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籌解需用
籌解需用外編下
測量說
盖天者萬物之祖。日者萬物之父。地者萬物之母。星月者萬物之諸父也。綑縕孕毓。恩莫大焉。呴濡涵育。澤莫厚焉。乃終身戴履而不識天地之體狀。是猶終身怙恃而不識父母之年貌。豈可乎哉。若曰天吾知其高且遠而已。地吾知其厚且博而已。則是何異於曰父吾知其爲男子而已。母吾知其爲女子而已者哉。故欲識天地之體狀。不可意究。不可以理索。唯製器以窺之。籌數以推之。窺器多製而不出於方圜。推數多術而莫要於勾股。其窺推之序。必先辨方。其次定尺。辨方以量極。定尺以度地。先測地球。次及諸天。凡天地之體狀。可得其梗槩矣。
辨方
天運包地。隨地異觀。在兩極下則橫運如磨。在赤道下則縱運如輪。在兩極赤道之間則斜運如旋倚。盖今中國舟車所通。皆係倚盖之地。姑以中國言之。兩極線之在地上者謂之北。在地下者謂之南。雖然。兩線在地。移步換跡。本無定形。羅經子午。類多偏向。亦匪眞線。故欲測兩極之眞線。子午之本方。別有其術。安置平案。勿令移動。上立細表。不拘何日。當午前後。審表端晷影。隨影作點。日在正午。表影必短。取其極短。因表作線。爲南北直線。就線左右。各作垂線。爲東西線。
又法案表如上。別以儀器測午前日軌高度。點表影于案。再測午後日軌高度。得與午前等度。又點表影于案。乃聯兩點爲直線。爲東西直線。就線正中向表作線。亦爲南北直線。
又法案上向北作屢層同心半圈。立表圈心。有午前隨表影在圈線者。作點識之。至午後審兩點同在一圈者。聯作直線。亦爲東西眞線。
定尺
古今尺度。代各異制。革世之際。散失典度。其勢然也。虞夏之用。今不可考。且尺寸長短。本無定度。王者御世。可以隨時制用。使天下同律而已。若累黍候灰。必欲求黃鍾之尺。則亦過矣。今測量之用。專係尺度。步出於尺。里出於步。西洋舊法。以二百五十里爲地球一度。時憲曆法。以二百里爲地球一度。此非測候之有得失。以尺度之有長短也。故測量之始。必先定尺度。命之曰步天尺。以定地球度里。以定地球徑圍狀。後凡測量之立表定率。七政之大小近遠。皆由此而準焉。
定率
籌法之畸零。謂之小餘。凡推測乘除。欲其密合。莫如多取小餘。小餘愈多。差數愈微。愈多愈微。至於無差。但布位旣繁。推術漸艱。除匪治曆審率爭在毫釐。則捨煩取簡。剗去小餘。多則陞之。小則棄之。畢竟所得無害於大數。今天地諸測。惟憑古人成數。定其法術。姑顯其遠大之梗槪而已。則十百盈胸。在所不論。故篇內諸術。專用簡率。如徑求周則以三一四一五九爲率。地半徑則以一四三二四爲率。數之畸零。只取小餘七位推得數。幷以强弱收之。覽者詳之。
〈徑求周。本率以一億爲一率。三億一四一五九二六五爲二率。地半徑。以本率推之。爲二千五百七十八萬三千一百〇尺八寸一分〇三毫四絲〇八忽五微三纖四沙一强。作里。爲一萬四千三百二十三里九四四八九四六三八〇七四五强。〉
製器
工欲善其事。必先利其器。推步之得失。專係於儀器之利鈍。圜中規方中矩。度分均排。巧合無差。庶可適用。其測量之用有四。一曰方圜儀。二曰象限儀。三曰矩儀。四曰矩尺。各有其用。惟方圜儀。實兼諸器之用。方圜儀者。外爲半規。內容半方。當方圜之心設遊表。因心爲徑線之垂線。平分半規。爲兩象限。平分半方。爲兩小方。方圜之分度。視器大小遊表。亦具細分。以方分爲度立。以測高臥。以測廣倒。以測深器。大者一象限。具九十度五千四百分三十二萬四千秒。其次爲三萬二千四百點二秒爲一點。其次爲五千四百分。有分而無秒。其次爲五百四十點十分爲一點。最小者。具九十度而已。方分器大則爲萬分。其次爲千分。最小者。爲二三百分。遊表兩端。各有窺穴設機。安置墜線。以定地平。遠近疎密。各有其用。五等具備。乃便推步。
象限儀者。爲一圜四分之一。其分度遊表諸法。並上仝。
儀大則體鉅難成。且不便携運。竟歸無用。姑作小儀。每象限具九十度。排鍥稍寬。別以木板。▣▣爲分秒儀。分儀微曲。秒儀平直。
〈本儀半徑六十之爲分儀半徑。則尺寸之長。圈勢微曲。分儀之曲。以此爲度。本儀半徑三千六百之爲秒儀半徑。則尺寸之間。圈勢未塋。故秒儀平直無妨。〉比例本儀。爲兩儀遠。
〈本儀一度之寬。六十之爲分儀之遠。分儀一分之寬。六十之爲秒儀之遠。〉儀之兩端。各以活樞設兩耳窺衡。別爲曲機。跨儀遊移。上設細表。先置本儀。勿令移動。量分儀半徑之遠。前置分儀。以本儀遊表。從一度之寬。遊移照望。分儀窺衡。微旋相應。令分儀兩端。恰滿度內。窺衡兩耳。與遊表兩耳參直。又前置秒儀。從分儀兩窺衡。左右照望。秒儀窺衡。亦微旋相應。令秒儀兩端恰滿分內。然後從本儀遊表。隨處測之。遊移曲機。令兩細表參直於本儀表線。則每度之幾分幾秒俱得矣。
〈分秒儀之上下進退。惟在臨用通變。惟秒儀稍長而微曲。爲三千六百密鍥具一度六十分之全秒尤便。〉引而伸之。微纖芒忽。次第可推。
矩儀者。合兩矩爲一方。一矩當角設表。一規爲勾股。各具細分。多小隨器。測高勾在上。測深勾在下。測高加儀高。測深减儀高。
〈儀小不可測遠則別爲銅尺。以本儀十分之寬。爲其長。內具一千分密鍥。窺衡細表。並依分秒儀制。前立表柱。柱端與儀頭平直。懸尺于柱。令可上下。儀長百之爲柱遠。遊表望銅尺兩端。恰滿本儀十分之內。上下測之。考細表以爲分。本儀分百之爲儀分。〉
矩尺者制同匠尺。大者股三十尺勾三尺。小者股四尺勾三尺。以步天尺爲準。並具寸分。
量地
測天必先量地。記里車之所由作也。其制兩輪方轂。當軸之中鐵篐而圓之環。設十牙。轅上設兩橫杠。杠上又設兩短杠。短杠立柱。各穿三竅。以受三輪之軸。下輪設牙一百二十。以受車輪之牙。軸設六牙。以受中輪之牙。中輪設牙九十。軸牙六。以受上輪之牙。上輪之牙爲六十。盖先定尺度。以十尺爲車輪之周。下輪一轉。得一百二十尺。中輪一轉。得一千八百尺。上輪一轉。得一萬八千尺。是故上輪一轉則中輪十轉。下輪一百五十轉。車輪之轉爲一千八。並得一十里。中輪並轉。車行半里而鍾鳴。中輪一轉。車行一里而鍾閙。上輪半轉。車行五里而鼓鳴。上輪一轉。車行十里而鼓擂。人在車上。隨鍾鼓而記之。平野直途。必循子午眞線。每五里而立堠。記得數百里。然後以儀器測天以準之。得地球一度之里。得一度之里。則地周地徑之里俱得矣。得地球之周徑。然後各天之八線。七政之大小遠近。無不得矣。
又法。繩量直道距二三十里。亦可得南北度數十分之差。但繩量之際。易有盈縮。分秒之差。尤難細審。終不如車量之精確。
又法。擇得數十里眞午線。地平設儀測之。得其平遠。各因地平測北極。亦得。
〈平遠異於弧線。但數十里之間。所差無多。〉
又法。測得數十里平遠平深。乃以一億爲一率。三億一四二五九二六五爲二率。平遠倍之。倂平深三歸之爲三率。亦得弧遠大數。
測北極
測天準地。以北極出地爲度。爲長方木案。北立兩圓柱。上下各橫圜架柱架。各施三線。兩端有套可以推移。平分柱間。爲子午眞線。線南設窺穴。
〈置儀用儀竅尤妙。〉擇近極一星最明鉅如句陳大星者。初昏從窺穴望星。在東
〈東西上下各隨節候〉則引中橫線。與右垂線兩線。交於星心。夜半星昇而最高。則引中垂線與上橫線。兩線交於星心。晨曉星降而在西。則引左垂線與中橫線。交於星心。凡五線交而爲星行之半圈。兩中線之交。爲星圈之心。卽不動之極也。
〈北極下測之星極必正圓。其外則圈之上下。漸成有形。〉
乃以象限儀定準墜線。仰當天頂儀之遊表。因線南窺穴參直中線之交。得北極距地平度分。
又法。春秋分後八日正午。儀測日心距天頂度分。卽得北極高度。
〈此因曆家定分。以備參互。〉
又法。冬夏至前後。儀測日心距天頂度分。最遠爲冬至。减二十三度三十分。最近爲夏至。加二十三度三十分。並得北極高度。
〈兩法並有地半徑差。〉
測地球
不由量地測極。但得斜遠設儀直測。尤捷。
不拘方位。擇得數十里山頂。平矩正繩。以定地平。各立表竿。以備遠望識別。先以步天尺。測其矩遠。乃於山頂竿底。倒置矩儀。令儀心平線與遠立竿底參直。然後設墜線於儀心。細審墜線之在勾幾分。乃以勾分爲一率。儀分爲二率。兩表距遠爲三率。推得四率。卽地半徑。
