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曆法
《後漢書》
昔者，聖人之作曆也，觀璇璣之運，三光之行，道之發斂，景之長短，斗綱之建，靑龍所躔，參伍以變，錯綜其數，而制術焉。
天之動也，一晝一夜而運過周，星從天而西，日違天而東。日之所行與運周，在天成度，在曆成日。居以列宿，終于四七，受以甲乙，終于六旬。
日月相推，日舒月速。當其同度，謂之合朔。舒先速後，近一遠三，謂之弦。相與爲衡，分天之中，謂之望。以速及舒，光盡體伏，謂之晦。晦朔合離，斗建移辰，謂之月。
日月之行，則有冬有夏，冬夏之間，則有春有秋。是故日行北陸謂之冬，西陸謂之春，南陸謂之夏，東陸謂之秋。日道發南，去極彌遠，其景彌長，遠長乃極，冬乃至焉。日道斂北，去極彌近，其景彌短，近短乃極，夏乃至焉。二至之中，道齊景正，春秋分焉。
日周于天，一寒一暑，四時備成，萬物畢改，攝提遷次，靑龍移辰，謂之歲。歲首，至也，月首，朔也。至朔同日謂之章，同在日首謂之蔀，蔀終六旬謂之紀，歲朔又復謂之元。是故日以實之，月以閏之，時以分之，歲以周之，章以明之，蔀以部之，紀以記之，元以原之。然後雖有變化萬殊，贏朒無方，莫不結系于此而稟正焉。
極建于中，道營于外，璇衡追日，以察斂，光道生焉。孔壺爲漏，浮箭爲刻。下漏數刻，以考中星，昏明生焉。
日有光道，月有九行。九行出入，而交生焉。朔會望衡，隣於所交，虧薄生焉。月有晦朔，星有合見，月有弦望，星有留逆，其歸一也，步術生焉。
金水承陽，先後日下。速則先日，遲而後留。留而後逆，逆與日違。違而後速，速與日競，競又先日。遲速順逆，晨夕生焉。日月五緯，各有終原，而七元生焉。見伏有日，留行有度，而率數生焉。
參差齊之，多少均之，會終生焉。引而伸之，觸而長之，探赜索隱，鉤深致遠，無幽辟潛伏，而不以其精者然。故陰陽有分，寒暑有節，天地貞觀，日月貞明。
若夫祐術開業，淳燿天光，重黎其上也。
〈顓頊曰重黎。〉承聖帝之命若昊天，典曆象三辰，以授民事，立閏定時，以成歲功，羲和其隆也。
〈唐虞夏商曰羲和。〉
取象金火，革命創制，治曆明時，應天順民，湯武其盛也。
〈月令章句曰：「帝舜叶時月正日，湯武革命，治曆明時。」言承平者叶之，承亂者革之。〉
及王德之衰也，無道之君亂之於上，頑愚之史失之於下。夏后之時，羲和淫湎，廢時亂日，胤乃征之。紂作淫虐，喪其甲子，武王誅之。
夫能貞而明之者，其興也勃焉，回而敗之者，其亡也忽焉。巍巍乎若道天地之綱紀，帝王之壯事，是以聖人寶焉，君子勤之。
夫曆有聖人之德六焉。以本氣者尙其體，以綜數者尙其文，以考類者尙其象，以作事者尙其時，以占往者尙其源，以知來者尙其流。
大業載之，吉凶生焉，是以君子將有興焉，咨焉而以從事，受命而莫之違也。若夫用天因地，揆時施教，頒諸明堂，以爲民極者，莫大乎月令。帝王之大司備矣，天下之能事畢矣。過此而往，群忌苟禁，君子未之或知也。
斗之二十一度，去極至遠也。日在焉而冬至，群物於是乎生。故律首黃鍾，曆始冬至，月先建子，時平夜半。
當漢高皇帝受命四十有五歲，陽在上章，陰在執徐，冬十有一月甲子夜半朔旦冬至，日月閏積之數皆自此始，立元正朔，謂之漢曆。又上兩元，而月食五星之元，並發端焉。
曆數之生也，乃立儀表，以校日景。景長則日遠，天度之端也。日發其端，周而爲歲，然其景不復。四周千四百六十一日，而景復初。是則日行之終。以周除日，得三百六十五四分度之一，爲歲之日數。日日行一度，亦爲天度。察日月俱發度端，
〈卽是起舍合朔。〉日行十九周，月行二百五十四周，復會于端，是則月行之終也。以日周除月周，得一歲周天之數。以日一周減之，余十二十九分之七，則月行過周及日行之數也，爲一歲之月。以除一歲日，爲一月之數。月之餘分積滿其法，得一月，月成則其歲大。
月四時推移，故置十二中以定月位。有朔而無中者爲閏月。中之始曰節，與中爲二十四氣。以除一歲日，爲一氣之日數也。其分積而成日爲没，幷歲氣之分，如法爲一歲没。没分于終中，中終于冬至，冬至之分積如其法，得一日，四歲而終。
月分成閏，閏七而盡，其歲十九，名之曰章。章首分盡，四之俱終，名之曰蔀。以一歲日乘之，爲蔀之日數也。以甲子命之，二十而復其初，是以二十蔀爲紀。紀歲靑龍未終，三終歲後復靑龍爲元。
《山堂考索》
曆數之起尙矣。伏羲畫八卦以象二十四氣，炎帝分八節以起農功，黃帝迎日推策，乃使羲和占日常儀占月，車區占星氣，大撓造甲子，隷首作算數。容成綜斯六術，考定氣象，建五行，察發斂，起消息，正閏餘，述而著焉，謂之調曆。洎于少昊，以鳥名官，而鳳鳥氏實爲曆正，元鳥氏司分，伯趙氏司至，靑鳥氏司啓，丹鳥氏司閉。顓帝則南正重司天，北正黎司地，建孟春以爲元，是爲曆宗，其後三苗亂德，二官咸廢，而閏餘乖次，孟陬殄滅，攝提失方。堯復育重黎之後，使纂其業。
〈西漢志〉
書曰：「乃命羲和，欽若昊天，曆象日月星辰，敬授人時。」「朞，三百六旬有六日，以閏月定四時成歲。」夏至太康，羲和廢職，唐一行曰：「湯作商曆，以十一月甲子合朔冬至爲上元。」又曰：「商曆得庚寅一分，周曆得己丑二分。武王訪箕子，言大法九章，而五紀明曆法。故自商周咸正曆紀，以應天道。周衰，天子不班朔，魯曆不正，以閏餘一之歲爲蔀首。故春秋「襄二十七年十一月乙亥朔，日有蝕之。」於是辰在申，司曆以爲在戌。史書建亥。哀十二年，亦以建申流火之月爲建亥，而怪蟄虫之不伏也。自文公閏月不告朔，至此百有餘年，莫能正曆數。五伯之末史官所紀，惟有黃帝顓帝夏殷周及魯曆，秦兼天下，用顓帝曆，推五勝而自以爲獲水德，乃以十月爲正，色尙黑。
〈前漢志〉
唐志曰：「唐終始二百九十餘年，而曆八改。」初曰戊寅元曆，蓋高祖時傅仁均所造也。用於武德之二年，閱明年而月蝕比不驗。明年詔祖孝孫等考定，乃略去其尤踈闊者，其後崔善爲李淳風，復更定其數十條。淳風又言：「仁均減除稍多，定朔遂差二刻。」其二曰麟德甲子元曆，高宗時，李淳風作也。戊寅曆推步旣踈，淳風乃增損劉焯皇極曆，作是曆。古曆有章蔀，紀元有日分度分，參差不齊，淳風爲摠法千三百四十以一之。損益中晷術以考日至，爲木渾圖以測黃道，當時以爲密與太史令瞿曇羅所上經緯曆，參行。
其三曰開元大衍曆。僧一行所作也。開元九年，麟德曆書日食比不效，詔一行作新曆，推大衍數立術以應之，較經史所書氣朔日名宿度可考者，皆合。本志曰：「自太初至麟德，曆有二十三家，與天雖近而未密也。至一行，密矣，其倚數立法，固無以易也。後世雖有作者，皆依倣而已。」切考其詳，本於天地之二中，始於冬至之中氣，以晦朔定日月之會，以日度正周天之數，以卦氣定七十二候，以中星定二十四氣，其原皆出於易。自春秋以來，至開元十二年，冬夏凡三十一事，戊寅曆得十六，麟德曆得二十三，而開元得二十四。用此例，以校古今之薄蝕五星之變差，而開元曆課皆第一，然開元十二年七月朔，十三年十二月朔，於曆當蝕而皆不蝕。杜預有云：「日月動物，雖行度有大量，不能不小有盈縮，故有雖交會而不食者，或有頻交而食者。」是也。若因開元二蝕，曲變交限而從，則差者益多矣。肅宗時，山人韓穎言：「大衍或誤。」穎乃增損其術，更名曰至德曆。
其四曰寶應五紀曆。司天郭獻之等所上也。代宗以至德曆不與天合，詔獻之等，復用麟德元紀，更立歲差，增損遲疾交會及五星差數，以寫大衍舊術。上元七曜，起赤道虛四度。帝爲製序，題曰五紀曆。其與大衍小異者，九事而已。
其五曰建中正元曆，司天徐承嗣所上也。德宗時，五紀曆氣朔加時稍後天，推測星度與大衍差率頗異。徐承嗣等雜麟德大衍之旨治新曆。上元七曜，起赤道虛四度。建中四年曆成，名曰正元。其氣朔發斂日躔月離晷漏交會，悉如五紀法。
其六曰元和觀象曆，司天徐昻所上也。憲宗元和二年用之，然無章蔀之數，至於發歛啓閉之候，循用舊法，測驗不合。
其七曰長慶宣明曆。穆宗卽位，以爲累世纘緖，必更曆紀，乃詔日官改撰曆術，名曰宣明。上元七曜，起赤道虛九度。其氣朔發斂日躔月離，皆因大衍舊術，晷漏交會則稍增損之，更立新數，以步五星。
其八曰景福崇元曆，邊岡所造也。昭宗時，宣明曆施行已久，數亦漸差，邊岡算改治新曆。岡用算巧能馳騁，反復于乘除間。雖籌策便易，而冥於本原。
〈用唐志。〉
一行曆議曰：「易：『天數五，地數五，五位相得各有合。所以成變化而行鬼神也。』天數始於一，地數始於二，合二始以位剛柔。天數終於九，地數終於十，合二終以紀閏餘。天數中於五，地數中於六，合二中以通律曆。天有五音，所以司日也。地有六律，所以司辰也。參伍相周，究於六十，聖人以此見天地之心也。自五以降，爲五行生數，自六以往，爲五材成數，五十爲大衍之母。蓍數之變，九六各一，乾坤之象也，七八各三，六子之象也。故爻數通乎六十，星爲天地之樞，如環之無端，蓋律曆之大紀也。」歐陽公曰：「曆起於數，數者，自然之用。其用無窮，而無所不通，以之於律於易，皆可合也。〈太初以律起數，大衍以易起數。〉然其要在於候天地氣，以知四時寒暑，而仰察天日月星之行運，以相參合而已。然四時寒暑，無形而運於下，天日月星，有形而見於上，二者常動而不息。一有一無，出入升降，或遲或疾，不相爲謀。其久而不能無差忒者，勢使之然也。故爲曆者，其始未嘗不精密，其後多踈而不合，亦理之然也。不合則屢變其法以求之。自堯舜三代以來，曆未嘗同也。」吾嘗因是，而觀諸易矣。革之象曰：「澤中有火，革君子以治曆明時。」天下之事可革者，多矣。而聖人必以曆言者，蓋事之在天下，最易差者莫如曆，而不可不修者莫如曆。
