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圓城圖式
總率名號
天之地為通弦，天之乾為通股，乾之地為通勾。天之川為邊弦，天之西為邊股，西之川為邊勾。
日之地為底弦，日之北為底股，北之地為底勾。天之山為黃廣弦，天之金為股即股方差也，金之山為勾。月之地為黃長弦，月之泉為股，泉之地為勾即勾方差也。
天之日為上高弦，天之旦為股，旦之日為勾。日之山為下高弦，日之朱為股，朱之山為勾。月之川為上平弦，月之青為股，青之川為勾。川之地為下平弦，川之夕為股，夕之地為勾。
天之月為大差弦，天之坤為股，坤之月為勾。山之地為小差弦，山之艮為股，艮之地為勾。日之川為皇極弦，日之心為股，心之川為勾。月之山為太虛弦，月之泛為股，泛之山為勾。
日之月為明弦，日之南為股，南之月為勾。
山之川為叀弦，山之東為股，東之川為勾。
今問正數
通弦六百八十，勾三百二十，股六百。
勾股和九百二十，較二百八十。
勾弦和一千，較三百六十。
股弦和一千二百八十，較八十。
弦較和九百六十，較四百。
弦和和一千六百，較二百四十。
邊弦五百四十四，勾二百五十六，股四百八十。
勾股和七百三十六，較二百二十四。
勾弦和八百，較二百八十八。
股弦和一千零二十四，較六十四。
弦較和七百六十八，較三百二十。
弦和和一千二百八十，較一百九十二。
底弦四百二十五，勾二百，股三百七十五。
勾股和五百七十五，較一百七十五。
勾弦和六百二十五，較二百二十五。
股弦和八百，較五十。
弦較和六百，較二百五十。
弦和和一千，較一百五十。
黃廣弦五百一十，勾二百四十
即城徑也，股四百五十。
勾股和六百九十，較二百一十。
勾弦和七百五十，較二百七十。
股弦和九百六十，較六十。
弦較和七百二十，較三百。
弦和和一千二百，較一百八十。
黃長弦二百七十二，勾一百二十八，股二百四十
即城徑也
。
勾股和三百六十八，較一百一十二。
勾弦和四百，較一百四十四。
股弦和五百一十二，較三十二。
弦較和三百八十四，較一百六十。
弦和和六百四十，較九十六。
高弦二百五十五
上下同，勾一百二十
即半徑也，股二百二十五。
勾股和三百四十五，較一百零五。
和三百七十五，較一百三十五。
股弦和四百八十，較三十。
弦較和三百六十，較一百五十。
弦和和六百，較九十。
平弦一百三十六
上下同，勾六十四，股一百二十
即半徑也
。
勾股和一百八十四，較五十六。
勾弦和二百，較七十二。
股弦和二百五十六，較一十六。
弦較和一百九十二，較八十。
弦和和三百二十，較四十八。
大差弦四百零八，勾一百九十二，股三百六十。
勾股和五百五十二，較一百六十八。
勾弦和六百，較二百一十六。
股弦和七百六十八，較四十八。
弦較和五百七十六，較二百四十。
弦和和九百六十，較一百四十四。
小差弦一百七十，勾八十，股一百五十。
勾股和二百三十，較七十。
勾弦和二百五十，較九十。
股弦和三百二十，較二十。
弦較和二百四十，較一百。
弦和和四百，較六十。
皇極弦二百八十九，勾一百三十六，股二百五十五。
勾股和三百九十一，較一百一十九。
勾弦和四百二十五，較一百五十三。
股弦和五百四十四，較三十四。
弦較和四百零八，較一百七十。
弦和和六百八十，較一百零二。
太虛弦一百零二，勾四十八，股九十。
勾股和一百三十八，較四十二。
勾弦和一百五十，較五十四。
股弦和一百九十二，較一十二。
弦較和一百四十四，較六十。
弦和和二百四十，較三十六。
明弦一百五十三，勾七十二，股一百三十五。
勾股和二百零七，較六十三。
勾弦和二百二十五，較八十一。
股弦和二百八十八，較一十八。
弦較和二百一十六，較九十。
弦和和三百六十，較五十四。
叀弦三十四，勾一十六，股三十。
勾股和四十六，較一十四。
勾弦和五十，較一十八。
股弦和六十四，較四。
弦較和四十八，較二十。
弦和和八十，較一十二。
識別雜紀
天之於日與日之於心同，心之於川與川之於地同。
日之於心與日之於山同，故以山之川為小差。川之於心與川之於月同，故以月之日為大差。
明勾股相得名為內率求虛積，明股叀勾相得名為外率求虛積，虛勾虛股相得名為虛率求虛積。
凡勾股和即弦黃和，凡大差即股黃較，凡小差即勾黃較。
高股平勾差名角差，（又）名遠差。此數即高平二差共也，（又）為明和叀和較也（又為通差內去極差，（又）為極差虛差共。明叀二差共名次差，（又）名近差，（又）名戾
音列
和。此數（又）為明大差叀小差較也。勾圓差之股、股圓差之勾相並名混同和，此數（又）為一徑一虛弦共也。明叀二差較名傍差，此數又為高平二差較，又為極雙差內減虛和，又為極弦內減城徑也。虛差不及傍差名蓌（音剉）差。此數又為大差差內去角差，又為極差內去二之平差，又為次差內去小差差，又為明股叀勾共內去二之明勾也。虛差旁差共名蓌和。
凡大小差相乘為半段徑冪（大差勾小差股相乘亦同上），虛勾乘大股得半段徑冪（虛股乘大勾亦同上）。邊股叀股相乘得半徑冪（明勾底勾相乘亦同上），黃廣股黃長勾相乘為徑冪。高股平勾相乘得半徑冪，明弦明股並與叀弦叀勾並相乘得半徑冪（明弦明勾並與叀弦叀股並相乘，亦同上）。高弦平弦相乘為一段皇極積。明勾叀股相乘，倍之為一段太虛積（明股叀勾亦同）。
右諸雜名目
通弦上勾股和即一城徑、一通弦也，其較即勾圓差、股圓差較也。勾弦和即二勾一大差，其較則大差也。股弦和即二股一小差，其較則小差也。弦較和為一徑三差共，其較則大勾小差共也。三事和即邊弦三事和上帶大勾也，又為底弦三事和上帶大股也，其較則城徑也。
邊弦上勾股和為通股平弦共，其較則大差股內去平弦也。勾弦和即通股底勾共，其較則明股明弦共也。股弦和即通股通弦和內少個邊勾也，其較則平勾也。弦較共為大差上股弦和，其較則大勾也。三事和即通弦上股弦和，又為黃廣三事和上帶勾圓差也；其較則大差勾也，又為平弦上弦較和，又為太虛弦上股弦和也。
底弦上勾股和為通勾高弦共，其較則高弦內去小差勾也。勾弦和為通勾上弦較較與高股共，其較則高股也。股弦和為半個通弦上三事和，其較則叀弦上勾弦和也。弦較和為大差上勾弦和也，其較則小差上勾弦和也。三事和即通弦上勾弦和，又為黃長三事和上帶股圓差；其較則小差股也，又為高弦上弦較較，又為太虛弦上勾弦和。
黃廣弦上勾股和為大股虛股共，又為通勾通股共內少個小差上勾股和，其較則兩個高差也。勾弦和為二高弦一圓徑共，其較則二明股也。股弦和為通弦上弦較和，其較則二叀股也。弦較和即兩個大差股也，其較即兩個小差股也。三事和即兩大股也，其較則兩虛股也。
黃長弦上勾股和為大勾虛勾共，又為通和內少個大差上勾股和也，其較則兩個平差也。勾弦和為通弦上弦較較，其較則兩個明勾也。股弦和為二圓徑二叀勾，其較則二叀勾也。弦較和為兩個大差勾也，其較則兩個小差勾也。三事和為兩大勾，其較則兩虛勾也。
高弦上勾股和為高弦虛股共，又為一徑及高勾高股差也；其較則底弦內減大勾也，又為邊股內減底股也。勾弦共則底股，其較則明股也。股弦共即邊股，其差則叀股也。弦較共則大差，其較則小差股也。三事和即大股，其較則虛股也，又為小差上勾弦較，又為明弦上弦較較。
平弦上勾股共即平弦虛勾共也，其較則大股內減邊弦也。勾弦共即底勾，其差則明勾也。股弦共即邊勾，其較則叀勾也。弦較共即大差勾，其較則小差也。三事和即大勾，其較則虛勾也，又為大差上股弦較，又為叀弦上弦較和。
大差上勾股和即大股內去虛勾，其差則大差弦內去圓徑也。勾弦共即大股，其差則大差股內去二之明勾也。股弦和為大股上加個大中差也，其較則虛勾也。弦較和為兩個邊弦上勾弦較，其較即城徑也。三事和即股與股圓差共，又為大弦大較共，又為二邊股，其較則太虛上弦較和也。
小差上勾股和即大勾內去虛股也，其較則圓徑內去小差弦也。勾弦和為大勾上減個小中差也，其較則虛股也。股弦共即大勾，其較則小差勾內去兩個叀股也。弦較和為圓徑，其較則為兩個底弦上股弦較，又為兩個叀弦上勾弦和也。三事和即勾與勾圓差共也，又為大弦大較較，又為二底勾，其較則太虛上弦較較也。
皇極勾股和即高弦平弦共，其較則明股內去叀勾也。勾弦共即底弦，其較則明弦也。股弦共則邊弦，其較則叀弦也。弦較和為高弦明弦共，又為大股內減大差勾，又為大差弦，其較則小差弦也。三事和即通弦，其較則太虛弦也，又為明勾叀股共，又為高弦內減明弦，又為平弦內減叀弦，又為大差勾上減虛股，又為小差股上減虛勾也。
太虛勾股和即圓徑內減虛弦，又為虛弦虛黃方共，又為皇極弦內去明股叀勾共，其差則大差勾內減個小差股也。勾弦共即小差股也，其較則虛股內減個小黃方也。股弦共即大差勾，其較則虛勾內減個小黃方也。弦較和為大差弦上弦和較，又為黃長弦上勾弦較，又為兩個明勾，其較則小差弦上黃方麵也。三事和即大黃方，其較則為兩個明弦上股弦較，又為叀弦上兩個勾弦較，又為明弦上小差與叀弦上大差共也。
明弦勾股和即大差內減明弦，其較則明弦內減虛股也。勾弦並即高股，其較則高股內少二之明勾也。股弦和即邊股內減大差勾，又為邊勾邊弦差，其較則半個虛黃方也。弦較和即大差上勾弦較，其較則虛股也。三事和即股圓差，其較則太虛上勾弦較，又為虛股內減虛黃方也。
叀弦上勾股和即小差內減叀弦，其較則虛勾內減叀弦也。勾弦和即底勾內減小差股，又為底股底弦差，其較則半個虛黃方也。股弦和即平勾，其較則平勾內少兩個叀股也。弦較和即虛勾，其較則小差上股弦較也。三事和即勾圓差，其較則太虛上股弦較，又為虛勾內減虛黃方也。
前黃廣勾股下：其勾股較又為大差上少個小差股，又為中差內少個小差較，又為黃廣股內少一徑。勾弦共又為兩個底股，又為大股與小差股共。股弦和又為大弦中差共，又為兩個邊股。股弦差又為小差上黃方麵。
前黃長勾股下：其勾股較又為大差勾上少個小差也，又為圓徑內少個黃長勾。勾弦共又為兩個底勾，又為大勾與小差勾共。勾弦較又為大差上黃方麵。股弦共又為兩個邊勾。
右五和五較
大弦為大勾與股圓差共，又為大股與勾圓差共。邊弦乃邊股平勾共，又為大股內減平弦上勾股較。底弦乃底勾高股共，又為大勾內加一個高差。黃廣弦為大股內減虛股，又為邊股叀股共。黃長弦乃大勾內減虛勾，又為底勾明勾共。高弦乃大差弦內減明弦，又為明弦虛弦共。平弦乃小差弦內減叀弦，又為叀弦虛弦共。
大差弦乃大股內減大差勾，又為高弦明弦共，又為大弦內去黃長弦。小差弦為大勾內減小差股，又為平弦叀弦共，又為大弦內去黃廣弦。極弦乃高股平勾共，又為平弦明弦共，又為高弦叀弦共，又為大差弦內減高平二弦較，又為小差弦內加高平二弦較。虛弦乃皇極黃方麵，又為明勾叀股共，又為高弦內減明弦，又為平弦內減叀弦。明弦乃高弦內減虛弦。叀弦乃平弦內減虛弦。
黃廣弦黃長弦相並為大弦虛弦共也，以此數減於大和餘即虛和。若以二弦相減餘即虛弦平弦共也。黃廣弦又為大差弦虛弦共。黃長弦又為小差弦虛弦共。以黃長弦減於大勾餘即虛勾。以黃廣弦減於大股餘即虛股。
邊弦底弦相並為大弦皇極弦共也，於此並數內減大和餘為皇極弦內減圓徑也。若以二弦相減餘即皇極差也。此數同者最多，故又為皇極弦內少個小差弦，又為高弦平弦較，又為明股內少叀勾，又為大差弦內少皇極弦，又為次差虛差共也。邊弦又為皇極股弦共，又為黃廣弦叀弦共。底弦又為皇極勾弦共，又為黃長弦明弦共也。以邊弦減大股餘為半徑內減平勾，又為平弦內減小差也。底弦內減大勾餘為高股內減半徑，又為大差內減高弦也。
黃廣弦內減邊股即叀股。黃長弦內減底勾即明勾也。
高弦高股共即邊股。平弦平勾共即底勾。高弦高勾共即底股。平弦平股共即邊勾。
上高弦減於通股餘即邊股內減明股也。下平弦減於通勾餘即邊勾內減明勾也。高弦平弦相並即大弦內少個皇極弦也。若以相並數減於大和餘為皇極弦圓徑共也。高弦平弦相減餘即皇極差也，又為皇極弦上減小差弦也。若以相減數卻加於相並數即黃廣弦也。
高弦內減明股得半徑。平弦內減叀勾亦同上。皇極勾上加明弦為皇極弦。皇極股上加叀弦亦同上。
皇極弦：得極勾即底弦，得極股即邊弦。內去極勾即明弦，去極股即叀弦。減於通弦即極和，得虛弦亦同上。內去虛弦即明弦叀弦共，去虛黃即明和叀和共也，去城徑即傍差。內加極差即大差弦，去極差即小差弦，加角差即兩個高股，減角差即二平勾。
太虛弦：加入極弦為極和。極弦內去之即明叀二弦共，再去之則明大差叀小差並也。加於大差弦即黃廣弦，加於小差弦即黃長弦。內去明勾則叀股，加明勾為圓徑內少虛黃叀股共。加入明股為明和叀股共，減於明股即明較內去叀股。加入明弦為極股，減於明弦為明大差叀小差內少個叀弦。加於明和即兩個虛弦一個高差共也，減於明和即高差也。內去叀勾即明勾叀較共，又為叀股平差共。加於叀勾即叀和明勾共。加於叀股為二虛弦內少明勾，又為圓徑內少虛黃明勾共。內減叀股即明勾。內加叀弦即極勾。內減叀弦為明勾內少個叀小差。加入叀和即兩個虛弦內少個平差也。內減叀和即平差也。加入明叀二和共即極和內少個虛黃也。若減於明叀二和共，即明股叀勾共也。減於高弦即明弦，減於平弦即叀弦，加於角差即二明勾一極差共。減於角差即一極差二叀股較也。得傍差即明股叀勾共，內減傍差即虛三事和內去了極雙差也。內加虛差即二明勾，內減虛差即二叀股。內加虛黃方即虛和，內減虛黃方即虛積大小差並也。
右諸弦
大差弦、小差弦共即兩個極弦也，以兩個極差為之較。大差差、小差差共即兩個極差也，以兩個傍差為之較。大差上大差、小差上大差共即兩個明弦也，以兩個明差為之較。大差上小差、小差上小差共即兩個叀弦也，以兩個叀差為之較。大差黃、小差黃數共即兩個極黃也，以兩個虛差為之較。大差勾、小差勾共即兩個極勾也，以兩個平差為之較。大差股、小差股共即兩個極股也，以兩個高差為之較。二和共為二極和，以二角差為之較。
大差上弦較較即圓徑，小差上弦較和亦同上。大差上小差即虛勾，小差上大差即虛股也。大差弦與明勾共即邊股，小差弦與叀股共即底勾也。大差弦內減中差即黃長勾，小差弦內加中差即黃廣股也。大股內減小差股即黃廣股，大勾內減大差勾即黃長勾也。虛弦得虛股即大差勾，虛弦得虛勾即小差股也。明段弦較和即大差上勾弦較，明段弦較較即小差上勾弦較也。叀段弦較和即大差上股弦較，叀段弦較較即小差上股弦較也。大差勾內減虛弦餘即虛股，小差股內減虛弦餘即虛勾也。以大差和減大股即虛勾，以小差和減大勾即虛股也。以大差差減圓徑即明勾，此差若多於圓徑，則內減圓徑，餘即虛勾也。以小差差減圓徑即小差弦也。大差弦上加一徑即大股上加虛勾也。小差弦上加一徑即大勾上加虛股也。大差股內減高弦，餘即高股內減半徑。平弦內減小差勾，餘即半徑內減平勾也。大差差內減虛差即二明差，小差差內減虛差即二叀差也。
大弦內減大小差共即圓徑。三事和內減二之大小差共即三個圓徑也。
大差勾小差股相並名混同和，即一圓徑一虛弦也。若以相減即虛差也。
大差和小差和二數相並即大弦虛弦共也。二數相減即中差虛差共也。又半之並數即為極弦虛弦共也，又為高弦平弦共，又為皇極勾股共也。
大差差小差差二數相並即兩個皇極差，又為大差弦內減小差弦也。二數相減而半之即是皇極弦上減圓徑也（即旁差）。
右大小差
大差差、小差差、虛差共為一個通差，高、平、極三差共亦同上。明差、叀差、虛差共為一個極差也，諸黃方麵亦仿此。
邊黃內減底黃即虛差。黃廣黃內減黃長黃即二虛差。高黃內減平黃即虛差，蓋高黃即虛股，平黃即虛勾也。大差黃內減小差黃即二虛差，蓋大差黃即二明勾，小差黃即二叀股也。明黃內減叀黃餘即虛差。叀弦上三差合成一個虛黃方。
高差內減平差為旁差，邊差內減底差亦同上，明差內減叀差亦同上。大差差內減小差差為二旁差，黃廣差內減黃長差亦同上。
極雙差即明叀二弦共。內加虛雙差即明叀二和共，內減虛雙差即明雙差叀雙差共也。內加旁差即極弦內少個虛弦旁差差，內減旁差即虛和也。內加虛差即極弦內少二叀股，內減虛差則極弦內少二明勾也。
極差內加旁差為大差差，內減旁差為小差差也。內加虛差即角差，內減虛差即次差也。倍極差為大差差、小差差共，則倍旁差為之較。倍極弦為大差弦、小差弦共，倍極差為之較。以極差為明差、平差共，則以蓌差為之較。以極差為高差、叀差共，則以抃和為之較。副置抃和上加抃差而半之即旁差也，下減抃差而半之則虛差也。極差內減二之平差得蓌差。
角差內加旁差為二高差，內減旁差即二平差也。內加明叀二差並而半之得極差，內減明叀二差而半之則虛差也。內加極差即通差，內減極差則虛差也。
以虛差減於明和為明叀二股共，以虛差加於叀和為明叀二勾共也。又副置二和共上加次差而半之，即明叀二股共；下減次差而半之，即明叀二勾共也。明叀二股共以高差為較，明叀二勾共以平差為較。
以高差減明和即虛弦，以平差加叀和亦同上。以高差減高股即半徑，以平差加平勾亦同上。以高差減大差差即明差，以平差減小差差即叀差也。以高差減大差即高弦，以平差加小差即平弦也。二之平差內去虛差餘即小差差，去二虛差即兩個叀差。
高股即半徑上股方差，平勾即半徑上勾方差，故高勾平股共為全徑也。黃廣股即全徑上股方差，黃長勾即全徑上勾方差，故黃廣勾黃長股共數為兩個全徑也。
邊弦內減底弦即皇極差。邊股內減底股即高差，又為底弦內減大勾。邊勾內減底勾即平差，又為大股內減邊弦也。
大勾減底弦餘即半徑為勾之中差也。大股內減邊弦餘即半徑為股之中差也。邊股底勾相並即大弦，若以相減即通中差也。二高股一虛差合成一個股圓差。二平勾一虛差合成一個勾圓差。
明雙差亦為明叀二大差，其較則明差也。叀雙差亦為明叀二小差，其較則叀差也。明雙差內減明差即虛黃，叀雙差上加叀差亦同上。以明雙差加明和即兩明弦，以叀雙差加叀和則兩叀弦也。以明雙差減明和而半之即明黃，又為虛大差。以叀雙差減於叀和而半之即叀黃，又為虛小差也。以虛大差減明和即明弦，以虛小差減叀和即叀弦也。明雙差、叀雙差相較則次差也。明雙差叀雙差又相並加於明叀二和共，則為兩個極雙差。若以減於明叀二和共，則為兩個虛雙差也。明雙差上加虛雙差即明叀二股共，叀雙差上加虛雙差即明叀二勾共也。
以明叀二股共為明弦叀黃共，則高差虛黃共為之較；為明大小差虛大小差共則明叀二股共，內去兩個虛雙差為之較也。以明叀二勾共為叀弦明黃共，則以平差虛黃較為之較；為叀大小差虛大小差共則明叀二勾共，內減兩個叀大小差為之較也。
明叀二和共內減旁差即二虛弦，虛弦內加旁差即明股叀勾共也。
明和內去平差即明股叀勾共，叀和上加高差亦同上也。明和內去高差即虛弦，叀和上加平差亦同上。明弦內去高差即虛勾，叀弦上加平差即虛股也。明股內去叀股即高差，去叀勾則極差也。明勾內去叀股即虛差，去叀勾則平差也。
明叀二股並內減虛弦即明差。明叀二勾並減於虛弦即叀差。
明叀二和共又為明叀二弦共與明叀二黃共數也，其較則明雙差叀雙差共數也。其明叀二和共數內減旁差即二虛弦也。若內減虛雙差即明叀二弦共也。
極弦為高股平勾共則角差為之較，為高弦叀弦共則極差虛弦共為之較，為平弦明弦共則極差虛弦較為之較也。
極弦得極差為大差弦，大差弦內減明和則高弦內減虛大差也，內減極差則為小差弦，小差弦內減叀和則是平弦內減虛小差也。又大差弦減於明和與高股共，餘則為虛勾不及明勾剩粒保
小差弦內減叀和與平勾共，餘則為叀股不及虛股數也。
右諸差
邊勾邊股差又為皇極差與高差共也，又為邊弦內去大勾也。邊勾邊弦共又為大勾邊股共。邊勾邊弦較又為大差弦內減半徑也。邊股邊弦較又為叀弦上股弦和。
底勾底股差又為皇極差平差共，又為大股內去底弦，又為高股內去底小差。底勾底弦共為大弦內少個底股大勾差。底勾底弦較又為明弦上勾弦和。底股底弦共與邊勾邊弦共同。底股底弦較又為底勾內少小差股也。
邊股內減高弦餘則高股，內減大差弦餘則明勾，內減底弦即底股內減大勾也，又為高弦內減底勾也。
底勾內減平弦餘即平勾，內減小差弦餘即叀股。以底勾減於邊弦餘即大股內減邊勾也，又為邊股內減平弦也。邊弦內減底股與底弦內減邊勾同，為皇極弦內減半徑也。
皇極勾內減明勾餘即平勾也，若減叀勾即半徑也，倍之則為底勾明勾共。皇極股內減叀股餘即高股也，若減明股餘即半徑也，倍之則為邊股叀股共也。
明股得虛股即高股，明勾得虛勾即半徑。叀股得虛股即半徑，叀勾得虛勾即平勾也。高弦內減高股即叀股。平弦內減平勾即明勾也。明弦內減明差即虛股，叀弦內加叀差即虛勾也。高股即虛明二股共，平勾即虛叀二勾共也。明弦明勾並數與高股同，叀弦叀股並數與平勾同也。
明股叀勾相並減於極弦即虛和，又為極黃虛黃共也。
明叀二弦並內減叀雙差即明叀二股並，內減明雙差即明叀二勾並，內加虛弦即極弦，內減虛弦即明大差叀小差並也。
以明和為明弦明黃共，則明雙差為之較。以叀和為叀弦叀黃共，則叀雙差為之較也。明和又為高差虛弦共，又為極差與明叀二勾共數。叀和又為平差少於虛弦數，又為極差少於明叀二股數。
半之三事和內加半黃方即勾股共，若減之則弦也。半圓徑內加半虛黃即虛和，減半虛黃即虛弦也。又以半虛黃加明和即高股，以半虛黃加叀和即平勾也。加明股則明弦，加叀勾則叀弦也。減明勾則明黃，減叀股則叀黃也。以虛黃加明黃則為虛股，以加叀黃則虛勾也。
右諸率弦見
高弦叀弦共為極弦，其差即虛弦極差共也。高股叀股共為高弦，其差即虛股高差共也。高勾叀勾共為平弦，其差即半徑內減叀勾也。高和叀和共為極和，其差即極和內少二叀和也。高差叀差共為極差，其差即虛差旁差共也。高黃叀黃共為虛弦，其差即叀黃不及虛股數也（高黃即虛股）。高大差叀大差共即明弦，其差即半虛黃不及明股數也。此高大差即明股，此叀大差即半虛黃也。高小差（即叀股）叀小差共即叀弦，其差即叀小差不及叀股數也。明平二弦共亦為極弦，其較即虛弦不及極差數也。明平二股共亦為高弦，其較即明股內減半徑也。明平二勾共亦為平弦，其較即平差內去虛勾也。明平二和共亦為極和，其較則極和內少二之平和也。明平二差共亦為極差，其較即虛差不及旁差數也。明平二黃共亦為虛弦，其較則虛勾不及明黃數也。明平二大差共亦為明弦，其較即明勾不及明大差數也（平大差即明勾）。明平二小差共亦為叀弦，其較則叀勾不及半虛黃數也。此明小差即半虛黃，此平小差即叀勾。
右四位相套
邊弦：自減其股為平勾。自減其勾為明股明弦並。減於通弦餘平弦。減於通股餘平差。內減通勾餘邊差。內減底弦餘極差。內減底股為半徑旁差共，又為極弦內少半徑。內減底勾即大股內去邊勾也。內減黃廣弦餘叀弦。內減黃廣股即小差股內去平差。內減黃廣勾即大差內去平差。內減黃長弦又得黃長弦。內減黃長股與內減黃廣勾同。內減黃長勾即大股內去極勾虛勾共。內減皇極弦餘高弦。
底弦：自減其股為叀勾叀弦並。自減其勾為高股。減於通弦餘高弦。減於通股餘底差。內減通勾餘高差。減於邊弦餘極差。減於邊股即底差內去半徑。內減邊勾即高差平勾共。減於黃廣弦餘為明大差叀小差並。減於黃廣股即底差內去小差股。內減黃廣勾即一個明弦一個黃長股弦較。內減黃長弦餘明弦。內減黃長股與內減黃廣勾同。內減黃長勾餘為高股明勾共。內減極弦為平弦。減於邊股又為底股內去大勾。
