右　約初商得二百置一於左上為法　置一為隅法以減從方餘四百四十為下法與上法相乘除實八萬八千餘八千為次商之實餘從内再減二百餘二百四十為從　次商四十　置一於左上為法　置一為隅法以減從方餘二百為下法與上法相乘除實盡 　　法見二卷底勾□勾條下因從有重位故重出 　　圓城南門外直南不知步數有槐樹一株南門外東行不知步數有栁樹一株槐栁斜相距一百五十三步甲從城外西北隅東行三百二十步望槐栁與城相叅直問城徑 　　釋曰此以通勾明 立法測望二樹斜相距明 也甲東行通勾也 　　術曰通勾自之得一十○萬二千四百為通勾筭二行相乘得四萬八千九百六十　又以二數相乘得五十○億一千三百五十○萬四千為三乘方實明 乘通勾筭三之得四千七百○○萬一千六百為從方　倍二行相乘數以減通勾筭餘四千四百八十為第一廉　倍通勾得六百四十為第二益廉二步為隅法　作帶從負隅以二廉減從方開三乘方法除之得半徑 　　帶上廉負隅以下廉減從開三乘方法曰置所得三乘方實以㢘隅從方約之初商一百　置一於左上為法　置一自之以乘從二廉得六百四十萬為減廉以減從方　餘四千○六十○萬一千六百為從方　置一乘第一廉得四十四萬八千為益廉　置一自乘再乘得一百萬又以隅因之得二百萬為隅法　併從方益廉隅法共四千三百○四萬九千六百為下法與上法相乘除實四十三億○四百九十六萬　餘實七億○八百五十四萬四千為次商之實　四因隅法得八百萬為方法　初商自之六因又以隅法因之得一十二萬為上廉　初商四之隅因得八百為下廉　約次商得二十　置一於左上為法　倍初商加次商得二百二十以乘從二廉得一十四萬○八百併初次商得一百二十因之得一千六百八十九萬六千為減廉　以減餘從餘二千三百七十○萬五千六百為從方　倍初商加次商得二百二十以乘第一廉得九十八萬五千六百為益廉置一乘上廉得二百四十萬　置一自之以乘下廉得三十二萬　置一自乘再乘又以隅因之得一萬六千為隅法　併方法從方廉益上下廉隅法共三千五百四十二萬七千二百為下法與上法相乘除實盡 　　丙出東門南行乙出東門直行各不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步回望乙丙與城相叅直既而乙欲就丙乃斜行三十四步相㑹問城徑釋曰此以通勾□ 立法測望甲東行通勾也乙斜行三十四步就丙□ 也 　　術曰通勾自之得一十○萬二千四百為通勾筭又以通勾増乘得三千二百七十六萬八千　倍□ 乘通勾筭得六百九十六萬三千二百　二數相減餘二千五百八十○萬四千八百為立方實　□ 乘通勾得一萬○八百八十以減二之通勾筭得一十九萬三千九百二十為從方　通勾加五得四百八十為益廉　五分為隅法　作帶從負隅以廉添積開立方法除之得全徑 　　帶從負隅以廉添積開立方曰置所得立方實及從方益廉　約初商得二百　置一於左上為法置一乘益廉得九萬六千與上法相乘得一千 　　九百二十萬為益實添入積内得四千五百○○萬四千八百為實　置一自之得四萬　以隅算五分因之得二萬為隅法　併從方共二十一萬三千九百二十為下法與上法相乘除實四千二百七十八萬四千餘實二百二十二萬○八百倍益廉得一十九萬二千○三因隅法得六萬為方法　三因初商得六百以隅因得三百為廉法約商次位得四十　置一於左上為法　置一 　　乘原益廉得一萬九千二百　併入倍廉得二十一萬一千二百與上法四十相乘得八百四十四萬八千為益實加入餘實得一千○六十六萬八千八百為實　置一乘廉法得一萬二千　置一自之隅因得八百為隅法　併方法從方廉隅共二十六萬六千七百二十為下法與上法相乘除實盡 　　此法已見前通勾太虚 條下因隅𥮅不同故又重出 　　又為帶從以廉減從負隅開立方法 　　其法曰初商二百　置一於左上為法　置一乘從廉得九萬六千以減從方餘九萬七千九百二十為從　置一自之隅因得二萬為隅法　併從方共一十一萬七千九百二十為下法與上法相乘除實二千三百五十八萬四千　餘實二百二十二萬○八百　從方内再減從廉九萬六千餘一千九百二十為從方　三因隅法得六萬為方法　