四朝志曰：「自古帝王必先考正曆象，蓋將以前民用授人時也。然以聖人之智，其於天地之理，陰陽五行之運，日月星辰之紀，考驗推測無有不盡，其至立法倚數，固宜歷萬世而不忒，往往傳之稍久，其應輒差，何哉？天地之數，其妙而不可測者，常在於秒忽毫釐之際，而其象與氣，推移嬴縮，亦有時而不齊，故雖聖智不能盡窮，積以歲月，則曆之不能無差，理固然也。聖人不能使曆之無差，嘗因其差而正之。而曆家者流往往各持其說，以相矛盾，主其議者，又從而以私意輕重之。漢唐以來，曆之所以數變而無一定之說，亦有由矣。大抵漢曆五變而太初最密，唐曆八改而大衍最密。宋朝初用欽天曆，至太平興國中始更定曆，名曰乾元。至咸平復改曰儀天，天聖曰崇天，嘉祐曰明天，熙寧曰奉元，元祐曰觀天，崇寧曰占天，後復改曰紀元。蓋自乾元以至紀元，凡八變，雖法不同，至於前民用授人時，其歸則一矣。」自漢改曆之初，洛下閎謂八百年後當差一度。然當時史官攷諸中星，知太初曆已差五度，而閎不知察。蓋古之爲曆，未知有歲差之法。其論冬至日月躔之宿，一定不移，而不知今歲之日躔在冬至者，視去歲冬至之日躔，常有不及之分，至晉虞喜始覺其差，遂立歲差之法，以五十年日退一度，然失之太過。宋何承天倍增其數，以百年退一度，又反不及。至隋劉焯，取二家中數，以七十五年退一度，較之二家之曆，雖爲差近，亦未甚密。故唐一行復以大衍之法推之，乃得八十三年而差一度。自唐以來，曆家皆宗其法，迄于今日，又不若統天曆之爲漸密也。大衍立法謂：「日躔於一歲之間，行周天度未編餘分，而日已至焉。每歲若有不及之分，故一度爲三千四十分，其所差之分一歲三十有六太積，而至於八十三年，則差一度矣。」然猶未也。攷古驗，今其實七十九年而退一度，故是堯時之日月在虛一度，自是而降，漸退在女，又過在斗，自牽牛而退，在斗二十六，歷斗二十五，迤𨓦而退，則在建星矣。知歲差之法，則知古今之中星不同，可坐而判，或者不知歲差之法，每以堯典校之，月令至於今日，不啻差一次矣。求其說而未得，遂謂節氣有初中之殊，又謂古以午爲中，今以未爲中，是皆自欺之說，固不足信。
蓋嘗攷諸經史，自堯以來，至于宋朝，冬至日躔，各自不同。然後知歲差之法固不可廢。大衍曆推帝堯演紀之端，日在虛一度，則鳥火虛昴皆以仲月昏中，合於堯典。考諸堯時日之所在，冬至在虛一度，夏至在柳十四度，春分在胃十二度，秋分在氐十度。至唐開元大衍曆，冬至日在斗十度，夏至在井十六度，春分在奎七度，秋分在軫十四度。今之統元曆，冬至在斗二度，夏至在井十八度，春分在奎初度，秋分在軫七度。自冬至之日，黃道至斗爲極南，黃道極南之所，出辰入申，故日亦出辰入申，又漸退而北行。至於春分，正當黃赤道之交，出卯入酉，故日亦出卯入酉。進而至夏至，黃道至井而極北，黃道極北之所，出寅入戌，故日亦出寅入戌。自夏至後，日漸退，而至於秋分，復當黃赤道之交，出卯入酉，故日亦出卯入酉。又退而至於冬至，復如初極之於南矣。日之出入也，北而復南，南而復北者，黃道之勢使然也。故太元經曰：「日，一北而萬物生，一南而萬物死。」正謂是矣。月之行天也，循黃道內外而東。黃道內曰陽曆，外曰陰曆，黃道與赤道相去最遠者二十四度，月道與黃道相距最遠者六度。日行黃道，月行九道。靑道二出黃道東，朱道二出黃道南，白道二出黃道西，黑道二出黃道北，其交必由於黃道而出入，故兼言爲九道也。然此特言其大槪爾。至五代，王朴乃以黃道一周，分爲八節，一節之中，分爲九道，盡七十二道，而斜正之勢，無所隱遯，日月之行道，備於此矣。日之行也舒，月之行也速，當其同度，謂之合朔。舒先速後，近一遠三，謂之弦。相與爲衡分天之中，謂之望。以速及舒，光盡體伏，謂之晦。其循黃道左右而進也，春分弦於東井，亦猶日之夏至而極北也，秋分弦於南斗，亦猶日之冬至而極南也。然不可與日同測景者，以月有入陰陽曆之差也。故周官有冬夏致日，春秋致月者，此也。至五星之行，其出入夫陰陽之曆，大略與日月不異，然其伏見遲留進退前後，又各不同，當以五緯推步法，求之可也。
〈渾儀略說〉
裴冑之問董生曰：「日常右轉，星常左轉，大凡不滿三萬年。日行周二十八舍，三百六十五度。然必有差，約八十年差一度。自漢文帝三年甲子冬至，日在斗二十二度，至唐興元元年甲子冬至，日在斗九度，九百六十一年，差十三度矣。」〈唐李肇國史補〉
西漢之曆，莫善於太初，東漢之曆，莫善於四分，由魏至隋，莫善於皇極。在唐則大衍爲善，在五代則欽天爲善。然其立法各有不同。太初以八十一爲日法，四分則用蔀月九百四十，皇極則用一千二百四十二，大衍則用二千四十，欽天則用七千二百，其多寡之異，何耶？太初以三百八十五爲斗分，四分則用章法十九，皇極則用萬二千一十有六，大衍又以七百七十九爲虛分，欽天則一千八百八十四，其增損又如此之異，何耶？泰初諸曆，則日爲一法，度爲一法，至大衍，又合日度爲一法，太初諸曆，則餘分置於斗分，至大衍則餘分置於虛分，此又何耶？太初之曆，本於鍾律，以八十一分爲通母，其數起於黃鍾之籥而終，漢之曆號爲最詳。開元之曆，求乎大衍，以四十九分爲算而終，唐之世號爲最密。是非所祖之多門，而爲數則同也。
黃帝造曆，元起辛卯，高陽氏起乙卯，虞舜用戊午，夏商周以三統改正朔，是非立元之多門，而爲數則同也。漢靈帝時，劉洪作乾象曆，以五百八十九爲紀，四百四十五爲斗分。魏文帝時，韓翊造黃初曆，以四千八百八十三爲紀法，千二百五爲斗分。漢之曆或八十一爲法，魯之曆或以九百四十爲算。是非倚數之多門，而爲數則一也。若夫孝昭淸臺之候課諸曆法，號爲得宜，而張壽王書，乃以陰陽不調爲更曆之過。章帝元和之詔，用四分曆，其法頗密，而馮光陳晃之論，乃以爲不合於圖讖，此皆不經之言也。
切求之，二十八宿循天而左行，一日一夜一周天，周天之外，更行一度，計一年三百六十五度四分度之一也。日一日行一度，則是一歲一周天也。月一日行十三度十九分度之七，凡二十七日而周天一匝，更行十九度半餘，遂於日與之會，以所次之辰。故傳曰：「日月相會謂之辰。周天之度，各分爲九百分，則歲之變，凡有三十三萬一千七百分。一日九百分，一年而餘小。盡六日得五千四百分，又計五日四分日之一，凡有四千七百分，幷之而爲一萬一千七百分，以當十一日半弱。兩歲則餘二萬三千四百分，以當二十二日半小弱。〈前剩一百分跨一日，故曰弱。此添剩四百分，故曰小弱。〉三歲則餘三萬四千六百分，以當三十四日小强。〈凡四百五十分爲半，此六百，故曰小强。〉所以曆家於三年，置一閏，用以歸受，此三年之餘分也。然三年一閏，故用二十九日。約周天之餘度，二萬六千一百分耳。尙更剩前二年中，八千五百分，通後第四年所餘一萬一千七百分，而二萬零二百分，以當一十三日半，小弱。〈余四百分，故曰小弱。〉及五年，則三萬一千九百分，以當三十四日，半强。故五歲再閏也。此三十四日，猶有餘分，又積歸後年置閏，若前年置閏之月，大餘則後閏大餘分也。」姚說同禮書曰：「周天三百六十五度四分度之一，而一歲凡十二月，除月之小者，而計其餘積，三十二月，而適得一月之數，故三年而一閏，五年而再閏，八年而三閏，十年而四閏，十三年而五閏，十六年而六閏，十九年而七閏。」閏月斗指兩辰間，古今之所常驗。大槪以閏月無中氣，亦非常月所可比，而斗之居中央，臨四方，分陰陽，建四時，均五行，移節度，定諸紀。在遷固等史，必云皆係於斗者的，以斗之所指，未嘗有差故也。是以月令取昏旦之中星，以王弼文必以月建之辰爲取信者，不無謂也。
按：堯時，冬至日在虛昏中昴，月令冬至日在斗昏中壁而中星，古今不同者。蓋天有三百六十五度四分度之一，歲有三百六十五日四分日之一，天度四分之一而有餘，歲日四分之一而不足。故天度常平運而舒，日道常內轉而縮，天漸差而西，歲漸差而東，此卽歲差之由。唐一行所謂歲差者，日與黃道俱差者，是也。古曆簡易，未立差法，但隨時占候修改，以與天合。至東晉虞喜，始以天爲天，以歲爲歲，乃立差法，以追其變，約以五十年而退一度。何承天以爲太過，乃倍其年，而又反不及。至隋劉焯，取二家中數，爲七十五年，蓋爲近之。
〈書說〉
曆之名，始於黃帝，曆之算，定於容城。夫上稽天象，下正人時，非曆有所不可。故有起之以律者矣，累實於黃鍾是已，有積之以數者矣，較分於絲毫是已，又有驗之以象者矣，作儀於渾天是已。然由古迄今言天者凡幾，而造曆者尤非一家，終不能保其曆之不變者，曆法之不容不變也。是故黃帝起辛卯，顓帝用乙卯，夏用丙寅，殷用甲寅，周用丁巳，魯用庚子，此則曆元之可驗者也。夏四百三十二年，日差五度，商六百二十八年，日差八度，周訖春秋，日差八度，戰國及秦，日差三度，此則曆差之可証者也。斗分未易考也。古曆謂在建星。賈逵謂在牽牛中星，范曄謂在斗十一度，則言斗分者，爲不同日度未易稽也。秦曆以孟春在營室五度，三統以立春在危十六度，元嘉以正月中在室一度，則言日度者爲不一。然曆取更曆之義，故世代更曆，群言不厭其紛，諸家不憚其異，否則治曆明時之語，聖人何以特取於革哉！嘗因是而爲之說，曰：「革之爲言，更也。」聖人序卦，至四十九，而特以革卦居焉。是又發明大衍之數，足以治曆也。