高差平差共又為平勾高股差。以半徑減高股即高差。半徑內減平勾即平差。明勾內減叀勾與平差同。明股內減叀股與高差同。股圓差內減極股即高差也。勾圓差減於極勾即平差也。正股內去邊弦即平差也。底弦內去正勾即高差也。大差勾內去極勾即平差也。極股內去小差股即高差也。極差內去叀差即高差也，內去明差即平差也。
旁差即城徑極弦較也，又為明差叀差較，又為高差平差較。極差得之為大差差也，去之則為小差差也。
又高差平差（下）：明和內去虛弦即高差，虛弦內去叀和即平差。大差弦內加虛差即黃廣股，小差弦內減虛差即黃長勾。通差內去高差即底差，內去平差即邊差也。
虛大差得二虛勾即勾圓差之股，虛小差得二虛股即股圓差之勾也。明段弦較較即虛股也。叀段弦較共即虛勾也。
半虛黃：叀勾得之即叀弦也，減於此數即虛黃內去叀弦也。叀股得之即虛勾也，去之即叀黃方也。叀弦得之即平勾內去叀黃也，去之則叀勾也。明勾內得之即虛股也，去之即明黃方也。明股得之即明弦也，去之即明弦內去個虛黃方也。明弦得之即高股內去明黃也，去之即明股也。
右拾遺
按識別雜記約五百條，隨時錄其所得。未經審定者故難易淺深，不拘先後。要皆精思妙義，足以開示數理之蘊奧者。徐光啟亟傳新法，而於勾股義中獨推是書，其必有所見矣。
正率一十四問
假令有圓城一所，不知周徑。四面開門，門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭定為乾地，其東北十字道頭定為艮地，其東南十字道頭定為巽地，其西南十字道頭定為坤地。所有測望雜法，一一設問如後。
或問：甲乙二人俱在乾地，乙東行三百二十步而立，甲南行六百步望見乙。問徑幾里。答曰：城徑二百四十步。
法曰：此為勾股容圓也。以勾股相乘，倍之為實。並勾股冪以求弦，複加入勾股共以為法。
草曰：置甲南行六百步在地。以乙東行三百二十步乘之，得一十九萬二千步，倍之得三十八萬四千步為實。以乙東行步自之，得一十萬零二千四百步為勾冪；以甲南行步自之，得三十六萬步為股冪；二冪相並，得四十六萬二千四百步為弦方實。以平方開之，得六百八十步則弦也。以弦加勾股共，共得一千六百步以為法。如法而一，得二百四十步則城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在西門，乙東行二百五十六步，甲南行四百八十步望見乙。問答同前。
法曰：此為勾上容圓也。以勾股相乘，倍之為實。並勾股冪以求弦，加入股以為法。
草曰：置甲南行四百八十步在地，以乙東行二百五十六步乘之，得一十二萬二千八百八十步，倍之得二十四萬五千七百六十步為實。以乙東行步自之，得六萬五千五百三十六步為勾冪；以甲南行步自之，得二十三萬零四百步為股冪；勾股冪相並，得二十九萬五千九百三十六步為弦方實。以平方開之，得五百四十四步為弦也。以加入甲南行步，共得一千零二十四步以為法。如法而一，得二百四十步則城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在北門，乙東行二百步而止，甲南行三百七十五步望見乙。問答如前。
法曰：此為股上容圓也。以勾股相乘，倍之為實。以勾股冪求弦，加入勾以為法。
草曰：置甲南行三百七十五步，以乙東行二百步乘之，得七萬五千步，倍之得一十五萬步為實。以乙東行自之，得四萬步為勾冪；以甲南行自之，得一十四萬 零六百二十五步為股冪；勾、股冪相並，得一十八萬零六百二十五步為弦方實。如平方而一，得四百二十五步則弦也。加入乙東行二百步共得六百二十五步以為法，以法除之，得二百四十步則城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在圓城中心而立，乙穿城向東行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步望見乙。問答同前。
法曰：此為勾股上容圓也。以勾股相乘，倍之為實。並勾股冪，如法求弦以為法。
草曰：以二行步相乘得三萬四千六百八十步，倍之得六萬九千三百六十步為實。置乙東行自之，得一萬八千四百九十六步為勾冪；又以甲南行自之，得六萬五千零二十五步為股冪；二冪相並，得八萬三千五百二十一步為弦方實。以平方開之，得二百八十九步即弦也，便以為法。如法除實，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：甲乙二人同立於乾地，乙東行一百八十步遇塔而止。甲南行三百六十步，回望其塔正居城徑之半。問答同前。
法曰：此為弦上容圓也。以勾股相乘，倍之為實，以勾股和為法。
草曰：以二行步相乘得六萬四千八百步，倍之得一十二萬九千六百步為實。並二行步，得五百四十步以為法。以法除實，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在坤地，乙東行一百九十二步而止，甲南行三百六十步，望乙與城參相直。問答同前。
法曰：此為勾外容圓也。以勾股相乘，倍之為實，以弦較共為法。
草曰：以二行步相乘，得六萬九千一百二十步，倍之得一十三萬八千二百四十步為實。置乙東行自之，得三萬六千八百六十四步為勾冪；又置南行自之，得一十二萬九千六百步為股冪；二冪相並，得一十六萬六千四百六十四步為弦方實。以平方開之，得四百零八步即弦也。又置甲南行步，內減乙東行步，餘一百六十八步即較也。以較加弦，共得五百七十六步以為法。實如法而一，得二百四十步為城徑也。合問。
或問：甲乙二人同立於艮地，甲南行一百五十步而止，乙東行八十步，望甲與城參相直。問答同前。
法曰：此為股外容圓也。以勾股相乘，倍之為實，以弦較較為法。
草曰：二行步相乘得一萬二千，倍之得二萬四千步為實。以甲南行自之，得二萬二千五百步為股冪；又以乙東行步自之，得六千四百步為勾冪；勾股冪相並，得二萬八千九百步為弦方實。以平方開之，得一百七十步即弦也。以二行步相減，餘七十步為勾股較也。以此較又減弦，餘一百步即弦較較也，便以為法。實如法而一，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：甲乙二人同立於巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙與城參相直。問答同前。法曰：此為弦外容圓也。勾股相乘，倍之為實，以弦和較為法。
草曰：以二行步相乘，得四千三百二十步，倍之得八千六百四十步為實。以甲北行自之，得八千一百步為股冪；又以乙西行自之，得二千三百零四步為勾冪；二冪共得一萬零四百零四步為弦方實。以平方開之，得一百零二步為弦也。又並二行步得一百三十八步為和，以弦減和餘三十六步，得黃方以為法。實如法而一，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在南門，乙東行七十二步而止，甲南行一百三十五步，望乙與城參相直。問答同前。
法曰：此為勾外容圓半也。以勾股相乘，倍之為實，以大差為法。
草曰：以二行步相乘，得九千七百二十步，倍之得一萬九千四百四十步為實。又以乙東行自之，得五千一百八十四步為勾冪；又以甲南行自之，得一萬八千二百二十五步為股冪；二冪相並，得二萬三千四百零九步為弦方實。以平方開之，得一百五十三步即弦也。以乙東行七十二步為勾，以減弦，餘八十一步即勾弦差也，便以為法。實如法而一，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在東門，甲南行三十步而止，乙東行一十六步，回望甲與城參相直。問答同前。
法曰：此為股外容圓半也。以勾股相乘，倍之為實，以小差為法。
草曰：以二行步相乘，得四百八十步，倍之得九百六十步為實。又以乙東行自之，得二百五十六步為勾冪；又以甲南行自之，得九百步為股冪；二冪相並，得一千一百五十六步為弦方實。以平方開之，得三十四步即弦也。以甲南行三十步為股，以減弦，餘四步以為法。以法除實，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：甲出西門南行四百八十步而止，乙出東門南行三十步望見甲。問答同前。
法曰：此為半矮梯也。以二行步相乘為實，如平方而一，得半徑。
草曰：以二行步相乘，得一萬四千四百步為實。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
又問：甲乙二人。乙出南門折而東行七十二步而止，甲出北門折而東行二百步望見乙。問答同前。法曰：以二行步相乘，得數四之為實。如平方而一，得城徑。
草曰：二行步相乘得一萬四千四百步，又四之，得五萬七千六百步為實。以平方開之，得二百四十步即城徑也。合問。
又假令：乙出南門折東行二十步，甲出北門折東行七百二十步。如此之類，亦同上法（以上三問俱是以半矮梯求之）。
或問：甲乙二人。乙在艮地東行八十步而立，甲在坤地南行三百六十步望見乙。問答同前。
法曰：此為兩差求黃方也。以二行步相乘，倍之為實，以平方開之得城徑。
草曰：二行步相乘得二萬八千八百步，倍之得五萬七千六百步為實。以平方開之，得二百四十步即城徑也。合問。別得甲南行即股圓差也，乙東行即勾圓差也。
或問：甲出東門四十八步而立，乙出南門四十八步見之。問答同前。法曰：此當以方五斜七求之，每出門二步，管徑十步。
草曰：置出門步在地，以五之，得二百四十步即城徑也。據此法，合置出門步在地，以十之，二而一。以二數相折，故五因便是。合問。
或問：出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之。問答同前。
法曰：以二行步相乘為實，二行步相並為從，一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，置南行步在地，內減天元半徑，得
為股圓差。又置乙東行步在地，內減天元，得下式
為勾圓差。以勾圓差增乘股圓差，得
為半段黃方冪，即城冪之半也（寄左）。又置天元冪以倍之，得，亦為半段黃方冪，與左相消得
。如法開之，得半徑。合問。
又法：識別得二行並即大弦也，立天元一為半徑。置甲南行步加天元一，得
為大股。又置乙東行步加天元，得
為大勾也。勾股相乘，得
為一個大直積。以天元除之，得下式，為三事和也（寄左。黃方除倍積得三事和。今以半黃方除直積，亦為三事和也）。然後並二行步，又並入勾股共，得
為同數，與左相消得
。以平方開之，得一百二十步，倍之得全徑也。合問。
邊股一十七問
或問：乙出東門南行不知步數而立，甲出西門南行四百八十步望見乙，複就乙行五百一十步與乙相會。問答同前。法曰：倍相減步，以乘二之甲南行步為平方實，得城徑。
草曰：識別得二行相減餘三十步，即乙出東門南行步也，倍相減步得六十步，以乘二之甲南行步九百六十步，得五萬七千六百步為平方實。如法開之，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：甲出西門南行四百八十步而止，乙從艮隅東行八十步望見甲。問答同前。
法曰：倍南行步，以東行步乘之為實，東行步為從方，一步常法。得全徑。
草曰：立天元一為圓徑，以減於二之甲南行步，得
為兩個大差也。以乙東行步乘之，得
為圓徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得
。以平方開之，得二百四十步即城徑也。合問。
又法：半之乙東行步乘南行步為實，半乙東行步為從，一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，減甲南行步，得
為大差也。以半之東行步乘之，得
即半徑冪（寄左）。然後以天元冪為同數，與左相消得
。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：甲出西門南行四百八十步而止，乙從艮隅亦南行一百五十步望見甲。問答同前。法曰：兩行步相乘為實，南行步為從方，一為隅。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，以減乙南行步，得
為半梯頭；以甲行步為梯底，以乘之，得
為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得
。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：甲出西門南行四百八十步，乙出東門直行一十六步望見甲。問答同前。
法曰：以四之東行步乘南行冪為實，從空，東行為廉，一步為隅法。得全徑。
草曰：立天元一為圓徑，加乙東行步，得
為中勾，其甲南行即中股也。置東行步為小勾，以中股乘之，得
太，合以中勾除。今不受除，便以為小股也（內寄中勾分母）。乃複以中股乘之，得三百六十八萬六千四百，又四之，得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑冪（寄中勾分母。寄左）。然後以天元徑自之，又以中勾乘之，得
為同數，與左相消得
。以立方開之，得二百四十步為城徑也。合問。
或問：乙出南門東行七十二步而止，甲出西門南行四百八十步，望乙與城參相直。問答同前。
法曰：以乙東行冪乘甲南行為實，乙東行冪為從方，甲南行步內減二之東行步為益廉，一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，以減南行步，得
為小股；又以天元加乙東行，得
為小勾。又以天元加南行步，得
為大股。乃置大股在地，以小勾乘之，得下式，合以小股除之。今不受除，便以為大勾（內寄小股分母）。又置天元半徑，以分母小股乘之，得，以減大勾，得
為半個梯底於上。以乙東行七十二步為半個梯頭，以乘上位，得
為半徑冪（內寄小股分母。寄左）。然後置天元冪，又以分母小股乘之，得
為同數，與寄左相消得
。以立方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
又法曰：以雲數相乘為實，相減為從，一虛法，平開得半徑。
草曰：別得二數相並為大股內少一虛勾，其二數相減為大差弦也。立天元一為半徑，副置之。上位減於四百八十，得
為股圓差（即大差股也）。下位加七十二，得
為大差勾。勾股相乘得下式
為一段大差積（寄左）。再以大差勾減於大差股，餘
為較，又加入大差弦四百單八，共得
為弦較共也。以天元乘之，得
為同數，與左相消得
。以平方開之得一百二十步，即半徑。合問。
前法太煩，故又立此法以就簡也。
或問：乙出南門東行不知步數而立，甲出西門南行四百八十步望見乙，與城參相直。又就乙行四百八步與乙相會。問答同前。
法曰：二行步相減以乘甲南行步為實，甲南行步內減相減步為益方，一步常法。得半徑。
草曰：識別得二行相減餘七十二步，即是乙出南門東行數也，更不須用弦。遂立天元一為半城徑，加乙東行，得
為小勾也。副置南行步，上減天元，得
為小股；下加天元，得
為大股。乃置大股以小勾乘之，得下式，合以小股除之。今不受除，便以此為大勾也（內帶小股分母）。又倍天元，以小股乘之得下式，以減於大勾，得
為勾圓差也。合以股圓差乘之，緣此勾圓差內已帶小股分母（小股即股圓差也），更不須乘，便以此為半段黃方冪（更無分母也。寄左）。乃以天元自之，又倍之為同數，與左相消得
。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出東門直行不知步數而止，甲出西門南行四百八十步望見乙，複就乙斜行五百四十四步與乙相會。問答同前。
法曰：半南行步減半斜行步，以乘南行冪為實，從方空，半斜行半南行相減，得數加入南行步為隅法。得半徑。
草曰：識別得二行相減餘六十四步，即半徑為股之勾也。立天元為半徑，就以為小股，其二行相減餘六十四步即小勾也。乃置甲南行步加天元，得下式
為大股，以小勾乘之得，又以小股除之得
為大勾。又倍天元一減之，得下式
為勾圓差也，半之得
於上。乃以天元減甲南行步，得
為股圓差，以乘上位得
為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式
。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
又法：以二數差乘二數並，開方得邊勾，複以邊股乘之為實，並二數而半之為法，實如法得二百四十步，即城徑（此蓋用前勾上容圓法也）。
或問：乙從乾地東行，不知幾步而止，甲出西門南行四百八十步望見乙，複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。
法曰：並二行數以二行差乘之，內減二行差冪為實，並二行步及二行差為從方，二步常法。得半徑。
草曰：識別得二行相減餘二百步，即半圓徑與小差共數也。立天元一為半城徑，加於二百步得
為大勾也。又以天元加於甲南行四百八十步，得
即大股也。乃以大勾自之，得
為勾冪（寄左）。乃置甲斜行六百八十步為大弦，加入大股，共得
於上。再置二行差內減天元，得
為小差，以乘上位，得
為同數，與左相消得
。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
又法：求小差：二行相減以自之，又四之為實；二行相減，八之於上，二之南行步內減二之二行相減數，又以加上位為益方；二步常法。
草曰：立天元一為小差，減二行差得
為半城徑，以自之得，又四之得
為圓徑冪（寄左）。然後以半城徑減於甲南行，得，又倍之得
為兩個大差也，又以天元乘之得
為同數，與左相消得下式
。以平方開之，得八十步為小差也。
或問：乙出南門不知步數而立，甲出西門南行四百八十步，望乙與城參相直，複就乙斜行二百五十五步與乙相會。問答同前。
法曰：甲南行內減二之兩行差，餘以乘甲南行，又倍之為實，二步為隅。得半徑。
草曰：別得二行步相減，餘二百二十五步乃是半徑為勾之股也。立天元一為半城徑，就以為小勾率，其二行差二百二十五步即為小股率。乃置甲南行步加入天元，得
為大股，以天元小勾乘之，得，合以小股除。今不受除，便以此為大勾（內寄小股為母）。乃倍天元，以小股乘之得
元，以減大勾，餘
為一個小差於上（內寄小股分母）。乃以天元減甲南行步，得
為大差也，以乘上位得，又倍之得
為圓徑冪（內寄小股分母。寄左）。然後倍天元以自之，又以小股乘之，得
為同數，與左相消得
。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出南門直行一百三十五步而止，甲出西門南行四百八十步，望乙與城參相直。問答同前。
法曰：二行步相減餘以自乘，內減乙行冪為實，二之甲南行為益從，一步常法。得半徑。
草曰：立天元一以為半徑，便以為勾率；又以天元加乙行步，並以減於甲行步，得
為股率。乃置乙南行步一百三十五步為小股，以勾率乘之得
元，合以股率除之。今不受除，乃便以此為小勾（內寄股率分母）。又置乙南行步，加二天元，得
為大股，以勾率乘之得，合以股率除之。今不受除，便以此為大勾（內寄股率分母）。以小勾大勾相乘，得
為半徑冪（內帶股率冪為分母。寄左）。然後置天元以自乘，又以股率冪乘之，得
為同數，與左相消得
。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：甲乙二人同出西門向南行，至西南十字道口分路。乙折東行一百九十二步而立，甲又南行，甲通行四百八十步，望乙與城參相直。問答同前。
法曰：兩行相乘得數，又以乙東行乘之為實，二行相乘於上位，又置乙東行以二行相減數乘之，得數加上位為法。
草曰：立天元一為半城徑，副之。上位加甲行步，得
為大股也；下位減於甲行步，得
為小股也；其乙東行即小勾也。置大股以小勾乘之，得
（內寄小股為母）。便以為大勾也。置天元以母通之，得，減於大勾，得
為半個矮梯底於上，再置乙東行內減天元，得下式
為半個矮梯頭，以乘上位得下式
為半徑冪（寄左）。再置天元以自之為冪，又以分母乘之，得
為如積，與左相消得
。上法下實，得一百二十步，即城之半徑也。合問。
又法：二行步相乘為實，倍甲南行內減乙東行為法。
草曰：立天元一為半城徑，副之。上位加甲南行，得
為大股；下位減甲行步，得
為小股，便是股圓差也。其乙東行即小勾也。置大股以小勾乘之，得，內寄小股
為母，便以為大勾也。再置天元以二之，又以分母乘之，得
為全徑。以減於大勾，餘
為勾圓差也。合以股圓差乘之，緣內已有小股分母，不須更乘，便以此為兩段之半徑冪也，更無分母（寄左）。然後置天元冪以二之，得
為如積，以左相消得
。上法下實，得一百二十步即半城徑也。合問。
或問：見邊股四百八十步，叀弦三十四步。問答同前。
法曰：叀弦乘邊股，半之為實，半叀弦半邊股相並為從，半步隅法。開平方，得叀股
。
草曰：立天元一為叀股，加叀弦得，為平勾也。又以天元減邊股而半之，得
為高股也。平勾高股相乘，得
為半徑冪（寄左）。然後以天元乘邊股為同數，與左相消得下式
。開平方得叀股三十步，以乘邊股，開平方倍之即圓徑也。合問。
或問：見邊股四百八十，明弦一百五十齲粒保問答同前。
法曰：二雲數相減複倍之，內減邊股，複以邊股乘之於上；又以明弦冪乘上位為實，以邊股乘明弦冪又二之為從；二雲數相減餘以自之為第一廉，二雲數相減又倍之為第二益廉，一常法。開三乘方，得明勾
。
草曰：立天元一為明勾，加明弦得
為高股也。以高股減邊股，餘
為高弦，以倍之得
為黃廣弦也。內卻減邊股，得
為叀股，複以邊股乘之，得
於上。又以明弦自乘，得二萬三千四百九為分母，以乘上位得
為帶分半徑冪（寄左）。然後置黃廣弦，以天元乘之，得
。複合以明弦除之，不除，寄為母，便以此為全徑。又半之，得
為半徑，以自之得
為同數，與左相消得下式
。開三乘方得七十二步，即明勾也。餘各依法入之。合問。
又法：邊股內減二明弦，複以邊股乘之，複以明弦冪乘之為三乘方實。廉從並與前同。
草曰：識別得二數相減餘
為高股虛弦共，又為高弦明勾共。此餘數內又去半徑即明和也。明和明弦相並即股圓差，相減則明黃方也。又倍明弦加明黃亦得股圓差也。邊股內減明勾餘即大差弦也。立天元一為明勾，減於雲數相減數，得
