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欽定四庫全書
測圓海鏡卷二
元 李冶 撰
正率一十四問
假令有圓城一所不知周徑四面開門門外縱横各有十字大道其西北十字道頭定為乾地其東北十字道頭定為艮地其東南十字道頭定為㢲地其西南十字道頭定為坤地所有測望雜法一一設問如後
或問甲乙二人俱在乾地乙東行三百二十步而立甲南行六百步望見乙問徑幾里
答曰城徑二百四十步
法曰此為勾股容圓也以勾股相乗倍之為實併勾股冪以求
復加入勾股共以為法
草曰置甲南行六百步在地以乙東行三百二十步乘之得一十九萬二千步倍之得三十八萬四千步為實以乙東行步自之得一十萬零二千四百步為勾冪以甲南行步自之得三十六萬步為股冪二冪相併得四十六萬二千四百步為
方實以平方開之得六百八十步則
也以
加勾股共共得一千六百步以為法如法而一得二百四十步則城徑也合問
或問甲乙二人俱在西門乙東行二百五十六步甲南行四百八十步望見乙問答同前
法曰此為勾上容圓也以勾股相乘倍之為實併勾股冪以求
加入股以為法
草曰置甲南行四百八十步在地以乙東行二百五十六步乘之得一十二萬二千八百八十步倍之得二十四萬五千七百六十步為實以乙東行步自之得六萬五千五百三十六步為勾冪以甲南行步自之得二十三萬零四百步為股冪勾股冪相併得二十九萬五千九百三十六步為
方實以平方開之得五百四十四步為
也以加入南行步共得一千零二十四步以為法而一得二百四十步則城徑合問
或問甲乙二人俱在北門乙東行二百步而止甲南行三百七十五步望見乙問答同前
法曰此為股上容圓也以勾股相乘倍之為實以勾股冪求
加入勾以為法
草曰置甲南行三百七十五步以乙東行二百步乘之得七萬五千步倍之得一十五萬步為實以乙東行自之得四萬步為勾冪以甲南行自之得一十四萬零六百二十五步為股冪勾股冪相併得一十八萬零六百二十五步為
方實如平方而一得四百二十五步則
也加入乙東行二百步共得六百二十五步以為法以法除之得二百四十步則城徑也合問
或問甲乙二人俱在圓城中心而立乙穿城向東行一百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望見乙問答同前
法曰此為勾股上容圓也以勾股相乘倍之為實併勾股冪如法求
以為法
草曰以二行步相乘得三萬四千六百八十步倍之得六萬九千三百六十步為實置乙東行自之得一萬八千四百九十六步為勾冪又以甲南行自之得六萬五千零二十五步為股冪二冪相併得八萬三千五百二十一步為
方實以平方開之得二百八十九步即
也便以為法如法除實得二百四十步即圓城之徑也合問
或問甲乙二人同立於乾地乙東行一百八十步遇塔而止甲南行三百六十步回望其塔正居城徑之半問答同前
法曰此為
上容圓也以勾股相乘倍之為實以勾股和為法
草曰以二行步相乘得六萬四千八百步倍之得一十二萬九千六百步為實併二行步得五百四十步以為法除實得二百四十步即城徑也合問
或問甲乙二人俱在坤地乙東行一百九十二步而止甲南行三百六十步望乙與城㕘相直問答同前法曰此為勾外容圓也以勾股相乘倍之為實以
較和為法
草曰以二行步相乘得六萬九千一百二十步倍之得一十三萬八千二百四十步為實置乙東行自之得三萬六千八百六十四步為勾冪又置甲南行自之得一十二萬九千六百步為股冪二冪相併得一十六萬六千四百六十四步為
方實以平方開之得四百零八即
也又置甲南行步内減乙東行步餘一百六十八步即較也以較加
共得五百七十六步以為法實如法而一得二百四十步為城徑也合問
按此題用勾股求得
即可加減得
較較為城徑今必以勾股相乘倍積為實求得
加減得
較和為法而後始得
較較為城徑者蓋欲因此並明勾股相乘之倍積為
較較
較和相乘之積非故為紆廻也
或問甲乙二人同立於艮地甲南行一百五十步而止乙東行八十步望乙與城㕘相直問答同前
法曰此為股外容圓也以勾股相乘倍之為實以
較較為法
草曰二行步相乘得一萬二千倍之得二萬四千步為實以甲南行自之得二萬二千五百步為股冪又以乙東行步自之得六千四百步為勾冪勾股冪相併得二萬八千九百步為
方實以平方開之得一百七十步即
也以二行步相減餘七十步為勾股較也以此較又減
餘一百步即
較較也便以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問按此題係
較和為城徑其用法實以較取和之意與上題同
或問甲乙二人同立於㢲地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙與城㕘相直問答同前
法曰此為
外容圓也勾股相乘倍之為實以
和較為法
草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八千六百四十步為實以甲北行自之得八千一百步為股冪又以乙西行自之得二千三百零四步為勾冪併二冪得一萬零四百零四步為