以大衍起數者，自伏羲始，以大衍名曆者，自一行始。夫衍者，演天地之數也。後世之曆多以古律起，而一行大衍曆，獨以易數起焉。勾稽微秒分積毫釐，蓋有得於伏羲之遺畫，君子安可以踈議一行哉。今以大衍曆觀之，一六爲爻位之統，五十爲大衍之母，合二始以位剛柔，所以明天一地二之數也。合二中以通律曆，所以正天五地六之數也。合二終以紀閏餘，所以窮天九地十之數也。以生乘成，吾於六百，而得天中之積焉。以成乘生，吾又於六百，而得地中之積焉。自一六至五六，一七至五七，一八至五八，一九至五九，一十至五十，生成相乘，各有六百，吾又於是，而得千二百之算焉。一行固非拘於數者。蓋積忝之法可行，而忝之小大則不可積，斷竹之制可倣，而孔之厚薄則不可均，按尺之說可驗，而尺之長短則不可証，又孰若以無形而御有形，以不物而制有物哉！吁此大衍曆起於易，所以爲後世之精密者歟！不然，唐自太初至麟德，凡二十三家，何以獨稱美於大衍乎。韓穎之至德，郭獻之五紀，承嗣之正元，又何以祖其故智乎！然而大衍起算，亦不專於易也。蓋歲差得於虞喜，月食衝得於姜岌，定朔得於傅仁均，九道得於張子信，而演紀之端，日在虛一度，又得於堯之甲子，此尤足以見其通而不溺於術數。
古曆有六家，黃帝顓帝夏殷周魯，是也。秦用顓帝曆，漢初因之，或云用殷曆，故通鑑編年朔日兩存之也。自武帝更造太初曆
〈前曆與天不合。〉，迄東漢之末，曆凡四改，成帝三統曆，章帝四分曆
〈因太初三統踈闊。〉，靈帝乾象曆
〈晉書志言，四分計分太粗，而改作此曆。此乃劉洪蔡邕共爲之，八代多仍此法。〉，自魏至隋，曆凡十三改，魏文帝有黃初曆
〈韓翊以乾象減斗分太過，而更造此，校議未定，而帝崩。〉，明帝有景初曆
〈楊偉造。〉，晉武帝有正曆
〈劉智造，卽景初舊法也。以五星踈闊，故元帝渡江更以乾象法推五星。〉，穆帝有通曆
〈王朔之造。元是後秦姚興時，姜岌所造三統曆。〉，秦姚興時當晉武帝太元九年，姜岌造三紀甲子元曆
〈專援劉歆三統。〉，宋元嘉中，何承天造甲子元曆
〈迄宋末，相仍用。〉，梁武帝改行宋祖沖之甲子元曆
〈其子祖暅奏請行之，以何承天曆違差故也。陳氏因之。〉，北齊文宣高氏用宋景業天保曆
〈引元命包言『齊受曆之期』，董峻鄭元偉非之，乃上甲寅元曆。〉，鄭元偉董峻又上甲寅元曆
〈時，又有劉孝孫張孟賓同知曆事，孟賓受業於張子信，與宋景業爭論，未定，屬國亡。〉，西魏入關，行李興業正光曆
〈于時，宇文周明帝使庾季才等造周曆。〉，宇文周武帝時，甄鸞造天和曆
〈以甲寅爲元。〉，周大象初馬士顯又上丙寅元曆
〈迄于隋開皇四年，始更用張賓曆。〉，隋開皇行張賓曆
〈張賓盛稱高祖非人臣相，自陳代謝之証，帝乃下詔，頒行賓曆。曆本之何承天，而劉孝孫劉焯議其失，賓方有寵，孝孫焯議竟不行。〉，十七年又用張冑元曆
〈冑元因言日景長之事，帝太悅，令與劉暉秀才等相駁難。會顔敏上書言太初曆八歲之事，帝欲神其事，下詔，褒美頒行冑元曆，冑元與袁充更相引重。先是劉焯張冑元進，乃更名。劉孝孫曆法曰：「七曜曆上之，冑元害之，遂罷。」焯又增修其書曰皇極曆，駁正冑元之短，袁充左右冑元共排焯曆，更不行焯皇極曆。曆法見隋志。〉，唐曆凡八改，高祖戊寅元曆
〈傅仁均造。道士也。〉，高宗麟德甲子元曆
〈李淳風造。〉，元宗開元大衍曆
〈僧一行造。以前曆日蝕不驗。此下皆因其法。〉，肅宗至德曆
〈韓穎益大衍推。〉，代宗寶應五紀曆
〈以前曆不與天合。郭獻之造，寫大衍舊法。〉，德宗建中正元曆
〈徐承嗣等造。因前曆氣朔稽後也。又雜麟德大衍術〉，憲宗元和觀象曆，穆宗長慶宣明曆
〈以前曆測驗不合也。皆因大衍舊術。〉，昭宗景福崇元曆
〈以前曆數差。〉五代初用唐曆幷閏，國曆凡有八家。晉高帝調元曆
〈馬重績因曹士蔿符天小曆，不復推古上元起，唐天寶十四年乙未爲上元，以正月雨水爲氣首。行之五年，輒差，復用崇元曆。〉，周有明元曆
〈王處訥私撰。〉，又有萬分曆。蜀有永昌曆，正象曆。南唐有齊政曆。周世宗有欽天曆
〈王朴造。〉。宋朝一祖十宗曆，凡十一改。太祖造應天曆
〈後置閏差，乃王處訥所造。〉，太宗乾元曆
〈王素造，後以朔望有差。〉，眞宗儀天曆
〈曆家造，朱帛爲之序。後以星曜有差。〉，仁宗崇天曆
〈曆家造。晏殊序。並見會要。〉，英宗改爲明天曆
〈以日蝕差。〉，神宗改爲奉元曆
〈因日蝕有差。〉，哲宗改爲觀天曆
〈因冬至差。〉，徽宗改爲紀元曆
〈以時氣之差。〉，高宗改爲統元曆
〈以定臘有差。〉，孝宗造乾道曆
〈以統元日食有差。〉，又改淳熙曆。
〈曾子固嘗云：「王處訥見王朴造欽天曆，謂之曰：『此曆可，且行久則差矣。』已而果然。」宋朝命王處訥正之，於是有應天曆久之又差。苗守信等承詔論定，於是有乾元曆。淳化至道間，王濬鄭安之徒校其踈密，日官韓顯符始定渾儀之器，楊文遂皆用甲子之數，皆施行焉。〉
天之高也，日月星辰之遠也。寒燠雨暘，氣數之不齊，章蔀紀元，餘分之所積。以千百年計之，猶可運之掌上，及其久也，有非巧之所能計者。此曆久則必差勢之所必至也。治曆明時之君子，因其差之未遠，革而正之，無難也。其或盡更前人之法，而更復踈遠。其或增損前人之舊，而更加詆毁，則非矣。自昔黃帝以來，曆凡五十餘家，皆由氣朔躔度，或先天，或後天，微有不應曆象，則曆法從而變也。夫黃帝始調曆，顓帝爲曆宗。至漢則不能無踈密，漢人課之詳矣。由漢以來，太初曆法爲第一，三統四分乾象，或因革焉，而復有踈密之間，蓋三統則甚踈，而乾象則甚密也。乾象之曆爲推步之師表，韓翊楊偉咸遵其舊法，而不及深妙，翊又復據其術而背其言。唐自開元大衍之曆，行算數備悉，其後雖屢有變更，皆不外於一行之數。改曆者，又從而指其踈謬，不特此也。北齊文宣悅宋景業讖緯之佞，而改行天保曆，隋高祖喜張賓陳代謝之證，而改行開皇曆。上之人所以改曆者，悅善諛，初不爲敬天授民而設也。劉孝孫曆法甚精，輒爲劉暉所抑，劉焯推占至詳，常不爲張冑元所容。下之人所以造曆者，冒寵嗜利，初不揆其法之是非也。操是心以往，其何以議曆爲哉。是以知天道遠曆法推測不能。每事中程。其曰，日食不效，更考日度，可也。其曰，斗分有差，更定密率可也。其曰，五星踈遠，更驗星躔，可也。其或一事不中程，乃盡更前人之法，大抵因其實而實其名，異其所入之門，而同其所歸之極。如宋何承天曆法，齊用之則爲齊曆，隋張賓用之則爲隋曆也。如劉孝孫曆法，劉焯更名七曜曆，其後又更爲皇極曆也。一法而異用，一曆而數名，大抵然也。然則自古迄今五十餘曆，其立法之異者，太初曆本於律，大衍曆本於易，是也。其餘皆襲舊法，而增損焉耳。
東漢志曰：「律首黃鍾，曆始冬至。月先建子，時平夜半。當漢高皇帝受命之四十九歲，陽在上章，陰在執徐，〈文帝後元三年，庚辰年也。〉冬十一月甲子夜半朔旦冬至，日月閏積皆自此始，立元正朔，謂之漢曆。」此章帝四分曆元，自文帝後元三年始也。
夫後元三年止太初元年，凡五十八歲，而十一月甲子夜半朔旦冬至，已至于再，豈一甲子周則復得此數耶？賈逵議曰：「七十二歲，復十一月合朔冬至。」或爲八十歲則一甲子冬至。今考之范志曰：「至朔同在日首謂之蔀。」夫十九年得一章，四章爲蔀，合七十六年也，有八十年之異也。日首者，甲子日爲六甲之首也。冬至之日與朔日同是甲子則爲蔀，所謂十一月甲子夜半朔旦冬至，是也。何爲有五十八年，有七十二年，有七十六年，有八十年之異耶？
按班志曰：「乃以前曆上元太初四千六百一十七歲，至元封七年，復得閼逢攝提格之歲，仲冬十一月甲子朔旦冬至，日月在建星。」孟康注曰：「古以建星爲宿，今以牽牛爲宿。」觀此言，則中冬甲子朔旦冬至，乃上元太初甲寅年也，非武帝元封七年也。
劉炫依大明曆，四十五年日差一度，則冬至日在虛危，而夏至火已過中，與日永星火之說不合矣。梁武帝據虞𠠎曆，百八十餘年差一度，則唐虞之際，日在斗牛間，而冬至昴尙未中，與日短星昴之說不合矣。王孝通謂，歲差若自昴至壁
〈隔二宿也。〉，則堯典七千餘年，冬至日不在斗建，而在東井，不應寒暑易其位也。
〈孝通謂日與黃道俱差，一行非之。〉故李淳風謂古曆冬至，皆起建星，今測建星，正在斗十三四度。
〈一行以淳風麟德曆校之，太初永平百年間，氣當後二日半，朔當後天半日，烏得謂之無差也？〉呂不韋春秋
〈月令〉，謂黃帝仲春乙卯，日在奎，至今三千餘年而春分亦在奎。
〈一行謂月令若可爲正，則立春正在營室五度，淳風安得頓移在啓蟄之節。〉觀諸家之言，並不取歲差之說，而一行皆非之，故其立論曰：「古曆日有常度，天周爲歲終，故係度于節氣。其法似是而非，故久而益差。虞喜覺之，使天爲天，歲爲歲。乃立差以追其變，使五十年退一度。」何承天以爲太過，乃倍其年而反不及。劉焯取二家中數爲七十五年，蓋近之矣。
觀一行之言歲差之法，以劉焯皇極曆爲主，所以倂非諸家之說也。夫一行所謂天爲天度者，赤道分天之中也。所謂歲爲歲度者，黃道日之所行也。自漢而下，張平子作渾天儀象，所以立爲黃赤道也。欲以日度追天度也。苟曰不然，則周天三百六十五度四分度之一，此乃赤道天度以正歲之日計之，則止行三百六十五度而已。天之度有常數，而不渝日之度，常積餘分而置閏，二者不同，安得謂之無歲差哉！此太初曆謂冬至日在牽牛初。賈逵謂在斗十八度。晉武帝太始三年，冬至日在斗十六度。晉用魏景初曆，宋用元嘉何承天曆，其冬至皆在斗二十一度，所以不能無進退之差也。日度歲差，一於進則春夏秋冬易其位，一於退則其所差亦然。其進退疾徐，必於中節之氣，正閏之月，或加或損，或進或郤，惟巧曆者，於此見之爾。雖然古者推曆候日，必驗昏中之星，驗之之時，有淺深遲速之異，或推而進之，或引而退之也。日度之度，何以爲定論哉。一行之言，又曰：「漢世，課昏明中星，爲法已淺。今候夜半中星，以求日衝，近於得密。以水有淸濁，壺有增減，或積塵所擁，而漏有遲疾。臣等頻夜候中星，而前後相差或至三度。大略冬至之日，遠不過斗十四度，近不出十度。」乃追諸家曆論，日度所在，或是或非，而謂開元四年冬至日在斗十度。觀一行之言，無所不用，其情矣。特其所謂昏明中星爲術已淺，而夜半中星漏壺不常，又差三度。其開元所定，冬至斗分日度，又果無一毫之差乎。夫餘分之法有日之餘月之餘，歲之餘積餘分，而成閏月，自七閏而爲一章，猶可計也，積七閏之餘而爲蔀，則何以哉。推一蔀之閏而爲紀可也，積三紀之餘分而爲元，則何以哉。是以天度歲度不能無差，立差以追其變，亦止約其大要爾。一行取劉焯皇極立差之法，凡七十五年而退一度，其說是矣。至於度之所差，或進或卻，復歸于中，使其盡入一行億萬年積算之中，其曆亦億萬年不可改也。何至屢更而屢變，一年之頃，斗轉星廻，二十八宿有同旋磨，凡曰日在斗幾度云者，驗之有頃刻之異，則所差有尋丈之間。一行亦安能積萬年之算哉！一行之言曰：「乾度虛盈，與時消息，譴告於經數之表，變常於潛遯之中，則聖人且猶不質，非籌算之所能及矣。」斯言其何訾！