三因初商隅因得三百為廉法　次商四十　置一於左上為法　置一乘從廉得一萬九千二百　以減餘從不及減於從廉内反減餘從一千九百二十餘一萬七千二百八十為負從置一乘廉法得一萬二千　置一自之隅因得八百為隅法併方廉隅共七萬二千八百反減負從餘五萬五千五百二十為下法與上法相乘除實盡 　　又術斜步乘東行筭得三百四十八萬一千六百為立方實斜步乘東行以減半東行筭得四萬○三百二十為從方　半步為隅法　作負隅帶從開立方法除之得勾圓差八十步以減通勾即半徑 負隅帶從開立方法見三卷 〈通勾明股條〉 　　東門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之復斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以通勾下平 立法測望甲東行通勾也斜行至樹下乃川之地下平 也 　　術曰二行相減餘一百八十四為差　倍差減東行以其餘乘東行得一萬五千三百六十為實　倍差得三百六十八為從方　二為隅法作減從負隅翻法開平方法除之得半徑 減從負隅翻法開平方見三卷 〈通勾□股條下〉 　　底勾與别 測望二 　　乙從城外西北乾隅南行不知步數而立甲出北門東行二百步見之復斜行六百八十步與乙㑹 　　釋曰此以底勾通 測望甲出北門東行二百步底勾也斜行六百八十步通 也 　　術曰二行相減餘四百八十曰差　相併得八百八十曰和　差和相乘得四十二萬二千四百減去差筭餘一十九萬二千為實　差和相併得一千三百六十為從　二為隅𥮅　作帶從負隅開平方除之得半徑 　　帶從負隅開平方法曰置實于左從於右約初商得一百　置一於左上為法　置一乘隅算得二百為隅法　併從方共一千五百六十為下法與上法相乘除實一十五萬六千餘實三萬六千倍隅法得四百為廉法　約次商二十　置一於左上為法置一乘隅算得四十為隅法　併從方廉隅共一千八百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從負隅開平方法者俱倣此 　　又術以差筭二十三萬○四百為實以東行步減差餘二百八十為從方　作帶從開平方法除之得三百六十為通勾 較以較減 即通勾以通勾 求容圓法求之得城徑 　　此法以半勾全 求股以求 和較 　　勾 求容圓見一卷 　　南門外不知步數有塔一座東門外往南不知步數有樹甲出北門東行二百步望樹與塔俱與城相叅直及量樹斜距塔二百五十五步 　　釋曰此以底勾下高 立法測望出北門東行二百底勾也塔距樹即日之山下高 也 　　術曰底勾筭與下高 相乘得一千○二十萬為立方實　以底勾筭四萬為從方　高 為從廉　作帶從方廉開立方法除之得半徑 　　帶從方廉開立方曰置實于左以從方從廉約之初商一百　置一於左上為法　置一乘從廉 　　得二萬五千五百　置一自之得一萬為隅法併從方從廉隅共七萬五千五百為下法與上法相乘除實七百五十五萬　餘實二百六十五萬二因從廉得五萬一千　三因隅法得三萬 　　相併得八萬一千為方法　三因初商得三百帶從廉得五百五十五為廉法　次商二十　置一於左上為法　置一乘廉法得一萬一千一百置一自之得四百為隅法　併方法從方廉隅共一十三萬二千五百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從方廉開立方法者俱倣此 　　南門外不知步數有樹乙從南門東行亦不知步數而立甲出北門東行二百步望樹與乙與城相叅乙復斜行一百五十三步至樹下與甲相望問城徑釋曰此以底勾明 立法測望甲出北門東行底勾也乙斜行至樹下明 也 　　術曰半底勾乘明 得一萬五千三百為實二行相併半之得一百七十六步半為從方半為隅算　作帶從負隅開平方法除之得七十二為明勾 　　帶從負隅開平方法見前底勾通股條 　　求城徑以明勾乘底勾平方開之得半徑 　　又曰勾 求股以明勾股求容圓法求之得全徑 　　