方實以平方開之得一百零二步為
也又併二行步得一百三十八步為和以
減和餘三十六步得黄方以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問
按此題
和和即城徑其以勾股相乘倍積為實黄方為法者亦以明
和和黄方相乘之積與勾股相乘之倍積為相等也
或問甲乙二人俱在南門乙東行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙與城㕘相直問答同前法曰此為勾外容圓半也以勾股相乘倍之為實以大差為法
草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一萬九千四百四十步為實又以乙東行自之得五千一百八十四步為勾冪又以南行自之得一萬八千二百二十五步為股冪二冪相併得二萬三千四百零九步為
方實以平方開之得一百五十三步即
也以乙東行七十二步為勾以減
餘八十一步即勾
差也便以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問
或問甲乙二人俱在東門甲南行三十步而止乙東行一十六步回望甲與城㕘相直問答同前
法曰此為股外容圓半也以勾股相乘倍之為實以小差為法
草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六十步為實又以乙東行自之得二百五十六步為勾冪又以甲南行自之得九百步為股冪二冪相併得一千一百五十六步為
方實以平方開之得三十四步即
也以甲南行三十步為股以減
餘四步以為法以法除實得二百四十步即城徑也合問
或問甲出西門南行四百八十步而止乙出東門南行三十步望見甲問答同前
法曰此為半矮梯也以二行步相乘為實如平方而一得半徑
草曰以二行步相乘得一萬四千四百步為實以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
又問甲乙二人乙出南門折而東行七十二步而止甲出北門折而東行二百望見乙問答同前
法曰以二行步相乘得數四之為實如平方而一得城徑
草曰二行步相乘得一萬四千四百步又四之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問
又假令乙出南門折東行二十步甲出北門折東行七百二十步如此之類亦同上法
〈以上三問是以半矮梯求之〉按右三題通為一問
或問甲乙二人乙在艮地東行八十步而立甲在坤地南行三百六十步望見乙問答同前
法曰此為兩差求黄方也以二行步相乘倍之為實以平方開得城徑
草曰二行步相乘得二萬八千八百步倍之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問 别得甲南行即股圓差也乙東行即勾圓差也
或問甲出東門四十八步而立乙出南門四十八步見之問答同前
法曰此當以方五斜七求之每出門二步管徑十步草曰置出門步在地以五之得二百四十步即城徑也據此法合置出門步在地以十之二而一以二數相折故五因便是合問
按方五斜七古率非密率也設問以盡此題之變故率之踈密勿論
或問出西門南行四百八十步有樹出北門東行二百步見之問答同前
法曰以二行步相乗為實二行步相併為從二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑置南行步在地内減天元半徑得□□為股圓差
〈按斜畫者少之記也□□是為四百八十步少一元也下倣此〉又置乙東行步在地内減天元得下式□□為勾圓差以勾圓差乘股圓差得丨□□
〈按丨□□為一平方少六百八十元多九萬六千步〉為半段黄方冪即城冪之半也
〈寄左〉又置天元冪以倍之得□□亦為半段黄方冪與左相消得丨□□如帶縱法之得半徑合問
〈按相消者取上兩相等之數同加減相等之數使一為步數一為方元數仍相等也如寄數内減一平方加六百八十元則得九萬六千步又數内亦減一平方加六百八十元則得一平方六百八十元是為一平方六百八十元與九萬六千步等故其式為丨□□舊稿方元數皆作斜畫以别之然遇方元數有多少異號者殊混人目今不用〉
又法識别得二行併即大
也立天元一為半徑置甲南行步加天元一得□□為大股又置乙東行步加天元得□□為大勾也勾股相乘得丨□□為一个大直積以天元除之得下式□□□為三事和
〈寄左黄方除倍積得三事和今以半黄方除直積亦為三事和也〉然後併二行步又併入勾股共得□□為同數與左相消得□□□以帶縱平方開之得一百二十步倍之得全徑也合問按是書皆先法後草草者以立天元一推衍而得其方元積數者也法者又取推衍中之支節條目融㑹而歸於簡約者也草者法之本法者草之用法使人易於推步而草則存其義以俟知者二者相須不可偏廢顧應祥僅演其開方乘除之數而去其細草蓋亦不得其理矣
按元時未有筆算故加減乘除之式不能詳載觀者遂以為無下手處今借根方法既明視此則渙如氷釋矣
測圓海鏡卷二