又法。山上先測天際野遠。乃以圜儀從墜線。望野際得表度。仍半减象限餘。爲地心對知角度。其正弦爲一率。表度爲對求角度。其正弦爲二率。野遠爲所知線三率。亦得。
又法。以地心角度檢表。以其正切爲一率。半徑一千萬爲二率。野際遠爲三率。亦得。
天地經緯度
分天爲十二宮。每宮分三十度。每度分六十分。每分分六十秒。其南北縱線交於赤道。謂之經度。近赤道者度分相距漸遠。遠赤道者度分相距漸近。至于兩極則衆線合于一點。分界之限。以恒星爲準。無星則以某星偏東西幾度爲限。赤道內外交於子午線。與赤道平行作圈。赤爲十二宮三百六十度及六十分秒。謂之緯度。亦謂之距等圈。近赤道者經圍漸大。遠赤道者經圍漸小。至于兩極則終于一點。其分界之限。亦以恒星及偏度爲準。平分一圜爲半圜。四分一圜爲象限。六分一圜爲紀限。地球分度。亦依天度。以備測候。
地平經差
七曜之測。本於地心。人在地上。設儀測之。所得高遠。皆地面之高遠。非地心之高遠。恒星離地絶遠。地心之差。不啻毫釐。在所不論。若七曜則宜有增减以求實距。
地球有三線。一曰地平線。卽地球上象限切線。一曰地心線。卽切線平行半徑之引長線。一曰下地面線。卽地球下象限切線。三線各以地半徑爲距。互爲平行。與天頂線。雖並爲直角。設儀地上。準以天頂。七曜之在下兩線者。皆成鈍角。距地遠者。其角微鈍。距地近者。其角益鈍。測候之所當知也。
地測
甲乙兩地。爲眞子午。甲地測得北極出地三十七度。乙地測得北極出地三十六度三十分。記里車從甲地循子午直道至乙地。皷擂一十二通。鍾閙一百二十五次。問地一度里及周徑各幾何。
答曰。地一度二百五十里。
地周九萬里。
地徑二萬八千六百四十八里弱。
術曰。求一度里。則計皷擂鍾閙。得甲乙弧遠倍之。求地周。則置一度里。以三百六十乘之。
求地徑。則以周求徑率推之。
甲乙兩山。爲眞子午。甲山測北極出地三十六度。乙山測北極出地三十七度。甲乙相距四十五萬零四十八尺三寸。問地半徑幾何。
答曰。一萬四千三百二十四里弱。
術曰。甲乙極出地度相减餘。爲地心角度。檢表其正切爲一率。表半徑爲二率。甲乙距爲三率。
甲地測得北極出地三十七度。乙地測得北極出地三十六度。原以時憲尺記里車。計得甲乙弧遠二百里。今改以步天尺作車計。得二百五十里。問兩尺差幾何。
答曰。時憲尺一尺。步天尺一尺二寸五分。
步天尺一尺。時憲尺八寸。
術曰。原里除今里。得時憲尺長。今里除原里。得步天尺長。
海邊平沙。橫置矩尺。下距水平一尺。前距水際一十尺。退距六百尺。又置矩尺。與前尺平行。從後尺勾線。望島巖頂。與前尺勾線參直。後股端橫距四寸。望巖頂與前股端參直。問巖頂距前尺遠幾何。
答曰。四萬五千尺。
術曰。後股端橫距爲小股一率。退距爲小勾二率。矩長爲大股三率。
島巖頂退距一十尺。測得彼岸水際四萬五千尺。乃施斜線
〈水際平線爲島頂。頂斜線卽地弧差。〉望水際。與巖頂參直。從斜線下一尺。與斜線倒置圜儀。儀心設墜線。線在儀八十九度五十四分。問地半徑幾何。
〈水際遠爲地球切線。去水面爲地球割線。圜外平高。〉
答曰。二千五百七十八萬三千一百二十二尺强。
術曰。線度反减象限餘。爲對知角度。其正弦爲一率。線度爲對求角度。其正弦爲二率。水際遠爲所知線三率。
又線度反减象限餘
〈六分〉爲一率。斜遠爲二率。六十分爲三率。得一度里。以三百六十乘之。得地球周。以周求徑率推之。得地全徑。
〈弦弧切三線。各有其長。但十餘分之內。三線相逼。無甚差別。六分之弦切兩線。旣同其尺。則弧線之差。不過毫釐。借求不妨。〉
上下兩坡各斜立距尺。合兩勾線與野邊天際參直。先測兩矩。相距一千五百尺。上矩股頭上矩一尺。望野邊與矩股頭參直。問下矩角距野邊遠幾何。
答曰。四萬五千尺。
術曰。上矩上距爲小股一率。兩矩距爲小勾二率。矩長爲大股三率。
坡上測得野邊斜遠四萬五千尺。側置圜儀。令經線因斜線。遊表因垂線。表在儀六分。問地半徑幾何。
答曰。二千五百七十八萬三千五百三十三尺弱。
術曰。表分爲地心角度。檢表其正切爲一率。表半徑爲二率。斜遠爲三率。
臨海山上。有南北兩塔。從南塔底望天際。海面有一點島巖。從北塔底望巖島。與南塔底參直。塔高各二百二十五尺。兩塔底斜距一千尺。北塔頂上距一尺。望島巖與南塔頂參直。南塔底從地平。倒置圜儀望島巖。表在儀三十分。問南塔底島巖斜遠地半徑各幾何。
答曰。斜遠二十二萬五千尺。
地半徑二千五百七十八萬二千三百五十一尺强。
術曰。求斜遠則北塔上距爲小股一率。兩塔斜距爲小勾二率。塔高爲三率。
求地半徑。則以三十分正切爲一率。表半徑爲二率。斜遠爲三率。
海上有甲乙兩峯。從甲峯望天際。海面有一點島巖。與乙峯參直。乙峯設高架。架上因地平。倒置圜儀窺島巖。表在儀一度零一十秒。甲峯因地平。倒置圜儀窺島巖。表在儀一度。仍窺乙架儀心。表在儀一十秒。兩儀心斜距一千二百五十尺零七寸。問甲距島巖斜遠地半徑。甲平高。甲距島巖平遠平深。各幾何。
答曰。斜遠四十五萬零五十六尺强。
地半徑二千五百七十八萬三千七百零一尺弱。
平高三千九百二十七尺弱。
平遠四十四萬九千九百七十九尺弱。
平深三千九百二十七尺弱。
術曰。求斜遠則兩儀度相减餘。爲對知角度。其正弦
〈四八五〉爲一率。乙表度减甲儀。窺乙儀表度餘。爲對求外角度。其正弦
〈一七四五二四〉爲一率。斜距爲所知線三率。
求地半徑。則甲角度爲對知角度。其正弦
〈一七五五二四〉爲一率。甲角度半减象限餘。爲對求角度。其正弦
〈九九九八四七七〉爲二率。斜遠爲所知線三率。
求平高。則表半徑爲一率。表一度正割爲二率。地半徑爲三率。推得四率。减地半徑。
求平遠。則表半徑爲一率。表一度正弦爲二率。地半徑爲三率。
求平深。則表半徑爲一率。表一度餘弦反减半徑
〈爲正矢〉餘爲二率。地徑爲三率。
甲山平高二里。從垂線側立圈儀。南窺天際丙山頂。表在儀八十九度。北窺乙山頂。表在儀九十一度零一十秒。乙山從甲山斜線。窺丙山頂。表在儀一度。甲乙斜距一千二百五十尺零七寸。問甲丙相距。遠地半徑各幾何。
答曰。甲丙遠四十五萬零五十尺强。
地半徑二千五百七十八萬三千七百一尺强。
術曰。求甲丙遠。則甲表度反减象限。又减乙表度餘。爲丙山對知角度。其正弦爲一率。乙表度爲對求角度。其正弦爲二率。甲乙斜距爲所知線三率。
求地半徑。則甲表度反减象限餘。爲地心角度。其正切爲一率。表半徑爲二率。甲丙遠爲三率。
周天三百六十度。每一度當地面二百五十里。問地周幾何。
答曰。九萬里。
術曰。置周天度以二百五十里乘之。
地球周九萬里。問徑及體積面積各幾何。
答曰。徑二萬八千六百四十八里弱。
體積一十三萬二千二百五十二億九千七百五十一萬九千零九里。
面積二十五億七千四百七十一萬六千六百三十里。
術曰。求徑則三十一萬四一五九爲一率。一十萬爲二率。地周爲三率。
求體積則一十六萬爲一率。九爲二率。徑再自乘爲三率。
求面積則一十萬爲一率。五萬二二八六五爲二率。徑自乘六因之爲三率。
臺上望廣野。天際臺高二百一十六尺。問自臺下平地距天際平深平遠各幾何。
〈正矢○正弦。〉
答曰。平深二百一十六尺弱。
平遠一十萬零五千五百三十八尺强。
術曰。求平深則臺高倂地半徑爲一率。地半徑爲二率。臺高爲三率。
又地半徑爲一率。臺高倂地半徑爲二率。表半徑爲三率。推得四率。爲表半徑。割檢表得本弧度正矢。反推之。得地弧度正矢。
求平遠則地半徑爲弦。地半徑减平深爲股。推得勾。
又推得求弧度正弦。反推之。
海岸高九百尺。從岸頂望天際海面。問岸頂距海面遠幾何。
〈切線。〉
答曰。二十一萬五千四百三十一尺强。
術曰。岸高倂地半徑爲弦。地半徑爲股。推得勾。
又推得本弧度正切。反推之。
遼陽白塔下直途行一百里。人目着地。望塔頂與地面參切。問塔高幾何。
〈割線。〉
答曰。六百二十九尺强。
術曰。地弧一度里爲一率。直道行里爲二率。一度分爲三率。推得四率。爲直途行地弧分。檢表以表半徑爲一率。表正割爲二率。地半徑爲三率。推得四率。爲地弧正割內减地半徑。
江岸立望彼岸水際。與水平參切。人目距水平高三尺五寸。問江濶弦幾何。
〈通弦。〉
答曰。江一萬三千四百三十四尺强。
術曰。目距倂地半徑爲一率。地半徑爲二率。目距爲三率。推得四率。爲平深。乃以地半徑爲弦。地半徑减平深爲股。推得勾。再以勾爲股。平深爲勾推弦。