太史公曆書曰：「大餘，日也。小餘，月也。」攷之曆書與諸史曆志，大餘，未有盈六十之數，則知其爲甲子之日也，日不盈甲子之數，則爲大餘也。故大餘，日也。書志凡曰小餘，少則七八，多則數百，或有至於千餘者，何也？太史公所謂小餘者月，豈以積年所餘之月而計之耶。豈以一年之中，月周天所餘之度，積分而計之耶？凡一年之中，必曰大餘五十，小餘六百。又曰大餘十三，小餘二十，凡此等類，所以重言之者，又何意也？豈未合朔未置閏，則所餘計若干多，已合朔已置閏，則所餘計若干少耶。
按東漢志，宗訢議曰：「百七十歲，小餘六十三，自然之數也。」夫一章計十九年，九章計百七十年也。一章凡七閏，九章則六十三閏。百七十年之中，有六十三閏月。此正與太史公小餘者，月之說同。
又按班固志：張壽王言：「太初曆虧四分月之三，去小餘一百五分，以故陰陽不調。」又按劉焯等術曰：「凡日不全爲餘。一行大衍等法曰：『凡分爲小餘，則知小餘謂之餘分。』亦可也」。大抵諸曆法大餘，皆以一甲子之日計之。其小餘或爲月或爲分，皆以一月之中小餘之日之分積算之耳。又元法紀法日紀所主之數不同，故小餘說，亦不同也。其太史公重言大餘小餘之數者，此乃太初曆法，而他曆皆不然，故不容旁引曲說也。
一行月議云：「日，君道也。無胐魄之變。月，臣道也。遠日益明，近日益虧，人臣之象也。望而正於黃道，是謂臣干君明，則陽斯蝕矣。」又曰：「十月之交，日有食之，於曆當蝕，君子猶以爲變，詩人焯之。然則古之太平，日不食，星不孛，蓋有之矣。」又曰：「月或變行以避日，或五星潛在日下，禦侮以救日，或涉交數淺，或陽盛陰微則不蝕，或德之休明，則天爲之隱，雖交不蝕，此四者，皆德教之所由以生也。」又曰：「劉歆賈逵近古大儒，豈不知軌度所交，朔望同術哉？〈日行黃道，月有九道，其所行之道遇交，則有剝蝕之變也。至於合朔如合璧，則不蝕，其交不軌度，則食也。故驗日食者，必以日躔月度之交驗之耳。〉以日食非常，故闕而不論。魏黃初以來，治曆始課日食踈密。張子信劉焯賈曾元之徒，又謂日月可以密率求，以戊寅麟德曆，推春秋之時，於曆應食，而春秋不書者，尙多，則日食必交限，其入限者，必不盡食。開元十二年七月朔，於曆當蝕半强，自交趾止於朔方，候之而不食。十三年十二月朔，於曆當食太半，而亦不食，然後知德之動天不俟終日，若因開元二蝕不驗，遽變交限而從之，則差者益多。」杜預以日月動物，雖行度有大量，不能不少有盈縮，故有交會而不食者，是也。一行因以員儀，度日月之徑，令二徑相掩，以驗食分之限。
又曰：「日月相會，大小相若，而月在日下，自京師斜射而望之，假令中國食之，旣而南方戴日之下，所虧纔半，日外反觀，則交而不食。〈此則隨地而驗之也。〉」又曰：「使日食皆不可以常數求，則無以稽曆數之踈密，若可以常數求，則無以知政敎之休咎。」一行之議，可謂詳日食之變矣。其大要不過謂，食有常數，而亦不可以常數求，在乎人君修德以應之耳。獨有三節，不可據曉，姑表而出之，以待能者。一行所謂月在日下，自京師斜而望之則食之，旣自南方戴日之下望之，則所虧在半。又云，日外反觀，則交而不食，果如一行所測，則日雖食而實未嘗食矣。其日度月度交軌之際，日上月下，陽氣微，陰氣盛，日形爲月形所蔽，自下望之，似食而非食耶。夫日食以陰盛，月食以星孛。今一行謂，月望而正於黃道，則猶臣干君明，故陽食之是月爲日所食也，而非由星孛也。又按通鑑，開元二年日食不驗，姚崇表請書之史冊，其後太史奏麟德曆，踈日食屢不效，遂令一行，改造新曆。今一行乃云，「開元十二年七月十三年十二月，於曆當食而不食。」乃曰：「德之動天，不俟終日。」孰謂一行諛言復蹈姚崇之武耶，何者？太史奏日食屢不效，實開元九年也。是年詔一行，作新曆，十五年而草成，十七年而頒行。按一行所論，開元十二年日食，尙以麟德舊曆驗之，而新曆猶未成也。然日月之蝕，係乎人君之德也。舊曆日食屢不效矣。此乃曆踈之故，而一行乃云，「德之動天，不俟終日。」恐未免蹈姚崇之武也。
月道
〈陽曆，陰曆〉：班志曰：「陽曆者，先朔而月生；陰曆者，後朔而月生。」一行曰：「日道表曰陽曆，其裏曰陰曆。夫朔而後月生，所謂三日哉，生明月之三日爲胐，是也。」先朔之月爲晦，今而曰月生，何也？按鄧平等法，一月之日，止於二十九日半强，是一月猶餘半日弱也。其曰：「先朔月生後朔，月生此必半日之間。合朔有遲速，故月生有先後。籍之以曆名之曰陽曰陰也。」又不然則太初曆猶用平朔而未用正朔也。一行所謂，『日道表爲陽曆，裏爲陰曆者。』此以日道爲主，而考驗月道之交，有表有裏，故曆之名亦曰陽曰陰也。一行九道議曰：「陰陽曆交，或在四立，或在分至，所交並同，而出入之行異。蓋九道者，月道也。靑道二，朱道二，白道二，黑道二，八行兼黃道而爲九也。曰陰陽曆交者，月道自裏而交於日道之表，或自表而交於日度之裏，故曰陰陽曆交也。」日所交則同而出入之行異者，以月道交日道，春分與秋分同，冬至與夏至同，其於四立也亦然，特其所以不同者，黃道居中，月道或出其東而入其西，或入其北而出其南也。所謂東交於角，西交於奎，是也。又有朔交望交者，朔交謂初交，望交爲中交也，皆視陰陽曆而正其行也。然則陰陽曆之名，止爲日月之會，朔望之交說耳。靑赤爲陽，白黑爲陰，陰爲裡，陽爲表，九歲而一終，謂之九道，百七十一年而小終，八十一章而九終。
〈九終之說，見三統曆譜，又見晉志劉洪乾象曆法。班固天文志曰：「月有九道，用之一決房中道。」蓋房中道，卽黃道也。五代王朴謂：「月道半在黃道內，半在外。」同此意耳。〉
一行倚大衍之數，立推步之法，是一行求合於大衍者也，非大衍合一行之數也。大衍之數無窮倚此數，立此法庶乎其有所據依，亦猶太初以律起曆之意也。一行曆本議曰：「天數五，地數五，五位相得而各有合，所以成變化而行鬼神也。」此易繫之文，一行擧以爲議曆之本。蓋其意所主，在乎五位相得，而各有合之一言，是以推而廣之，無往而不合也。歐陽脩志唐曆曰：「曆起於數，數者，自然之用也。其用無窮而無所不通，以之於律於易，皆可合也。」是亦一行之意歟！雖然一行亦豈能外諸曆家之法，而獨推大衍而爲法歟？一行變諸家之法之名，而從大衍之數也。諸曆雖不倚大衍以立法，而其中亦有與大衍暗合者矣。一行之言曰：「天數始於一，地數始於二。」此卽易繫天一地二之說，諸曆之所同用也。所謂天數中於五，地數中於六，爲二中，此卽班固志五六者，天地之中合之說也。所謂天數終於九，地數終於十，爲二終，此卽班志十九年爲章歲，合天地終數，得閏法之說也。所謂天有五音，所以司日，地有六律，所以司辰，此卽楊子雲聲生於日，律生於辰之說也。此其與諸家之說同者，如是也。
自一而降爲五行生數，自六以往爲五行成數。一六而退極，五十而增極。
〈中極居五六之間，故六退極，五增極也。〉一六爲爻位之統，五十爲大衍之母。
〈大衍之數五十。或者以爲五爲十者。一生而六成之，一與六合，所以爲爻位之統，五生而十成之，五與十合，所以五與十爲大衍之母也。又曰：五至十則六七八九在其中間矣。大衍之數五十而六爲老陰，七爲少陽，八爲少陰，九爲老陽，皆自五十之數之操也。故曰。五十爲大衍之母也。自一至六則二三四五在其中間，卽六爻之數也。故曰一六爲爻位之統也。〉成數乘生數，其算六百，爲天中之積。
〈成數六七八九十，生數一二三四五，成數共成四十也，生數共爲十五也。以四十乘十五，則是四十介十五，共得六百之數也。以十五乘四十數，得六百之數也。〉生數乘成數，其算亦六百，爲地中之積，合千有二百，以五十約之，則四象周六爻也。
〈千二百之數，五十介二十四也。四千二十四，四象周六爻也。〉以二十四約之，則太極包四十九用也。
〈千二百之數，亦得二十四介五十也。虛一不用，太極包四十九用也。〉綜成數約中積皆十五。
〈成數四十也。四十介十五，則得中積六百之數，故曰成數約中積皆十五。〉綜生數約中積皆四十。
〈生數十五也。十五介四十，亦得中積六百之數，故曰生數約中積四十也。十五四十乘六百之數，可也。復約之而歸于十五四十，亦可也。〉兼而推天地之數，以五位取之，復得二中之合也。
〈四十與十五，卽五十五。天數二十五。地數三十，天地之數五十有五，與此合也。天之中數五，地之中數六也。五五二十五，五六三十，共成五十有五，故曰以五位取之，復得二中之合也。〉蓍數之變，九六各一，乾坤之象也。
〈乾爲九，九老陽，坤爲六，六老陰，各居其一也。〉七八各三，六子之象也。
〈七爲少陽，震長男，坎中男，艮少男，凡三少陽也。八爲少陰，巽長女，离中女，兌少女，凡三少陰也。〉故爻象通乎六十，策數行乎二百四十。是以大衍爲天地之樞，如環之無端。此一行取以爲起曆之法也。其候封則本乎月令，