即高弦也。以高弦減邊股得
即高股也，以高股減於雲數相減數，得
即虛弦也。以天元又減虛弦，得
即叀股也。乃置高弦，以天元乘之，得，合明弦除。不受除，便以此為高勾也（即半徑）。高勾自之，得
為半徑冪（內帶明弦冪分母。寄左）。然後置邊股以叀股乘之，得
為半徑冪；又以明弦冪二萬三千四百九分母通之，得
為同數，與左相消得實、從、廉、隅五層，一如前式。
或問：邊股四百八十步，高弦二百五十五步。問答同前。法曰：以邊股減於二之高弦，複以邊股乘之。開平方，得半徑。
草曰：立天元一為半徑。先倍高弦，內減邊股餘，複以邊股乘之，得
（寄左）。以天元冪與左相消，得
。開平方得數，倍之即城徑也。合問。
或問：邊股四百八十步，平弦一百三十六步。問答同前。
法曰：置平弦以邊股再乘之為實，以邊股自之為益從，平弦為益廉，一虛隅。開立方，得半徑。
草曰：別得平弦即皇極勾也。立天元一為半徑，副之。上位加平弦，得
即邊勾也；下位減於平弦，得
即叀勾也。置叀勾以邊股乘之，得，合邊勾除。今不受除，寄為母，便以此為叀股。乃以此邊股乘之，得
為半徑冪（內帶邊勾分母。寄左）。然後以天元為冪，以分母邊勾乘之，得
為同數，與左相消得
。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：邊股四百八十步，明股明弦和二百八十八步。問答同前。
法曰：以二雲數相減餘加邊股，複以減餘乘之，訖。又折半於上，又以減餘自之，減上位為實，並雲數半之為法。得明勾
。
草曰：別得二數相減餘
為大差勾。立天元一為明勾，減於大差勾，得
即半徑也。又以天元減半徑，得
為虛勾於上；又以半徑加邊股，得
為通股於下。上下相乘，得
。折半得
為半徑冪（寄左）。然後以半徑冪
為同數，與左相消得
。上法下實，得七十二步，即明勾也。合問。
或問：見邊股四百八十步，叀勾叀弦和五十步。問答同前。
法曰：半邊股、半和步相並得
為汛率。以汛率減邊股，以自之，又二之於上，以和步乘汛率減上位為實，以汛率減邊股六之於上，內又加半個邊股、三個和步為益從，三步常法。得叀股
。
草曰：別得和步得叀股即小差也，小差邊股共即二中差。立天元一為叀股，加和步得
即小差也。以小差加邊股而半之，得
即中差也。中小差相並得
即大差也。以小差乘之，得
為半段徑冪（寄左）。然後置邊股內減大差得
為半徑，以自之，得，又倍之得下式
。與左相消得下式
。開平方，得三十步即叀股也。合問。
法曰：和步乘邊股，又以和步乘之為實；倍邊股加和步，又以和步乘之為從；邊股內減二之和步為益廉，一常法。開立方，得叀股
。
草曰：別得邊勾邊弦和內減和步即黃廣勾弦和也。邊股得叀股即黃廣弦也。黃廣勾即圓徑。叀弦上三事和即小差。立天元一為叀股。以和步乘邊股得，以叀股除之得
為邊勾邊弦和也。以和步減之，餘得下式
為黃廣勾弦和也。以天元加邊股得下式
為黃廣弦，以減於黃廣勾弦和，餘得下式
為圓徑。倍邊股得下
太，內減圓徑得下式
為兩個大差於上。又以和步加天元，得下式
為小差，以乘上位得
為徑冪（寄左）。然後以天元乘邊股，又四之得
為同數，與左相消得
。開立方得三十步，即叀股也。合問。
底勾一十七問
或問：乙出南門東行，不知步數而立，甲出北門東行二百步見之，就乙斜行二百七十二步與乙相會。問答同前。法曰：二行差數乘甲東行，又四之為平方實。得全徑。
草曰：識別得二行相減餘七十二步，即乙出南門東行數也。以甲東行減於就乙斜行餘七十二步，以乘甲東行步，得一萬四千四百步，又四之得五萬七千六百步為實。以平方開之得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：乙從坤隅南行三百六十步，甲出北門東行二百步見之。問答同前。法曰：二行步相乘倍之為實，乙南行為從，一步常法。
草曰：立天元一為城徑，以減於二之甲東行步，得
為兩個小差。以乙南行步乘之，得
為城徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得
。以平方開之得二百四十步，即城徑也。合問。
又法：半之乙南行步乘甲東行為實，半乙南行為從，一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，減甲東行，得
為小差。乃半乙南行步，得一百八十步，以乘小差，得
為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式
。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙從坤隅東行一百九十二步而止，甲出北門東行二百步見乙。問答同前。法曰：兩行步相乘為實，甲東行為從，一為隅。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，減於乙東行，得
。以甲行步乘之，得
為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得
。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出南門直行一百三十五步，甲出北門東行二百步見乙。問答同前。
法曰：以乙南行步乘甲東行冪，又四之為實，從空，乙南行為廉，一步常法。
草曰：立天元一為城徑，加乙南行得
為股率，其甲東行即勾率也。置乙南行
為小股，以勾率乘之得
太，合以股率除。今不受除，便以此為小勾（寄股率為母）。乃以甲東行步乘之，得，又四之得二千一百六十萬於太極位，為一段城徑冪（寄股率分母。寄左）。然後以天元城徑自之，又以股率分母通之，得
為同數。與左相消，得下式
。以立方開之得二百四十步，即城徑也。合問。
又法：二行相乘，又以自乘為實，以二之東行乘南行冪為益方，南行冪為從，四之東行為益隅。立方開得小勾七十二。
草曰：立天元一為小勾，以南行為小股，以東行二百步為大勾也。置大勾內減天元，得
為中勾也，以小股乘之得，以天元小勾除之，得
為中股即城徑也，以自之得
為城徑冪也（寄左）。又立天元小勾以乘大勾二百步，又四之得
為同數。與左相消得，開立方得七十二步即小勾也，以乘大勾二百步為實。平方開得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
又法：求半徑：以南行步乘東行冪為實，從空，南行步為廉，二常法。
草曰：立天元一為半徑，以二之加南行步，得
為股率，以東行為勾率，以南行為小股也。置小股以勾率乘之，得，以股率除之。不受除，隻寄股率分母，便以
此為小勾也。又以勾率乘之，得下式
為半徑冪（寄左）。再立天元半徑以自之，又以分母股率乘之，得
為同數，與左相消得
。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出東門南行三十步而止，甲出北門東行二百步望見乙，與城參相直。問答同前。
法曰：以甲東行步乘乙南行冪為實，以乙南行冪為從，甲東行內減二之乙南行為益廉，一步為隅。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，減於甲東行步，得
為小勾。以天元加於乙南行步，得
為小股。乃以天元加東行步，得
為大勾。置大勾以小股乘之，得，合以小勾除之。今不受除，便以此為大股（內帶小勾分母）。又置天元半徑以分母小勾乘之，得，減於大股餘，以乙南行步乘之，得
為半徑冪（內有小勾分母。寄左）。然後以天元為冪，又以小勾通之，得
為同數。與左相消，得下式
。以立方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問（翻法在記）。
又法：乙南行乘甲東行為平實，二數相減為從，一益隅。翻開，得半徑。
草曰：別得二數相並為大勾內少一虛股，其二數相減為小差弦也。立天元一為半徑，副置之。上位減於二百步，得
為勾圓差（即小差勾也）。下位加三十步，得
為小差股。勾股相乘得
為一段小差積（寄左）。再以小差勾減小差股，餘有
為一較也。又以此較減於小差弦
太，得下式
為一個弦較較。以天元乘之得下式
為同數，與左相消得
。開平方得一百二十步，即半城徑也。合問（翻法在記）。再立此法者，蓋從簡也。
或問：乙出東門南行不知步數而立，甲出北門東行二百步望見乙，複就乙斜行一百七十步與乙相會。問答同前。
法曰：以二行差乘甲東行為實，甲東行內減二行差為益方，一步常法。得半徑。
草曰：識別得二行相減餘三十步，即乙出東門南行步也（更不須用弦）。立天元一以為半城徑，加乙南行得
為小股。副置甲東行步，上位減天元得下式
為小勾，下位加天元得
為大勾也。乃置大勾以小股乘之，得下式，合以小勾除。不受除，便以此為大股（內帶小勾分母）。又倍天元以小勾乘之，得，以減於大股得，又倍之得
為兩個股圓差。合以勾圓差乘之，緣為其中已帶小勾分母，更不須乘，便以此為黃方冪（更無分母。寄左）。然後倍天元以自之為同數，與左相消得
。上下俱半之（俱半之者，蓋從簡也），得
。以平方開之得一百二十步，倍之即圓徑也。合問。
或問：乙出南門直行不知步數而止，甲出北門東行二百步見之，複就乙斜行四百二十五步與乙相會。問答同前。
法曰：倍兩行差，以乘二之甲東行為實，從空，四之甲東行於上，倍兩行差加上位為隅。得半徑。
草曰：識別得二行差二百二十五步即半徑為勾之股也。立天元一以為半徑，便是小勾，其二行差便是小股。乃置甲東行步加天元，得
為大勾，以小股乘之得下式，又以小勾除之，得
為大股。又倍天元以減之，得
為股圓差，又倍之得
為兩個股圓差於上。乃以天元減甲東行，得
為勾圓差，以乘上位，得下式
為城徑冪（寄左）。然後倍天元一以自之，與左相消得
。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
又法：並二數，以二數差乘之，開方得底股。複以甲東行二百步乘之為實，並二數而半之以為法。如法得二百四十步即城徑也。合問（此用股上容圓求之，比前法極為簡易）。
或問：乙從乾隅南行不知步數而止，甲出北門東行二百步望見之，複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。
法曰：並二行以二行差乘之，內減二行差冪為實，並二行步及二行相減數為從，二步常法。得半徑。
草曰：識別得斜行六百八十步即大弦也。其二行相減餘四百八十步即半圓徑與大差共數也。立天元一為半城徑，副置之。上位加二行相減數，得
為大股也；下位加甲東行步，得
為大勾也。乃以大股自增乘，得
為大股冪（寄左）。乃並大勾、大弦得
於上，又以大勾減大弦，得
為大差，以乘上位得
為同數，與左相消得
。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
又法：求大差：
法曰：二行差自乘為實，置二之二行差於上，乃以甲東行步減二行差，又半之以減於上為益方。半步常法。
草曰：立天元一為大差，減於二行差，得
為半城徑，以自之得
為半徑冪（寄左）。乃以半城徑減於甲東行，得下式
為小差，又以天元乘之得，又半之得
為同數與左相消，得下式
。以平方開之，得三百六十步，即大差也。合問。
或問：乙出東門不知步數而立，甲出北門東行二百步望見乙，複就乙斜行一百三十六步與乙相會。問答同前。
法曰：甲東行步內減二之二行差，餘以乘甲東行為實，一步常法。得半徑。
草曰：別得二行相減餘六十四步，即半徑為股之勾。立天元一為半城徑，就以為股率，其二行差即勾率也。乃置甲東行步加天元，得
為大勾，以天元股率乘之得
。合以勾率除之，不受除，便以此為大股（內帶勾率分母）。乃倍天元以勾率乘之，得
元，以減大股得，為一個大差於上（內帶勾率分母）。乃以天元減甲東行，得
為小差，以乘上位得
為半段黃方冪（內寄勾率為母。寄左）。然後以天元自之，又以勾率乘之，又倍之，得
為同數與左相消，得下式
。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出東門直行一十六步而止。甲出北門東行二百步望見乙，與城參相直。問答同前。
法曰：二行步相減餘以自乘，內減乙東行冪為實，二之甲東行為益從，一步隅法。得半徑。
草曰：立天元一以為半城徑，加乙行步，並以減於甲行步，得
為平勾率，其天元半徑即平股率也。乃置乙東行一十六步為小勾，以股率乘之得
元，合以勾率除之。今不受除，便以此為小股（內帶勾率分母）。又置乙東行加二天元，得
為大勾，以股率乘之得，合以勾率除之。今不受除，便以此為大股（內寄勾率為母）。以此小股、大股相乘得
為半徑冪（內寄勾率冪為母。寄左）。然後以勾率冪乘天元冪，得
為同數，與左相消得
。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：甲乙二人同出北門，向東行至東北十字道口分路。乙折南行一百五十步而立，甲又向東行，甲前後通行了二百步，回望乙恰與城相直。問答同前。
法曰：以二行步相乘於上，又以南行步乘之為實；二行步相乘於上，又以乙南行減於甲東行，得數複以乙南行乘之，加上位共為法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，副之。上位加甲行步得
為大勾也，下位減於甲行步餘
為小勾也。其乙折行即小股也。置大勾以小股乘之，得，內寄小勾
為母，便以為大股也。再置天元以母乘之，得，減於大股餘
為半個矮梯底於上（內寄小勾為母）。再置乙折行步內減天元，得
為半個矮梯頭。以乘上位，得
為半徑冪（寄左）。乃以小勾分母乘天元冪，得下式
為同數，與左相消得
。上法下實，如法而一，得一百二十步即城之半徑也。合問。
又法：法曰：二行步相乘為實，倍甲東行內減乙南行為法。
草曰：立天元一為半圓徑，副之。上位加甲東行得
為大勾，下位減甲東行得
為小勾。此小勾便是勾圓差也。其乙南行即小股也。置大勾以小股乘之，得下式，內寄小勾
為母，便以為大股也。再置天元以二之，又以分母乘之，得
為全徑，以減於大股，餘得
為股圓差也。合以勾圓差乘之，緣內已有小勾分母，故不須更乘，便以此為兩段之半徑冪也，更無分母（寄左）。再置天元以自之，又二之得
為同數，與左相消得
。上法下實，得一百二十步即半城徑也。合問。
或問：見底勾二百步，明弦一百五十三步。問答同前。
法曰：半底勾乘明弦為平實，並二雲數而半之為從，五分常法。得明勾
。
草曰：立天元一為明勾，加明弦得
為高股也。又以天元減底勾而半之，得下式
為平勾也。股勾相乘得
為半徑冪（寄左）。然後以天元乘底勾得下式
元為同數，與左相消得
。開平方得七十二步，即明勾也。以明勾乘底勾為平方實，如法開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：見底勾二百步，叀弦三十四步。問答同前。
法曰：底勾、叀弦相減，餘倍之，內減去底勾，複以底勾乘之於上。又以叀弦冪乘上位為三乘方實；倍底勾以叀弦冪乘之為從；二雲數相減，餘以自之為第一廉；二雲數相減，餘又倍之為第二益廉；一步隅法。得叀股
。
草曰：立天元一為叀股，加叀弦得
為平勾。以平勾減底勾，餘
為平弦，以倍之得
為黃長弦也。此弦內卻減底勾，餘得下式
為明勾也。複以底勾乘之，得
於上。又叀弦自乘得一千一百五十六為分母，以乘上位得
為帶分半徑冪（寄左）。然後置黃長弦以天元乘之，得，合以叀弦除之。不除，寄為母，便以此為全徑也。以半之得
為半徑（內帶叀弦分母），以自之得
為同數，與左相消得
。開三乘方得三十步，即叀股也。餘各依數求之，合問。
又法：底勾內減二叀弦，複以底勾乘之，複以叀弦冪乘之，為三乘方實。餘廉、從並與前同。
草曰：識別得二數相減餘一百六十六為平勾、虛勾共，又為平弦、叀股共；於此餘數內又去半徑即叀和也。叀和、叀弦相並即勾圓差也，相減則叀黃方也。又倍叀弦加叀黃亦得勾圓差也。底勾內減叀股餘即小差弦也。立天元一為叀股，減於雲數相減數，得
為平弦；以平弦減底勾得，即平勾。以平勾減於雲數相減數，得
即虛弦；以天元又減虛弦，得
即明勾也。乃置平弦以天元乘之，得，合叀弦除。不除，寄為母，便以此為平股也（即半徑）。平股自之，得
為半徑冪（內帶叀弦冪分母。寄左）。然後置底勾以明勾乘之，得，又以叀弦冪一千一百五十六通之，得下式
為同數，與左相消得
。廉從一一如上。
或問：見底勾二百步，平弦一百三十六步。問答同前。法曰：倍平弦內減底勾，複以底勾乘之，開平方得半徑。
草曰：立天元為半徑，先倍平弦內減底勾，餘
為明勾，複以底勾乘之，得
為半徑冪（寄左）。然後以天元冪為同數，與左相消得
。開平方得一百二十步，又倍之即城徑也。合問。
或問：底勾二百步，高弦二百五十五步。問答同前。
法曰：底勾冪乘高弦為立實，底勾冪為從，高弦為廉，一為隅。得半徑。
草曰：識別得高弦即皇極股也。立天元一為半徑，副之。上位加高弦，得
即底股也；下位減於高弦，得
即明股也。置明股以底勾乘之，得，合以底股除。不除寄為母，便以此為明勾；又以底勾乘之，得
為半徑冪（內帶底股分母。寄左）。然後以天元冪乘底股得，與左相消得
。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：底勾二百步，叀勾、叀弦和五十步。問答同前。
法曰：以二雲數相減餘加底勾，複以減餘乘之，半之於上。以減餘自之減上位為實，並雲數半之為法。得叀股
。
草曰：別得二數相減，餘
為小差股。立天元一為叀股，減於小差股，得
即半徑也。又以天元減半徑，得
為虛股於上；又以半徑加底勾，得下
為通勾於下；上、下相乘得，折半得
為半徑冪（寄左）。然後以半徑自之，得下式
為同數，與左相消得
。上法下實，得三十步即叀股也。合問。
或問：見底勾二百步，明股、明弦和二百八十八步。問答同前。
法曰：二數相減又半之，得數又減於底勾，餘為泛率。以泛率自之又倍之於上位。又二數相減而半之，以乘和步，所得減於上位為實。倍泛率於上位，又半底勾減和步加上位為法。得明勾
。
草曰：別得和步得明勾為大差也。大差得底勾為二中差。立天元一為明勾，加和步得
為股圓差也（即大差）。內又加底勾得，折半得，即通勾通股差也（此即中差）。置大差減中差得下
即小差也。大、小差相乘得
為半段圓徑冪（寄左）。乃置底勾內減小差，得
為半徑，以自之，得，倍之得下式
為同數，與左相消得
。上法下實得七十二步，即明勾也。合問。
法曰：和步乘底勾又以和步乘之為實，倍底勾加和步又以和步乘之為從，倍和步內減底勾為廉，一常法。開立方得明勾
。
草曰：底股、底弦和內減和步，即黃長股弦和也。底勾得明勾即黃長弦也，黃長股即圓徑，明弦上三事和即大差。立天元一為明勾，以和步乘底勾得，以明勾除之得
為底股底弦和也，內減和步餘
為黃長股弦和也。以天元加底勾得
為黃長弦，以減黃長股弦和，餘
為圓徑。倍底勾內減圓徑，得
為兩個小差於上；以和步加天元，得
為一個大差於下。上、下相乘得下式
為圓徑冪（寄左）。然後以天元乘底勾，又四之得
為同數，與寄左相消得下式
。開立方得七十二步，即明勾也。合問。
大股一十八問
或問：乙出南門直行一百三十五步而立，甲從乾隅南行六百步，望乙與城參相直。問答同前。
法曰：倍二行差內減甲南行步，複以乘甲南行步為實（倍二行差減甲南行步，即是甲南行步內減二之乙南行也）；四之甲南行步內減二之乙南行為從方；四益隅。開平方得半徑。
草曰：立天元一為半徑，以二之加乙南行步，得
為中股，以中股又減於甲南行步，得
為股率，其天元半徑即勾率也。置甲南行為大股，以勾率乘之，得
元，合以股率除之，不受除，便以此為大勾（內帶股率分母）。再置天元以二之，以股率乘之，得
。減於大勾，餘
為勾圓差於上（內有股率分母）。又以二之天元減甲南行，得
為大差，以乘上位，得
為半段黃方冪（內寄股率分母。寄左）。然後以天元自之，又以股率乘之，又倍之得
為同數，與左相消得下式
。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出南門東行七十二步而止，甲從乾隅南行六百步，望乙與城參相直。問答同前。法曰：雲數相乘為平實，甲南行為從，二益隅。得半徑。
草曰：別得虛勾乘通股得半段圓徑冪，此與虛股乘通勾同。立天元一為半徑，內減乙東行得
為虛勾，以乘甲南行得
為半段徑冪（寄左）。再以天元為冪，又倍之為同數，與左相消得
。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出東門直行一十六步，甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。
法曰：以乙東行乘甲南行冪為實，二之乙東行乘甲南行為從方，廉空，二步隅法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，以二之加於乙東行，得
為勾率；又以天元減甲南行，得
為股率。乃置乙東行以股率乘之，得，合以勾率除。不除便以此為小股，此小股即半梯之頭也（內帶勾率分母）。又以股率乘之（此股率即半梯之底也），乘訖得
為半徑冪（內帶勾率分母。寄左）。然後置天元冪以勾率通之，得
為同數，與左相消得
。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出東門南行三十步而立，甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。法曰：二行步相乘為實，以乙南行為從，一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，以減於甲南行得
為半梯底，以乙南行三十步為半梯頭，以乘之得
為半徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得
。開平方得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：乙從艮隅南行一百五十步而立，甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。法曰：二行步相乘為實，並二行步為法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，副置之。上以減於乙南行，得