又推得本弧度正矢。爲股推弦。
海舶柁樓。望海面暗礁參切。天海人目。距水平高五十四尺。問海面弧遠幾何。
〈弧線。〉
答曰。三十里强。
術曰。先求平遠以地半徑爲一率。平遠爲二率。表半徑爲三率。推得四率。爲表正弦。檢表得本弧度。乃以地弧一度里推之。
一日之一分。統凡行九里。欲令繞地一周。問爲日幾何。
答曰。六日一十八分日之七。
術曰。地周爲實。一日刻分乘行里。得每日行。爲法除之。
〈一日一千四百四十分。〉
野中切地際望天邊。人目距地五尺。問地際距人弧遠，平遠，平深，斜遠，地心線長，下地面線長，兩線距人目斜遠。各幾何。
答曰。地際弧遠一萬三千六百二十五尺。
平遠一萬三千六百二十四尺弱。
平深十尺弱。
斜遠一萬三千六百二十三尺强。
地心線長二十一百六十八萬三千三百五十七里强。
斜遠二千一百六十八萬三千三百六十二里弱。
下地面線長四千三百三十六萬六千七百一十里弱。
斜遠四千三百三十六萬六千七百一十九里强。
術曰。求弧遠則地半徑爲一率。地半徑倂目距
〈卽地球正〉割爲二率。表半徑爲三率。推得四率。爲表正。割檢表得弧度。乃以地弧一度里推之。
求平遠則檢表得求弧正弦。乃以表半徑爲一率。表正弦爲二率。地半半徑爲三率。
求平深則地半徑爲弦。平遠爲勾。推得股反减地半徑。
求斜遠則平遠爲股。平深爲勾推弦。
求地心線長則平深爲一率。平遠爲二率。地半徑倂目距爲三率。
求斜遠則地心線長爲股。地半徑倂目距爲勾推弦。
求下地面線長則平深爲一率。平遠爲二率。地全徑倂目距爲三率。
求斜遠則下地面線長爲股。地全徑倂目距爲勾推弦。
天測
日月行圈。與地不同心。別有推法。姑以同心爲率。
甲地與乙山頂地平參直。相距二百六十一里四百八十三尺七寸四分。甲地從地平測月心。表在儀七十六度三十六分一十秒零三微。乙山從甲地地平線測月心。表在儀七十六度三十七分一十秒零三微。問月距地心遠幾何。
答曰。八十八萬七千八百四十里弱。
術曰。先以兩表度相减餘。
〈一分。〉爲月心角度。爲對知角度。其正弦
〈二九〇九〉爲一率。乙表度爲鈍外角度。爲對求角度。其正弦
〈九百萬七二八五四四六〉爲二率。甲乙遠爲所知線三率。推得四率。
〈八十七萬三千八百六十一里。〉爲甲距月斜遠。乃以直角度爲對知角度。其正弦
〈一千萬〉爲一率。甲表度爲對求角度。其正弦
〈九百萬七二八三二〇六〉爲二率。甲月遠爲所知線三率。推得四率。
〈八十五萬零一百二十里。〉倂地半徑爲股。又以直角度爲對知角度。其正弦爲一率。甲表度反减象限餘。
〈一十三度二十三分四十九秒五十七微。〉爲對求角度。其正弦
〈一三一七〇〇五〉爲二率。甲月遠爲所知線三率。推得四率。
〈二十萬零二千四百七十四里。〉爲勾推弦。
漢陽北極出地三十七度。某月某日。月離于赤道。正當午中置圜儀。從地平測月心。表在儀五十二度二十三分。問月距地心遠幾何。
答曰。八十一萬二千三百四十五里弱。
術曰。極出地度倂表度半减象限餘。
〈三十七分。〉爲月心角度。爲對知角度。其正弦
〈一〇七六二七〉爲一率。表度反减象限餘。
〈三十七度三十七分。〉爲甲鈍外角度。爲對求角度。其正弦
〈六一〇三七五六〉爲二率。地半徑爲所知線三率。
月距地心遠八十一萬二千三百四十五里。月在天頂南三十七度。問月距地面斜遠幾何。
答曰。八十萬零九百五十二里弱。
術曰。地球三十七度正弦爲勾。其餘弦反减月距地心遠餘。爲股推弦。
地上置圜儀。從月心測月弧。表在儀一十六分三十五秒五十九微。月距地面斜遠八十萬零九百五十二里。問月徑圍體積各幾何。
答曰。徑七千七百三十五里弱。
圍二萬四千三百里强。
體積二千六百零三億一千七百五十六萬九千五百八十六里弱。
視徑七千七百三十四里八六。
術曰。求徑則直角度爲月弧角度。爲對知角度。其正弦
〈一千萬〉爲一率。表度爲對求角度。其正弦
〈四八二八六〉爲二率。月距地面斜遠。爲所知線三率。推得四率倍之。
求圍則以徑求圍率推之。
〈一率一十萬。二率三十一萬四一五九。〉
求體積則以徑求體積率推之。
求視徑則先以直角度。爲對知角度。其正弦爲一率。表度反减象限餘。
〈八十九度四十三分二十四秒零一微。〉爲對求角度。其正弦
〈九百萬九九九八八三八〉爲二率。斜遠爲所知線三率。推得四率。
〈八十萬零九百四十二里六九。〉爲地面距月弧表。乃以直角度。爲對知角度。其正弦爲一率。表度爲對求角度。其正弦
〈四八二八六〉爲二率。月弧遠爲所知線三率。推得四率
〈三千八百六十七里四三〉倍之。
地上置圜儀。從天頂測月心。表在儀四十度零九分零五秒一十八微。從月心測月弧。表在儀一十七分三十一秒五十七微。月半徑三千八百六十七里半。問月距地心遠幾何。
答曰。七十六萬九千三百三十九里弱。
術曰。先以後測表度爲對知角度。其正弦
〈五萬〇九九九四〉爲一率。直角度爲對求角度。其正弦
〈一千萬〉爲二率。月半徑爲所知線三率。推得四率。
〈七十五萬八千三百四十二里。〉爲地面距月心斜遠。乃以直角度爲對知角度。其正弦爲一率。先測表度爲對求角度。其正弦
〈六四四八一〇六〉爲二率。斜遠爲所知線三率。推得四率
〈四十八萬八千九百七十七里〉爲勾。又以直角度爲對知角度。其正弦爲一率。先測表度反减象限餘。
〈四十九度五十分零五十四秒四十二微。〉爲對求角度。其正弦
〈七六四三四二四〉爲二率。斜遠爲所知線三率。推得四率。
〈五十七萬九千六百三十三里。〉倂地半徑爲股推弦。
甲乙兩地爲直子午。甲地北極高三十九度五十九分三十秒。乙地北極高二十三度一十分。夏至後八日午正。各置圜儀。從地平測日心。甲表七十三度一十六分零二十三微。乙表八十九度五十三分三十八秒一十二微。問日距地心遠幾何。
答曰。一千六百十四萬四千二百里弱。
術曰。兩極高相减餘。
〈一十六度四十九分三十秒。〉爲地心角度。又折半爲半極差。兩表度各加半極差。又倂之及减半圜餘。
〈五十一秒二十五微。〉爲日心角度。爲對知角度。其正弦
〈二千四九一九〉爲一率。乙表度倂半極差反减半圜餘。
〈八十一度四十一分三十六秒四十八微。〉爲鈍外角度。爲對求角度。其正弦
〈九百萬八九五〇九四六〉爲二率。地球
〈一十六度四十九分三十秒〉通弦。
〈四千一里九十一里。〉爲所知線三率。推得四率。
〈一千六百六十四萬二千零五十六里八五。〉爲日距甲斜遠。乃以斜遠爲大腰。地半徑爲小腰。甲表度反减象限餘。
〈一十六度四十三分五十九秒三十七微。〉爲鈍外角度。以夾角率推之。
子地測北極出地三十九度五十九分三十秒。午地測北極出地二十三度一十分。春分後八日午正。各置圜儀。從地平測日心。甲表五十三度零三分三十八秒一十微。乙表六十九度五十三分五十四秒三十七微。問日距地心遠幾何。
答曰。一千六百三十六萬六千一百三十五里强。
術曰。兩極出地較
〈一十六度四十九分三十秒〉與兩表較
〈一十六度五十分零一十六秒二十七微〉相减餘。
〈四十六秒二十七微。〉爲日心角度。爲對知角度。其正弦
〈二二五二〉爲一率。極出地較折半爲半極差。倂甲表度。爲對求角度。其正弦
〈八七八五九三一〉爲二率。極出地較爲地心角度。其通弦
〈二九二五九七七〉爲所知線三率。推得四率。
〈一一四一五三七八三四三。〉爲日距午地遠。仍爲大腰。表半徑
〈一千萬〉爲小腰。乙外角
〈二十度零六分零五秒二十三微〉爲夾角推之得數。又以表半徑爲一率。得數爲二率。地半徑爲三率。
日心距天頂九十度。海岸置圜儀。從地平線測日上弧岸。距水平一里。問角度幾何。
答曰。
〈缺〉
術曰。日距地心遠爲股。日半徑减地半徑。又减儀距水平爲勾。推得弦爲日上弧距儀斜遠。乃以斜遠爲對知線一率。本勾爲對求線二率。半徑
〈卽勾股直角〉爲所知角。其正弦爲三率。推得四率。檢表得角度。
日心距天頂九十度。海上側置圜儀。從垂線測日心儀。距水平一里。問角度幾何。
答曰。
〈缺〉
術曰。日距地心遠爲股。地半徑倂儀▣爲勾。推得弦爲日距儀斜遠。乃以斜遠爲對知線一率。本勾爲對求線二率。半徑
〈卽地心直角〉爲所知角。其正弦爲三率。推得四率。檢表得日心角度。反减象限餘。爲儀角度。凡測日置儀。以距水平一里爲度。立儀測上弧。倒儀測心。其角度如上二答。知日距天頂。恰滿象限。
日距地心遠一千六百三十六萬六千一百三十五里。日在天頂南三十七度二十六分一十秒。問日距地面斜遠幾何。