〈七十二候之封也。〉日卦則本乎孟氏章句，
〈十二卦主十二月，復遇之類也。〉定朔則本乎劉孝孫傅仁均，歲差則本乎虞喜何承天，更積算曰演紀，變日法曰通法，改周天曰乾實。此又一行變諸曆法之名，以從大衍之類也。
唐志曰：「自太初至麟德曆，有二十三家，與天雖近而未密也。至于一行，密矣，其倚數立法固無以易也。後世雖有改作，皆依倣而已。」唐志之言，誠是也。特其知大衍之曆倚易數之法，而不知其變。諸曆之術，以從大衍之數，是以表而出之。
〈一行曆法，有步中朔術，發歛術，步日躔術，步月離術，步軌漏術，步交會術，步五星術。是時有九執曆，自西域來。詔太史監瞿曇悉達譯之，陳玄景將以惑當時，謂一行書寫其術也，忘也。〉
一行旣有日度議，復有日躔議，度與躔，豈有異哉？蓋日有度，月有道，言其大數也。日躔有盈縮緩急，月離有進退先後，言其所經所歷處也。
〈離附麗也。或曰相離遠之離。〉合而言之，則皆於日月所行之所而見之也。一行曰：「劉焯立盈縮躔衰術，李淳風因之更名曰躔次，凡陰陽往來，馴積而變。日冬至，其行最急，急而漸遲，夏至其行最舒，舒而漸急。急極而寒，舒極而燠，得其中則雨暘之氣也。〈謂春分秋分。〉」夫一行所謂日躔有舒急之異者，何也？周天三百六十五度，冬至之時，夜之所占度多，日之所占度少。度少則日短迫，故曰其行急也。夏至之時，夜之所占度少，日之所占度多，度多則日舒長，故云其行最舒也。春秋二分，日夜停適，故云其行及中也。所謂躔衰躔差者，或自急而漸舒，或自舒而漸急，或在乎舒急之中也。以氣候之，以景測之，而求其盈縮之所加，則可知矣。一行曰：「以二十四氣晷景，考日躔盈縮，而密于加時。」蓋謂此也。觀乎此則日度日躔，似同而異矣。
〈應劭注漢志曰：「日躔月離，躔經也離遠也。」臣瓚曰：「離，歷也。」〉
太初曆爲張壽王所詆，淸臺課踈密，而是非乃定，徐禹治太初第一。壽王下吏大衍曆，爲瞿曇譔南宮說所非，靈臺校簿，而當否始決。
〈大衍曆頒行，說等伏罪，令侍御史李麟之等校之也。〉
東漢曆元爲陳晃馮光所駁，熹平校議，得失遂分。
〈詔，從蔡邕議，邕等劾光晃之罪。〉此曆之方行，而迭相詆刺者，如是也。太初曆是非旣定，而朱浮以爲後天，四分儀式旣備，劉洪以爲與天踈闊。班固謂三統最密，而杜預以爲踈，一行獨指杜預之謬，鄭元謂乾象窮幽極妙，而韓翊指其失。此曆行旣久，而遞相詆刺者，又如是也。其餘如祖暅之非何承天，劉孝孫劉焯之駁張賓王孝通，李淳風之譏傅仁均，遞遞相非，無窮已也。
要之，兩漢之曆，太初乾象其最也。隋唐之曆，皇極大衍其冠也。雖更相是非，而是非自有定論矣。然則太初乾象皇極大衍之曆，果能窮盡千萬年之數，未及百年，咸悉更變，何哉？
杜預之言曰：「天行不息，日月星辰，各運其舍，皆動物也。物動則不一，雖行度大量，可得而限，累日爲月，不得無毫毛之差。曆差始於毫毛，積而失弦望晦朔，不得不改憲從之。書欽天象，易治曆明時，言當順天以求合，非爲合以驗天者也。」唐志曰：「四時寒暑，無形而運於下，日月星辰，有象而見於上，二者常動而不息。一有一無，出入升降，或遲或速，不相爲侔。其久而不能無差忒者，勢使之然也。故爲曆者，其始未嘗不精，而其後多踈而不合，亦理所當然，不合，則屢變其法以求之。」自堯迄于唐，此曆所以未嘗同也。杜預唐志言，異世而一事也。是知立推步之法者，求之千萬年之上，以爲上元，自謂無毫釐之差，行之未十百年而乖違已見。蓋數往者，無所卞，而推來者，有所證也。一行是非諸曆之得失，其論甚備，而唐志亦稱其立法之密。一行之言乃曰：「乾度盈虛，與時消息，告譴於經數之表，變常於潛遯之中，則聖人且猶不質，非籌策之所能及矣。」觀乎此則凡所以鈔記者，姑識其槪焉耳。
曆法要當先論太虛，以見三百六十五度四分度之一，一一定位，然後論天行，以見天度，加損虛度之歲分，歲分旣定，然後七政乃可齊耳。
〈黃道之差，始自春分秋分，赤道所交，月道之差，始自交初交中，黃道所交。日出入赤道二十四度，月出入黃道六度。黃道一周，退前所交六十分度之一，是謂歲差。月道一周，退前所交一度八萬九千七百七十三分度之四萬三千五百三秒半，積二萬一千九百一十五年，而歲差周積二百二十一月及分一千七百五十三而交道周矣。又節齊曰：「赤道弦帶天之中，日道月道斜交赤道之內外。其周圍長短，與赤道無差，而日月每日行度，亦無盈縮進退。曆家欲求日月交會，故以赤道爲起算之法。以赤道度數而揆之黃道，則日行有盈縮焉，以赤道度數而揆之月道，則月行有進退焉。非日月之行眞有盈縮進退也。」文公。〉
器久必弊，數久必差，固也。古人謂三百年計曆改憲，是曆之改必三百年之間，可也。歷觀前世，莫有及者，何？其改之數也。漢之曆四變，而太初最密，不百餘年而差矣。人皆歸咎於當去餘分而不去矣。四分減之而非，乾象增之而亦非，何也？抑有可言者，太初之造，馬遷寔職之，今以其書大餘小餘計之，則古曆也，非太初也，何自矛盾耶？唐曆十三變，而大衍最密，不半太初之年而差矣。人皆歸咎於日法之不分矣。而繼大衍者，推擬圖寫分而不能易者，又何也？抑有可言者，大衍之法，後不能易，而王朴則斬然自立一家，雖失追急而不緩，亦難矣。其源流誰自，且曆之起，起於斗度，而踈密多寡，悉皆不齊。冬至之日，曆之所生也，或以爲在斗，或以爲在建，或以爲在牽牛，或以爲在女宿，何耶？曆之差，差於日食，而晉唐之間，凡日之有食，若聚訟然，訖無中者，則晦朔之間，脁朒之微，孰從而正哉！宋朝之曆，十餘變矣。邇者復以差，聞今曆雖成，而主上以授時在璣衡爲先務，猶懼有闕，令侍臣復驗之，甚盛擧也。蓋聞，仁宗時，以其曆而較之，麟德曆大分餘者三十有奇，小分餘者七十有奇，今日之曆，將縮之，將衍之耶？諸君其推之以易，證之以律，明之以春秋，而裁之以大元，爲今日曆之本。此非星翁曆官事，毋泛毋略。
〈東萊文集〉
聖人作曆大要有三。一曰象，二曰氣，三曰數。攷之以日月星辰之象，驗之以陰陽寒暑之氣，積之以秒忽毫釐之數。蓋四時寒暑，無形而運於下，日月星辰，有象而見於上，二者常動而不息，一有一無，出入升降，或遲或速，不相爲謀，其久而不能無差者，勢使之然也。故爲曆者，其始未嘗不精察，而其後多踈不合，亦理之然也。不合則屢變其法以求之。自古以來，曆未嘗同也。
黃帝作調曆，乃命羲和占日，常儀占月，車區占星，伶倫造律呂，大撓造甲子，隷首作算數，容成摠斯六術，考定氣象，建五行，察發歛，起消息，正閏餘，曆法之詳，蓋肇於此。顓帝之曆，正以孟春，號爲曆宗。堯曆象日月星辰，箕子言九疇，而五紀明曆法。夏商周迭用三統，正朔不同，曆亦以異。周室旣衰，曆官失紀，疇人子弟，散在諸國。於是國各有曆，魯曆其一也。漢之曆凡四變。自張蒼用顓帝曆，武帝用太初曆，而劉歆有三統曆，章帝則用元和四分曆，其後劉洪則又有乾象曆，此其曆之四變也。
唐之曆凡八變，高祖則用傅仁均戊寅元曆，高宗則用李淳風麟德甲子曆，開元則用一行大衍曆，代宗則用寶應五紀曆，德宗則用乾中正元曆，憲宗則用元和觀象曆，穆宗則用長慶宣明曆，在景福則又有邊岡崇元曆，此其曆之八變也。
自漢唐之外，在晉則有杜預春秋長曆二元乾度曆，在宋元嘉則有何承天之新曆，在元魏則有崔浩五寅元曆，在隋則有皇極曆，在周顯德則有王朴欽天曆。然漢之曆莫善於太初。蓋鄧平唐都洛下閎之徒，以律起曆。其衍起於黃鍾，初九而乘之，得其數八十一，以爲日法。以前曆上元，太初而推之，復得閼逢攝提格之歲仲冬甲子朔旦，冬至日月在建星，故罷廢。尤踈遠者，十有七家，至淳于覆驗，而太初曆之晦朔弦望，皆爲最密，日月如合璧，五星如聯珠。此太初曆之所以獨顯於漢也。其他如歆之三統而杜預，則以爲比諸家最踈，六十餘歲，輒增一日。班固誤以爲志，而何承天亦云：「楊雄惑歆之說，采以爲太元。」如四分曆，則出於圖讖之所著，而漢人馮光等，又病其曆元之不正。至乾象曆，雖鄭元以爲其法窮幽極微，而魏韓翊，則以爲減斗分太過，其視太初則有間矣。
唐之曆莫善於大衍。蓋一行專用大衍之策。竊攷其詳，本於天地之二中，始於冬至之中氣，以合朔正日月之會，以日度正周天之數，以卦氣定七十二候，以中星正二十四氣。天數始於一，地數始於二，合二始以位剛柔。天數終於九，地數終於十，合二終以紀閏餘。天數中於五，地數中於六，合二中以通律曆。一策之分十九而章法生，一揲之分七十六而蔀法生。以卦當歲，以爻當月，以策當日，而其原皆本於易。故唐史臣謂：「自太初曆至麟德曆，有二十三家，與天雖相近而未密也。至一行，密矣，其倚數立法固無以易也。後世雖有作者，皆依倣而已。」此大衍之術，所以獨顯於唐也。
其他如戊寅元曆，則以受命之歲而爲名，而祖孝孫之徒，猶恨其踈闊。李淳風之甲子曆，雖當時以爲精密，而後復雜用以瞿曇之經緯曆。若夫徐昻之觀象曆，則又無蔀章之數，至於察歛啓閉之候，循用舊法，而測驗不合，其視大衍，則又有間矣。自太初大衍之外，而杜預之長曆，王朴之欽天曆爲可采也。預之言曰：「天行不息，日月星辰，各運其舍，皆動物也。以新故相涉，不得不有毫末之差，積而成多，以失弦望晦朔，則不得不改憲以從之。易所謂治曆以明時，言當順天以求合也。」李修卜顯，依其論以爲乾度曆，合日行四分數而微增。當時參校以爲特勝，預奏行之。此其可取者然也。朴之言曰：「爲國家者，履端立極，必體其元，布政考績，必因其歲，禮動樂擧，必正其朔，三農百工，必順其時，五刑九伐，必順其氣，庶政有爲，必從其日月。是以聖人，必治曆數。包萬象以爲法，齊七政以立元，測圭箭以候氣，明九道以步月，校遲速以推星，攷黃道之斜正，辨天勢之升降，而交蝕詳焉。」於是而爲欽天曆。此其可取者然也。