為半梯頭，下以減於甲南行得
為半梯底。上、下相乘得
為半徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得下式
。上法下實，如法而一，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙從艮隅東行八十步而立，甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。
法曰：二行步相乘又倍之為實，二之乙東行為從，一步常法。得全徑。
草曰：別得乙東行八十步即小差也。立天元一為城徑，減於甲南行步，得
為大差，以乙東行步乘之得，又倍之得
為城徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得
。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：南門東不知遠近有樹。甲從乾隅南行六百步，望樹與城參相直，複就樹斜行四百八步至樹。問答同前。
法曰：兩段南行步冪內減兩段兩行相乘數為實，二之南行步為從，一步益隅。
草曰：別得南行步內減城徑即小股也，其斜行步即小弦也。又二行相減即大差為股之勾也。乃立天元一為圓徑，以減南行步，得
為股圓差也（合為小股）。置南行步以斜行步乘之，得
太，合以小股除之。不受除，便以此為大弦（內帶小股分母）。再置南行步以小股乘之，得
為大股（亦帶小股分母）。以大股減大弦，得
為小差也。合以大差乘之，緣於內帶大差分母，更不須乘，便以為半段黃方冪（更無分母）。又二之得
為一段黃方冪（寄左）。然後以天元冪為同數，與左相消得
。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
依前問：假令乙出南門東行不知步數而止，甲從乾南行六百步望乙與城相直，複就乙斜行四百八步。
法曰：二行差冪乘甲南行為實，二之二行差以乘南行步為益方，二之二行差為隅。得半徑。
草曰：識別得二行相減即半城徑與乙東行共也。得此數更不須用斜。立天元為半徑，減於二行差一百九十二，得
即半梯頭也。又以二天元減甲南行步，得
為股率，又以一百九十二為勾率。乃置甲南行以勾率乘之，得，合股率除，不除便以此為大勾（內寄股率分母）。再置天元以股率乘之，得，以減於大勾得
為半梯底也。頭底相乘得下
為半城徑冪也（內寄股率分母。寄左）。然後以股率乘天元冪為同數，與左相消得
。開平方得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：東門南不知遠近有樹，甲從乾隅南行六百步見樹，複向樹斜行五百一十步至樹。問答同前。
法曰：二之差步乘二之甲南行為實，並二之差步二之甲行步為從，二益隅（若欲從簡，上下俱折半）。
草曰：別得二行相減數即虛積之股也。立天元一為圓徑，內減二之差步，得
為梯頭於上，又以天元減於二之甲行步，得
為梯底。上、下相乘，得
為圓徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得
。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：乙出東門直行不知步數而立，甲從乾隅南行六百步望見乙，複就乙斜行五百四十四步與乙相會。問答同前。
法曰：以二行步相減乘甲南行步，得數，又半之南行步以乘之為實；以二行差乘南行步於上，又以半之南行步乘南行步加於上為從方；二之南行步為益廉，一步常法。得半徑。
草曰：別得二行相減即平積上勾股較（此股即半徑也）。又別得是大勾圓差不及平弦數立天元一以為半城徑，以減南行步，得
為中股，其斜行步即中弦也。乃立半城徑以斜行步乘之，得
元，合以中股除。今不受除，便以此為平弦（內帶中股分母）。又以二行步相減，餘五十六步，為勾圓差不及平弦數。置此數以中股乘之得，複以減平弦，餘得
為小差（內帶中股分母）。乃以二天元減甲南行步為大差，又半之得，以乘小差得
為半徑冪（寄左）。然後以天元自乘，又以中股通之，得
為同數，與左相消得
。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問（翻法在記）。
或問：甲乙二人俱在乾隅，乙東行不知步數而立，甲南行六百步望見乙，複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。
法曰：以二行差乘二行並，開平方，得數內複減二行差，得全徑。
草曰：別得二行相減即勾圓差也。先求大勾。立天元一為大勾。以二行相減餘八十步，以乘二行相並數一千二百八十步，得
太為勾冪，開平方得三百二十步即大勾也。大勾內減去勾圓差，餘二百四十步即城徑也。合問。
或問：南門外不知遠近有樹，甲從乾隅南行六百步，望樹與城參相直，複就樹斜行二百五十五步至樹。問答同前。
法曰：倍二行相減數內減甲南行，得數複以乘甲南行為實，倍二行相減數為從，二步益隅。得半徑。
草曰：識別得斜行步乃是樹至城心之數也。立天元一為半徑，加斜行步得
為樹至城北門之步也。乃以減於甲南行，得
為小股率，其天元半徑即小勾率，其斜步即小弦數也。再置甲南行步內減天元得
為梯底於上，又置梯底內減二之小股率，得
即梯頭也。複以乘上位得
為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式
。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：東門外不知步數有槐樹一株，甲從乾隅南行至柳樹下，望見槐樹，複斜行至槐樹下。甲自雲我共行了一千一百四十四步。乙從艮隅東行望見槐樹與城相直，複斜行至槐樹下。乙自雲我東行步不及斜行五十六步。問答同前。
法曰：甲斜行減於甲南行以乘甲南行，得數複以乘二之甲南行為實；半之甲南行以乘二之甲南行於上，甲斜行減於甲南行，餘複以乘甲南行，又倍之加上位為從方；二之甲南行為益廉，五分隅法。
草曰：識別得五十六步是小差不及平弦數（此小差即勾圓差也）。又為平弦上勾股差，又為甲斜行不及大股。乃副置甲共行在地，其上位加五十六步而半之，得六百步即大股也。其下位減五十六步而半之，得五百四十四步即今弦也。立天元一為圓徑，以半之減於甲南行步，得
為中股，其斜行五百四十四步即中弦也。乃立半天元以斜步乘之，得
元，合以中股除之，今不受除，便以此為平弦（內寄中股分母）。又置勾圓差不及平弦數以中股乘之，得，複以減於平弦，得
為小差（內帶中股分母）。又以天元減甲南行，倍之得
為兩個大差，以乘小差得
為圓徑冪（寄左）。然後以中股乘天元冪，得下式
為同數，與左相消得
。開立方得二百四十步，即城徑也。合問（翻法在記）。
或問：出東門向南行不知步數有柳樹一株，甲從乾隅南行六百步望見柳樹而止。乙出東門直行不知步數望見柳樹與甲相直，卻斜行三十四步至柳樹下。問答同前。
法曰：斜行乘甲南行數，以乘甲行冪為實；斜行乘甲南行冪，又三之為從方；甲行冪內減兩段斜行、南行相乘數為第一廉，二之南行步為第二益廉，二步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，以二之減甲南行得
為大差，以自之得
為大差冪，加於南行冪，得，又半之得
為大弦也，內帶大差
分母，別寄。又置乙斜行以大股六百乘之，得，合大弦除，不除便以此為小股也（內帶大弦分母）。乃以天元減甲南行，得
即半梯底也，以乘小股半梯頭得
為半徑冪於上，此半徑冪內有大弦分母。緣別寄大弦分母元帶大差分母，故又用大差分母
乘上半徑冪，得
為帶分半徑冪也。所帶之分，謂隻帶大弦分母也（寄左）。然後以大弦乘天元冪，得
為同數，與左相消得
。開三乘方得一百二十步，即半城徑也。合問。
又法：置甲行冪於上，又置甲行冪半之以乘上位為實；以斜行乘甲行冪，倍之於上位，又以甲行再自乘加上位為益方；置甲行冪於上，以斜行乘甲南行，倍之，以減上位為第一廉；甲南行步為第二益廉，半步常法。得股圓差。
草曰：立天元一為股圓差（即大差），以自之為冪，以加甲南行冪得
。半之，又以天元除之得
為大弦，其甲南行即大股也。別置乙斜行三十四步以大股乘之，得
太，合大弦除，不除便以為小股（內寄大弦分母）。乃以天元加甲南行步，得
為全梯底也。以乘小股半梯頭，得，又倍之得
為城徑冪（內寄大弦為母。寄左）。乃置天元大差減甲南行，餘為圓徑，以自之得，又以大弦分母乘之得
為同數，與左相消得下式
。開三乘方得三百六十步，即股圓差也。以股圓差減甲南行餘二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲從乾隅南行六百步而止，丙從南門直行，乙出南門東行，各不知步數而立。甲望乙、丙悉與城參相直，既而乙就丙斜行一百五十三步相會。問答同前。
法曰：以甲南行步再自之於上，以斜行步乘甲南行冪，又倍之，減上位為立方實；南行步自之又四之於上，以斜步乘甲南行，又倍之，減上位為益從；六之甲行步為從廉，四步虛常法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，以二之減於甲南行，得
為大差也，以自之得
為大差冪也，乃置甲南行冪內加大差冪而半之，得
為大弦也（內帶大差分母）。又置甲南行冪內減大差冪而半之，得
為大勾也（亦帶大差分母）。乃置斜行步在地，以大勾乘之得，合以大弦除，不除便以此為小勾，內帶大弦為母（其大勾內元有大差分母，不用），即半梯頭也（寄上位）。再置天元半徑以大差乘之，得，以減於大勾得
元為半梯底也。以乘上位得
為半徑冪也（內帶大差及大弦為母。寄左）。然後置天元冪以大差通之，又以大弦通之，得
為同數，與左相消得
。開立方得一百二十步，即半城徑也。合問。
依前問：假令南門外有樹，乙出南門東行不知步數而立（隻雲乙東行步少於樹去城步）。甲從乾隅向南行六百步望樹與乙，悉與城參相直，乙就樹斜行一百五十三步至樹下。問答同前。
法曰：以斜行步乘甲行冪為立方實，以甲行冪半之於上，以斜行步乘甲行步減上位為益從，廉無入，五分虛隅。得大勾、大弦差。
草曰：別得斜步即小弦，小弦得小和即勾弦差也。立天元一為股圓差，以自之為冪，副之，上以加甲南行冪而半之，得
為大弦也（寄大差分母）。下以減於甲南行
冪而半之，得下式
為大勾也（寄大差分母）。乃置斜步以大勾乘之得下，合大弦除，不除便以此為小勾（寄大弦分母），又置斜步以甲南行乘之得
太，合以大弦除為小股，不除而又以同母分通之，得
為同分小股也（隻寄大弦分母。注：大股乘時，無大差分母，故今通之，以齊大勾上所有大差分母也）。又置斜步以大弦通之，得
為通分小弦也。三位相並得
為股圓差也（寄左）。然後置天元大差以大弦分母通之，得
為同數，與左相消得
。開立方得三百六十步，即股圓差也。以股圓差減於甲南行步即城徑也。合問。
或問：東門外不知步數有樹，甲從乾南行六百步而止，乙出北門東行，斜望樹及甲與城參相直，卻就樹斜行一百三十六步。問答同前。
法曰：二行步相乘於上，又半甲南行乘之為實；二行相乘於上，又半甲南行以乘甲南行，加上位為益從；甲南行為從廉，一步益隅。開立方得半徑。
草曰：立天元一為半徑，便以為小股，其斜行步即小弦也。乃以甲南行為大股，以小弦乘之，複以天元除之，得
即大弦也。又倍天元減甲南行，餘
為大差，以減大弦，餘
為大勾也。又倍天元以減勾，得
為小差也。卻以半大差
乘之，得
為半徑冪（寄左）。乃以天元冪相消，得下式
。開立方得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：南門外不知步數有槐樹一株，東門外不知步數有柳樹一株，槐柳二樹相去二百八十九步。有人從乾南行六百步而止，斜望槐、柳與城參相直。問答同前。
法曰：雲數相乘，得又自增乘為三乘方實；斜步冪乘南行步，又二之為益從；二雲數相乘又倍之為益廉，二之斜步為第二從廉，二步常法。得槐至城心步。
草曰：別得槐樹至城心步即人所止至槐樹步也。乃立天元一為槐樹至城心步（即人至槐處）。加於斜步得
為邊弦也，以天元乘之得，合斜步除，不除便以此為邊股（寄斜步分母）。又以斜步乘南行步得
為大股，以邊股減之，餘
為半城徑（寄斜步分母）。以自之得
為半徑冪（內帶斜步冪為母。寄左）。又以天元減斜步得
為叀弦，以天元乘之得，合斜步除，不除寄為母，便以此為半梯頭。以邊股半梯底乘之，得
為同數，與左相消得
。開三乘方得二百五十五步，即槐樹至城心之步也，亦為皇極正股。又自之，得數以減斜冪，餘如平方而一得城心至柳樹步，又為皇極正勾也。勾股相乘倍之為實，如斜步而一，即城徑也。合問。
或問：甲從乾南行六百步而立，乙出南門直行，丙出東門直行，三人相望俱與城相直，而乙、丙共行了一百五十一步。問答同前。
法曰：甲南行為冪，折半又以自之為實，倍共步加甲南行以乘半段甲行冪為從方，甲行乘共數為從廉，一個半甲南行為第二益廉，二分五厘為三乘方隅。
草曰：識別得共步加城徑即皇極和也，又是半徑為勾之弦與半徑為股之弦相和步也。二之此數內減去大弦即皇極勾股內黃方麵也，亦為太虛弦。乃立天元一為大差，以自之，副置二位。上位減於甲南行冪，以天元除之，又折半得
為大勾也。下位加甲南行冪以天元除之，又折半得
為大弦也。其甲南行即大股也。並大勾、大股得下式
即大和也。再立天元減甲南行，得
即圓徑也，加共步得
即皇極和，又是半徑為勾之弦及半徑為股之弦共數也。又倍之得，即全徑為勾之弦及全徑為股之弦共數也。內減大弦得
即小和內黃方麵也。乃置大和
以小黃方麵乘之，得
。合以小和除之，不除便以此為大黃方也（內寄小和為母。寄左）。然後以天元減甲南行得
為大黃方，以小和
為同數，與左相消得
。開三乘方得三百六十步，即股圓差也。以股圓差減於甲南行餘二百四十步，即城徑也。合問。
或問：丙出南門東行，乙出東門南行，各不知步數而立。甲從乾隅南行六百步，斜望乙、丙悉與城參相直，乙就丙斜行一百二步相會。問答同前。
法曰：以斜步乘甲南行冪，又倍之為實；倍甲行冪於上，又以斜步乘二之甲南行加於上為從方；四之甲南行為益廉，四步常法。開立方得半徑。
草曰：別得斜步為小弦也，以斜步減圓徑餘為小和也。乃立天元為半徑，以二之減於甲南行，得
為大差也，以自之得
為大差冪也。置甲南行冪
為大弦也（內帶大差為分母）。又置甲南行冪內減大差冪而半之，得
為大勾也（帶大差分母）。又以大差乘股六百步得，並入大勾得
為大和也（帶大差分母）。乃先以小弦乘大和得下式
（寄左）。又以小和
乘大弦得
為同數，與左相消得下
。開立方得一百二十步，即半徑也。合問。
依前問：假令乙出東門南行，丙出南門東行，各不知步數而立（隻雲丙行步多於乙行步）。甲從乾隅南行六百步，望乙、丙與城參相直，乙複斜行就丙，行了一百二步與丙相會。問答同前。
法曰：以斜步乘甲行冪，又倍之為立方實，甲行冪內加斜行、南行相乘數為從方，甲南行為益廉，半步為隅。得全徑。
草曰：別得相就步即小弦也，小弦得小和為直徑也。立天元一為城徑，以減於甲南行步得
為大差，以自之得
為大差冪也。置甲南行步以自之為冪，副之，上以加大差冪而半之得
為大弦也（內寄大差分母）。下以減大差冪而半之得
為大勾也（內寄大差分母）。乃置相就步在地，以大勾乘之得，合大弦除，不除寄為母，便以此為小勾也，寄大弦母。又置斜步（即相就步也）。以甲南行乘之得，合以大弦除之，不除寄為母，便以此為小股，而又以元分母大差乘之得
為同分小股也，隻寄大弦分母（其大勾內元有大差分母，其大股內卻無分母，故今乘過，複以大差通之，齊分母也）。又置斜行步以大弦通之，得
為小弦也。上三位相並得
為城徑也（內寄大弦分母。寄左）。然後置天元以大弦通之，得
為同數，與左相消，得
。開立方得二百四十步，即城徑也。合問。
大勾一十八問
或問：乙從東門直行一十六步，甲從乾隅東行三百二十步，望乙與城參相直。問答同前。
法曰：甲東行內減二之乙東行，複以乘甲東行為實，四之甲東行內減二之乙東行為從，四益隅。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，以二之加乙東行得為中勾，以中勾減於甲東行得為勾率也。其天元半徑即股率也。置甲東行為大勾，以股率乘之得元，合以勾率除之，不受除，便以此為大股（內帶勾率分母）。再置天元以二之，以勾率乘之得，減於大股餘為股圓差於上（內有勾率分母）。又以二之天元減甲東行，得 為小差，以乘上位得為半段黃方冪（內有勾率分母。寄左）。然後以天元自之，又以勾率乘之，又就分倍之，得為同數，與左相消得。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出東門南行三十步而立，甲從乾隅東行三百二十步，望乙與城參相直。問答同前。法曰：甲乙相乘為實，甲東行為從，二虛法。平開得半徑。
草曰：識別具見大股第二問中。立天元為半徑，內減乙南行得為虛股，以乘通勾甲東行，得為半段城徑冪（寄左）。然後以天元自之，又就分二之得為同數，與左相消得。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出南門直行一百三十五步而立，甲從乾隅東行三百二十步望見乙。問答同前。
法曰：以乙南行乘甲東行冪為實，二之乙南行乘甲東行為從方，廉空，二步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，以二之加於乙南行得為股率，以天元減甲東行得為勾率。乃置乙南行以勾率乘之得，合股率除，不除便以此為小勾，此即半梯之頭（內帶股率分母）。又以勾率乘之，得為半徑冪（內帶股率分母。寄左）。乃以股率乘天元冪，得為同數，與左相消得。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出南門東行七十二步，甲從西北隅取直東行三百二十步見乙。問答同前。法曰：二行相乘為實，以乙東行為從，一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，以減甲東行步，得為梯底，以乙東行七十二步為梯頭，以乘之得為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙從西南隅直東行一百九十二步，甲從西北隅直東行三百二十步望見乙。問答同前。法曰：二行步相乘為實，二行相並為法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，副置之。上以減於乙東行得為梯頭於上，下位減於甲東行得為梯底，以乘上位得為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得。上法下實即半徑也。合問。
或問：乙從坤隅直南行三百六十步而止，甲從乾隅直東行三百二十步望見乙。問答同前。
法曰：二行步相乘倍之為實，二之甲東行為從，一步常法。得城徑。
草曰：立天元一以為城徑，加乙南行得為股，二行步相並得六百八十步為弦，甲東行為勾。勾股相乘得，又倍之得為二直積（寄左）。然後以勾股弦相並得為三事和，以天元乘之得為同數，與左相消得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：東門南不知遠近有樹，甲從乾隅東行三百二十步，望樹與城參相直，複就樹斜行一百七十步至樹。問答同前。
法曰：兩段東行步冪內減兩段東行斜行相乘數為實，二之東行為從，一益隅。
草曰：別得東行步即大勾，斜行步即小弦也。乃立天元一為城徑，減東行步得勾圓差也（今為小勾）。置東行步以斜步乘之得，合以小勾除之。今不受除，便以此為大弦（內帶小勾分母）。再置東行步以小勾乘之，得為大勾，以減大弦得為大差。合以小差乘之（緣內帶小差分母），更不須乘，便以此為半段黃方冪（更無分母）。又二之得為一段黃方冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
依前問：假令乙出東門南行不知步數而止，甲從乾東行三百二十步，望乙與城相直，複就乙斜行一百七十步。
法曰：以甲東行乘二行差冪為實，以甲東行乘二之二行差為益方，二之二行差為隅法。
草曰：識別得二行相減餘一百五十即半城徑與乙南行共數也。得此數更不須用斜。立天元一為半徑，減於二行差得即半梯頭也。又以二天元減甲東行步得 為勾率，又以一百五十為股率。乃置甲東行以股率乘之，得，合勾率除，不除便以此為大股（內寄勾率分母）。再置天元以勾率乘之得，以減於大股得為半梯底也。頭、底相乘得下為半徑冪也（內帶勾率分母。寄左）。然後以勾率乘天元冪，得為同數，與左相消得。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：南門東不知遠近有樹，甲從乾隅東行三百二十步見樹，複向樹斜行二百七十二步至樹。問答同前。
法曰：二之二行差乘二之甲東行為實，並二之二行差及二之甲東行為從，二步益隅。
草曰：別得二行相減餘四十八步即虛積之勾也。立天元一為城徑，內減二之二行差，得為梯頭於上。再置甲東行步以二之，內減天元得為梯底，以乘上位得為城徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問（翻法在記）。
或問：甲從乾隅東行三百二十步而止，乙出南門直行不知步數望見甲，複就甲斜行四百二十五步與甲相會。問答同前。
法曰：二行步相減以乘東行步，得數，又以半之東行步乘之為實；以半之東行步乘東行步於上，以二行步相減餘乘東行步減上位為從；二之東行步為益廉，一步常法。得半徑。