答曰。一千六百三十五萬四千七百六十四里弱。
術曰。地球三十七度二十六分一十秒。正弦爲勾。其餘弦反减日距地心遠餘。爲股推弦。
日距地面遠一千六百三十五萬四千七百六十四里。地上置圜儀。從日心測日弧。表在儀一十五分一十五秒五十五微。問日徑圍體積各幾何。
答曰。徑一十四萬五千二百四十五里弱。
圍四十五萬六千三百一十里强。
體積一千七百二十三萬五千五百八十七億八千一百五十七萬六千八百八十三里强。
視徑一十四萬五千二百四十四里弱。
術曰。求徑則直角度爲日弧角度。爲對知角度。其正弦
〈一千萬〉爲一率。表度爲對求角度。其正弦
〈四萬四四〇四五〉爲二率。日距地面遠爲所知線三率。推得四率倍。
求圍則以徑求圍率推之。
求體積則以徑求體積率推之。
求視徑則先以直角度爲對知角度。其正弦爲一率。表度半减象限餘。
〈八十九度四十四分四十四秒零五微〉爲對求角度。其正弦
〈九百萬九九九九〇一八〉爲二率。斜遠爲所知線三率。推得四率。
〈一千六百三十五萬四千六百〇三里三九六。〉爲地面距日弧遠。乃以直角度爲對知角度。其正弦爲一率。表度爲對求角度。其正弦
〈四萬四四〇四五〉爲二率。日弦遠爲所知線三率。推得四率
〈七萬二千六百二十一里七九八六〉倍之。
夏至日距地心遠一千六百六十四萬四千二百里。問冬至日距地心遠幾何。
答曰。一千六百零五萬八千一百四十八里弱。
術曰。最高定率
〈一〇一七九二〇八〉爲一率。夏至日距地心遠爲二率。最卑定率
〈九八二〇七九二〉爲三率。
甲地測日。距地平高七十三度一十六分零二十三微。日距地心遠一千六百六十四萬四千二百里。問地半徑差及日距地心線眞高各幾何。
答曰。地半徑差五十一秒零六微。
地心線眞高七十三度一十六分五十一秒一十九微。
術曰。求地半徑差。則日距地心遠。爲對知線一率。地半徑爲對求線二率。表度反减象限餘。爲所知角度。其正弦爲三率。推得地半徑差角度之正弦。檢表得度。
求眞高則表度倂地半徑差。
望日夜半。月食于午中。問地面闇虛影中長，平徑。月心界平徑各幾何。
〈日月並以中距爲率。〉
答曰。地面中長四百萬零六千八百五十二里弱。
平徑二萬八千五百四十六里弱。
月心界平徑二萬二千八百六十一里弱。
術曰。求地面中長。則日半徑减地半徑爲小股一率。日距地心遠爲小勾二率。地半徑爲大勾三率。推得四率。內减地半徑。
求地面半徑。則中長倂地半徑爲大勾一率。地半徑爲大勾二率。中長爲小勾三率。推得四率倍之。
求月心界平徑。則地面中長倂地半徑爲大勾一率。地半徑爲大股二率。中長减月距地面遠爲小勾三率。推得四率倍之。
朔日午正日食旣于甲地。天頂測得日月心。並與地心參直。從甲地周望日界。只見月球。朦朧視線。切月弧旋。成日外暈圈。自甲循地面虛界平線。至乙日始生明望日弧。與月弧參直。至丙生明過半望日心。與月弧參直。至丁望日下弧。與月上弧參直。問日界暈圈徑日弧。距暈圈遠地面闇虛圈徑四地相距平遠各幾何。
答曰。暈圈徑一十五萬八千四百九十四里弱。
日弧距暈圈遠六千六百二十五里强。
闇虛圈徑六百八十里弱。
甲乙平遠三百四十里弱。
甲丙平遠四千零六十六里弱。
甲丁平遠七千七百九十二里弱。
術曰。求暈圈徑。則月距地心遠內减地半徑爲小勾一率。月半徑爲小股二率。日距地心遠內减地半徑爲大勾三率。推得四率倍之。
求日弧距暈圈遠。則暈圈半徑减月半徑。
求闇虛圈徑。則日半徑减月半徑爲小股一率。日心距月心遠爲小勾二率。月半徑爲大股三率。推得四率。爲月心界闇虛中長。仍爲大勾一率。月半徑爲大股二率。月距地心遠內减地半徑反减中長爲小勾三率。推得四率倍之。
求甲乙平遠。則闇虛圈徑折半。
求甲丙平遠。則日心距月心遠爲小勾一率。月半徑爲小股二率。日心距地面遠爲大勾三率。
求甲丁平遠。則日心距月心遠爲小勾一率。日半徑倂月半徑爲小股二率。月心距地面遠爲大勾三率。推得四率。倂月半徑。
晨朝測金星。在天頂東六十度。先從地平。斜置矩尺。股線西偃。與地平線爲六十度。角勾線東偃與山頂參直。從股八尺東望金星。與山頂參直。自矩角距山頂斜遠一萬零五百三十二尺一寸四分。問金星距地心遠。距日心遠。包日行圈。距地最高最卑。各幾何。
答曰。距地心遠一千六百三十六萬五千八百五十四里弱。
距日心遠一千三百三十一萬三千一百八十四里弱。
包日行圈八千三百六十四萬九千一百三十一里强。
距地最高二千九百六十七萬九千零三十八里弱。
距地最卑三百零五萬二千六百七十里弱。
術曰。求距地心遠。則股分爲小勾一率。山頂斜遠爲小股二率。地球六十度正弦倂一率。爲大勾三率。推得四率。倂地球六十度餘弦。
求距日心遠。則以表半徑爲一率。四十八度通弦爲二率。星距地心遠爲三率。
〈四十八度卽離日度法在水星術曰下。〉
求行圈。則距日心遠倍之爲三率。以徑求圍率推之。
求最高。則距地心遠倂日心遠距。
求最卑。則距地心遠减距日心遠。
海岸測島山頂。平遠一萬七千一百三十八尺四寸九分。平深一十五尺。岸高三十六尺。是日。水星在某星西某宮。與某星相距九十度。仰測某星。過天頂三十四分。
〈地半象氣差爲三十四分。水星實行過地心三十四分。乃準地心。下倣此。〉乃從岸上望水星。與島頂參直。問水星距地心遠。距日心遠。包日行圈。距地最高最卑。各幾何。
答曰。距地心遠一千六百三十六萬六千一百三十八里强。
距日心遠六百八十萬零五千四百二十三里强。
包日行圈四千二百七十五萬九千六百九十八里弱。
距地最高二千三百一十七萬一千五百六十一里弱。
距地最卑九百五十六萬零七百一十五里弱。
術曰。求距地心遠。則平深爲小股一率。平遠爲小勾二率。地半徑倂岸高爲大股三率。
求距日心遠。則表半徑爲一率。二十四度通弦爲二率。星遠爲三率。
〈金水二星距日近包日。不包地月。其行圈兩交于日圈。今星遠與日遠等。知星在交圈。査是日日躔宮度及相冲宮度。以象限儀測之。知二星在日東度分。〉
求行圈。則距日心遠倍之爲三率。以徑求圍率推之。
求最高。則距地心遠倂距日心遠。
求最卑。則距地心遠减距日心遠。
海上有甲乙兩山。從甲頂地平。測得乙頂平遠。二千八百七十尺零三寸七分。平深一尺五寸。某月某日。測火星在子宮初度一分一秒。是日。月離于卯宮初度一分一秒。甲山候月未及天頂三十四分。乃望星心與乙頂參直。甲頂下距水平高一里。問火星距地心遠幾何。
答曰。二千七百四十一萬二千零三十四里弱。
術曰。平深爲小股一率。平遠爲小勾二率。地半徑倂山高爲大股三率。
某季春分下弦。在卯正初刻。是日。月離于某宮。木星在某宮。與日相冲。先定地平立兩表。相距三里一千六百八十尺。前表長九尺二寸。後表長一十尺。候月過午中三十四分。從後表西望木星。與前表頭參直。問木星距地心遠幾何。
答曰。一億二千六百七十六萬七千四百里。
術曰。表差爲小股一率。兩表距爲小勾二率。地半徑倂後表高爲大股三率。
海岸西測島山峯臺。平遠三十九里一千六百二十七尺。平深五尺。岸高三十尺。是日。土星在某星西。相距九十度。卯測某星過天頂三十四分。乃從岸頭望土星。與島山峯火參直。問土星距地心遠幾何。
答曰。二億零五百七十六萬九千九百九十里弱。
術曰。平深爲小股一率。平遠爲小勾二率。地半徑倂岸高爲大股三率。
南方老人星。與北方某星度分相冲。春分日。登漢挐山。山有甲乙兩峯。峯頂地平。相參相距一十八里一千三百九十尺。先從山上北望某星。距地平高一度零八分。
〈象氣差倍數。〉乃從甲峯立表南望。老人星心與乙峯參直。表長三尺。峯距海面高七里。問老人星距地心遠幾何。
答曰。三億二千二百七十六萬九千九百二十里强。
術曰。表長爲小股一率。兩表距爲小勾二率。地全徑倂表長山高爲大股三率。推得四率。爲下地面距星平遠爲股。地半徑爲勾推弦。
一日土星行二分。木星行五分。火星行三十五分。怲星一歲行五十一秒。問各星一周天爲歲幾何。
答曰。土星三十歲。
木星一十二歲。
火星一歲七分歲之五。
怲星二萬五千四百一十一歲强。
術曰。三百六十度以分秒通之
〈每度六十分每分六十秒〉爲實。以各行分除之作歲。
〈三百六十日爲一歲。〉
地球一度爲二百五十里。問各界行圈及日月圍。一度爲里幾何。
答曰。月界一萬四千一百七十八里强。
日界二十八萬五千六百四十三里弱。