至於本朝，曆凡十變。在建隆則曰應天，在太平興國則曰乾元，在咸平則曰儀天，在天聖曰崇天，在治平曰明天，在熙寧曰奉天，在元祐曰觀天，在崇寧曰占天，未幾又改曰紀元，在紹興曰統元，在慶元曰會元，此其大略也。
然曆之道大矣。有曆元，有曆譜。後漢虞恭宗訢之議曆有曰：「建曆之本，必先立元，元定然後定日法，法定然後度周天以定分至。三者有程，則曆可成也。」故黃帝造曆元，起於辛卯，顓帝用乙卯，虞用戊午，夏用丙寅，商用甲寅，周用丁巳，魯用庚子，漢用乙卯，武帝用丁丑，范曄載於律曆志者，爲可考也。
劉向深明洪範，嘗作五紀論，總六曆而列是非。至歆復究其微妙，推易象春秋，作三統曆及譜，取尹咸所校條而奏之，爲十八家之書。曰黃帝五家曆，曰顓帝曆，曰夏商周魯曆，曰天曆，曰大曆，曰日月宿曆，此其以曆名者也。曰日月行帛圖，曰五星行圖，曰律曆數法，曰五星宿紀，曰日晷，曰許商杜忠算術，此皆象數之書，而曆之流也，故亦以曆名之。
曰帝王諸侯世譜，曰古來帝王年譜，此以譜名者也。蓋譜也者，歷敍古帝王授受之次，以明三統之序，以紀災祥休咎之證，而使作曆者得以考驗，故其書與曆並傳。今班固載於藝文志者，爲可考也。
不特此也。唐一行之論，則又有十二議焉。曰曆本，曰中氣，曰合朔，曰沒滅略例，曰卦候，曰卦議，曰度議，曰躔盈縮略例，曰九道議，曰晷漏中星略例，曰日蝕議，曰五星議。其外又有步中朔術，有步發歛術，有步日躔術，有步月離術，有步軌漏術，有步交會術，步五星術。今載於唐曆志者，又可考也。
抑嘗觀唐藝文志，其於律書也，不特敍歷代之曆書，而首敍歷代之算法。如劉向九章重差之算法，張丘建之算經，劉徽之海島算經。其他如曰七曜曆算，曰黃鍾算法，曰五曹算經，纖悉備載而不遺。以見其明曆者，又不可不先明乎此也。
歐陽作曆志論：「邊岡用算巧，能馳騁反覆于乘除間。由是簡捷超徑等接之術興，而經制遠大衰序之法廢。吁，曆其可輕議哉？」雖然，古之論朞數者，在大傳則曰：「凡三百六十，當朞之日。」是一朞之日數，止於三百有六十矣。在堯典則曰：「朞三百六旬有六日」。是一朞之數，又餘於大傳所言者，六日矣。
至於杜預長曆，又有周天之數，凡三百六十有五度四分度之一。爲言則一朞之度，其所行不足，又減於堯典之三分矣，則增損之數，其不同者，又何歟？
大傳所言，蓋自其正數而言之，堯典所言，蓋本其置閏之成數言之，長曆所言，蓋自步占之法言之。此又論曆者之不可不知也。
日蝕議曰：「使日蝕皆不可以常數求，則無以稽曆數之踈密，若皆可以常數求，則無以知政教之休咎。」五星議曰：「五星留逆伏見之效，表裏盈縮之行，皆係之於時，而象之於政。政有小失則小變，不然皇天何以陰騭下民，警悟人主哉！」《玉海》
曆志：唐高祖受禪，將治新曆，東都道士傅仁均，善推步之學，武德元年五月，太史令庾儉丞傅奕等參議，合受命歲名爲戊寅元曆。乃列其大要，所可考驗者有七，曰，唐以戊寅歲甲子日登極，曆元戊寅，日起甲子，如漢太初，一也。冬至五十餘年輒差一度，日短星昴，合於堯典，二也。周幽王六年十月辛卯朔，日蝕，合于詩，三也。魯僖公五年壬子冬至，合春秋命曆序，四也。月有三大三小，則日食常在朔，月食常在望，五也。命辰起子半，命度起虛六，符陰陽之始，六也。立遲疾定朔，則月行晦不東見，朔不西朓，七也。
〈元年九月癸亥，奏曆成。〉高祖詔司曆起二年用之。
〈舊紀元年十月癸巳行仁均所造戊寅曆。〉擢仁均爲散騎侍郎。
三年正月望，二月八月朔，當食，比不效。六年，詔吏部郎中祖孝孫攷其得失。孝孫使算曆博士王孝通，以甲辰曆法詰之曰：「『日短星昴，以正仲冬，七星畢見。』擧中宿言耳。擧中宿，則餘星可知。仁均專守昴中，執文害意，不亦謬乎？又月令，『仲冬昏東壁中。』若堯時，差至東壁，則堯前七千餘載，日應在東井。井極北，去人最近，故暑，斗極南，去人最遠，故寒。寒暑易位，必不然也。又平朔定朔，舊有二家。三大三小，爲定朔望，一大一小，爲平朔望。日月行有遲速，相及謂之合會。晦朔無定，由時消息。若定大小皆在朔，合會雖定，而蔀元紀首三端並失。若上合履端之始，下得歸餘於終，合會有時，則甲辰元曆爲通術矣。」仁均對曰：「宋祖沖之立歲差，隋張胄元等因而修之。雖差數不同，各明其意。孝通未曉，乃執南斗爲冬至常星。夫日躔宿度，如郵傳之遇過，宿度旣差，黃道隨而變矣。書云：『季秋月朔，辰不集于房。』孔氏云：『集，合也。不合則日食可知。』又云：『先時者殺無赦，不及時者殺無赦。』旣有先後之差，是知定朔矣。詩云：『十月之交，朔日辛卯。』又春秋傳曰：『不書朔，官失之也。』自後曆差，莫能詳正。故秦漢以來，多非朔蝕。宋御史中丞何承天，微欲見意，不能詳究，乃爲皮延宗所抑。孝通之語，乃延宗舊說。治曆之本，必推上元，日月如合璧，五星如連珠。夜半甲子朔旦冬至。自此七曜散行，不復餘分普盡，摠會如初。惟朔分氣分，有可盡之理，因其可盡，卽有三端。此乃紀其日數之元爾。或以爲卽夜半甲子朔冬至者，非也。冬至自有常數，朔名由於月起，月行遲速匪常，三端安得卽合。故必須日月相合，與至同日者，乃爲合朔冬至耳。」孝孫然之，但略去尤踈闊者。
九年，
〈丙戌歲。舊志，九年五月二日。〉復詔大理卿崔善，爲與孝通等校定，善爲所改凡數十條。
〈三十餘條。〉
貞觀初，
〈元年。〉直太史李淳風，上疏論十有八事，復詔崔善爲課二家得失，其七條改從淳風。十四年，太宗將親祀南郊，以十一月癸亥朔甲子冬至。而淳風新術，以甲子合朔冬至。乃上言：「古曆分日，起於子半，十日月當甲子合朔冬至。」故太史令傅仁均，以減餘稍多，子初爲朔，遂差三刻，用乖天正，請考定。司曆南宮子明，太史令薛頤言：「淳風之法，較春秋以來晷度薄蝕，事皆符合。」國子祭酒孔穎達與尙書八座議，請從淳風。
〈孔穎達傳：以太子右庶子兼司業，與諸儒議曆，及明堂事，多從其說。十八年，詔用仁均平朔，訖麟德元年。〉仁均曆法祖述張胄元，以劉孝孫舊議參之，其大最踈於淳風。然更相出入，其有所中，淳風亦不能逾之。志云：「今所記者，善爲所較也。」上元戊寅至武德九年丙戌，積十六萬四千三百四十八算。
〈日度議曰：「戊寅曆循孝孫之論，不知孝孫已變從皇極，故爲淳風所駁。歲差術，不行。」〉高宗時，
〈麟德元年甲子。〉戊寅曆推步旣益踈，淳風作甲子元曆以獻。
〈增損劉焯皇極曆。〉詔太史起，麟德二年
〈旃蒙赤奮若之歲。〉五月辛卯頒用。
〈會要載：「詔曰：『朕仰稽七曜，旁摠五家。古所未通，今卽備載。而改之初，考此曆歲，推甲子，合於天正，合朔之夜，應以嘉祥，五緯若連珠，二曜如合璧。如此授農，昇平可致。昔洛下閎漢曆，云後八百歲，當有聖人受之。自火德曁我，年將八百，事合當仁，可名麟德曆。』」〉
古曆有章蔀，有元紀，有日分度分，參差不齊，淳風爲摠法千三百四十以一之。損益中晷術以考日至，爲木渾圖以測黃道，餘因劉焯皇極曆法，增損所宜。當時以爲密，與太史令瞿曇羅所上經緯曆參行。
〈會要：經緯曆法九卷。〉載初改元，用周正。神功二年，改元聖曆，命瞿曇羅作光宅曆，三年，罷，復行夏時，終開元十六年。
〈武后有光宅曆，後又有神農曆，止因麟德曆法。李嶠爲序。〉
麟德曆：麟德元年甲子，距上元積二十六萬九千八百八十算。
〈大衍中氣議曰：「傳據周曆，緯據殷曆。戊寅曆日氣專合于緯，麟德專合于傳。偏取之，故兩失，及開元十二年，朔差五日，氣差八日。」〉中宗反正，太史丞南宮說，以麟德曆上元，五星有入氣加減，非合璧連珠之正，以神農元年歲次乙巳，故治乙巳元曆，推而上之，積四十一萬四千三百六十算，得十一月甲子朔夜半冬至，七曜起牽牛之初。其術有黃道而無赤道，推五星先步定合，加伏日以求定見。他與淳風術同。所異者，惟平合加減差。旣成，而睿宗卽位，罷之。
舊志：中宗時南宮說，造景龍曆。藝文志：南宮說，光宅曆草十卷。瞿曇謙，大唐甲子元辰曆一卷。舊紀：麟德二年五月辛卯，秘閣郞中李淳風造曆，成，名麟德曆頒之。
曆志：九執曆者，出於西域。開元六年，詔太史監瞿曇悉達譯之。以開元二年二月朔爲曆首，有朔虛分百二十六，周天三百六十度，無餘分，日去没分九百分度之十三。二月爲時，六時爲歲，三十度爲相，十二相而周天。望前曰白博义，望後曰黑博义。其算皆以字書，不用籌策。其術煩碎，或幸而中，不可以爲法。名數詭異，初莫之辨也。陳元景等持以惑當時，謂一行寫其術未盡，妄矣。先是，每年大衍與麟德九執同進，以用術不同也。
顯德三年八月戊辰，王朴上奏曰：「天道之動，當以數知之。聖人受命，必治曆數。包萬象以爲法，齊七政以立元，測圭箭以候氣，審朓朒以定朔，明九道以步月，校遲速以推星，攷黃道之斜正，辨天勢之升降。赤道者，天之紘帶也。其勢圜而平，紀宿度之常數焉。黃道者，日軌也。其半在赤道内，半在赤道外，去極二十四度。當與赤道近，則其勢斜，當與赤道遠，則其勢直。當斜則日行宜遲，當直則日行宜速。故二分前後加其度，二至前後減其度。九道者，月軌也。其半在黃道内，半在黃道外，遠極六度。出黃道，謂之正交，入黃道，謂之中交。若正交在秋分之宿，中交在春分之宿，則比黃道益斜。若正交在春分之宿，中交在秋分之宿，則比黃道反直。若正交中交在二至之宿，則其勢差斜。故校去二至二分遠近，以攷斜正，乃得加減之數。謹以步日步月歲星步發斂爲四篇，合爲曆經一卷，〈舊史，亡其步發歛一篇，在者三篇，劉羲叟求得其本經，然後大備。〉曆十一卷，草三卷，〈崇文目，十五卷。〉顯德三年七政細行曆一卷，以爲欽天曆。〈世宗親製序。〉」詔來歲行之。