草曰：識別得二行相減是高積上勾股較（此勾即半徑也）。又別得是高弦不及股圓差數乃立天元為半城徑，以減東行步得為中勾，其斜行步即中弦也。又置半城徑以斜步乘之得元，合以中勾除之，不受除，便以此為高弦（內寄中勾為母）。又以二行步相減，餘一百五步為高弦不及股圓差數，置此數以中勾乘之，得 ，加入高弦得為大差於上（內帶中勾分母）。又倍天元減東行步得為小差，又半之得，以乘上位得為半徑冪（內有中勾分母。寄左）。乃以天元自乘，又以中勾乘之得為同數，與左相消得。以立方開得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在乾隅，乙直南行不知步數而立，甲直東行三百二十步望見乙，複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。
法曰：以二行差乘甲東行步，又二之為實，以二之二行差為從，一步常法。
草曰：別得二行步相減餘三百六十步，即股圓差也。乃立天元一為圓徑，以減於甲東行步，得為小差，以東行斜行差三百六十步乘之，得，又倍之得為一段城徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：東門外不知遠近有樹，甲從乾隅東行三百二十步，望樹與城參相直，複就樹斜行一百三十六步至樹。問答同前。
法曰：倍二行相減數，內減甲東行，得數複以乘甲東行為實，倍二行差為從，二步虛常法。得半徑。
草曰：識別得斜行步乃樹至城心步也。立天元一為半徑，加斜行步得即樹至城西門之步也。乃以減於甲東行得下為小勾率，其天元半徑即小股率，其斜步即小弦數也。再置甲東行步內減天元得為梯底於上。又置梯底內減二之小勾率，得，以乘上位得為半徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得下式。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：南門外不知步數有槐樹一株，甲從乾隅直東行至柳樹下，望見槐樹，複斜行至槐樹下，甲自雲：我共行了七百四十五步。乙從坤隅南行望見槐柳與城參相直，複斜行至槐樹下，乙自雲：我南行步多於斜行步一百五步。
法曰：甲東行減於甲斜行，以乘甲東行，得數複以乘二之甲東行為實；半之甲東行，以乘二之東行於上，甲東行減於甲斜行，餘複以乘甲東行，又倍之，減上位為從方；二之甲東行為益廉，五分隅法。
草曰：識別得一百五步是大差多於高弦數，又為高弦上勾股差數。又別得是甲斜行多於東行數也。乃副置甲共行七百四十五步在地，其上位加一百五步而半之，得四百二十五步即甲斜行也。其下位減一百五步而半之，得三百二十步即甲東行也。乃立天元一為圓徑，以半之減於甲東行步，得為中勾，其甲斜行四百二十五步即中弦也。再置天元以半之為小勾，以中弦乘之得，合以中勾除，不除便以為高弦於上（內帶中勾分母）。別置乙多步一百五步，以中勾乘之得為大差多於高弦數也。以加入上位得下式為一個大差也。置甲東行以天元減之，又倍之得為兩個小差，以乘大差得下為一段黃方冪（內帶中勾分母。寄左）。然後置天元冪以中勾通之，得，與左相消得。開立方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：出南門直行，不知步數有槐樹一株；出南門東行，不知步數有柳樹一株；槐柳斜相距一百五十三步。甲從乾東行三百二十步，望槐、柳與城參相直。問答同前。
法曰：二行相乘訖，又以乘甲東行冪為實；斜行乘甲東行冪，又三之為從方；甲東行冪內減兩段二行相乘數為第一廉，二之甲東行為益二廉，二步常法。開三乘方，得半徑。
草曰：立天元一為半徑，以二之減於甲東行，得為小差，以自之得，加於甲東行冪，複半之得為大弦（內帶小差分母）。又置斜相距步，以大勾乘之得 太，合大弦除，不除便以此為小勾（內帶大弦分母）。乃以天元減甲東行數，得為半梯底，以乘小勾半梯頭，得為半徑冪於上，此半徑冪內有大弦分母，此大弦分母元帶小差分母，故先用小差分母以乘上半徑冪，得為半徑冪也，內隻帶本大弦分母（寄左）。然後以大弦乘天元冪，得為同數，與左相消得下。開三乘方得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：甲從乾隅東行三百二十步而止，丙出東門南行，乙出東門直行各不知步數而立，甲回望乙、丙悉與城參相直，既而乙就丙斜行三十四步相會。問答同前。
法曰：甲東行再自之於上，以二之斜行步乘甲東行冪減上位為立方實，兩段東行冪內減兩段東行、斜行相乘數為益從，以甲東行加五為從廉，五分虛隅。得全徑。
草曰：立天元一為城徑，以減於甲東行步，得為小差，以自之得為小差冪也。乃置甲東行冪內加小差冪而半之，得為大弦也（內帶小差分母）。又置甲東行冪內減小差冪而半之，得為大股也（內帶小差分母）。乃置斜行步在地，以大股乘之得，合以大弦除之，不除而又倍之得為梯頭也（即兩個小股內寄大弦為母。權寄）。乃置天元圓徑以半之，以小差分母通之，得，以減於大股，餘得元，又倍之得元為梯底也（即兩個邊股，內亦有小差分母）。以乘權寄得為城徑冪也（內寄大弦及小差分母。寄左）。然後以天元自之為冪，以大弦通之，又以小差通之得為同數，與左相消得。開立方得二百四十步，即城徑也。合問。
依前問：假令東門外有樹，乙出東門南行，不知步數而立（隻雲樹去城步少於乙南行步）。甲從乾隅向東行三百二十步，望乙與樹悉與城參相直，乙複就樹斜行三十四步到樹。問答同前。
法曰：甲東行自之，又以斜步乘之為立方實；以斜行乘甲東行於上，以半段甲東行冪內減上位為從；廉空，半步常法。得勾圓差。
草曰：別得乙斜行即Ａ１弦也，Ａ１弦得小勾股即大股弦較也。乃立天元一為勾圓差，以自之為冪，副之，上以加於甲東行冪而半之，得為大弦也（寄小差分母）。下以減於甲東行冪而半之，得為大股也（寄小差分母）。乃置斜步以大股乘之，得，合大弦除，不除便以此為小股（寄大弦分母）。又置斜步以甲東行乘之得太，合大弦除，不除便以此為小勾，而又以通母分通之得元為同分小勾也（寄大弦分母。注：大股乘時有小差分母，今大勾無母，故又以齊同之）。又置斜步以大弦通之得為同分小弦也。三位相並得為勾圓差也（寄左）。然後置天元以大弦通之，得為同數，與左相消得。開立方得八十步，即勾圓差也。以勾圓差減於甲東行步，餘二百四十即城徑也。合問。
或問：南門外不知步數有樹，甲從乾東行三百二十步而立，乙出西門便南行，望樹及甲與城參相直，卻就樹斜行二百五十五步至樹。問答同前。
法曰：二行相乘於上，以半之甲東行乘之為實；二行相乘於上，又半之甲東行以乘甲東行加上位為益從；甲東行為從廉，一步虛法。開立方得半徑。
草曰：立天元一為半徑，便以為小勾，其斜行即小弦也。乃以甲東行為大勾，以小弦乘之，複以天元除之得即大弦也。又倍天元減東行餘為小差，以減大弦，餘為大股也。又倍天元以減股，餘為大差也。卻以半小差乘之得下式為半徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得下式。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：南門外不知步數有槐樹一株，東門外不知步數有柳樹一株。槐柳相距二百八十九步，甲從乾東行三百二十步，斜望槐柳與城參相直。問答同前。
法曰：二行相乘，得數又自增乘為實；斜步冪乘甲東行，又倍之為益從；兩行相乘又倍之為益廉，二之斜步為第二廉，二步常法。開三乘方得柳至城心步。
草曰：別得柳至城心步即甲立處至柳樹步也。立天元一為柳至城心步，加斜步得為底弦，以天元乘之得，合斜步除，不除便以此為底勾（寄斜步分母）。乃再置通勾以斜步乘之得太為帶母通勾，內減底勾餘式為半徑，以自之得為半徑冪，內帶斜步冪分母（寄左）。乃以天元減斜步得為明弦，以天元乘之得 ，合斜步除，不除便以此為半梯頭（寄斜步為母）。複以底勾半梯底乘之，得為同數，與左相消得。開三乘方得一百三十六步，即柳至城心步也。合問。
或問：甲從乾隅東行三百二十步而立，乙出城東行，丙出城南行，三人相望俱與城相直。乙丙共行了一百五十一步。問答同前。
法曰：以甲東行為冪，折半，又以自之為三乘方實；倍共步加甲東行，以乘半段甲行冪為從方；甲行乘共數為從廉，甲東行加五為第二益廉，二分五厘常法。得小差。
草曰：別得乙丙共行步即明股Ａ１勾共也。立天元一為小差，以自之，副置二位。上位減於甲東行冪，以天元除之，又折半得即大股也。下位加甲行冪，以天元除之，又折半得為大弦也。其甲東行即大勾也。並大勾、大股得即大和也。再立天元以減甲東行步，得即圓徑也。以圓徑加共步，得即皇極和也（即小和，又為高弦平弦共數）。又倍之得即黃長弦、黃廣弦共也，內減大弦得下式為皇極內小黃方也（亦為虛弦）。再置大和以小黃方乘之，得下式，合以小和除之，不除便以此為城徑，內寄小和為母（寄左）。然後以天元減甲東行得為大黃方，以小和乘之得為同數，與左相消得。開三乘方得八十步即小差也。以小差減甲東行，餘二百四十步，即城徑也。合問。
或問：丙出南門東行，乙出東門南行，各不知步數而立。甲從乾隅東行三百二十步，望乙、丙悉與城參相直。乙就丙斜行一百二步相會。問答同前。
法曰：甲東行自之於上，倍斜行步乘之為立方實；倍斜行步乘甲東行於上，加兩段甲東行冪為從；四之甲東行為益廉，四為隅法。得半城徑。
草曰：別得斜步即小虛弦，減於全徑即小和也。乃立天元一為半徑，以二之減於甲東行得為小差也。以自之得為小差冪也。置甲東行冪內加小差冪而半之，得下為大弦（內帶小差分母）。置甲東行冪內減小差冪而半之，得為大股也，內亦帶小差為母。又以小差乘大勾得，並入大股得為大和也（帶小差母）。乃先以小弦乘大和得下（寄左）。次以斜步減於二天元得為小和，以乘大弦得下式為同數，與左相消得。開立方得一百二十步，即半城徑也。合問。
依前問：假令乙出東門南行，丙出南門東行，各不知步數而立（隻雲丙行步多於乙行步）。甲從乾隅東行三百二十步，望乙、丙與城參相直。其乙、丙共行了一百二步。問答同前。
法曰：倍共步以乘甲東行冪為立方實；共步乘甲東行於上，又以甲東行自之，加上位為益從；甲東行為從廉，五分虛常法。得城徑。
草曰：別得共步便為小弦，得小勾、小股即與圓徑同。立天元為城徑，以減甲東行得為小差，以自之得為小差冪也。乃置甲東行以自之為冪，副之。上以加小差冪而半之，得為大弦也（內寄小差分母）。下以減小差冪而半之，得下為大股也（內寄小差分母）。乃置共步在地，以大股乘之得，合大弦除，不除便以此為小股也（寄大弦分母。）又置共步，以甲東行乘之得，合以大弦除，不除便以此為小勾，而又以元分母小差乘之，得為同分小勾也（隻寄大弦分母。注：其大弦內元帶小差分母，其大勾內卻無分母。故今乘過，複以小差通之，齊同其分母也）。又置共步以大弦通之，得，同分小弦也。三位相並得為城徑也（內有大弦分母。寄左）。然後置天元城徑，以大弦分母通之，得為同數，與左相消得。開立方得二百四十步，即城徑也。合問。
明Ａ１前一十八問
或問：出南門東行七十二步有樹，出東門南行三十步見之。問答同前。
法曰：倍南行以乘倍東行為平實，並二行又倍之為從，一虛隅。得城徑。
草曰：識別得此問名為弦外容圓，又為內率求虛唬粒保其二行步相並為虛弦，若以相減即虛較也。又倍東行為弦較和，倍南行即弦較較，此二數相乘則兩虛積也。若直以二行相乘，則半個虛積也。又倍東行減於城徑，餘即二虛勾也。倍南行減於城徑則二虛股也。虛積上三事和即城徑也。乃立天元一為圓徑，便以為三事和也。倍二行步減之，得為黃方一，天元乘之得為二虛積（寄左）。然後倍東行以乘倍南行，得八千六百四十為同數，與左相消得。益積開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
又法：二行步相乘為實，二行步相並為從，一步虛法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，副置二位。上加東行步得為大差勾，下加Ａ１股得為小差股。此二數相乘得下式為半段黃方冪（寄左）。然後立天元以自之，又二之，與左相消得。益積開平方得一百二十步，即半城徑也。
又法：二雲數相乘倍之於上，加雲數差冪，權寄。並二雲數又自增乘，得數內減上位為平實，並雲數而倍之為從，二步益隅。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，副之。上減明勾得下為虛勾，下減Ａ１股得為虛股。勾股相乘得，又倍之得，又加二行差冪，得為弦冪（寄左）。然後並雲數，以自之得於太極位，為同數，與左相消得。益積開平方得一百二十步，即半城徑也。
又法：雲數相乘又倍之為平實，雲數相減為從，一常法。得虛勾。
草曰：立天元一為虛勾。以南行減東行餘四十二步為虛較也。以虛較加天元得為虛股，以天元乘之得下為直積（寄左）。然後倍南行乘東行得，與左相消得。開平方得四十八步，即虛勾也。以勾除積得九十步，即虛股也。並勾股得為虛和也，內加入二行並得，即圓徑也。
又法：並二行步以自乘於上，又倍南行乘倍東行，加上位為平實，一隅法。得小和。
草曰：立天元一為小和。並二行步加之得為三事和也。倍二行步而並之得，以減三事和，餘為黃方，卻以三事和乘之，得下為二虛積也（寄左）。乃倍南行以乘倍東行，得為同數，與左相消得。開平方得一百三十八步，即虛和也。加入二行步得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：丙出南門直行一百三十五步而立，甲出東門直行一十六步見之。問答同前。
法曰：以丙行步一百三十五再自之，得二百四十六萬三百七十五於上。又以甲行一十六乘丙行冪一萬八千二百二十五，得二十九萬一千六百，以乘上位，得七千一百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實；以二行步相乘又倍之得四千三百二十，以乘丙行步再自之數，得一百六億二千八百八十二萬為益從；第一廉空；以甲行乘丙行冪，得二十九萬一千六百，又倍之得五十八萬三千二百於上，四之甲行冪一千二十四，以乘丙行步，得一十三萬八千二百四十，減上位餘四十四萬四千九百六十為第二廉；二行步相乘得二千一百六十為虛常法。得丙行步上勾弦差八十一。
草曰：識別二數相並，得一百五十一。以減於皇極弦，餘一百三十八，即虛勾虛股並也。若以二數相減，餘一百一十九為高弦內減平弦，又為皇極弦內少個小差弦，又為大差弦內減個皇極弦也。立天元一為丙行大差數。置丙行步一百三十五，自乘得，用天元除之，得為勾弦並也。上減天元得為二丙勾也。複用丙南行乘之，得為二積也。又以天元除之，得為丙勾外容圓半（泛寄）。別置丙南行用二甲勾乘之，得太，合用二丙勾除之。不受除，便以此為甲股（內寄二丙勾為分母）。複用二甲勾三十二乘之，得太為二個甲直積也。又置丙南行內減天元，得為黃方，以自乘得為丙上勾弦差乘股弦差二段，以天元除之得為兩個丙小差也。乃用甲股乘之，得下式。複用丙南行除之，得 ，又折半得下式為一個甲步股弦差也，內亦帶前二丙勾分母。複置兩個甲直積，內已寄此甲股弦差分母，便為甲步股外容圓半（寄左）。乃再置先求到泛寄，用甲股弦差分母乘之，得為同數，與左相消得下式。開三乘方得八十一步，即丙步上勾弦差也。《鈐經》載此法，以勾弦差率冪減丙行冪，複以丙行乘之為實，以差率冪為法，如法得徑。此法隻是以勾外求圓半。合以大差除倍積，而今皆以大差冪為分母也。依法求之，勾弦差八十一自之得六千五百六十一，以減於丙行冪一萬八千二百二十五，餘一萬一千六百六十四，複以丙行一百三十五乘之，得一百五十七萬四千六百四十為實，以大差冪六千五百六十一為法，如法得二百四十步，即城徑也。
又法：二行相乘，得數又自之為三乘方實；並二行步以乘二行相乘數，又倍之為從；二行相並數以自乘於上，又二行相減數自乘減上位為第一廉；第二廉空，一益隅。益積開之，得半徑（其第一廉隻是四段二行相乘數）。
草曰：立天元一為半城徑，副置之。上加南行步得為股，下位加東行步得為勾。勾股相乘得為直積一段。以天元除之得為弦，以自之，得為弦冪（寄左）。乃以勾自之，得，又以股自之，得，二位相並得為同數，與左相消，得。益積開三乘方，得一百二十步，即半城徑也。
又法：條段同前。
草曰：依前求得勾股率。置出南門步為小股，以勾率乘之得，合以股率除，不除寄為母，便以此為半梯頭於上。又置南行步加二天元，得為大股，以勾率乘之，得，合以股率除，不除寄為母，便以此為梯底。以乘上位，得為半徑自乘數，內帶股率冪為母（寄左）。然後置天元以自之，又以股率冪乘之，得下 為同數，與左相消。所得一如前答。
又法：以二行差冪數自乘，又倍之為實；並二行步以乘二行差冪，又四之為益從；四段南行冪內減二段差冪於上，又二段差冪內減四段東行冪，餘以減上位為第一廉；四之二行共為第二廉，二步虛法。益積開之，得皇極弦二百八十九。
草曰：立天元一為皇極弦，以自之為弦冪於上。以二行步相減餘，以自之，得為較冪，以減上得為二直積。複以天元除之，得為一個城徑也，副置之。上位加二之東行步，得為二勾也。以自增乘得為四段勾冪於上。下位加二之南行，得為二股也。以自增乘得為四段股冪也。並入上位得下式為四段弦冪（寄左）。然後以天元為冪，就分四之為同數，與左相消得下。益積開三乘方，得二百八十九步即皇極弦也。欲見城徑者，別立天元半徑，副之。加東行為勾，加南行為股，勾股各為冪，並之，與弦冪相消，開方得半城徑也。
又法：以二行差一百一十九自乘，得一萬四千一百六十一為差冪。以東行步乘之，得二十二萬六千五百七十六為泛率，又自增乘得五百一十三億三千六百六十八萬三千七百七十六為五乘方實。倍東行步得三十二，以二行差一百一十九乘之得三千八百八為小泛。以乘泛率，又倍之得一十七億二千五百六十萬二千八百一十六為從方。並兩行而倍之，得三百二，以乘泛率，得六千八百四十二萬五千九百五十二於上位，以小泛冪一千四百五十萬八百六十四加入上位，共得八千二百九十二萬六千八百一十六為第一廉。並兩行而倍之，得三百二，以乘小泛，得一百一十五萬一十六為寄數。倍二行差以乘差冪得三百三十七萬三百一十八，內減寄數餘二百二十二萬三百二為第二益廉。六段二行差冪八萬四千九百六十六，內減二行並數冪二萬二千八百一，餘六萬二千一百六十五為第三益廉。六之二行差七百一十四為第四益廉，二步虛法。得Ａ１弦三十四步。
草曰：立天元一為皇極弦上股弦差（即東行步上斜也，亦謂Ａ１弦）。以天元加二行差，得，即明弦也（此即皇極弦上勾弦差也）。以天元乘之，又倍之得 ，即皇極內黃方冪也（泛寄）。置皇極弦上勾弦差以東行步乘之，得，以天元除之，得為明勾也。又置天元以南行乘之，得，合用明弦除，不除寄為母，便以此為Ａ１股於上（寄明弦母）。乃再置明勾以明弦乘之，得，亦為帶分明勾，加入上位，得，即是一個虛弦也。以自增乘得下式為一段虛弦冪也，內帶明弦冪分母（寄左）。然後置明弦以自之，得為明弦冪，以乘泛寄，得為同數，與左相消得下式。開五乘方，得三十四步為東行步上斜步也（即Ａ１弦）。其東行步得，即Ａ１勾也。勾弦各自為冪，以相減餘九百步，開方得三十步即Ａ１股也。既各得此數，乃以股外容圓半法求圓徑，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：出東門一十六步有樹，出南門東行七十二步見之。問答同前。
法曰：二行步相減得數，以自之於上。又以出東門步自之，減上位為平方實，二之出南門東行步為益從，一步常法。翻開得半徑。
草曰：別得人到樹即平弦也，半圓徑即平股也。其東行七十二步則平勾平弦差也。乃立天元一為半圓徑，加一十六減七十二，得為勾也。以自之得為勾冪。又加入天元股冪得為弦冪（寄左）。再立天元一為半徑，加出東門步，得即弦也。以自之得為同數，與左相消得。翻法開之得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：出南門一百三十五步有樹，出東門南行三十步見之。問答同前。
法曰：樹去城步內減南行步，餘以為冪於上，又以樹去城步為冪內減上位為平實，倍樹去城步為從，一虛隅。翻法得半城徑。
草曰：別得人距樹即高弦也，半圓徑即高勾也，其南行三十步即高弦上小差也。乃立天元一為半徑，加樹去城步為弦，內減小差，得即股也。以自之得 為股冪，內加入天元冪，得為弦冪（寄左）。再置弦以自之，得為同數，與左相消，得式。翻開得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：乙出東門不知遠近而立，甲出南門東行七十二步望見乙，就乙斜行一百三十六步與乙相會。問答同前。
法曰：以斜行步自之於上，以二行相減餘自為冪，減上位為平實，從空，一步常法。如法得半徑。
草曰：別得七十二步即大差也，斜行即弦，半徑即股也。立天元一為半徑，以自之為股冪，又以二行差六十四以自之得為勾冪。並二冪得為弦冪（寄左）。然後以斜行步自之，得為同數，與左相消得。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：甲出南門不知遠近而立，乙出東門南行三十步望見甲，卻就甲斜行二百五十五步與甲相會。問答同前。
法曰：二行差自之為冪，以減於斜行冪為平實，一虛隅。得半徑。
草曰：別得南行步即股弦差也，斜步即弦也，半徑即勾也。乃立天元一為半城徑，以自之為冪。以二行相減餘二百二十五，以自之得為股冪。二冪相並得 為弦冪（寄左）。然後以斜行步自之，得為同數，與左相消得下。開平方得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：甲出南門東行不知步數而立，乙出東門南行三十步望見甲，斜行一百二步相會。問答同前。
法曰：二行相減，餘以乘乙南行，四之於上，又加入斜行冪為平實。得虛和一百三十八。
草曰：別得斜步內減南行為甲東行步也。此問以弦外容圓入之，以二行相減數乘乙南行三十步，得，又四之，得為二直積也。又加入斜步冪，共得即和冪也。平方而一，得一百三十八步，即虛和也。又加斜步得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：乙出東門南行不知步數而立，甲出南門東行七十二步望見乙，斜行一百二步與乙相會。問答同前。
法曰：倍相減步以乘倍東行，得數複以減於斜步冪，餘為實。平方而一，得較也。又以二行相減數乘倍東行為平實，以較為從方，得勾。勾較共為長，又以斜步並入勾股共，即城徑。