金星界二十三萬二千三百五十九里弱。
水星界一十一萬八千七百七十七里弱。
火星界四十七萬八千四百三十里弱。
木星界二百二十一萬二千五百零七里弱。
土星界三百五十九萬一千三百六十一里弱。
鎭星界五百六十三萬三千三百九十三里强。
月圍六十七里半。
日圍一千二百六十七里半强。
術曰。地半徑爲一率。一度里
〈二百五十里〉爲二率。各界行圈心遠爲三率。
又置各界圈里。以三百六十
〈卽度數〉除之。
籠水閣儀器志
統天儀
天體渾圜。經緯紛錯。不有器以象之。健行之妙。終不可得見也。唐虞之衡。周髀之笠。遠矣無徵。中古以來。譚天制器。代有新法。惟求其肖像。盖未之聞。今就渾儀舊制。酌損繁縟。會通西法。創立一儀。名曰統天儀。儀有兩層。各以三鐵環。縱橫相結。幷爲健鎖。以便收藏。合之爲大小兩球。分之爲半規者十二。其外層之平置者。爲地平規。周表二十四位及二十四氣日道。建柱四維。承以十字之跗。縱立而結於地平之子午者。爲子午規。距地平上下各三十六度爲方竅。以受南北極軸。橫立而結於地平之卯酉者。爲卯酉規。與子午規。上下相結。交地平者。爲春分秋分。日道交子午者。爲天頂垂線。三環相結。其形正圓。此爲六合之匡郭而常不動焉。其內層。三環相結。亦如外層。但環之徑廣稍殺。就南北交中爲圓竅。貫于極軸。其橫規。刻周天宿度。是爲赤道。軸之南下。貫小圓筒。以隔兩層。令居中無碍而不下薄也。此所以爲三辰之全機而常運轉也。內層之內。別設二規。斜結于赤道。在外者三百六十五牙。上付太陽眞象。是爲黃道。日規距赤道南北。各二十三度半。在內者一百一十四牙。上付太陰眞象。是爲白道。月規距赤道南北。各二十八度半。比黃道差五度。緣層環而各設激機。中有遊牙。幷有直鐵以牽持之。各入于日月規牙。極軸上下。各有機柱。在上者爲單牙。在下者爲四牙。內層左旋日月之規。隨而左旋。激機之下端。遇軸柱而反右。則日月之規。亦隨而漸右。內層益旋。機端方脫。則直鐵激之。遊牙遽左而移規之一牙。日規激於單牙。則日移一牙。月規激於四牙。則日移四牙。內層之外。中北極而設一環。四隅有短柱。亦爲鍵鎖。以固結之。爲三百五十九牙。外層之北。設木匣高出地平之上。匣上安銅匣。內藏四牙輪。如候鍾之制。最下大輪。懸錘而引之。重可十斤。次上之輪。爲六十牙。中軸長出匣外。架子午之規。末置小輪。爲牙十五。入內層北極之環而牽轉之。極軸當中設鐵板。與地平平齊。上刻山河摠圖。以象地面。地板之外。設一環令可遊移。周表時刻。隨太陽而考時。銅匣之南。爲兩圈。分爲四刻六十分。以考分刻。上懸小鍾。內藏機括。隨刻自鳴。
盖六十之輪。四刻而一周。則十五小輪。亦得一周。北極之環。從以左旋而移十五牙。一日十二時而六十之輪二十四周。則十五小輪。亦得二十四周。而北極之環。正移三百六十牙。則內層從以一周而差一牙。此天行之所以過一度也。內層一周而激黃道之牙而日規日退一牙。則一日之日行。恰當三百六十度而不及天爲一度也。凡右旋三百六十五日餘而與天會。月規日退四牙。則一日之月行。只爲三百五十二度强而不及天爲十三度强也。凡右旋二十七日弱而與天會。復行二日强而與日會。此三辰之分度也。
別爲大卓。十字之跗。機輪之匣。幷安置其上。靜而察之。則經緯之度。交蝕之理。分至短長之晷景。晦朔弦望之九道。可考其大略矣。
渾象儀
積氣寥廓。列曜森布。無情無朕。不可得以名狀也。乃若三垣五星。二十八宿。三百六十之官。萬有一千五百二十之數。參之人事。象以物形。割裂牽合。以占祥眚。吾不知其何說也。惟辰次分然後天可步也。躔度明然後曆可治也。昏中定然後時可協也。不有定界。測候何據。此列曜之所以不能無名而所由來久矣。今立一儀。名曰渾象。三環兩層。制同統天。糊紙正圓。剖而合之。全覆內層。成一大球也。經緯分度。六等周羅。中外星官。燦然備載。銅絲懸珠。以象日月。銀河起沒。幷合天象。轉而望之。若人之身昇九霄俯臨天體也。
赤道之南中南極而設一環。亦爲三百五十九牙。外設機輪。以水激之。機輪之制。設一木櫃。高出地平。上安水盂。漏觜下垂。南北有柱。幷鑽圓竅。內藏一輪。廣寸徑尺。軸貫兩竅。北出櫃外。至于牙環。末施八牙。兩牙相受。四分輪周。繫以水壺。柄長數寸。四壺之輕重大小。遠近低昂。務其均齊。兩壺之間。各設鐵尺。長出壺外。稍銳其端。可以屈伸。一壺受水數勺之後。便欲旋瀉。則上有橫橛。以拒鐵尺。壺水漸多。鐵尺漸屈。水滿尺脫。壺傾而輪旋。次壺替受。次尺見拒。櫃底有盂。以受壺水。傍有曲機。盂水逆行。上有小盂。以受機觜。如是累層。復注于櫃上之盂。一盂之水。互相輸瀉。日添數勺。任其周流。袖手傍觀。允是壺中之一天也。
盖機輪有八牙。機輪一轉。得環牙八而直二角二分五釐五毫四十五分毫之二十五。二轉得環牙十六而直四刻五分一釐一毫四十五分毫之五。三轉得環牙二十四而直六刻七分六釐六毫四十五分毫之三十。四轉得環牙三十二而直一時零一十分二釐二毫四十五分毫之一十。五轉得環牙四十而直一時二刻一十二分七釐七毫四十五分毫之三十五。十轉得環牙八十而直二時五刻一十分四釐八毫四十五分毫之二十五。至四十五轉。得環牙三百六十而直一十二時一刻一十分零一毫。夫天行。三百六十五日。三時而一周。以時法十二通之。得四千三百八十三時。此朞之時數也。以刻法八通之。得三萬五千零六十四刻。此朞之刻數也。以分法十五通之。得五十二萬五千九百六十分。此朞之分數也。以釐法十通之。得五百二十五萬九千六百釐。此朞之釐數也。以毫法十通之。得五千二百五十九萬六千毫。此朞之毫數也。以毫數除二千一百四十一毫。餘五千二百五十九萬三千八百五十九毫爲實。以環牙三百五十九爲法除之。得一十四萬六千五百零一毫。各以時刻分法約之。得十二時一刻十分零一毫。則十二時一刻十分零一毫而牙環差一牙矣。積三百六十五日三時而得牙三百五十九而牙環一周。牙環一周而渾象從而一周矣。其一朞旣有定數。而渾象一周。有二千一百四十一毫之朒數。則天漸差而西而歲差之所以出也。今以一朞之實數五千二百五十九萬六千毫爲實。以二千一百四十一毫爲法除之。得二萬四千五百六十六歲二千一百四十一分歲之一百九十四。則凡二萬四千五百六十六歲二千一百四十一分歲之一百九十四而經星一周天。大略一歲之差。爲五十一秒零而七十歲差一度矣。
測管儀
天有七曜。垂象至著。惟離地絶遠。人視有限。所以唐虞之神明。猶待於璣衡之器。勾股之術也。惜其法象失傳。測候無據。代有制作。談說紛如。摠出臆想。小合大差。盖自西法之出而機術之妙深得唐虞遺訣。儀器以瞡之。算數以度之。天地之萬象無餘蘊矣。盖知經星之運行。則百歲之間差分可齊。知地體之正圓。則同軌絶域。授時不忒。知列曜之大小高卑。則遲疾分合。常度燦然。古云天子失官。學在四夷。豈不信歟。惟其器數巧密。工費劇繁。下國匹庶。靡力及此。亦嘗一到燕都。質于天官。幷瞻臺儀。終未得其詳。今就舊法。取其簡要易辦。頗加損益。粗成一器。命之曰測管儀。附以勾股測量之法。海外殊域。用法無間。萬歲差分。通變隨時。雖不足以度盡三辰。妙合天運。按器瞡影。乘除而推之。隙駟芒忽。可以起懶夫惜陰之心。節氣分齊。不患山中之無曆。若其恢拓心目。消落世紛。亦或爲學人毉俗之一助也。
其制有內外兩輪。俱刻三百六十牙。爲周天度分。輪各有盤。內盤長齊于輪徑。正中直線爲赤道。赤道左右板長漸殺而齊于輪。各止于二十三度半。爲盤之廣。中赤道而施十字橫線。盤之左右。依線而貫絲。繫于輪牙。平分輪周。左爲北極。右爲南極。赤道上下。各界板廣施兩半規爲黃道。俱分一百八十度。從赤道左右。每當十五度。各施直線。與赤道平行。以赤道線。爲春分秋分。挨次排定。左從于第六行而爲夏至。右從于第六行而爲冬至。近赤道者。其行漸疎。遠赤道者。其行漸密。摠十三行之疎密。爲二十四節氣線。赤道上下。外應周天度分。每當三度四分度之三。而一點爲鍥。再以二至線長。別置直線。仍作全徑而周爲全規。亦分三百六十度。亦每當三度四分度之三。而一點爲鍥于徑線。仍移鍥于二至之線。乃以赤道之鍥爲中點。二至之鍥爲左右點。依三點同圓之法。各作半規極線。上下各得二十三線。乃以極線爲卯正初酉正初。次上一爲卯正一酉初三。次下一爲卯初三酉正一。幷挨次排定至上下。全周爲午正初子正初。近極線者行漸疎而規漸廣。遠極線者行漸密而規漸曲。摠四十七。行之疎密廣曲。爲各節氣時刻線。正中安軸。以貫外輪盤心。外盤廣不過寸陰。上邊長齊輪徑。平分天度爲地平。地平當中上下。各繫直線。亦平分輪周。與地平十字交羅者。上爲天頂線。下爲垂線。垂線左右疎密。直線與垂線平行。外應周天度分。爲直應度分。地平左右。立表通竅。與地平參直者爲瞡筩。軸末懸錘。垂加於周天度分爲墜線。設跗立柱。側掛柱端。亦爲活樞。使遊移低昂。以便瞡望。