按調元，起唐天寶十四載乙未爲上元，用正月雨水爲氣首。蓋倣曹士蔿小曆之舊失之矣。
〈唐建中時，曹士蔿始變古法，以顯慶五年爲上元，雨水爲歲首，世謂之小曆。唐志：「曹士蔿七曜符天曆一卷。建中時人。」〉欽天於朔分之下，立小分謂之秒。說者謂：「前代諸曆，朔餘未有秒者。若可用秒，何待求日法，以齊朔分也。」劉羲叟謂：「朴能自爲一家，朔望正，二曜協，交會密，晷漏實，五緯齊。然不能宏深簡易，而徑急是取。至其所長，聖人不能廢也。」朴傳：「顯德二年，詔朴校定大曆。乃削去近世符天流俗不經之學，設通經統三法，以歲軌離交朔望周變率策之數，步日月五星，爲欽天曆。」皇祐四年十一月三日甲辰，詔司天監天文院，以唐八曆及皇朝應天乾元儀天崇天四曆，算太陰蝕分及時辰分野以聞。仍命知製誥王洙修唐書官劉羲叟參定，以司天監言此月十五日太陰當食也。五年三月戊午，洙言：「據司天李用晦等稱，推月蝕，惟大衍景福稍近。臣按一行曆議曰：『假令理曆者，因開元二食曲變交限以就之，則所協甚少，所失甚多。』今亦不敢指定大衍景福爲密。蓋日月動物，豈不少有盈縮？亦變常不定。曆家必無全密。古來治曆名賢，如太史公劉歆張衡杜預劉焯淳風一行等，尙不能窮究，況淺學乎！」羲叟言：「古聖人曆象之意，止於敬授人時。雖考交會，不必脗合辰刻，故有修德救蝕之禮。設謂必可盡，則先儒不容自爲踈闊。又大衍等七曆所差不多，法數大同而小異，亦是乘除積累，漸失毫釐。且辰刻更籌，惟據刻漏，或微有遲疾，未必獨是曆差。按隋曆志，日月蝕旣有起訖，早晚亦或變常。又一行於開元中治曆，以大衍及李淳風麟德劉綽皇極三曆校日食三十七事，大衍課第一，所中才二十三，麟德得五，皇極得十。如一行，尙未能盡，如淳風輩，益以踈遠。況崇天曆頒用逾三十年，不可偶緣天變，輕議改移，詰其本原，亦出於大衍。其景福行於唐季，非治世法，不可循用。」詔仍用崇天曆法。
〈李之才傳云：「劉羲叟從之才，受曆法。」周琮曰：「世知曆者尠，獨孫思恭爲妙。」而思恭又推劉羲叟爲知曆。李壽曰：「羲叟曆學，本朝第一，臣脩臣光，皆遵承之。」〉
後秦姚興時，當孝武太元九年，歲在甲申，天水姜岌，造三紀甲子元曆，其略曰：「以七家之曆，考古今交會，信無其驗，皆由斗分踈所致。」考春秋，凡三十三蝕。岌以月蝕檢日宿度所在，爲曆術者宗焉。又著渾天論，以步日於黃道，駁前儒之失。
元嘉二十一年
〈閼逢涒灘。〉十二月，太子率更令何承天，上元嘉新曆。以月蝕之衝知日所在。又以中星，知堯時冬至日在須女十度，今在斗十七度。又測景校二至，差三日有餘，知今南至日應在斗十三四度。於是更立新法，冬至徙上三日五時，日之所在，移舊四度。又月有遲疾，前曆合朔，月食不在朔望，今皆以盈縮定小餘，正朔望之日。詔付外詳之。太史令錢樂之等奏，皆如承天所上，唯月有頻三大二小，比舊法殊異，謂宜仍舊。詔可。
〈宋志，二十年上表。〉
二十二年
〈旃蒙作噩。〉春正月辛卯朔，始行新曆。
〈隋志，又有何承天曆術一卷，梁有驗日食法三卷，元嘉二十六年度日景數一卷，亡。記月令正義，案三統元嘉曆。隋志，承天本意，欲立合朔之術，遭皮延宗餙非，致難事，不得行。〉承天所制，比古十一家爲密。
大明六年，祖沖之言：「元嘉曆踈舛，更造新曆，上元日度，自虛，歲在甲子。」交會遲疾，以上元歲首爲始。孝武令，善曆者難之，不能屈。不果施行。
〈齊高帝建元元年五月丙午，改元嘉曆，爲建元曆。隋志：承天曆訖齊末，相仍用之。〉
梁初因齊用元嘉曆。天監三年，詔定曆。員外散騎侍郞祖暅
〈常。〉奏曰：「臣先在晉已來，世居此職。仰尋黃帝至今十二代，曆元不同，周天斗分，踈密亦異。宋大明中，臣先人考古法，以爲正曆，事皆符驗。」八年，又上䟽論之，詔太史，候新舊二曆氣朔交會及七曜行度，起八年十一月，訖九年七月，新曆密，舊曆踈。至十年正月，用祖沖之所造甲子元曆頒朔。大同十年，制詔更造新曆，以甲子爲元，六百一十九爲章歲，一千五百三十六爲日法，一百八十三年冬至差一度，月朔以遲疾定其小餘，有三大二小。未用而寢。陳氏因梁，亦用沖之曆，無所創改。
〈張冑元學沖之，兼傳其師法。唐中氣議較前代史官注記，惟元嘉十三年十一月甲戌景長，蓋日度變常耳。〉
《夢溪筆談》
唐書云：「洛下閎造曆，自言後八百年當差一算，至唐一行出而正之。」此妄說也。洛下閎曆法極踈。蓋當時以爲密耳，其間闕略甚多，且擧二事言之。漢世尙未知黃道歲差，至北齊向子信，方候知歲差。今以今古曆校之，凡八十餘年差一度，則閎之曆八十年自已差一度，兼餘分踈闊，據其法推氣朔五星，當時便不可用，不待八十年。乃曰八百年差一算，太欺誕也。
曆法，天有黃赤二道，月有九道。此皆强名而已，非實有也。亦由天之有三百六十五度，天何嘗有度？以日行三百六十五日而一朞，强謂之度，以步日月五星行次而已。日之所由，謂之黃道，南北極之中，度最均處，謂之赤道。月行黃道之南，謂之朱道，行黃道之北，謂之黑道，黃道之東，謂之靑道，黃道之西，謂之白道。黃道内外各四，幷黃道爲九。日月之行，有遲有速，難可以一術御也。故因其合散，分爲數段，每段以一色名之，欲以别算位而已。如算法用赤籌黑籌，以别正負之數。曆家不知其意，遂以爲實有九道，甚可嗤也。
《性理大全》
元城劉氏與馬永卿論曆法曰：「古今曆法各不同，其閏法亦從而異。秦用顓帝之曆，水德王天下，以十月爲歲首。故遇閏年，卽閏九月而謂之後九月，蓋取左氏歸餘於終之意。至於漢初，因而不改。」永卿曰：「書云：『以閏月定四時成歲，謂之定四時。』則是四時之間，有閏也。」曰：「非也。蓋謂無閏月，則以春爲夏，以夏爲秋矣。故曰定四時，非謂四時之間有閏月也。」朱子曰：「今之造曆者無定法，只是赶趂天之行度以求合。或過則損，不及則益，所以多差。因言，古之鍾律細算，寸分毫釐絲忽，皆有定法，如合符契，皆自然而然，莫知所起。古之聖人，其思之如是之巧，然皆非私意撰爲之也。意古之曆書，亦必有一定之法，而今亡矣。三代而下，造曆者紛紛莫有定議，愈精愈密而愈多差，由不得古人一定之法也。蔡季通嘗言：『天之運無常。日月星辰積氣，皆動物也。其行度疾速，或過不及，自是不齊。使我之法能運乎天，而不爲天之所運，則其踈密遲速，或過不及之間，不出乎我。此虛寬之大數縱有差忒，皆可推而不失矣。何者？以我法之有定而律彼之無定，自無差也。』季通言非是。天運無定，乃其行度如此，其行之差處，亦是常度。但後之造曆者，其爲數窄狭，而不足以包之耳。」問：「曆所以數差，古今豈無人考得精者？」曰：「便是無人考得棈細而不易，所以數差。若考得精密，有箇定數，永不會差。伊川說：『康節曆不會差。』」或問：「康節何以不造曆？」曰：「他安肯爲此？古人曆法踈闊而差少，今曆愈密而愈差。」因以兩手量卓邊云：「且如這許多闊，分作四段，被他界限闊，便有差，不過只在一段界限之内。縱使極差，出第二三段，亦只在此四界之内，所以容易推測，便有差，容易見。今之曆法於這四界内分作八界，又分作十六界，界限愈密，則差數愈遠，何故？以界限密愈而逾越多也。其差則一，而古今曆法踈密不同故爾。看來都只是不曾推得定，只是移來湊合天之運行，所以當年合得不差，明後年便差。元不曾推得天運定，只是旋將曆去合那天之行，不及則添些，過則減些，以合之，所以一二年又差。如唐一行大衍曆，當時最謂精密，只一二年後便差。只有季通說得好，『當初造曆，便合幷天運所蹉之度，都算在裏。幾年後蹉幾分，幾年後蹉幾度。將這蹉數都算做正數，直推到盡頭。如此庶幾曆可以正而不差。今人都不曾得箇大統正，只管說天之運行有差，造曆以求合乎天，而曆愈差。元不知天如何會有差，自是天之運行合當如此。』此說極是。不知當初因甚不曾算在裏。但堯舜以來曆，至漢都喪失了，不可考緣。如今是這大總紀不正，所以都無是處。蔡季通算得康節曆。康節曆十二萬九千六百分，大故密。今曆家所用只是萬分曆，萬分曆已自是多了。他如何肯用十二萬分？只是今之曆家，又說季通底用不得，不知如何？」又曰：「一行大衍曆比以前曆，他只是做得箇頭勢大，敷衍得闊，其實差數只一般。正如百貫錢脩一料藥，與十文脩一料藥，其不能治病一也。」問：「曆法何以推月之大小？」曰：「只是以每月二十九日半，九百四十分日之二十九計之，觀其合朔爲如何。如前月大，則後月初二日月生明：前月小，則後月初三日月生明。」象山陸氏曰：「曆家所謂朔虛氣盈者，蓋以三十日爲準。朔虛者，自前合朔至後合朔，不滿三十日，其不滿之分曰朔虛。氣盈者，一節一氣共三十日，有餘分而爲中分，中卽氣也。」潛室陳氏曰：「左傳正義曰：『周天三百六十度四分度之一。日一日行一度，月一日行十三度十九分度之七，計二十七日有餘。月已行天一周，至二十九日過半。〈卽月法二十九日四百九十九分也。〉又逐及日而與之會，是爲一月十二月而成歲。一歲氣周有三百六十五日四分日之一，今十二月惟三百五十四日，是少十一日四分日之一，未得氣周。細而言之，一歲正少十一日少弱，所以然者，一月有餘分二十九，〈日法九百四十分，四百七十分爲半日。今有四百九十九分，是餘二十九分。〉合十二月餘分三百四十八。是一歲旣得三百五十四日，又餘分三百四十八。一日九百四十分，其二百三十五分爲四分日之一。今於餘分三百四十八内取二百三十五，以當四分日之一，仍有一百一十三。其餘整日惟有十一日，又以餘分一百一十三減之。是一年正餘十日八百二十七分，不成十一日。〈故謂十一日少弱。〉一年少十日八百二十七分，積十九年少二百六日六百七十三分少弱，足以當之。古曆十九年爲一章。章有七閏。入章，三年閏九月，六年閏六月，九年閏三月，十一年閏十一月，十四年閏八月，十七年閏四月，十九年閏十二月。此據元首初章，若於後漸積餘分，大率三十二月則置閏，不必同初章。日月運轉於天，如人之行步，故推曆謂之步曆。步曆之始謂之上元，必以日月全數爲始，於前更無餘分，以此日爲端首，〈卽十一月甲子夜半朔旦冬至也。〉故言履端用始也。分一周之日爲十二月，則每月當三十日，餘以日月會爲一月，則每月惟二十九日，餘每月參差氣漸不正，但觀中氣所在，以爲此月之正，取中氣以爲正月。閏前之月中氣在晦，閏後之月中氣在朔。無中氣則謂之閏月，故言擧正於中也。月朔之與月節，每月剩一日有餘，以所有餘日歸之於終，積成一月，則置閏，故言歸餘於終也。』」問：「漢武帝命唐都洛下閎，推算星曆，以爲合於夏正，改用太初曆。按，自黃帝以前，調曆有上元太初等曆。今以合夏正而用太初曆，然則夏亦用太初曆乎，否也？」曰：「曆家推上元太初，謂四千六百十七歲。已盡都無絲髮餘，重新起曆，是時定十一月甲子朔旦夜半冬至，日月如合璧，五星如連珠。乃新曆之第一日，故謂之曆元。漢元封七年，適當其時，故改秦曆，用漢曆，改秦正，用夏正，非謂夏亦然也？」《元朝名臣事略》