東門外往南有樹乙出東門直行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與樹俱與城相叅直乙遂斜行三十四步至樹下 　　釋曰此以底勾□ 立法測望甲出北門東行底勾也乙斜行至樹下□ 也 　　術曰底勾減二□ 餘一百三十二以底勾乘之得二萬六千四百　又以□ 筭一千一百五十六乘之得三千○五十一萬八千四百為三乘方實　倍底勾以□ 筭乘之得四十六萬二千四百為從方底勾減□ 　餘自之得二萬七千五百五十六 　　為從一廉底勾減□ 餘倍之得三百三十二為從二廉　作帶從方上廉以下廉減從開三乘方法除之得□股三十求城徑以□勾股求容圓法求之帶從方廉以下廉減從開三乘方曰約初商得三十　置一於左上為法　置一自之得九百以乘從二廉得二十九萬八千八百為減廉以減從方餘一十六萬三千六百為從方　置一乘第一廉得八十二萬六千六百八十為益廉　置一自乘再乘得二萬七千為隅法　併從方益廉隅法共一百○一萬七千二百八十為下法與上法相乘除實盡得三十為□股 後凡如此類者俱倣此 　　乙出南門東行不知步數而立甲出北門東行二百步見之乃斜行二百七十二步與乙相㑹 　　釋曰此以底勾黄長 立法測望東行底勾也斜行黄長 也 　　術曰二行相減餘七十二為差以乘甲東行得半徑筭四之即全徑筭各以平方開之 　　乙出東門南行不知步數而立甲出北門東行二百步見之斜行一百七十步與乙㑹 　　釋曰此以底勾小差 立法測望乙出東門行三十步乃東之山甲出北門東行底勾也斜行與乙㑹乃山之地小差 也 　　術曰以二行差三十乘甲東行得六千為平實以斜行一百七十為從方　作減從翻法開平方法除之得半徑 　　減從翻法開平方法見二卷及三卷底勾□股條 　　乙出東門東行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城相叅直乃斜行一百三十六步與乙㑹釋曰此以底勾下平 立法測望甲東行底勾也斜行與乙㑹下平 也 　　術曰倍二行差以減東行步餘七十二以乘東行得半徑筭倍平 減底勾以底勾乘之亦同 　　大差勾與别 測望三 　　乙從城外東北艮隅東行不知步數而立甲從城外西南坤隅東行一百九十二步望乙與城角相叅直復斜行二百七十二步與乙㑹 　　釋曰此以大差勾黄長 立法測望甲從坤隅東行為坤之月大差勾也斜行與乙㑹乃月之地黄長 也 　　術曰倍大差勾減黄長 餘一百一十二為倍勾減 差自之得一萬二千五百四十四　黄長 自之得七萬三千九百八十四　相減餘六萬一千四百四十為平實　以倍勾減 差四之得四百四十八為從　八為益隅　作負隅減法開平方法除之得半徑 　　負隅以從減法開平方曰置實于左以從約之初商一百　置一于左上為法　置一乘隅法得八百以減去從方四百四十八餘三百五十二為下法與上法相乘除實三萬五千二百　餘實二萬六千二百四十　倍隅法得一千六百為廉法次商二十　置一於左上為法　置一乘隅法得一百六十　併入廉法共一千七百六十減去從方四百四十八餘一千三百一十二為下法與上法相乘除實盡 　　後凡言負隅以從減法開平方法者倣此 　　又為以從添積負隅開平方法詳見八卷皇極 和和與太虚勾股較條下 　　明勾與别 測望四 　　乙出東門不知步數而立甲出南門東行七十二步見之又斜行一百三十六步就乙 　　釋曰此以明勾平 測望甲出南門東行七十二步明勾也斜行就乙乃月之川下平 也 　　術曰斜行自之得一萬八千四百九十六為平 筭二行相減餘六十四自之得四千○九十六為差筭即平勾筭以減 筭餘為平股筭開之得股平股即圓半徑也 　　乙出東門南行不知步數而立甲出南門往東七十二步見乃斜行一百○二步與乙㑹問城徑 　　釋曰此以明勾太虚 立法測望甲出南門東行明勾也斜行就乙太虚 也 　　術曰二行相減餘三十為差斜行自之為斜筭　倍差乘東行又倍之為八千六百四十以減斜筭餘一千七百六十四平方開之得四十二為較　倍差乘東行得四千三百二十為實　較為從方　平方開之得四十八為虚勾　加較為股　併 為 和和即城徑 　　測圓海鏡分類釋術卷四