凡晝觀太陽。宵測星宿。專籍瞡筩而準。以外輪之度。運輪對影。仍從垂線數至墜線所加之度。諸曜之高度定矣。
凡諸曜。漸升者爲未過午。漸降者爲已過午。得其最高。爲午之中。立表作線。子午之直線定矣。午線定則赤道高卑。地極出入。次第可定。地極定然後凡節氣時刻。晷影之差。經緯之度。可一覽而盡矣。
先審本日去某節氣爲幾日。卽撿內盤黃道。視所當周天度。卽得本日日躔距赤道幾度。仍加减以本日最高度分。本地之赤道高度定矣。
〈如本日過春分五日。得最高五十五度。撿內盤日躔。距亦道二度。以反减餘五十三度。爲本地赤道高度。盖日在赤道無加减。在南則加。在北則减。〉
赤道高度旣定。則就九十度內。除赤道高度。南極之入地定矣。南極之入地定。則北極之出地亦定矣。
〈赤道當兩極之中。南北各九十度。除高度五十三。餘三十七爲北極出度。凡兩極出入度數本均得入度而出度自定矣。〉
地極出入旣定。則以外輪地平線。斜加于內輪。南極上北極下。各如其度。仍從地平南數至本日最高度。本日之爲某節氣定矣。
〈如本日最高七十六度半。恰當於夏至線。卽知本日爲夏至。〉
因數至各節氣線所當之度。各節氣最高之度俱定矣。
且撿地平與各節氣時刻線相交。各節氣日出入時刻定矣。
各節氣日出入時刻旣定。則察日之出入。幷撿黃道。亦得本日之爲某節氣。或過某節氣幾日而各節氣晝夜長短。亦定矣。
因視各節氣所直外輪。直應度分。各節日出入。赤道南北之緯度定矣。
〈如冬夏至日出入距地平卯酉。各三十度强。此專以地極高下爲準。地極旣異則天頂易次。地平隨變。至若國居赤道之下。赤道爲天頂。兩極爲地平。則日出入緯度。同於黃道。極于二十三度半。而通年晝夜皆平。自赤道南北漸遠漸廣。至兩極之下。兩極爲天頂。赤道爲地平。則日出入緯度極于九十度。日行赤道上爲晝。日行赤道下爲夜。晝夜各占半年。而當朞之日。語雖近誕。按儀察之。其理甚確。〉
次從地平兩傍。數至目下日高度。分別以直線。隱取兩界。與地平平行。交於節氣時刻。兩線目下。時刻定矣。
夜察宿度。準以日躔。對宮瞡望考度如日法。則昏夜時刻亦定矣。
〈如夏至日入戌初一刻三分。卽以戌初一刻三分。爲宿度出地時刻。倒盤而互求之。〉
墜線合垂線。以望丘陵川谷。與瞡筩齊直者。爲天下至平。凡築障開渠。遙立量竿。次第度之。商功興事。分寸無差。
〈量竿長短無定。惟具分寸黑白相間。以便遙察。更加以瞡筩。去地之高。差分立見。〉
凡內外輪盤。旋轉離合。隨地制用。推法甚活。姑述其略焉。
勾股儀
附雜法
天地之象。可一言而盡之。曰圓方而已。規以測圓。矩以量方。日月星宿之度。高深廣遠之數著矣。故曰平矩以正繩。偃矩以望高。覆矩以測深。臥矩以知遠。夫矩之於數。其裁制萬物。惟所爲耳。爰稽古憲。合兩矩而爲半方。名曰勾股儀。附之儀陰。亦有瞡筩。在側曰股。在下曰勾。凡兩勾兩股。皆分十二度。度分十二細度。各爲一百四十四分。瞡筩以望之。九數以歸之。天地之萬象。可坐而致矣。
凡測高。以所測爲大股。以儀度至所測股下爲大勾。以儀之小勾股。比例以推之。但筩在小勾。以儀度
〈十二〉乘大勾。以筩度除之。筩在小股。以筩度乘大勾。以儀度除之。得數幷加儀高。
〈如測城高。距三十尺。筩在小勾八度。以儀度乘大勾。三十得三百六十爲實。以筩度八爲法除之。得四十五尺爲城高。○如測竿高。距十五尺。筩在小股十度。以筩度十乘大勾十五。得一百五十爲實。以儀度除之。得一十二尺半爲竿高。〉
凡筩度有餘分者。通分而乘除之。
〈如測塔高。距三十丈。筩在小勾二度十二分度之一。先以儀度通分。得一百四十四。以乘大勾三十。得四千三百二十爲實。以筩度通分內子得二十五爲法除之。不滿法者約之。得一百七十二丈五分丈之四。爲塔高。〉
凡測高。不識大勾。以重差測之。先以儀審筩在幾度。又或前或却。要取平直。再以儀審筩在幾度。先後筩度凡差幾度。爲筩差。先後立儀。相距幾步爲表差。以儀度乘表差爲實。以筩差爲法除之。
〈如測敵樓高。初測在勾一度。退三十步。再測在勾十一度。以儀度乘表差三十。得三百六十爲實。以筩差一十爲法除之。得三十六步爲敵樓高。○如測山高。初測在勾初度十二分度之一。退三十步。再測在勾初度十二分度之二。儀度通分。以乘表差三十。得四千三百二十爲實。以筩差一爲法除之。得四千三百二十步爲山高。○距遠遙測地平難齊。則以瞡筩平望爲虛鍥。以識之底高。則更測而减之。底深則更測而加之。〉
凡勾法平行。股法直上。直上之度。逾上逾寬。不可以平度等。故測股得勾。如上法。測股得股。變勾立筭。法以細度。一百四十四爲積。以股度除之爲勾度。
〈如測臺高。初測在股九度。退五十步。再測在股四度。以初測股度除細度。得十六。爲初測勾度。以再測股度除細度。得三十六。爲再測勾度。乃以儀度乘表差五十。得六百爲實。以筩差二十爲法除之。得三十步爲臺高。〉
凡先知大股。欲測大勾。是以高量遠換度而乘除之。
〈如望城測遠樓高一百八十三尺。筩在勾十一度。以筩度十一。乘大股一百八十三。得二千零一十三爲實。以儀度爲法除之。得一百六十七尺四分尺之三。爲城遠。○如望帆測遠竿高。一百三十五尺。筩在股二度。以儀度乘大股一百三十五。得一千六百五十爲實。以筩度二爲法除之。得八百一十尺爲帆遠。〉
凡測深者。以所測爲大股。以平徑爲大勾。測之如測高之法。
〈如測井深。水徑一十二尺筩在勾三度。以儀度乘水徑十二。得一百四十四爲實。以筩度三爲法除之。得四十八尺爲井深。○如測壑深。面徑五十六步筩在股一十一度。以筩度一十一乘壑徑五十六。得六百一十六爲實。以儀度爲法除之。不滿法者約之。得五十一步三分步之一爲壑深。〉
凡測遠者。先審地平。以所測爲大勾。以地平距儀之高爲大股。測之如測深之法。
〈如在海島測陸岸。水際儀距水平三百六十五尺。筩在勾一十一度。以筩度乘大股三百六十五。得四千零一十五爲實。以儀度爲法除之。不滿法者約之。得三百三十四尺十二分尺之七爲岸遠○如立儀。如上筩在勾股之交。卽知三百六十五尺爲岸遠。凡勾股之交。勾與股等。餘倣此○如乘舟望海儀。距水平三十六尺筩在股一度。以儀度乘大股三十六。得四百三十二爲實。以筩度一爲法除之。得四百三十二尺爲海遠。○如高島望海儀。距水平三千六百丈。筩在股初度十二分度之二。儀度通分以乘大股三千六百。得五十一萬八千四百爲實。以筩度二爲法除之。得二十五萬九千二百丈爲海遠。〉
測高訣。
〈懸矩測高在大勾。先從筩度定乘除。得勾儀乘筩是法。換推股數術如初。〉
重差訣。
〈疊量重差最難解。表遠筩高審兩差。儀乘表數將筩除。度盡三辰莫駕恠。〉
變法訣。
〈重量逢股變爲難。細積除來勾度看。兩勾相多筩差是。前人立法豈無端。〉
深遠訣。
〈測遠先知大股高。還將面徑淺深調。深同高法乘儀度。換用乘除可測遙。〉
附雜法
置鏡量高。
〈正立對高。置鏡於前。必令高影恰射鏡心。人目至足爲小股。足至鏡心爲小勾。鏡心至所量之足爲大勾。以小股乘大勾爲實。以小勾爲法除之。或用水盂。亦同。〉
兩表求高。
〈前立長表。後立短表。兩表與高三際弦直。兩表高差爲小股。兩表相距爲小勾。後表至所求之趾爲大勾。乘除如上法。惟加短表之高。〉
四表求高。
〈不識大勾。以此求之。先立兩表如上法。三際弦直。兩表相距爲前數。再立兩表。三際弦直。兩表相距爲後數。前後數差。爲表勾差。長短表差。爲表股差。兩短表相距爲大勾差。以表股差乘大勾差爲實。以表勾差爲法除之。更加短表之高。〉
兩表求遠。
〈前立短表。後立長表。兩表與遠三際弦直。兩表高差爲小股。兩表相距爲小勾。長表高爲大股。以小股乘大股爲實。以小股爲法除之。〉
四表求遠。