名臣事略郭守敬傳：至元十三年，立局改治新曆。先時，太保劉公以大明曆自遼金承用二百餘年，浸以後天，議欲修正而薨。至是，江左旣平，上思用其言，遂以公與贊善王公，率南北日官，分掌測驗推步於下，而忠宣樞密二張公爲之主領，裁奏於上，復共薦前中書左丞許公，能推明曆理，俾參預之。
公首言：「曆之本在於測驗，而測驗之器莫先儀表。今司天渾儀，宋皇祐中汴京所造，不與此處天度相符，比量南北二極，約差四度，表石年深，亦復欹側。」公乃盡考其失，而移置之。旣又别圖爽塏，以木爲重棚，創作簡儀高表，用相比覆。又以爲天樞附極而動。昔人嘗展管望之，未得其的，作候極儀。極辰旣位，天體斯正，作渾天象，象雖形似，莫適所用，作玲瓏儀。以表之矩方，測天之正圓，莫若以圓求圓，作仰儀。古有經緯，結而不動。公則易之，作立運儀。日有中道，月有九行，公則一之，作證理儀。表高景虛，罔象非眞，作景符。月雖有明，察景則難，作闚几。曆法之驗，在於交會，作日食月食儀。天有赤道，輪以當之。兩極低昂，標以指之，作星晷定時儀。以上凡十三等。又作正方案丸表懸正儀座正儀，凡四等，爲四方行測者所用。又作仰規覆矩圖異方渾蓋圖日出入永短圖，凡五等，與上諸儀互相參考。
十六年，改局爲太史院，以贊善公爲太史令，公爲同知太史院事，給印章，立官府。是年，奏進儀表式樣。公乃對御指陳理致，一一周悉，自朝至於日晏，上不爲倦。公因奏：「唐一行開元間令南宮說天下測景，書中見者凡十三處。今疆宇比唐尤大，若不遠方測驗，日月交食分數時刻不同，晝夜長短不同，日月星辰去天高下不同，卽目測驗人少，可先南北立表，取直測景。」上可其奏，遂設監候官一十四員，分道相繼而出。先測得。
南海，北極出地一十五度。夏至景在表南，長一尺一寸六分。晝五十四刻，夜四十六刻。
衡嶽，北極出地二十五度。夏至日在表端無景。晝五十六刻，夜四十四刻。
嶽臺，北極出地三十五度。夏至晷景長一尺四寸八分。晝六十刻，夜四十刻。
和林，北極出地四十五度。夏至晷景長三尺二寸四分。晝六十四刻，夜三十六刻。
鐵勒，北極出地五十五度。夏至晷景長五尺一分。晝七十刻，夜三十刻。
北海，北極出地六十五度。夏至晷景長六尺七寸八分。晝八十二刻，夜一十八刻。
大都，北極出地四十度太强。夏至晷景長一丈二尺三寸六分。晝六十二刻，夜三十八刻。
上都，北極出地四十三度少。
北京，北極出地四十二度强。
益都，北極出地三十七度少。
登州，北極出地三十八度少。
高麗，北極出地三十八度少。
西京，北極出地四十度少。
太原，北極出地三十八度少。
安西府，北極出地三十四度半强。
興元，北極出地三十三度半强。
成都，北極出地三十一度半强。
西凉州，北極出地四十度强。
東平，北極出地三十五度太。
大名，北極出地三十六度。
南京，北極出地三十四度太强。
河南府陽城，北極出地三十四度太弱。
楊州，北極出地三十三度。
鄂州，北極出地三十一度半。
吉州，北極出地二十六度半。
雷州，北極出地二十度太。
瓊州，北極出地十九度太。
十七年，新曆告成，公與太史諸公同上奏曰：「臣等竊聞，帝王之事，莫重於曆。自黃帝迎日推策，帝堯以閏月定四時成歲，舜在璇璣玉衡以齊七政。爰及三代，曆無定法。周秦之間，閏餘乖次。西漢造三統曆，百三十年而後是非始定。東漢造四分曆，七十餘年而儀式方備。又百二十一年，劉洪造乾象曆，始悟月行有遲疾。又百八十年，姜岌造三紀甲子曆，始悟以月食衝檢日宿度所在。又五十七年，何承天造元嘉曆，始悟以朔望及弦皆定大小餘。又六十五年，祖沖之造大明曆，始悟太陽有歲差之數，極星去不動處一度餘。又五十二年，張子信始悟日月交道有表裏，五星有遲疾留逆。又三十三年，劉焯造皇極曆，始悟日行有盈縮。又三十五年，傅仁均造戊寅元曆，頗采舊儀，始用定朔。又四十六年，李淳風造麟德曆，以古曆章蔀元首分度不齊，始爲摠法，用進朔，以避晦晨月見。又六十三年，僧一行造大衍曆，始以朔有四大三小，定九服交食之異。又九十四年，徐昂造宣明曆，始悟日食有氣刻時三差。又二百三十六年，姚舜輔造紀元曆，始悟食甚泛餘差數。以上計千一百八十二年，曆經七十改，其創法者十有三家。自是又百七十四年，欽惟聖朝統一六合，肇造區夏，專命臣等改治新曆。臣等用創造簡儀高表，憑其測到實數，所考正者凡七事。一曰冬至。自丙子年立冬後，依每日測到晷景，逐日取對，冬至前後日差同者爲準。得丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半，又定丁丑夏至得在庚子日夜半後七十刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半後三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半後五十七刻半，庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻半，各減大明曆十八刻，遠近相符，前後應準。二曰歲餘。自劉宋大明曆以來，凡測景驗氣，得冬至時刻眞數者有六，用以相距，各得其時，合用歲餘。今考驗四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分，其二十五分爲今曆歲餘合用之數。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食旣，推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度黃道箕九度有奇。仍憑每日測到太陽躔度，或憑星測月，或憑月測日，或徑憑星度測日。立術推算，起自丁丑正月至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔於箕，與月食相符。四曰月離。自丁丑以來至今，憑每日測到逐時太陰行度推算，變從黃道求入轉極遲極疾幷平行處，前後凡十三轉，計五十一事。内除去不眞的外，有三十事，得大明曆入轉後天。又因考驗交食，加大明曆三十刻，與天道合。五曰入交。自丁丑五月以來，憑每日測到太陰去極度數，比擬黃道去極度，得月道交於黃道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分，得入交時刻，與大明曆所差不多。六曰二十八宿距度。自漢太初曆以來，距度不同，互有損益。大明曆則於度下餘分，附以太半少，皆私意牽就，未嘗實測其數。今新儀皆細刻周天度分，每度爲三十六分，以距線代管窺。宿度餘分並依實測，不以私意牽就。七曰日出入晝夜刻。大明曆日出入晝夜刻，皆據汴京爲準，其刻數與大都不同。今更以本方北極出地高下，黃道出入内外度，立術推求每日日出入晝夜刻，得夏至極長，日出寅正二刻，日入戌初二刻，晝六十二刻，夜三十八刻，冬至極短，日出辰初二刻，日入申正二刻，晝三十八刻，夜六十二刻，永爲定式。所創法者凡五事。一曰太陽盈縮。用四正定氣立爲升降限，依立招差求得每日行分初末極差積度，比古爲密。二曰月行遲疾。古曆皆用二十八限，今以萬分日之八百二十分爲一限，凡析爲三百三十六限，依垜疊招差求得轉分進退，其遲疾度數逐時不同，蓋前所未有。三曰黃赤道差。舊法以一百一度相減相乘，今依算術勾股弧矢方圓斜直所容，求到度率積差，差率與天道實爲脗合。四曰黃赤道内外度。據累年實測，内外極度二十三度九十分，以圓容方直矢接勾股爲法，求每日去極，與所測相符。五曰白道交周。舊法黃道變推白道以斜求斜，今用立運比量，得月與赤道正交，距春秋二正黃赤道正交一十四度六十六分，擬以爲法，推逐月每交二十八宿度分，於理爲盡。」十九年，太史王公卒。時曆雖頒，然其推步之式，與夫立成之數，尙皆未有定藁。公於是比次篇類，整齊分秒，裁爲推步七卷，立成二卷，曆議擬稿三卷，轉神選擇二卷，上中下三曆注式十二卷。
二十三年，繼爲太史令，遂上表奏進。又有時候箋注二卷，修改源流一卷。其測驗書，有儀象法式二卷，二至晷景考二十卷，五星細行考五十卷，古今交食考一卷，新測二十八舍雜座諸星入宿去極一卷，新測無名諸星一卷，月離考一卷，並藏之官。