草曰：別得二行相減餘為乙南行步也。以此數又減於甲東行，餘四十二步即較也。又以二行相減數乘倍東行得為平實，以較為從。平方開得四十八即勾也。勾內加較得九十步即股也。勾股共得一百三十八，又加入斜步，共得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：乙出南門東行，甲出東門南行，兩相望見。既而乙雲：我東行不及城徑一百六十八步。甲雲：我南行不及城徑二百一十步。問答同前。
法曰：半甲不及步以自之為冪，半甲不及步內減差以自之為冪。二冪相並內卻減差冪為平實，四之甲不及內減三之乙不及，餘為益從，三步半虛法。得甲南行。
草曰：別得乙不及為虛勾、半徑共，又為徑內減明勾也。甲不及為虛股、半徑共，又為徑內減Ａ１股也。又二雲數相並為虛和、圓徑共也，雲數相減即虛較也。乃立天元一為甲南行，以減於甲不及步又半之，得為虛股也。虛股內減虛較得為虛勾。勾自之得為勾冪也，又股自之得下式為股冪也。二冪相並得為弦冪（寄左）。然後以天元加虛較得為乙東行。又加入天元甲南行得為虛弦，以自之得為同數，與左相消得。開平方得三十步，即甲南行也。內加少步，即城徑也。合問。
或問：丙出南門直行，甲出東門直行，兩相望見。既而丙雲：我行少於城徑一百五步。甲雲：我行少於城徑二百二十四步。問答同前。
法曰：二少步相乘訖，又自乘為實；六之共步，乘雲數相乘數為益從；十八之雲數相乘於上，又三之共步，自乘加上位，內複減丙少步冪、甲少步冪為從廉；四十八之共步為益二廉，六十三步常法。翻法開三乘方，得一百二十步，即半徑。
草曰：別得雲數共減於倍城徑為甲丙共行數。又雲數相減即皇極差，亦為甲行不及丙行數。立天元一為半城徑，以三之，副置二位。上位減丙少步，得為皇極股也，下位減甲少步得為皇極勾也。勾股相乘得，以天元除之，得為弦也。弦自之得為弦冪（寄左）。然後以股自之得下為股冪於上，又以勾自之得 為勾冪，並以加入上位，得為同數，與左相消得。翻法開三乘方得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：甲出東門直行，乙出南門直行，各不知步數而立。乙望見甲，就甲斜行了二百八十九步與甲相會。其二直行共得一百五十一步。又雲甲直行少於乙直行。問答同前。
法曰：斜冪內減共步冪為平實，倍共步內減斜步為從，一常法。得徑。
草曰：別得共數、城徑並即皇極和也。立天元一為圓徑，加共步得為皇極和，以自之，得於上。以斜行冪減上位餘為二直積（寄左）。然後以天元乘斜步得，與左相消得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲出東門直行，乙出東門南行，丙出南門直行，丁出南門東行，各不知步數而立。四人遙相望，悉與城參相直。隻雲甲、丙共行了一百五十一步，乙、丁立處相距一百二步。又雲丙直行步多於甲直行步。問答同前。
法曰：共步、距步相減，得數自之於上，以共步為冪內減上為平實，二之距步內減共步、距步差為從，一步虛法。得城徑。
草曰：別得共步得城徑即皇極和也，相距步即虛弦也。皇極和內減虛弦即皇極弦也。又共步、距步差即皇極弦內減城徑也（此名旁差）。乃立天元一為城徑，加共步得為皇極和也，以自之得於上，以共步、距步差加天元得為皇極弦也，以自之得下式，減上位餘得為二直積（寄左）。然後以天元徑乘皇極弦，得為同數，與左相消得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲出南門東行不知步數而立，乙出東門南行望見甲，複就甲斜行，與甲相會。乙通計行了一百三十二步，其乙南行步不及斜行七十二步，其甲東行卻多於乙南行。問答同前。
法曰：倍不及步在地，以不及步減通步以乘之為實，以四之不及步為法。得乙南行三十步。
草曰：別得乙南行即Ａ１股也，以減通步即虛弦也，以減不及步即虛較也，其不及步即甲東行也。立天元一為乙南行，置不及步以天元乘之，又四之得元為二直積（寄左）。然後倍不及步以為弦較和於上。以不及步減通步得為弦較較。以乘上位得太為同數，與左相消得。上法下實，得三十步為乙南行也。餘各以數求之。
又法：別得通行步為兩個乙南行、一個甲東行共也。其不及步即東行步也。雲步相並即兩個虛弦，相減即兩個乙南行也。
或問：甲出南門東行不知步數而立。乙出東門南行，望見甲，複斜行與甲相會。二人共行了二百四步，又雲甲行不及共步一百三十二。問答同前。
法曰：別得二行共即兩個虛弦也，其不及步即乙南行與一虛弦共也。置不及步內減一弦餘三十步，即乙南行也。以乙南行反以減虛弦，餘七十二步即甲東行也。以乙南行減甲東行餘即虛較也。
此問無草。
或問：乙出東門南行，甲出西門南行，甲望見乙，斜行五百一十步相會。乙雲：我南行少於城徑二百一十步。問答同前。
法曰：少步冪為平實，四斜步內減二少步為益從，五步常法。得乙南行。
草曰：別得少步為徑內減Ａ１股。立天元一為乙南行，以二之減於倍斜行步，得為梯底也。以二之天元乘之，得為徑冪（寄左）。再置天元加少步，得下式為城徑，以自之得，與左相消得。開平方得三十步，即乙南行也。加少步即城徑也。合問。
或問：乙出南門東行，甲出北門東行，甲望見乙，斜行二百七十二步與乙相會。乙雲：我東行不及城徑一百六十八步。問答同前。
法曰：以不及步冪之為實，四斜內減二之不及步為虛從，五常法。平開得乙東行七十二步。
草曰：別得不及步為城徑減明勾也。立天元一為乙東行，以倍之減於二之斜行步，得下為梯底也。倍天元乘之，得為徑冪（寄左）。再置天元加不及步，得為城徑，以自之得為同數，與左相消得。開平方得七十二步，即乙東行也。加入少步即城徑也。合問。
或問：乙出南門東行，丁出東門南行，卻有甲丙二人共在西北隅，甲向東行，丙向南行，四人遙相望見，俱與城參相直。既而相會，甲雲：我多乙二百四十八步。丙雲：我多於丁五百七十步。問答同前。
法曰：二多步相乘為平實，並二多步而半之為從，七分半常法。得城徑。
草曰：別得甲多步為大勾內減明勾也，丙多步為大股內少Ａ１股也。又乙東行得一虛勾為半徑，丁南行得一虛股為半徑。又二多數相並得為大和內少虛弦也，又二少數相減餘為兩個角差。又甲多步內減半徑即勾方差也，丙多步內減半徑即股方差也。立天元一為城徑，以半之減於甲多步得為勾方差，又以半徑減於丙多步得為股方差。二差相乘得為徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲丙二人俱在西北隅，甲向東行，丙向南行。又乙出南門東行，丁出東門南行，各不知步數而立。四人遙相望見，悉與城參相直。既而相會，甲雲： 我與乙共行了三百九十二步。丙雲：我與丁共行了六百三十步。問答同前。
法曰：甲乙共自之為冪，丙丁共自之為冪，二冪又相乘為三乘方實。甲乙共自之為冪，以丙丁共乘之於上。又以丙丁共自之為冪，以甲乙共乘之加上位為益從。甲乙共自之為冪，丙丁共自之為冪，並，以七分半乘之於上。又以甲乙共乘丙丁共，得數減上位為第一益廉。並二共數，以七分半乘之為第二廉。以七分半自之，得五分六厘二毫五絲於上位。以一步內減上位，餘四分三厘七毫五絲為虛隅。得城徑。
草曰：別得甲為大勾，乙為明勾，丙為大股，丁為Ａ１股也。甲乙共內減半徑即是黃長弦也，丙丁共內減半徑即黃廣弦也。黃長弦、黃廣弦二數相減，餘為兩個皇極差也。乃立天元為城徑，半之副置二位。上以減於甲乙共數，得即黃長弦也，以自之得為黃長弦冪也，內減天元一冪，餘得下式為勾方差冪也。下位以減於丙丁共，得下式即黃廣弦也，以自之得為黃廣弦冪也，內減天元一冪，餘得為股方差冪也。再以勾方差冪、股方差冪相乘，得為徑冪（寄左）。然後以天元為冪，又以冪自之，與左相消得下式。開三乘方得二百四十步，即城徑也。合問。
明Ａ１後一十六問
或問：出南門向東有槐樹一株，出東門向南有柳樹一株。丙丁俱出南門，丙直行，丁往至槐樹下。甲乙俱出東門，甲直行，乙往至柳樹下。四人遙相望見，各不知所行步數隻雲丙丁共行了二百七步，甲乙共行了四十六步，又雲甲丙立處相距二百八十九步。問答同前。
法曰：以二共相減數又以減距數為實，二為法。得平勾。
草曰：識別得丙丁共即明和也，甲乙共即Ａ１和也，相距步即極弦也。二共相並即極弦內少個虛黃也，又為極和內少個虛和也。二共相減餘為平勾高股差也，又為虛差極差共也，又為通差內減極差也。立天元為平勾，加入二共相減數，得為高股，又加天元得為極弦（寄左）。以相距步二百八十九與左相消，得 。上法下實，如法得六十四，即平勾也。以二共相減數加平勾得二百二十五為高股，複以平勾乘之，得一萬四千四百步。開平方得一百二十步，即城半徑也。合問。
又法：二共數並，以減相距數，餘者半之為泛率。以泛率加丙丁共為長，以泛率加甲乙共為闊。長闊相乘為平方實。得半徑。
草曰：置極弦內減二共並數，餘三十六步即虛黃也。半之，副置二位。上以加明和得二百二十五步為高股也，下以加Ａ１和得六十四步為平勾也。二位相乘得一萬四千四百步。開平方得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：依前見丙丁共二百七步，甲乙共四十六步。又雲二樹相去一百二步。問答同前。
法曰：以甲乙共乘樹相去步，得數又以自之為平實；從空；並二共數為冪於上，內減甲乙共自之數、丙丁共自之數為益隅。得Ａ１弦。
草曰：識別得兩樹相去步即虛弦也。餘數具前。立天元一為Ａ１弦。置明和以天元乘之，合Ａ１和除，不除，便以元為明弦也（內帶Ａ１和分母）。乃置虛弦以分母Ａ１和乘之，得太，加入明弦，得為極股也，內帶Ａ１和分母。以自之得下式為極股冪（內寄Ａ１和冪為分母）。又以天元加虛弦得下為極勾，以自之得。又以Ａ１和冪乘之，得為勾冪也。勾股冪相並得為兩積一較冪也，內有Ａ１和冪分母（寄左）。然後置明弦元於上，以Ａ１和乘天元加上位，得 元為二弦並也。又置虛弦以Ａ１和乘之得太，並入上位，得下式為極弦，以自之得為同數，與左相消得。開平方得三十四步，即Ａ１弦也。
又法：以樹相去步自之，又以甲乙共乘之為平實，從空，倍丙丁共為虛隅。得Ａ１弦。
草曰：立天元一為Ａ１弦。依前術求得明弦元，便以為皇極勾弦差也（內帶Ａ１和分母）。以天元Ａ１弦便為皇極股弦差，以乘之，又倍之，得為虛弦冪（內有Ａ１和分母。寄左）。然後以虛弦自之，又以分母乘之，得四十七萬八千五百八十四為同數，與左相消得。開平方得三十四步，即Ａ１弦也。合問。
或問：皇極大小差共一百八十七步，明黃、Ａ１黃共六十六步。問答同前。法曰：後數自乘為實，前後數相減，餘為法。得虛黃方三十六。
草曰：別得一百八十七即明Ａ１二弦共也，其六十六即太虛大小差共也。又二數相並，得即明、Ａ１二和共。若以相減，餘即明、Ａ１四差共也。立天元一為太虛黃方麵，加二黃共，得即虛弦也。倍虛弦又加天元，得即城徑也。又以虛弦加皇極大小差，得即極弦也，以極弦乘城徑得，為兩段皇極勾股積（寄左）。再以極弦虛弦相並，得，即皇極勾股共也，自之得，內減皇極弦冪，得為同數，與寄左相消得。上法下實，如法得三十六步，即太虛黃方麵也。合問。
或問：東門南有柳一株，南門東有槐一株。甲出東門直行，丙出南門直行。甲、丙、柳、槐悉與城參相直，既而甲就柳樹斜行三十四步至柳樹下，丙就槐樹斜行一百五十三步至槐樹下。問答同前。
法曰：雲數相乘，倍之便為平方實，開方得虛弦一百二步。以此弦加甲行步即極勾，以此弦加丙行步即極股。餘各依法求之。識別：甲斜行即Ａ１弦也，丙斜行即明弦也。無草。
或問：東門南有柳一株，南門東有槐一株。甲出東門直行，丙出南門直行，二人遙相望，槐柳與城邊悉相直。既而甲複斜行至柳樹下，丙複斜行至槐樹下，各不知步數。隻雲丙共行了二百八十八步，甲斜行與柳至東門步共得六十四步。問答同前。
法曰：二雲數相乘於上，以六十四步自之，又二之，減上位為平實。四之六十四於上，倍丙行內減上位為從。二十常法。得甲直行步一十六。
草曰：別得丙共步即明股、明弦和也，六十四即平勾也，內甲斜行即Ａ１弦也，柳至東門步即Ａ１股也。又二雲數相並即明差與極弦共也，二雲數相減即明差與平勾高股差共也。又平勾內減Ａ１勾即虛勾也。立天元一為Ａ１勾。置丙共步以天元乘之，複以六十四除之得為明勾也。又以天元減於六十四，得為虛勾也，並虛明二勾為半徑也。以自之得，倍之得為半段圓城徑冪（寄左）。乃以天元加六十四，得為勾圓差於上；又以明勾加丙共步，得為股圓差於下。上下相乘得為同數，與左相消得。開平方得一十六步，即Ａ１勾也。此Ａ１勾乃甲出東門直行步也。餘皆依數求之。合問。
或問：東門南有柳樹一株，南門東有槐樹一株。甲出東門直行，丙出南門直行，二人遙相望，槐柳與城邊悉相直。既而甲複斜行至柳樹下，丙複斜行至槐樹下，各不知步數隻雲甲共行五十步，丙斜行與槐至南門步共得二百二十五步。問答同前。
法曰：以二百二十五步自之為冪，又以此冪自為冪於上。置甲共行以二百二十五步三度乘之，得數複折半，減上位為平實。置二百二十五步自之數，以二雲數相減數乘之，又倍之於上。倍五十步在地，以二百二十五步自之數乘之，複折半加上位為益從。雲數相減自乘於上，以雲數相乘，複折半，減上位為常法。得明股 。
草曰：識別得甲共步即Ａ１勾、Ａ１弦共也，二百二十五即高股也，內丙斜行即明弦，槐至南門步即明勾也。又二雲數相並即極弦內減一個Ａ１差也，雲數相減即Ａ１差與高股、平勾差共也。又高股內減明股即虛股也。立天元一為明股，即丙出南門直行步也。置五十步以天元乘之得元，合高股除。不除，便以此元為Ａ１股也，內帶高股分母。再置高股內減天元得為虛股，以分母高股乘之，得下式，加入Ａ１股得即半徑也。以自增乘得下為半徑冪也。內帶高股冪為母（寄左）。然後置甲共步以分母高股乘之，得太，加入Ａ１股得為勾圓差於上（內帶高股分母）。又以天元加高股得為股圓差於下。上、下相乘得。又以分母高股乘之，得，複折半得為同數，與左相消得。開平方得一百三十五步，即明股也。合問。
或問：通勾、通弦共一千步，Ａ１勾、Ａ１弦共五十步。問答同前。
法曰：置一千減二之五十步為泛率。以自乘，複半之於上。又置泛率複以五十乘之，加上位為平實。二十二之泛率於上。以四十二乘五十，得數內減泛率，加上位為益從。二百為常法。得Ａ１股。
草曰：立天元一為Ａ１股。置一千以天元乘之，以五十除之，得元為通股也。又以天元加五十步，得即小差也，通股加小差得即通弦也。以通弦減一千得，即通勾也。以小差減通勾得，即圓徑也。以圓徑減通股得即大差也。置大差以小差乘之得（寄左）。然後置圓徑以自之得，折半得，與左相消得 。開平方得三十步，即Ａ１股也。合問。
或問：通勾、通弦共一千步，明勾、明弦共二百二十五步。問答同前。
法曰：以後數再自乘，又以前數乘之為平實；以後數為冪，複以前數乘之為從；以前數冪為虛常法。得明股。
草曰：別得二百二十五步即高股也。立天元一為明股。置一千以天元乘之，合以高股除不受除，便以此一元為通股（內帶高股為母）。以天元加高股，得即大差也。置大差以高股分母乘之，得，即帶分大差也。以此減於通股，餘即圓徑也。以自增乘，得（寄左。內帶高股冪分母）。然後置一千以高股分母通之，得太，內減帶分大差，得為兩個通勾也。內減兩個圓徑得，為兩個小差也。以帶分大差乘之，得下式為同數，與左相消得。開平方得一百三十五步，即明股也。合問。
或問：通股、通弦共一千二百八十步，Ａ１股、Ａ１弦共六十四步。問答同前。
法曰：雲數相乘為平實，前數為益從。置前數以後數除之，得二十為泛率。泛率減一以自乘於上，又倍泛率減一加上位為常法。倒積開得Ａ１勾一十六。
草曰：別得六十四步即平勾也。立天元一為Ａ１勾。置前數以天元乘之，以後數除之，得元即通勾也。又置天元加後數，得即小差也。以小差減通勾，餘 即圓徑也。以自之得（寄左）。然後以小差減於前數，得為二通股。內減兩個圓徑，得為二大差也。以小差乘之得下，與左相消得。開平方得一十六步，即Ａ１勾也。合問。
或問：通股、通弦共一千二百八十步，明股、明弦共二百八十八步。問答同前。
法曰：二數相減，以後數乘之，內減後數冪，又半之為泛率。以自之為平實。置前數加二之後數而半之為次率，以乘泛率，倍之於上，以後數乘泛率減上位為益從。次率自乘於上，以前數加次率，複以後數乘之，減上位為隅法。得明勾。
草曰：別得二數相減，餘為通勾、通股及明勾共也。立天元一為明勾。置前數以天元乘之，合以後數除之。不除，便以此元為通勾也（內寄後數分母）。又以二數相減，得數內又減天元得為通和也。乃以分母二百八十八之，得下式，內減通勾，餘為通股也。又以天元加後數，又以分母（即後數也）通之，得 為大差也。以此大差減於通股，得下式，為一個圓徑也。半之得，以自之得為半徑冪（寄左）。然後以半圓徑減通勾，得為底勾，又以天元乘之，又以分母二百八十八之，得為同數，與左相消得。開平方得七十二步，即明勾也。合問。
或問：明股、明弦並二百八十八步，Ａ１勾、Ａ１弦並五十步。又雲明股、Ａ１勾並多於虛弦四十九步。問答同前。
法曰：前二數相並，內減二之多步，即圓徑。又隻以前二數相乘，便是半徑冪。
草曰：識別得前二數相減而半之，即極差也。其多步名傍差，又為圓徑不及極弦數。
或問：平差、高差共一百六十一步，明股、Ａ１勾並多於虛弦四十九步。問答同前。法曰：二數相減又半之，以自乘為實，後數為法。得平勾。
草曰：立天元一為平勾。以加前數得為高股也。又以天元加高股得為極弦，內減後數得，又半之，得為半徑。以自之，得（寄左）。然後以天元乘高股，得為同數，與左相消得。上法下實，得六十四步，即平勾也。合問。
或問：平勾、高股差一百六十一步，明差、Ａ１差並七十七步。又雲極弦多於城徑四十九步。問答同前。
法曰：並上二位而半之為平率。其四十九即旁率也。副置平率，上加旁率，下減旁率，以相乘為實。倍旁差為法。得勾圓差。
法曰：並上二位而半之，為平率。其四十九即旁率也。副置旁率，上以減於平率，下以減於前數，以相乘為實。倍旁差為法。得勾圓差。
又法：求半徑：副置平率，上加旁率，下減旁率，以相乘為實，倍旁差為法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，又為半之股圓差上弦較較，又為半之勾圓差上弦較和也。內減勾圓差上勾股較，餘為半之勾圓差上弦較較也。置股圓差上勾股較 ，以半之勾圓差上弦較較乘之，得（寄左）。然後以半之股圓差上弦較較乘勾圓差上勾股較，得元為同數，與左相消得下式。上法下實，得一百二十步，即半徑也。合問。
草曰：識別得平勾、高股差名角差。副置角差，上加七十七而半之，得，即極差也。下減七十七而半之，得，即虛差也。角差加極差得，即通差也。又極弦多於城徑步名為旁差。副置角差，上加旁差得，為兩個高段上勾股較，下減旁差得為兩個平段上勾股較也。又副置極差，上加旁差得為股圓差上勾股較，下減旁差為勾圓差上勾股較也。立天元一為勾圓差。依法求得通差，加入天元得即大差也。以天元乘之得為半段圓徑冪（寄左）。乃置大差內減股圓差上勾股較，餘有為股圓差之勾於上。再置天元內加勾圓差上勾股較，得為勾圓差之股。以乘上位得為同數，與左相消得。上法下實，得八十步，即勾圓差也。
又依前問：見角差一百六十一步，見明差Ａ１差並七十七步，又見太虛弦較較六十步。問答同前。
法曰：前二數相減而半之，得數加入半之太虛弦較較為泛率，以自乘為平實。置一百六十一內減二之泛率為從，一常法。得平勾。
草曰：別得即二Ａ１股也。立天元一為平勾。先以前二數相減而半之，得為虛差。以虛差加Ａ１股得，即明勾也。以明勾加天元得，為平弦，以自之得，內減天元冪，得為半徑冪（寄左）。然後以天元加一百六十一為高股，以天元乘之，得為同數，與左相消得。開平方得六十四步，即平勾也。
又法曰：前數內加半之太虛弦較較，以自乘，內減前數自乘為實，前數內減太虛弦較較為從，一常法。開平方得平勾六十四。此更不用明差Ａ１差並也。
草曰：依前求平勾。前高股內加Ａ１股，得為高弦也。以自之得於上位，內減高股冪，餘得為半徑冪（寄左）。然後以天元乘高股，得為同數，與左相消得下。開平方得六十四步，即平勾也。合問。
或問：高差、平差並一百六十一步，明差、Ａ１差並七十七步。問答同前。
法曰：以前數自乘於上，二數相並而半之，以自乘減上位，得數複自增乘為平實。前數自之於上，又以四之前數乘之，寄位。以前數自之於上，並二數而半之，以自乘減上位，得數又以四之前數乘，又倍之，減於寄位為從。前數自之，又四之於上。又以四之前數為冪，加上位，權寄。以前數為冪於上，並二數而半之，以自乘減上位，得數複八之於上。又以四之前數為冪加入上位，並以減於權寄為常法。得平勾。
草曰：識別得二位相並而半之，得，即極差也。立天元一為平勾，加一百六十一得為高股，高股內又加天元，得為極弦。以自之得於上，內減極差冪一萬四千一百六十一，餘為兩段極積。合以極弦除，不除寄為母，便以此為城徑。以自增乘得為圓徑冪（內有極弦冪分母。寄左）。然後以天元乘高股，又四之得，又以分母極弦冪通之，得為同數，與左相消得。開平方得六十四步，即平勾也。合問。
或問：見明和二百七步，Ａ１和四十六步。問答同前。
法曰：二和上下相減，數同則止，名為泛率。又以二和直相減，餘為泛實（此則角差也）。乃以泛率除泛實，所得為差率也。以差率加減泛率，若半訖，與勾股相應者，其泛率便為和率，其泛實便為較率乘和率也。若不相應，則直取差率以消息之，定為相管和率（其勾股數少，得見弦黃而相為率者。勾三股四，則其和七，而其較一也。勾五股十二，則其和一十七，而其較七也。勾八股十五，則其和二十三，而其較亦得七也。勾七股二十四，則其和三十一，而其較一十七也。勾九股四十，則其和四十九，而其較三十一也。此消息之大略也。餘皆仿此）。乃以和率約二和，其明和所得為明壘率，其Ａ１和所得為Ａ１壘率也。又副置和率，上加差率而半之，則為股率也；下位減差率而半之，則為勾率也。既見勾、股及差三率，各以壘率乘之，即各得勾、股及差之真數也。
又法：二雲數相並，以自乘於上。二雲數相乘，又四之以減上位為實。二雲數相並，以六步半乘之於上，又二數相並，以四步半乘之，又四之，以並入上位為從方。以七十步四分三厘七毫五絲為常法。得Ａ１小差四步。
草曰：以二和相約分得Ａ１率一、明率四步半，其兩數大小差率並同。又別得明小差、Ａ１大差俱為半虛黃也。立天元一為Ａ１小差，以四步半乘之得為Ａ１大差也，又為明小差，又為半虛黃。置此Ａ１大差又以四步半乘之得為明大差也。其四差相並得，減於二和並，得即兩段太虛大小差並也。內加三段虛黃方，得，合成一個太虛三事和，即圓城徑也。以自增乘得為徑冪（寄左）。乃置Ａ１和加半虛黃，得為平勾。又置明和內加半虛黃，得為高股，勾股相乘得下式，又四之得為同數，與左相消得下式。開平方得四步，即Ａ１小差也。合問。