〈不識大股。以此求之。先立兩表如上法。三際弦直。次於前表。或左或右。立一輔表。必取三表正方中規。又於後表。或左或右。亦立輔表。兩輔與遠。亦三際弦直。又與原兩表正方中規。然後以後表與後輔。相距比於前表。與前輔相距。數必較長。卽以較長爲大勾差。前後表相距爲小股差。前表與前輔相距爲小勾差。以小股乘小勾爲實。以大勾爲法除之。〉
矩尺求遠。
〈立一表。上覆矩尺。稍仰前端。以射所求。必自矩角三際弦直。次從矩角。回望後端。畫地爲鍥。亦取三際弦直。然後以表高自乘爲實。以地鍥距表爲法除之。〉
短竿量河。
〈立表水傍。下鍥水平。上加短竿。斜射彼岸。固結表竿。勿令遊移。旋向水傍。際其斜射。量其廣狹。卽得河濶。〉
圭儀銘
列曜顯象乾道晣。尺儀施巧躔度別。片石雙跗如樹槷。全規外暈宿度列。兩極平距線中截。二六疎密廿四節。衆曲橫齘晷度設。中線赤立天半裂。日中二分平冷熱。金環分割上下切。七政攸衢歲功决。銅規懸斡要中綴。地平當徑隨頏頡。直應分度如繁纈。雙筩平直納芥穴。照望辰次無暾昳。墜線指地上下徹。因地制宜用不渴。西叟運智匠之哲。一圜渾渾妙奧泄。洗心靜觀機事絶。薄夫拘膠莫與說。
測候多術在筩影。雙竅參直察垂綆。銅規有度四九整。左距垂線曜高炳。升極而降在俄頃。中其升降間丁丙。辨方旣眞技可逞。搖搖盤針寔土梗。日在黃規殊短永。較以最高赤道耿。反减直角兩極倂。平線斜照定人境。撿其日高曆候聘。節晷交線合屢省。日道中昃可統領。定時授切徵溫冷。野分地球異燕郢。日星殊觀勢下嶺。視此直應理淵靚。巧曆袖手見坐井。晝日霄星遷時景。有度有線若燭秉。撫辰厲志抱虛警。餘事商切辨丘阱。以御萬象精而靜。
〈宋太平興國中蜀人張思訓。刱造渾天儀。激水運之。冬則代以水銀。〉
〈元祐時韓公廉激水法。側設樞輪。其輪以七十二輻爲三十六洪束。以三輞夾持。受水三十六壺。轂中橫貫鐵樞。軸一南北出。軸爲地轂。運撥地輪。天柱中輪動。機輪動渾象。上動渾天儀。又樞輪左。設天地平水壺。平水壺受天池水注入受水壺。以激樞輪。受水壺落入退水壺。由壺下北竅。引水入昇水下壺。以昇水下輪。運水入昇水上壺。上壺內昇水上輪及河車同轉。上下輪運水入天河。天河復流入天地一晝。一夜周而復始。〉
〈直距內。夾置望筒於一筒之半。設間軸附直距上。使運轉低昂。筒常指日。日體常在筒竅中。〉
〈晝夜時刻。機輪五重。第一曰天輪。以撥渾象。赤道牙距。第二曰撥牙輪。上安牙距。隨天柱中輪轉動。以運上下四輪。第三曰。時刻鍾鼓輪。上安時初時正百刻撥牙。以和鍾擊皷搖鈴。第四曰。日時初正司辰輪。上安時初十二司辰。時正十二司辰。第五曰。報刻司辰輪。上百刻司辰。五輪幷貫於一軸上以天束。束之下以鐵杵臼承之。〉
〈章宗時尙書張行簡製蓮花，星丸二漏以進。蓮花漏。置禁中。星丸漏。車駕巡行則用之。幷金史▦。〉
律管解
黃鍾管長九寸。空圍面積九分。問徑周及空體積各幾何。
答曰。徑三分三釐八毫五絲强。
周一寸零六釐三毫五絲弱。
空體積八尺一寸。
術曰。求徑則一億爲一率。一億二七三二三九五四爲二率。面積爲三率。推得四率。平方開之。
求周則一億爲一率。一十二億五六六三七〇六二爲二率。面積爲三率。推得四率。平方開之。
求空體積則管長乘面積。
〈下倣此。〉
黃鍾管長九寸。三分損一。下生林鍾。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長六寸。
空體積五尺四寸。
術曰。黃鍾長三歸之。反减原長。
林鍾管長六寸。三分益一。上生太簇。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長八寸。
空體積七尺二寸。
術曰。林鍾長三歸之。反加原長。
太簇管長八寸。三分損一。下生南呂。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長五寸三分三釐三分釐之一。
空體積四尺八寸。
術曰。求管長則太簇長三歸之。得二寸六分六釐三分釐之二。反减原長。
求體積則管長通分內子乘面積分母。除之。
〈下倣此。有畸零者命之。〉
南呂管長五寸三分三釐三分釐之一。三分益一。上生姑洗。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長七寸一分一釐九分釐之一。
空體積六尺四寸。
術曰。南呂長通分內子爲實。分母三因之。除得一寸七分七釐九分釐之七。反加原長。
〈今分母爲實。分母分子三因之。倂今分子爲實。分子多於母則陞之。凡上生倣此。〉
姑洗管長七寸一分一釐九分釐之一。三分損一。下生應鍾。問管長及空體積幾何。
答曰。管長四寸七分四釐二十七分釐之二。
空體積四寸。
術曰。姑洗長通分內子爲實。分母三因之。除得二寸三分七釐二十七分釐之一。反减原長。
〈今分母爲實。分母退原一里。以實分母通之。倂原分子內减今分子餘。爲實分子。子多於母則乘之。凡下生倣此。〉
應鍾管長四寸七分四釐二十七分釐之二。三分益一。上生蕤賓。問管長及空體積幾何。
答曰。管長六寸三分二釐八十一分釐之八。
空體積五尺六寸八分八釐八十一分釐之七十二。
術曰。應鍾長通分內子分母三因之。除得一寸五分八釐八十一分釐之二。反加原長。
蕤賓管長六寸三分二釐八十一分釐之八。三分益一。上生大呂。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長八寸四分二釐二百四十三分釐之一百九十四。
空體積七尺五寸八分五釐二十七分釐之五。
術曰。蕤賓長通分內子分母三因之。除得二寸一分零二百四十三分釐之一百七十。反加原長。
大呂管長八寸四分二釐二百四十三分釐之一百九十四。三分損一。下生夷則。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長五寸六分一釐七百二十九分釐之六百三十一。
空體積五尺零五分六釐八十一分釐之六十四。
術曰。大呂長通分內子分母三因之。除得二寸八分零七百二十九分釐之六百八十。反减原長
夷則管長五寸六分一釐七百二十九分釐之六百三十一。三分益一。上生夾鍾。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長七寸四分九釐二千一百八十七分釐之三百三十七。
空體積六尺七寸四分二釐二百四十三分釐之九十四。
術曰。夷則長通分內子分母三因之。除得一十八分七釐二千一百八十七分釐之六百三十一。反加原長。
夾鍾管長七寸四分九釐二千一百八十七分釐之三百三十七。三分損一。下生無射。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長四寸九分九釐六千五百六十一分釐之一千八百六十一。
空體積四尺四寸九分三釐七百二十九分釐之四百零三。
術曰。夾鍾長通分內子分母三因之。除得二寸四分九釐六千五百六十一分釐之四千七百一十。反减原長。
無射管長四寸九分九釐六千五百六十一分釐之一千八百六十一。三分益一。上生仲呂。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長六寸六分五釐一萬九千六百八十三分釐之一萬四千零五。
空體積五尺九寸九分一釐二千一百八十七分釐之八百八十三。
術曰。無射長通分內子分母三因之。除得一寸六釐一萬九千六百八十三分釐之八千四百二十二。反加原長。
變律
仲呂管長六寸六分五釐一萬九千六百八十三分釐之一萬四千零五。三分益一。上生黃鍾。問管長及空體積幾何。
答曰。管長八寸八分七里五萬九千零四十九分釐之三萬六千三百三十七。
空體積七尺九寸八分八釐六千五百六十一分釐之三千五百三十二。
術曰。仲呂長通分內子分母三因之。除得二寸二分一釐五萬九千零四十八分釐之五萬三千三百七十一。反加原長。
黃鍾管長八寸八分七釐五萬九千零四十九分釐之三萬六千三百三十七。三分損一。下生林鍾。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長五寸九分一釐一十七萬七千一百四十七分釐之一十三萬二千七百二十三。
空體積五尺三寸二分五釐一萬九千六百八十三分釐之一萬三千六百二十五。
術曰。黃鍾長通分內子分母三因之。除得二寸九分五釐一十七萬七千一百四十七分釐之一十五萬四千四百三十五。反减原長。
