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註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。
偏序
者，柣序也。大小，長短，前後，皆偏序也。
定義
偏序者，
關係
也，且曰「不大於」，必以下是從。
物不大於己。曰
反射
。
甲不大於乙，乙不大於甲，則甲同乎乙。曰
反對稱
。
甲不大於乙，乙不大於丙，則甲不大於丙。曰
傳遞
。
最、極
凡一界之内，小於無物者，曰
極大
；大於無物者，曰
極小
。
物皆小於其者，曰
最大
；物皆大於其者，曰
最小
。最大必極大，最小必極小，反之則不然。
上界，下界
取子集，大於此集之所有，曰
上界
；小於此集之所有，曰
下界
。
若上界有最小者，曰
最小上界
；若下界有最大者，曰
最大下界
。
完備
完備
者，凡子集有上界者必有最小上界也，同乎凡子集有下界者必有最大下界耳。
格
格
者，凡二物必有最小上界及最大下界也。
全序
全序
者，凡二物，必有前者小於後，或後者小於前。全序必格也。
良序
良序
者，凡子集必有最小物也。良序必全序也。良序必完備也。噫，良序集果真井然有序耳，故得此名。
良序公理
曰：「集皆可良序也。」此與選擇公理等價耳。
例
除盡
以甲為自然數集，乙為甲
去
一。以「除盡」為偏序，故有三不少於六，五不少於百。然三與百無可比耳，故「除盡」非全序耳。
一為甲之最小。三、七為乙之極小，然乙無最小者也。甲乙皆無極大者。
取甲之子集，其物之
公因數
乃下界，最大公因數為最大下界。
取甲之二物，最大公因數為最大下界，最小
公倍數
為最小上界，故甲乃格也。取乙之二、三，並無最大下界，故乙非格也。
不論甲乙，凡子集有下界者，其最大公因數亦存，故有最大下界。故甲乙皆完備也。
不大于
觀分數集，以「不大于」為偏序。凡二物必可比，故此乃全序耳。立方大于二者，成一子集，有下界零，然無最大下界，是以分數集非完備耳。
觀實數集，以「不大于」為偏序，完備耳。然無最小者，故非良序。
觀正實數集，以「不大于」為偏序，完備耳。立方大于二者，成一子集，二開立方為最大下界，然非子集之物也，故子集無最小者也，是以正實數集非良序。
觀自然數集，以「不大于」為偏序，良序耳。
不小于
觀自然數集，以「不小于」為偏序。故三不大於二，五不大於三，故自然數無最小者也。故非良序耳。
註
集論
元素
｜
集
｜
族
｜
子集
｜
交集
｜
併集
｜
補集
｜
冪集
｜
有序對
｜
直積
｜
關係
｜
映射
｜
等價
｜
偏序