或問：明Ａ１二勾共八十八步，明Ａ１二股共一百六十五步。問答同前。
法曰：先識別得二大差共、二小差共及四差共。乃以二大差、二小差相乘為實，以四差共為法。如法得半之虛黃方一十八。
草曰：先置前後雲數以約法約之，得一十一即壘率也。複各置前後數如壘率而一，前得八即勾率也，後得一十五即股率也。再以勾、股率求得較率七，和率二十三，弦率一十七，黃方率六，大差率九，小差率二。既見諸率，各以壘率乘之，其二和共得，二較共得，二弦共得，二黃共得，二大差共，二小差共 ，四差共。已上皆為明Ａ１所得之共數也。乃立天元一為半虛黃，便為明小差，又為Ａ１大差也。以減於大差共，得即明大差也。又以減於小差共，得即Ａ１小差也。以二數相增乘，得（寄左）。以天元冪與寄左相消，得。上法下實，得一十八步，即半之虛黃方也。以倍之得，又加於二黃共六十六共得一百二，即明勾、Ａ１股共也，又為極黃方，又為虛弦也。又以三十六減於一百八十七，餘一百五十一，即明股Ａ１勾共也。此數內減虛弦，餘為明Ａ１二差較也，此名旁差。以旁差減二弦共一百八十七，餘得，即太虛和也。卻加入虛弦一百二，並得，為太虛三事和，即圓城徑也。合問。
又法：以虛黃方加於二和共二百五十三，得為極弦也。以旁差減極弦餘二百四十步。亦同。
草曰：前後副置勾、股、較、和、弦、黃六率在地，前以小差率二因之，則勾得，股得，較得，和得，弦得，黃得，即Ａ１段各數也。後以大差率九因之，則勾得，股得，較得，和得，弦得，黃得，即明段各數也。既得明、Ａ１各數，餘皆可知。
細草卷九上
大斜四問
或問：甲丙俱在中心，丙望南門直行，不知步數而止。甲出東門直行，不知步數望見丙，斜行與丙相會。二人共行了六百八十步，仍雲甲直行少於丙直行一百一十九步。問答同前。
法曰：二數相減，餘以為冪，內卻減差冪為平實；二數相減又四之於上，又加入二之差步為益從；二步常法。得皇勾一百三十六。
草曰：別得共步即皇極三事和，少步即勾股差也。立天元一為皇極勾。加少步得為股也，又以天元加股得為和也。以和減共步得為弦也，弦自之得 為一段弦冪（寄左）。然後置股以天元乘之，又倍之，得為二直積，如入少步冪共得為同數，與左相消得。平方而一，得一百三十六即勾也。勾加差為股，勾股相乘，倍之為實，勾股和減共步為法。得城徑。
又法：和數與倍差相加、相減，二得數相乘為平實；雲數並與雲數差相並得數，以減於八之共步為益從；一步常法。得皇極黃方一百二。
草曰：立天元一為黃方（即虛弦也），副置之。上位加共步，得為二和也；下位減共步，得為二弦也。先以二和自乘，得為四段和冪。又以二弦自乘，得為四段弦冪。二數相減，餘得元，又倍之得下式元，為十六段直積於天元位（寄左）。然後副置二和，上位加二之少步，得為四股。下位減二之少步，得 為四勾。勾股相乘，得為同數，與左相消得。平方而一，得一百二步，即皇極黃方也。餘各依法求之。合問。
或問：甲丙俱在西北偶起，丙向南行不知步數而立。甲向東行望見丙，就丙斜行六百八十步與丙相會。丙雲：我南行步多於甲東行二百八十步。問答同前。
法曰：以雲數差乘雲數並為實，倍多步為從，二為平隅。得大勾三百二十。
草曰：立天元為大平。加差得為股，倍天元乘之，得為二積（寄左）。然後以斜步、多步並與斜步、多步較相乘，得為同數，與左相消得。開平方得三百二十步，即大勾也。合問。
或問：甲乙二人共立於艮隅，乙南行過城門而立，甲東行望乙與城參相直而止。丙丁二人共立於坤隅，丁向東行過城門而立，丙向南行望丁及甲乙悉與城俱相直。丙複就甲斜行六百八十步與甲相會。乙、丁又雲：吾二人直行共得三百四十二步。問答同前。
法曰：二雲數相乘，倍之為實；倍斜行於上，以二雲數相減加上位為從；一步常法。開平方，得城徑。
草曰：別得斜步即大弦也。其共步則一徑一虛弦共也，其二數相並為一大和一虛弦共數也。立天元為徑，減於共步得為虛弦也。以虛弦複減於天元，得 為虛和，以斜步乘之，得（寄左）。乃以天元加斜步，得為大和，以虛弦乘之得為同數，與左相消得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲從北門向東直行，庚從西門穿城東行，丙從西門向南直行，壬從北門穿城南行。四人遙相望，悉與城參相直。隻雲甲丙相望處六百八十步，庚壬穿城共行了六百三十一步。問答同前。
法曰：共步自之得數。以共步減斜，餘自乘以減上為實。二之斜步加入共步減斜，餘數為從。一步常法。得城徑。
草曰：共行步為一徑與皇和共也，又為大和皇弦差也。甲丙相望即大弦也。以共步減大弦，餘為皇極弦上減一徑也。立天元一為圓徑，減於共步，得為皇極和也，以自之得於上。弦內減共步餘，又以天元加之為皇弦，以自之得，減上位，餘得為兩個皇直積（寄左）。乃以天元乘皇弦得下式為同數，與左相消得。平方而一，得二百四十步，即城徑也。合問。
細草卷九下
大和八問
或問：庚從西門穿城東行二百五十六步而立，壬從北門穿城南行三百七十五步而立。又有甲丙二人俱在乾隅，甲向東行，丙向南行，各不知步數而立。四人遙相望，隻雲甲丙共行了九百二十步。問答同前。
法曰：庚東行冪、壬南行冪相並於上，並庚壬步而倍之，內減大和，餘複減於庚壬共，得數以自乘減上位為平實。並庚壬步為益從，半步為隅法。得城徑。
草曰：立天元一為圓徑，以半之副置二位。上以減於庚東行，得下為平弦也；下以減於壬南行，得為高弦也。二弦相並得為皇弦、虛弦共也。倍此數得 為大弦、虛弦共也。以大弦、虛弦共減於大和，餘為虛勾虛股共也。天元內減虛勾、虛股共，餘即虛弦也。複置皇弦虛弦共內減虛弦，餘即皇極弦也，以自之得（寄左）。然後以平弦自之，得下式為勾冪也，又以高弦自之，得為股冪也。二冪相並得為同數，與左相消得。平方而一，得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲丙俱在西北隅，甲向東行不知步數而立，丙向南行望見甲，就甲斜行與甲相會。甲直行、丙直行共九百二十步（甲步少於丙步）。又：出東門南行有柳樹一株，出南門東行有槐樹一株。戊己二人同在巽隅，戊就柳樹，己就槐樹，亦與甲、乙遙相望。隻雲己行少於戊行數與兩樹相距數相並，得一百四十四步，其二數相減餘六十步。問答同前。
法曰：二雲數相並而半之為虛弦，以乘大和九百二十步於上。以一百四十四減大和，以虛較乘之，減上位為平實。以一百四十四減大和，又二之於上，以二之虛較減上位為從。四虛隅。得太虛勾四十八。
草曰：別得甲丙直行共即大和也，戊就柳樹步即虛股也，己就槐樹步即虛勾也。其一百四十四步即二明勾，其六十步即二Ａ１股也。立天元一為虛勾，加明勾得為半徑也，倍之得即城徑也（又為虛弦上三事和）。二雲數相並而半之，得即小弦也。相減而半之，得即小較也。以天元加較得即小股也，小勾股共得 即小和也。以小三事減大和得即大弦也。乃先置小和以大弦乘之，得下式（寄左）。次以小弦乘大和，得，與左相消得下式。開平方得四十八步，即虛勾也。加明勾又倍之得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲從乾隅東行，乙從艮隅南行，丙從乾隅南行，丁從坤隅東行，四人遙相望見。既而甲還至艮隅就乙，丙還至坤隅就丁。甲丙直行共九百二十步，甲還就乙共二百三十步，丙還就丁共五百五十二步。問答同前。
法曰：並就數以減直行共，複以所並就數乘之為實；並就數減直行共，得數複加入直行共為法。得虛弦。
草曰：別得甲丙直行共為大和也，甲還就乙步為小差勾股共也，丙還就丁步為大差勾股共也。以大差勾股共減於大股，餘即虛勾也。以小差勾股共減於大勾，餘即虛股也。二數相並得為大弦虛弦共也，二數相減，餘為通差及太虛勾股差共也。又並二數而半之，得為皇極弦虛弦共，又為皇極勾股共也。立天元一為虛弦。先以二共數減於大和，餘為虛勾虛股和於上。次以虛弦減於二共數，餘為大弦，以乘上位，得下（寄左）。然後以天元乘大和，得元為同數，與左相消得。上法下實，得一百二步，即虛弦也。加入虛和得二百四十步，即城徑也。合問。
又法：並雲數減大和，複以雲數相減乘之為實；並雲數減大和，得數複加入大和為法。如法得虛差四十二。
草曰：立天元一為虛較。先以並雲數減大和，餘為虛和於上。次以天元減於得為通差，以乘之得（寄左）。然後以天元乘大和為同數，與左相消得 。上法下實得四十二步，即虛差也。副置虛和為二位，上加虛差而半之，得九十即虛股也。下減虛差而半之，得四十八即虛勾也。勾冪，股冪得，相並得。開平方得一百二步，即虛弦也。加入虛和得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：依前見大和，隻雲股圓差上勾弦差二百一十六，勾圓差上股弦差二十步。問答同前。
法曰：以雲數二十步減通和，複以二十步乘之於上。以雲數二百一十六減九百步而半之，乘上位為立實。三因二十步以減通和得八百六十，以二百一十六及二十共得二百三十六，減通和而半之，得三百四十二。二數相乘訖，內減二十之九百步。又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八，又二十之以減之為從方。以二百三十六減通和，又以三之二十步減通和，相並於上。以二之五百五十八內卻減二十步，餘以加上位為益廉。四步常法。得小差股一百五十。
草曰：別得小差上股弦差加二股為大勾也，大差上勾弦差加二勾為大股也。立天元一為小差股，加得為小差弦也，小差弦上又加天元得為通勾，以減於和步得為通股也。通股內減得，半之得下式即大差之勾也。大差勾上又加，得為大差弦也。再置通股以小差弦乘之，得，以天元除之，得為一個大弦也（泛寄）。再置通勾以大差弦乘之，得，合以大差勾除。不除寄為母，便以為大弦（寄左）。乃以大差勾乘泛寄，得為同數，與左相消得。益積開立方，得一百五十步，為小差股也。合問。
或問：依前見大和，隻雲高弦、平弦共得三百九十一步，高弦、平弦相較得一百一十九步。問答同前。
法曰：以較數冪減於共數冪，又半之為實，以共數減大和為益從，一常法。開平方，得圓徑。
草曰：別得高弦減於通股為邊股內減明股也，平弦減於通勾為邊勾內減明勾也。其共數即大弦內減皇極弦，又為皇極勾股共也，其相較步即皇極差也。二雲數相並得，即黃廣弦也。二雲數相減，餘即黃長弦也。以共數減於大和，餘為皇極弦、圓徑共。立天元一為圓徑，以減於為皇極弦也。以共數自之得於上。以相較數自之得，減上位，餘，又半之得為兩段皇極積（寄左）。乃以天元乘皇極弦，得為同數，與左相消得下。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：依前見大和，隻雲大差弦四百八步，小差弦一百七十步。問答同前。
法曰：以並雲數減大和，複以乘大和，又倍之為平實。三之通和於上，又以並雲數減大和，加上位為從。二步虛法。得圓徑。
草曰：大差弦減和步，餘為大勾、大差勾共也。以小差弦減大和，餘為大股、小差股共也。雲數相並得即大弦內減虛弦也，雲數相減得為虛弦平弦共也。以相並數減於大和，餘為大差勾、小差股共，又為圓徑、虛弦共也。立天元一為圓徑，減於得為虛弦也。反以減於圓徑得為小和也。以天元減大和得 為大弦，以乘小和，得（寄左）。乃再置虛弦以通和乘之，得，與左相消得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：依前見大和，隻雲黃廣弦五百一十步，黃長弦二百七十二步。問答同前。
法曰：雲數相並減大和，複以相並數乘之為實。雲數相並減大和，得數複以加大和為法。得虛弦一百二。
草曰：別得黃廣弦又為大差弦、虛弦共，又為邊股、Ａ１股共也。黃長弦又為小差弦、虛弦共，又為底勾、明勾共也。以黃廣弦減於大股，餘即虛股，以黃長弦減於大勾，餘即虛勾。故並數以減於大和，餘為虛和也。以虛和減徑即虛弦也。二雲數相並得為大弦、虛弦共也，雲數相減餘為虛弦、平弦共。立天元一為虛弦，以減於七百八十二，得為大弦也，以小和乘之得（寄左）。乃以天元虛弦乘大和，得為同數，與左相消得。上法下實，得一百二步，即虛弦也。合問。
或問：依前見大和，隻雲邊弦五百四十四步，底弦四百二十五步。問答同前。法曰：雲數相減自之為實，以大和減並數為法。得皇極弦。
草曰：別得以邊弦減大股，餘為半徑內減平勾，又為平弦內減勾圓差也。以大勾減於底弦，餘為高股內少半徑，又為股圓差內少高弦也。二雲數相並，得九百六十九為大弦、皇極弦共也。二雲數相減，得為皇極勾股差也。並數內減通和，餘為皇極弦內減圓徑也。立天元一為皇極弦，以自之於上。以一百一十九自之得，減上位得為二皇積（寄左）。複置天元內減四十九得下式為黃方。複以天元乘之，得，與左相消得。上法下實，得二百八十九步，即皇極弦也。內減四十九，餘即城徑也。合問。
三事和八問
或問：甲乙同立於乾隅，乙向東行不知步數而立。甲向南直行，多於乙步，望見乙複就東北斜行，與乙相會。二人共行了一千六百步，又雲甲南行不及斜行八十步。問答同前。
法曰：共步內減四之小差，複以自之於上，以十八個小差冪減於上為實。四之共步內減十六個小差於上，卻以十八小差加上為益從。四步常法。開平方得中差 。
草曰：別得共步為三事和也，不及步即小差也。立天元一為中差，加二之小差得為大小差並。以加入三事和，得為三弦也。倍三事得三千二百，內去大小差並，得為三和也。內減三弦，餘為三個黃方，以自之得為九段黃方冪（寄左）。再置天元中差加小差，得為大差，以小差乘之得，為半個黃方冪，就一十八之，得為同數，與左相消得。開平方得二百八十步，即中差也。其餘各依法求之，合問。
或問：依前三事和，又雲大差三百六十步。問答同前。
法曰：倍雲數以雲數乘之，又九之於上。倍雲數加三事和為前數，倍雲數減二之三事和為後數。二數又相減，餘一百六十為泛率。以自乘減上位為平實，十八之雲數內又加四之泛率為從，四常法。得中差。
草曰：立天元一為中差。置雲數倍之，內減天元得為大小差共數，加於三事得為三弦也。倍三事內減大小差共數，得下式為三和也。內又減三弦得 為三個黃方麵也，以自之得為九段黃方冪（寄左）。再以天元減大差，得下式為小差。又倍之得，以雲數乘之得下式。又就分九之，得下式，與左相消得下式。開平方得二百八十步，即中差也。合問。
或問：依前見三事和，又雲中差二百八十步。問答同前。
法曰：和步加差步，以自乘於上。又和步內減差步，以自乘加上位為平實。四之和步為益從，二步益隅。得大弦。
草曰：立天元一為大弦，減共步得為和，副置之。上位減差步，得為二勾，以自之得為四段勾冪也。下位加差步得為二股，以自之得為四段股冪也。二位相並得為四段弦冪（寄左）。然後以天元自之，又四之，與左相消得。開平方得六百八十步，即大弦也。倍之以減於三事和，餘即城徑也。合問。
或問：依前見三事和，又雲小差大差並四百四十步。問答同前。
法曰：並前後二數，三而一為弦。反以減共步，得數又以減弦，得城徑。
草曰：二數相並得，三而一得即弦也。以弦減三事和，得即和也。弦和又相減餘二百四十步，即城徑也。合問。
或問：依前見三事和，又雲小差、中差、大差共七百二十。問答同前。
法曰：半雲數自之，又三之於上。半雲數加三事，又自之，以三事冪加五減之，餘以減上位為平實。倍三事於上，半雲數而五之，加上位為益從。二常法。得小差八十。
草曰：別得三差共為二大差也。立天元一為小差，並大差加入三事得為三弦也。以自之，得為十八積九較冪（寄起）。又以共三事步自之，得於上。又以天元小差乘大差，倍之得元加於上為十二積四較冪。又加五，得為十八個直積六個較冪。以減寄起，餘得為三個較冪（寄左）。然後以天元小差減大差，得 為中差，以自之得，又三之得下式。與寄左相消得。平方而一，得八十步，即小差也。餘各依數求之。合問。
或問：依前見三事和，又雲明黃方、Ａ１黃方共六十六。問答同前。
法曰：三事內加二之共步，複以二之共步乘之於上位。三事內減二之共步，複以二之共步乘之，得數減上位為平實。三事內加二之共步，又倍之於上。又六之共步加上位為泛寄。三事內減二之共步，又四之於上。又六之共步減上位，得數以減泛寄為從。作十八段虛隅。平方開之，得虛黃方。
草曰：別得共步即虛大小差也。立天元一為虛黃方，以三之加入倍之共步，得為圓徑也。以圓徑加三事得為二通和，以圓徑減三事得為二通弦。又副置圓徑，上加天元得為二虛和，下減天元得為二虛弦。乃置二大和以二小弦乘之，得下（寄左）。然後置二大弦以二小和乘之得下式，與左相消得。開平方得三十六步，即虛黃方也。其餘各依法求之。合問。
或問：依前見三事和，又雲皇極弦二百八十九步。問答同前。法曰：二數相乘為實，從空，一益隅。得大弦。
草曰：立天元一為通弦，內減皇弦，餘為皇極勾股和，以自之得於上。以皇極弦冪減上位，得為二直積，合以皇弦除之。不除，寄為母，便以此為城徑（寄左）。乃以二之天元弦減共步，得為黃方麵，以皇弦通之，得，與左相消得。開平方得六百八十步，即大弦也。合問。
或問：依前見三事和，又雲見太虛弦一百二步。問答同前。
法曰：半虛弦乘三事為實，三事為從，四虛隅。翻開之，得半大弦。
草曰：識別得以虛弦減大弦，半之為皇極弦；以虛弦加大弦，半之為皇極勾股共也。立天元一為半大弦。以二之內減虛弦，得，折半得為皇極弦也。又以虛弦加大弦而半之，得為皇極和也。和自之得於上。又以弦自之得，減上位，餘得下元為二直積。合以皇極弦除之。不除，寄為分母，便以此為城徑（寄左）。然後以四之天元減三事共，餘，又以皇極弦分母通之，得為同數，與左相消得。倒積開得三百四十步，倍之即大弦也。合問。
雜糅一十八問
或問：城南有槐樹一株，城東有柳樹一株。甲出北門東行，丙出西門南行。甲、丙、槐、柳悉與城參相直，既而丙就柳行五百四十四步至柳樹下，甲就槐行四百二十五步至槐樹下。問答同前。
法曰：甲就步自之於上，以二行相減數自之減上位為實。二之二行相減數並入二之甲就步為從，一步常法。得平弦。
草曰：別得丙就步為邊弦也，甲就步為底弦也。邊弦即皇弦、高弦共也，底弦即皇弦、平弦共也。二行相並即大弦、皇弦共也，二行相減即皇極勾股較也。倍皇弦以減於大弦，餘即虛弦也。倍皇弦內減邊弦，餘即Ａ１弦也。倍皇弦內減底弦，餘即明弦也。皇極弦加一差則大差弦也，內減一差則小差弦也。立天元一為平弦，加一皇極勾股差得即高弦也。高弦自之得，內加天元冪得為皇弦冪（寄左）。然後以天元減底弦得下式，自之得為同數，與左相消，得。開平方得一百三十六步，即平弦也。餘各依法求之，合問。
或問：出南門東行有槐樹一株。甲出北門東行，斜望槐樹與城相直，就槐樹行二百七十二步。出東門南行有柳樹一株。丙出西門南行，斜望柳樹與城相直，就柳樹行五百一十步。問答同前。
法曰：雲數相並而半之，以自乘於上。半丙斜行以為冪，半甲斜行以為冪，並二冪減上位為實。並雲數為益從。一步平隅。得虛弦。
草曰：別得丙斜行為黃廣弦也，亦為兩個高弦也，此勾則城徑也。甲斜行即黃長弦也，亦為兩個平弦也，此股則城徑也。二數相並，得即大弦、虛弦共也；二數相減，餘即兩個皇極差也。二數相並而半之，得即皇極和也。立天元一為虛弦。以減於皇極和，得即皇極弦也。以自之，得為皇弦冪（寄左）。然後以高弦自之得，以平弦自之得，二自乘數相並得，與左相消，得。開平方得一百二，即虛弦也。合問。
或問：甲從坤隅南行，不知步數而立。乙從艮隅南行一百五十步，望見甲，複斜行五百一十步，與甲相會。問答同前。
法曰：斜行自之於上。倍南行減斜，餘自之，以減上為實。倍南行減斜，又四之為從。八步常法。開平方，得半徑。
草曰：別得南行即小差股，斜行即黃廣弦也。小差股內減半徑，餘即半個黃廣積上股弦差也。全徑即其勾也。立天元一為半城徑。減於乙南行，倍之得即一個黃廣積上股弦差也，以減於斜行步，餘即股也。自之得為股冪也。又倍天元，以自之為大勾冪，加入大股冪，得下（寄左）。然後以斜行冪與寄左相消，得下式。開平方得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：乙從艮隅東行，不知遠近而止。甲從坤隅東行一百九十二步，望見乙，複斜行二百七十二步，與乙相會。問答同前。
法曰：倍東行減斜行，得數自為冪，以減於斜行冪為平實。倍東行減斜行，又四之為從。八益隅。翻法開平方，得半徑。
草曰：別得甲東行即大差勾也，斜行則黃長弦也。大差勾內減半徑，餘即半個黃長積上勾弦差也，全徑即其股也。立天元一為半城徑，減甲東行，倍之得即一個黃長積上勾弦差也，以減於斜行步，得即黃長勾也，以自之得為勾冪於上。倍天元以自之，加上位得下式為弦冪（寄左）。然後以斜行冪為同數，與左相消得。平開得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：甲從坤東行一百九十二步，丙從艮南行一百五十步，望見之。問答同前。法曰：二行相乘，倍之為平實，如法得圓徑。
草曰：別得甲行即大差勾，丙行即小差股。此二數相乘恰與大小差相乘正同。如法相乘訖，倍之得為圓徑冪（寄左）。然後立天元為圓徑，以自之，與左相消，得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
又法：以二行相減數減於二行相並數，餘者半之於上。複以二行相減數加於上，即城徑。
草曰：別得甲東行減於徑為虛勾也，丙南行減於徑為虛股也。二行共為一徑一虛弦共也，二行相減即虛和也。以相並數、相減數又相減即兩個虛弦也。如法求得虛和，虛弦，相並得即城徑也。合問。
或問：出西門南行二百二十五步有塔，出北門東行六十四步，望塔正當城徑之半。問答同前。法曰：二行相乘為平實，一步常法。得半徑。
草曰：別得二百二十五步為高股，此乃半徑為勾之股也。其六十四步為平勾，此乃半徑為股之勾也。二數相並即皇極弦也，二數相減即中差內去皇極差也。又別得二行相乘恰是半徑冪一段，此與半梯頭相乘其意正同。今且以弦上容圓取之。立天元一為半徑，副之。上加南行得為股也，下加東行步得為勾也。勾股相乘，得為大直積。以天元半徑除之，得為勾股和（寄左）。然後並勾股得，與左相消，得。開平方得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：丙從乾隅南行，丁從艮隅亦南行，甲從乾隅東行，乙從坤隅亦東行。各不知步數，四人悉與城相直。隻雲丙行內減丁行，餘四百五十步；甲行內減乙行，餘一百二十八步。問答同前。
法曰：二行相乘為實，一步常法。得城徑。