林鍾管長五寸九分一釐一十七萬七千一百四十七分釐之一十三萬一千七百二十三。三分益一。上生太簇。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長七寸八分八釐五十三萬一千四百四十一分釐之五十二萬六千八百九十二。
空體積七尺一寸零五萬九千零四十九分釐之五萬四千五百。
術曰。林鍾長通分內子分母三因之。除得一寸九分七釐五十三萬一千四百四十一分釐之一十三萬一千七百二十三。反加原長。
太簇管長七寸八分八釐五十三萬一千四百四十一分釐之五十二萬六千八百九十二。三分損一。下生南呂。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長五寸二分釐之一百五十八萬四千三百二十三分釐之一百五十八萬五千二百二十五。
空體積四尺七寸三分三釐一十七萬七千一百四十七分釐之一十五萬八千零四十九。
術曰。太簇長通分內子分母三因之。除得二寸六分二釐一百五十九萬四千三百二十三分釐之一百五十八萬九千七百七十四。反减原長。
南呂管長五寸二分五釐一百五十九萬四千三百二十三分釐之一百五十八萬五千二百二十五。三分益一。上生姑洗。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長七寸零一釐四百七十八萬二千九百六十九分釐之一百五十五萬七千九百三十一。
空體積六尺三寸一分一釐五十三萬一千四百四十一分釐之四十九萬五千零四十九。
術曰。南呂長通分內子分母三因之。除得一寸七分五釐四百七十八萬二千九百六十九分釐之一百五十八萬五千二百二十五。反加原長。
姑洗管長七寸零一釐四百七十八萬二千九百六十九分釐之一百五十五萬七千九百三十一。三分損一。下生應鍾。問管長及空體積各幾何。
答曰。管長四寸六分七釐一千四百三十四萬八千九百零七分釐之七百八十九萬八千八百三十一。
空體積四尺二寸零七釐一百五十九萬四千三百二十三分釐之一百五十二萬一千五百三十九。
術曰。姑洗長通分內子分母三因之。除得二寸三分三釐一千四百三十四萬八千九百零七分釐之一千一百一十二萬三千八百六十九。反减原長。
黃鍾古今異同之疑
天地猶古也。萬物猶古也。而黃鍾獨不能合於古。何哉。世之論求黃鍾者多矣。大槪有三難。一則審聲。二則候氣。三則絫黍以定律管之長短。若長短莫準則無以候氣。候氣不情則無以審聲。而聲則固自在於天地之間。又奚有古今之異也。特今人之聰明不如古耳。
夫人聲自具五音。走獸飛禽之鳴。亦皆協律。故牙齒唇舌喉。據人聲而言也。如牛鳴窌。如雉鳴木。據禽獸而言也。何必遠求於鴻荒。近取諸最易者而可協焉。雖然。人與物。猶局於形也。原有自然之眞聲。何者。易曰地雷復。又曰雷出地奮豫。先王以作樂。彼陽氣孶萌。殷殷其動。七日之復。叶於隔八而又有作樂之象。則求黃鍾之眞者。得於雷可也。蒙之叟有言曰地籟則衆竅是已。人籟則比竹是已。彼大塊噫氣。其名爲風。在谷滿谷。在阬滿阬。則因比竹而求黃鍾者。得於風亦可也。曾子曰。陰陽偏則風。俱則雷。夫黃鍾之始。陰消陽升則求之於陰陽之偏。可乎。實爲律呂之首。則求之於陰陽之俱感。可乎。此所以審聲之爲最難也。
且候氣之法。今固不如古。而所候之氣。古猶今耳。然地勢有高下。土性有疎密。則所候者亦隨而不同。夫水亦氣也。此未落者彼已消矣。草木亦氣也。此未彫者彼已謝矣。其氣應固有早晩先後。而無論燥濕。只以黃鍾九寸爲準。則亦豈無此未升而彼已應者耶。雖多截竹伺驗於冬至。亦難必其土性之得宜矣。况中國。天下百分之一。且退居赤道之北。則潁川陽城。安見其爲天下之中而於此候氣能毫忽不爽乎。况尺長則入地深。氣可易得。尺短則入地淺。灰難卽飛。而隋志云魏杜夔用後漢尺制律尺長。灰不飛者。何歟。此所以候氣之爲難也。
夫聲氣之元。旣不可遽求。則黃鍾之眞專。責於絫黍。而古今之不合。惟此爲甚。黍固天地間一物也。豈判然於古今。而歲有豐歉。地有腴瘠。產有小大。隨而不同。則古人之以黍求律。亦末也。况於千載之後。欲因不齊之死法。以求自然之正聲。可乎。蘭溪朴氏堧。東方之號稱曉律者也。其言曰。歷代制律。用黍不一。高下差異。則今日中國與我東。未知熟得眞黍。若不合於中國。則姑從權宜。用他黍求協於中國黃鍾云。愚謂中國我東之黍未知熟是。則何可强協於中國之黃鍾乎。第因我東黃鍾。使明於律數者十分精審。於三分損益。亦不害爲一國之正音耶。又漢黍近古。隋黍不協。宋黍亦不中之說。竊有可疑。夫古今秬黍之不一。固其然也。而可協之黃鍾。至宋不變而尙存耶。溫公蜀公何不於此求律而乃欲用必不一之黍。平生不能定是非。有若聚訟者然乎。於此可知古黃鍾之至宋無憑也。且以琴絃言之。宮絃八十一絲。絲之粗細。豈異於黍之大小不一耶。若因宮絃求協於古黃鍾。則不可以八十一絲爲準。而不得不或增或損於其數而用也。然旣難得眞黃鍾。則師曠雖在。亦不過因是而求精於三分損益而已。或曰黃鍾正律。姑置勿論。雖至于末之仲呂。若得眞品。從以十二損益。豈不得黃鍾正聲乎。此說近似而由今論之。損益又難。南呂以下之分之際。其能無差乎。假使古律雖未可得。而惟黍得眞。亦難定律。阮逸主方積。房庶主圓積。李照用縱黍累尺。胡瑗用橫黍累尺。縱則太長。橫則太短。而按精義曰。縱黍八十一。當橫黍一百九九。絫之則乃生律尺。以十成之則乃生度尺。然則縱黍定律似勝。而不可不九分爲寸。盖律分之分。異於度分之分。而李文利，瞿九思輩必斷斷於十分爲寸。何歟。若九十分。以十三乘之。得一千一百七十黍。猶餘三十黍。則一分容黍十三及又三分黍之一。旣云三分黍之一。則已非全黍。將何以累積耶。况公孫崇以十二黍爲寸。劉芳以十黍爲寸者。何歟。此所以絫黍以定長短之爲難也。
盖絫黍之法。縱橫難定。候氣之法。燥濕有異。而氣數一降。大雅旣不可復回。則亦不得不就今之樂器。以求黃鍾之正而已。夫八音之中。金音爲首。十二律之中。黃鍾爲本。當以金音求黃鍾。而樂器之中。鍾是金屬。因十二特編。三分損益。則求得眞律。似或可矣。而編鍾之制。又有可疑者五。雖曰只求合律。豈無一定之制乎。取見唐鄕所造。則或大如盆缸。小如鈴鐸。於古則豈有是理。此一疑也。按文獻通考樂書曰。鍾之制。長則緩而遠。短則促而近。卽此觀之。必不準古制而惟意短長。此二疑也。我東之鍾制。問於樂師。則謂造出長一樣之十六枚。次次刮减其內而求律云。若然則何必尺以量衡以稱也。此三疑也。凡鍾上曰干。中曰劘。下曰唇。唇之制。或伸直。或外反。或內曲。豈無一定之制乎。此四疑也。三分損益之法。自太簇生南呂。有寸餘除不盡之數。律呂正義云。太簇八寸三分損一而下生南呂。得五寸三分三釐三毫三絲三忽三微三纖有奇。旣曰有奇則可知二沙以下有餘棄矣。豈可曰全律乎。亦豈無奪倫之歎乎。此五疑也。若以之分法損益。則恰盡無餘矣。其愈久愈密可知。而或曰鍾制鑄造。勝於刮差云。盖是稱銅鑄成。而亦依律管長寸分。損益爲制。則雖有長短之不齊。求律則似便矣。嘗聞燕中人鑄鍾。將爲黃鍾者。及鑄成。失之爲夾鍾矣。鑄工曰。若不合者。當用銅錫傅其內。可改其音。乃不從工人之言。刮挫其乳之銳者。乳鈍而音改。此摩鍾之法也。然則刮之傅之。可以隨意。而我東刮差之制。不至甚固陋耶。
今有不差之考準。西洋琴是爾。洋琴之爲制。兩棵分陰陽也。一統四絲。合四時也。十二絃。象十二月也。三品分排。象三才也。近加二絃。卽變宮變徵。則十二律四淸聲。瞭然於三品。且調絃甚便。相生分明。雖有忽微之小錯。輒致散乖而不合。非比他黍之小大。絲之粗細難於均一也。居今之世。欲求正律。捨此琴而奚以哉。盖圓從智率而極精。曆自湯法而無差。此無乃智率陽曆之創論也。琴制亦在其時耶。必有所評說者矣。蘄聞於博雅之君子。
羽調界面調之異
海東俗樂。有羽調界面調。中國未知亦分調異律。而羽音。卽天地間自然聲。風雷之響。天水之籟是已。界面律。則俗傳外國太子入質於中國。樂操本音。不禁懷土之悲。淚隨響流。被面成界。其調哀怨。後人相傳調律云。年前聞自然樂則腔操隨機轉斡。宛然異律。則中國應有羽界之異。
律呂皆隔八上下生。而諸本並以圓圖相隔而上下生之義相渾。故以縱數之法開左。
黃鍾。大呂。太簇。夾鍾。姑洗。仲呂。蕤賓。林鍾。𡗝則。南呂。無射。應鍾。