草曰：別得丙行即大股，丁行即小差之股也。甲行即大勾，乙行即大差之勾也。其即黃廣股，其即黃長之勾也。立天元一為城徑。先置黃廣股為股方差，以為勾方差。以乘之得為城徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式。開平方得二百四十步。合問。
或問：出南門東行有槐樹一株，出東門南行有柳樹一株。丙丁二人同立於坤隅，甲乙二人同立於艮隅。丁直東行至槐而止，乙直南行至柳而止。丙直南行，甲直東行，四人遙相望見。隻雲丙行多於丁行一百六十八步，乙行多於甲行七十步。問答同前。
法曰：雲數相乘為實，二數相減又半之為法。得城徑。
草曰：別得即大差勾股較也，其即小差上勾股較也。二數相並為大差弦內減小差弦也，二數相較又半之，為皇極弦與城徑差也，二數相並而半之即皇極差也。立天元一為圓徑。二雲數相減又半之，加天元得為極弦也。並二數而半之，得為極差也。副置極弦，上位加極差得為弦較和也，下位內減極差得為弦較較也。上、下相乘，得為二直積（寄左）。然後以天元一乘極弦，得下式為同數，與左相消得。上法下實，如法而一，得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲從坤東行，丙從艮南行，適相見，斜行一百二步，甲丙相會。丙雲：我南行不及汝四十二步。問答同前。
法曰：二數相並，以斜行乘於上。二數相並而半之，以乘相並數，減上位為平實。並二數又倍之於上，並二數又加斜行以減上位為從。一步常法。得虛勾。
草曰：別得一百二步即虛弦，四十二步即虛較也。又斜行得虛股為甲東行，此便為大差勾也。斜行步得虛勾為丙南行，此便是小差股也。立天元一為虛勾。加斜行步得為小差股也，以不及步加於小差股得下式為大差勾也。勾股相乘，得為半段黃方冪（寄左）。然後再置虛勾加不及步，得為虛股，又加入天元得 為虛和，又加入虛弦得為圓徑，以自之得，又半之與寄左相消，得。平方開得四十八步，即虛勾也。合問。
或問：甲從城心東行，丙從城心南行，庚從巽隅西行，壬從巽隅北行。四人遙相望見，各不知步數。隻雲甲丙共行了三百九十一，庚壬共行了一百三十八。問答同前。
法曰：雲數相乘為實，相並為法。得虛弦。
草曰：別得甲丙共為皇極和也，又為極弦、極黃共。庚壬共為太虛和也，又為虛弦、虛黃共。立天元一為皇極黃方麵（亦為虛弦也）。減於甲丙共，得即極弦也。又以天元減於庚壬共，得即太虛黃方麵也。以太虛黃方麵乘極弦得（寄左）。然後以天元冪與左相消，得。上法下實，如法得一百二即皇極黃方麵也。合問。
或問：甲從乾隅東行，不知步數而止。丙向南行亦不知步數，望見甲，就甲斜行七百八十步，與甲相會。甲雲：我行地雖少於汝，以我東行步為法，除汝南行步，則汝止得二步四分。問答同前。
法曰：斜步自之為平實，除步自之，又加一步為隅。得甲東行。
草曰：此問所求城徑與諸問並同，其勾股則與前後諸率不同。今特為此草者，欲使後學有以考較諸率當否也。立天元一為甲東行（即大勾），以乘二步四分，得為長，以自之得為股冪。又並入天元冪得為弦冪（寄左）。乃以斜行自之得為同數，與左相消得。開平方得三百步，即甲東行也。以二步四分乘之得七百二十步，即丙南行也。倍丙南行以甲東行乘之，得四十三萬二千為實，以三事和一千八百為法除之，得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：小差黃方麵少於大差黃方麵八十四步，太虛黃方麵少於皇極黃方麵六十六步。問答同前。
法曰：半八十四為中差。以中差減六十六為二小差，又中小差相並為大差。乃以小差乘大差為平實。半步常法。得虛黃三十六。
草曰：別得八十四為兩個虛積中差，其六十六為虛積大小差並。半八十四得為虛中差也，以中差減六十六，餘二十四，半之得即虛小差也。以小差反減六十六，餘即虛大差也。又別得小差黃方為兩Ａ１股，大差黃方為兩明勾也。立天元一為虛黃方。置三位，上加小差得為虛勾也，中加大差得下為虛股也，下加大小差並得為虛弦也。三位並之得即城徑也。倍虛勾減城徑得為大差黃方麵也，又倍虛股減城徑得為小差黃方麵也。半小差黃方麵得，以乘大差黃方麵，得為一個虛直積（寄左）。乃以虛勾、虛股相乘，得下為同數，與左相消得。平方開得三十六步，即虛黃方也。其餘依法求之，合問。
據此問，既別得大、小差正數，自可以求得黃方麵也。諸如此類，實不須草。然今特為細草者，庶使後學知其來曆也。
或問：大差弦較較減皇極弦餘四十九步，小差弦較和減太虛弦餘一百三十八步，又皇極差一百一十九步。問答同前。
法曰：並前二數為冪，內減極差冪為平實。從空，二益隅。得虛弦。
草曰：別得大差弦較較與小差弦較和皆同為圓徑也。又二數相並，得為明弦Ａ１弦共，又為極和內少兩個虛弦也，其一百三十八即虛和也，則旁差也。立天元一為虛弦，加入一百三十八，得為圓徑也，又加入得為極弦，以自之得，又倍之，得，內卻減極差冪，得下式為和冪（寄左）。乃倍天元加並數，得為極和，以自增乘，得為同數，與左相消得。開平方得一百二步，即虛弦也。加入一百三十八，得二百四十步為圓徑。合問（前二數相並加虛弦，便是極弦）。
或問：小差不及平弦五十六步，高弦不及大差一百五步。問答同前。法曰：以前數自之為實，二數相減為法。得平勾六十四。
草曰：別得雲數相並得為平勾不及高股也，此數得極差則通差也，此數內減虛差則極差也。雲數相減，餘即城徑不及極弦也。以前數減於半徑，餘即平勾也，以後數加於半徑即高股也。倍前數加小差則為股圓差之勾也，此與前數加平弦同。倍後數減於大差則為勾圓差之股也，此與後數減於高弦同。立天元一為平勾，加相並數得即高股也，又加天元得即極弦也。內減二雲數差，得為城徑也，半之得，以自之得為半徑冪（寄左）。然後以天元乘高股得為同數，與左相消得。上法下實，得六十四步，即平勾也。合問。
又法：雲數相得為實，相減為法。得半徑。
草曰：立天元為半徑，副之。上內減五十六得為平勾，下加一百五得為高股。上下相乘得為半徑冪（寄左）。以天元冪與左相消，得下式。上法下實，得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：通勾、通弦共一千步，大差、小差共得四百四十步。問答同前。
法曰：以二差共減於一千，又半之，以自乘為平實。以二差共減於一千，又半之，加入二之後數為從。二步二分五厘益隅。得勾圓差。
草曰：立天元一為小差數，加入後數得。卻以減於前數得，折半得為一個圓徑也，以自之，得下式（寄左）。然後以天元減後數，得為大差，以天元乘之，又倍之得，與左相消得。開平方得八十步，即勾圓差也。
或問：皇極三事和六百八十步，太虛弦和較三十六步。問答同前。
法曰：二數相得為實，半之後數為益從，五分常法。平開得城徑。
草曰：別得皇極三事和即大弦也。立天元一為圓徑，內減三個後數而半之，得為太虛大小差並也，卻加入兩個後數得下為虛和也。又以虛和減天元得下為虛弦也。置通弦（即皇極三事和也），內加天元得下式即通和也。乃置通和以虛弦乘之，得下式（寄左）。再置虛和以通弦乘之，得下為同數，與左相消得。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：出南門行一百三十五步有樹，出北門行一十五步，折而東行二百八步，望見樹。問答同前。
法曰：以東行步乘南行步，得數又自乘為實。以東行步自乘乘南行步，又倍之為從。東行步自乘於上。並南北二行步，以減於東行步，餘數自之為冪，以減上，再寄位。又並南北二行步，以東行步乘而倍之，內減再寄為第一益廉。四之東行步於上，又並南北二行步減於東行步，又四之，減上位為第二益廉，四步虛隅。開三乘方，得半徑。
草曰：立天元一為半徑（即高勾也）。置南行加天元，得為高弦也。置大勾以高弦乘之，得，複以高勾除之，得下式為大弦也。令之自乘，得 （寄位）。又置二之天元，加南北行並，得為大股。複用大勾二百八減之，得為較也，以自乘，得為較冪。以減寄位，得為二直積（寄左）。再置大股 為直積，又倍之得為同數，與左相消得。翻法開三乘方，得一百二十步，即城徑之半也。合問。
或問：出北門一十五步折而東行二百八步有樹。出西門八步折而南行四百九十五步見之。問答同前。
法曰：先置南行步，內減一東二西並步，餘二百七十一為前泛率。次並一南二北，內減東行步，餘三百一十七為中泛率。次並東西步，以南行步乘之於上位。又以西行乘南北並，得數減上位，餘一十萬二千八百四十為後泛率。乃以後泛率自乘，得一百五億七千六百六萬五千六百為三乘方實。以前中二泛相減餘四十六，以乘後泛數為從。前中二泛相乘得八萬五千九百七，加入二之後泛數，共得二十九萬一千五百八十七於上位。又倍東西並，以乘南北並，得二十二萬三百二十，加上位，通得五十一萬一千九百七為第一廉。二之南北並，加入二之東西並，得一千四百五十二於上位。又以前中二泛相減，餘四十六，減上位，餘一千四百六為第二廉。一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，加入東行西行並得為大勾也。又置天元加入南行北行並，得為大股也。置西行八步以大股乘之得下式，合以大勾除之。不除，寄為母，便以此為股尖也。置南行四百九十五步減天元得，用分母大勾乘之，乘訖得下式，內減了股尖，餘為小股也（內帶大勾分母）。置小股合以大勾乘了，複以大股除之為小勾。今為小股內已有大勾為母，更不須乘，隻以小股便為小勾也（內帶大股為母）。小勾、小股相乘得數為一個小勾股相乘直積，內帶大勾股相乘直積為分母也。乃以半城徑（即天元也）除之，為一個弦較和也：。此法本取勾外容圓，合以弦較和除二積，為勾外所容之圓。今用半天元圓徑除一個積，則卻得一個弦較和也，內依舊帶大積分母也（寄左）。然後再置小股，合用大積乘之，緣內已帶大勾分母，今隻用大股乘之，得為大積所乘小股於上。再置小勾，合用大積乘之，緣內已帶大股分母，合隻用大勾乘之，得為大積所乘之小勾也。以此小勾減上小股得，即帶分小較也。又二因小較得下式為帶分二較也。又以大勾股直積乘二之天元半圓徑，得為一個帶分弦較較也（弦較較乘弦較和為二直積，既以圓徑除二直積為弦較和，則是圓徑為弦較較也。今又為半天元圓徑除一積為弦較和，故倍天元半徑作一個弦較較也）。遂將此弦較較加入前二較，得亦為一個弦較和也。與寄左相消得下式。開三乘方得一百二十步，即半城徑也。合問。
又法：此問係是洞淵測圓門第一十齲粒保前答亦依洞淵細草，用勾外容圓術，以如於弦較和。然其數煩碎，宛轉費力。今別草一法，其廉從與前不殊，而中間段絡徑捷明白。方之前術，極為省易，學者當自知也。立天元為半徑，副之。上並加東西行，得為通勾率。下並加南北行，得為通股率。乃置西行八步以通股乘之得下，合通勾除，不除，寄為母，便以此為南小股也。又置南行四百九十五步，內減天元得，用通勾乘之，得。內減了南小股，餘下式為股圓差也，內帶通勾分母。又置北行一十五步以通勾乘之，得，合通股除，不除，寄為母，便以此為北小勾也。又置東行二百八步，內減天元得，用通股乘之，得。內減了北小勾，餘為勾圓差也（內帶通股分母）。乃以二差相乘得下式為半段圓徑冪也，內帶通積為母（寄左）。然後以通勾通股相乘得，以天元冪乘之，得，又倍之得下式為同數，與左相消，所得廉、從一與前同。合問。
之分一十四問
或問：甲乙二人俱在西北隅，乙向東直行，不知步數而止。甲向南直行，望見乙，複向乙斜行。甲告乙雲：我直行斜行共一千二百八十步，汝東行步居我南行步十五分之八。
法曰：十六之共步冪為實。二百五十七之共步為益從，一十六步常法。得勾圓差。
草曰：別得共步即股弦共也。立天元一為小差。以乘共步為勾冪，就分以二百二十五通之，得元為二百二十五段勾冪（寄左）。然後再置共步，內減小差得 為二股，就分四之，得為一十五勾，以自之得為同數，與左相消得。平方開之得八十步，即小差也。既得小差，加共步而半之，得六百八十步即弦也。若以減共步而半之，得六百步即股也。以股冪減弦冪，餘一十萬二千四百步，開平方得三百二十步，即勾也。勾股相乘，倍之得三十八萬四千步為實，以弦和和一千六百步為法，實如法而一，得二百四十步即城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在西北隅，乙直南行不知步數而立。甲直東行望見乙，複向乙斜行，與乙相會。甲雲：我共行了一千步。又雲：我東行步居汝南行步十五分之八。
法曰：二百二十五段共步冪為實，七百六之共步為益從。二百二十五步常法。得股圓差。
草曰：別得共步即勾弦共也。立天元一為大差。以乘共步得元，又就分以二百五十六通之，得元為二百五十六個股冪（寄左）。然後再置共步，內減天元大差得為二勾，就分以一十五之，得為十六個股也。以自之得為同數，與左相消得。開平方得三百六十步，即大差也。副置共步，上位減大差而半之，得三百二十步，即勾也。下位加大差而半之，得六百八十步，即弦也。餘數各以法求之，合問。
或問：甲乙俱在西北隅，甲南行不知步數而立。乙東行亦不知步數，望見甲，就甲斜行，與之相會。乙雲：我東行步少於城周九分之五。甲雲：我南行卻多於汝東行二百八十步。問答同前。
法曰：別得周居九分，徑居三分，乙東行居四分。
草曰：立天元一為一分之數，以三之得鋋元為徑。以四之得元為勾。以徑減勾，餘元為小差（隻天元便是小差）。再置小差加入甲多步，得為大差。倍大差以天元乘之，得為一段圓徑冪（寄左）。再置城徑以自之得下式為同數，與左相消得。上法下實，得八十步，即一分之數也。以三之得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲出西門南行，不知步數而立。乙出北門東行，望見甲，既而乙雲：我所行居城徑六分之五。甲雲：然則，我所行卻多於汝二百八十步。問答同前。
法曰：四之卻多步為實。分母自之於上。半分母減子，得數倍之，又以減數乘之減上位為法。得一分之數。
草曰：別得卻多步即勾股差也。乃立天元一為一分之數以六之為城徑，以五之為乙行。置乙行內減半城徑，得元為小差也。又加入卻多步得，又二之得 為二大差。又以小差乘之，得為徑冪（寄左），然後以徑冪與左相消得下。上法下實，得四十步，即一分之數也。六之則為城徑，五之則為乙行，又以卻多步加乙行即甲行步也。合問。
或問：甲丙二人俱在西北隅，甲向東行不知步數而立。丙向南行望見甲，與之相會。丙語甲雲：我行既多於汝，又城徑少於我為四十分之十六。甲雲： 然則，吾二人共行了九百二十步。問答同前。
法曰：倍子減倍母，以乘共行步為實。倍子減倍母，以乘子母並數於上，又以子冪加上位為法。如法得一十五步，即一分之數也。
草曰：別得共行步即通和也。又別得四十分之十六，或作二十分之八，或作十分之四亦得。但所得之分數不同耳。乃立天元一為一分之數以十六之為城徑，以四十之為丙行。以丙行減和步，得為通勾，勾內減徑餘得為小差於上。以分母分子相減餘元，又倍之得元為兩個大差。以乘上位得為圓徑冪（寄左）。然後以分子十六分自之，得下，與左相消得。上法下實，得一十五步，即一分之數也。以十六之得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲乙俱立於城中心，乙出東門直行，不知步數而立。甲出南門直行，亦不知步數，望見乙，向乙斜行，與之相會。乙雲：我行居汝南行十五分之八。又雲：斜行步內若減甲直行，餘三十四步，若減乙直行餘一百五十三步。問答同前。
法曰：以雲數二減步為小差、大差，以相乘，倍之，開平方加入大小差並，以自之於上。又以大小差相較數，以自之減上位為實。甲行分、乙行分相乘，又倍之為隅法。得一分之剩粒豹枿。
草曰：別得雲步相並得一百八十七，是於皇極弦內少一個皇極黃方麵也。又別得三十四步是個小勾圓差，其一百五十三步是一個小股圓差。此二差又相減，餘一百一十九即中差也。乃立天元一為一分之數。以八之得元為乙東行數，以十五之得元為甲南行數，以二數相乘又倍之，得為二直積於上（寄左）。然後以雲步三十四乘一百五十三，得五千二百二，又倍之得一萬四百四為平方實。開之得一百二步即小黃方也。加入相並數一百八十七得二百八十九為小弦也。以自之得八萬三千五百二十一為弦冪於上。以中差冪一萬四千一百六十一減上位，餘，與左相消得。平方開之得一十七步，即一分之數也。副置一分之數，上位以八之得一百三十六，即乙東行也；下位以十五之得二百五十五，即甲南行也。二位相乘得三萬四千六百八十，又倍之得六萬九千三百六十為實。以弦二百八十九為法，如法得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲出西門南行，乙出北門東行，各不知遠近。兩相望見，複相向斜行，各行了三百四十步相會。甲雲：城徑居我南行二分之一。乙雲：我東行居城徑六分之五。問答同前。
法曰：以二之斜行步，自之為實。以各行分數加半城徑分，自之為冪，又相並為隅法。開平方得一分之數。
草曰：別得倍斜行為大弦。又別得乙行五分，城徑六分，甲行十二分。乃立天元一為一分之數以六之為城徑，以五之為乙行分，以十二之為甲行分。乃副置半城徑，上位加甲行步得一十五，以自之得二百二十五為大股冪。下位加乙行步得八，以自之得六十四為大勾冪。二冪又相並，得為大弦冪（寄左）。然後置大弦六百八十步，以自之得太，與左相消，得。平方開之，得四十步，即一分之數也。以六之得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲出西門南行，不知步數而立。乙出北門東行見之，乙斜行與甲相會。甲乙二人共行了一千三百六十步，其甲南行居斜十七分之十二，其乙東行居斜十七分之五。問答同前。
法曰：別得共步即二弦也，半共步得六百八十步，副置之。上位以五之，得三千四百，以十七而一，得二百步即乙東行也。下位以十二之，得八千一百六十，以十七而一，得四百八十即甲南行也。二行相減餘二百八十即勾股差也。其餘各依數求之。合問。
或問：甲出西門南行，不知步數而立。乙出北門東行望見之。既而乙謂甲雲：我取汝六分之五得六百步。甲謂乙雲：我取汝五分之三，亦得六百步。 問答同前。
法曰：如法求得各行步，相並以自之於上。並甲南行冪、乙東行冪以減上為實，並各行為從。半步常法。得全徑。
草曰：置。以上六分、五分各自直乘步數訖，得。別得右行三千六百步為六乙行，五甲行也，左行三千步為五甲行、三乙行也。以方程法入之。乃再置 。先以左行直減右行，右上空，中餘三乙行，下餘六百步。上法下實，得二百步即乙行也。卻以今右行減於元左行，上餘五甲行，中空，下餘二千四百步。上法下實，得四百八十步即甲行也。既得此數，乃立天元一為城徑。以半之，副置二位。上以加甲行得為通股，以自之得為大股冪。下位加乙行得為通勾，以自之得 為大勾冪。二冪相並得為大弦冪（寄左）。乃並甲行、乙行，以自乘得下式，亦為大弦冪，與左相消得下。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲從坤隅南行，不知步數而立。乙從艮隅東行，望見之。既而乙謂甲雲：我所行取汝所行三分之一得二百步。甲謂乙雲：我所行內減汝所行四分之三得三百步。問答同前。
法曰：如法求得各行步，以相乘，又二之。開平方得全徑。
草曰：置。以上三分、四分直乘步數訖，得。別得右行六百步為三乙行一甲行也，左行一千二百步為四甲行內少三之乙行步也。以方程法入之。
乃再置。先以左行直加右行，右上得五甲行，中空，下一千八百步。上法下實，得三百六十步，即甲行也。次以一甲行減元右行六百步，餘二百四十步，以中三除之得八十步，即乙行步也。甲行、乙行二數相乘，得數又倍之。開平方，即城徑也。合問。
或問：股圓差如股五分之三，勾圓差如勾四分之一。又雲其大小差相減餘二百八十步。問答同前。
法曰：二之中差為實。置股子以勾母乘之，內減股母為法。得小差。
草曰：別得勾圓差即小差，股圓差即大差，雲步即中差。乃立天元一為小差。以四之為勾，勾上加中差得為股，又三之，得為五個大差也。內減五之天元，得為五個中差也（寄左）。乃以五之相減步與左相消，得。上法下實，得八十步，即小差也。合問。
或問：股圓差如股五分之三，勾圓差如勾四分之一。又雲勾母每分少於股母每分四十步。問答同前。
法曰：二之少步為實，以股子母相減數減勾子母相減數為法。如法得小差。
草曰：立天元一為勾圓差，便為勾母每分數以天元加四十步得為股母每分數於上。乃以股子減股母，餘二分，以乘上位，得為城徑（寄左）。再置天元在地，以勾子減勾母餘三分，以乘之，得為同數，與左相消得下。上法下實，得八十步，即勾圓差也。合問。
或問：甲出南門直行，乙出東門直行望見甲，斜行與甲相會。甲雲：我行不及股圓差二十四分之十五。乙雲：我行不及勾圓差五分之四。又雲甲行多於乙行一百一十九，股圓差多於勾圓差二百八十。問答同前。
法曰：以大差母分二十四以乘甲多步一百一十九，得數倍小差母五，得一十，以乘之於上。以小差母五乘二之二差相較數，又九之，減上位為實。倍小差母得一十，卻以小差乘之，又九之於上。倍甲分母以小差母乘之，得數減上位以為法。得一分之數一。
草曰：立天元一以為小差一分之數（此一分之數便是乙直行也）。以五之，得為小差，加二百八十得下為大差，又倍之得，以小差乘之得下式，為一個圓徑冪，又九之得（寄左）。乃又置乙行步加一百一十九，得即甲行步也。以二十四之，得為九個大差也。倍小差母得一十以乘之，得為同數，與左相消得。上法下實，得一十六步，即小差一分之數也。既得此數，餘各如法求之。合問。
或問：大勾、大股、大弦三事和一千六百步，以明勾除大股得八步三分之一，以Ａ１股除大勾得一十步三分之二，以虛勾、明勾相減餘二十四步，以虛股、Ａ１股相減餘六十步。問答同前。
法曰：倍六十步加入大三事和，又三之二而一為實。並二雲數分子內減六步為法。如法得Ａ１股三十。
草曰：別得六十步與二十四步二數相並而半之，得掞泬即明勾、Ａ１股差也，又為虛勾、虛股差也。若以二數直相減即虛黃方也。其二十四步得二虛勾即半徑也，其六十步得二Ａ１股亦為半徑也。立天元一為Ａ１股，加差步得為明勾也，以乘八步三分之一得為大股也。以天元乘一十步三分之二得元為大勾也。勾股相並得下為大和也（寄左）。然後四之天元加入二之六十步，得為小三事和。以小三事和加入大三事和為二個大和也。合折半為大和。又就分三之為前數，今不折半三因，但身外加五得，為同數，與左相消得。上法下實，得三十步，即Ａ１股也。四之Ａ１股加入二之六十步，得二百四十步，即城徑也。合問。