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Root / 四庫全書 / clean / 子部 / 天文演算法類 / 算書之屬 / 測圓海鏡分類釋術

Work: 算書之屬 Viewing: Source

Metadata

Work ID: 126562
Title: 測圓海鏡分類釋術
Corpus root: 四庫全書
Ws Categories: PD-old

欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷一元李冶撰明顧應祥釋術圓城不知周徑四面居中開門城外四隅各有十字大街西北隅曰乾東北隅曰艮西南曰坤東南曰巽隨地逺近測望以知城徑通勾股求容圓一甲乙二人俱在城外西北隅乾地乙東行三百二十步甲南行六百步望乙與城相叅直問城徑荅曰城徑二百四十步釋曰此勾股求容圓徑也東行為通勾南行為通股以通勾股求通和較和較即容圓徑也術曰勾股相乗倍之為實勾股求併勾股為和和為法除之勾股求曰勾自之得一十○萬二千四百為勾筭股自之得三十六萬為股筭併二筭得四十六萬二千四百為筭平方開之得六百八十併勾股得一千六百為和和後凡言勾股求者俱倣此甲乙二人俱在城西北隅乾地甲直南行不知步數而立乙直東行三百二十步望見乃斜行六百八十步與甲相㑹測城徑釋曰此勾求容圓徑也東行為通勾斜行為通術曰勾求股勾股相乗倍為實和和除之勾求股曰勾自乗得一十○萬二千四百為勾筭自乗得四十六萬二千四百為筭相減餘三十六萬為股筭平方開之得股又術勾較乗勾倍之得二十三萬○四百為實倍較為從作帶從開平方法除之帶從開平方曰列實於左倍較得七百二十為從約初商得二百置一於左上為法置一為隅法帶從方共九百二十為下法除實一十八萬四千餘實四萬六千四百倍隅法得四百為廉法約次商得四十置一於左次為上法置一為隅法併從方廉法共一千一百六十為下法與上次法相乗除實盡後凡言帶從開平方法者俱倣此甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行不知步數而立乙南行六百步見之復斜行六百八十步與甲㑹測城徑釋曰此股求容圓也南行為通股斜行為通術曰股求勾以乗股倍之為實和和除之股求勾曰筭減股筭開其餘即勾後凡言股求勾者俱倣此又術股相減餘八十為股較相併得一千二百八十為股和以較乗和得一十○萬二千四百即勾筭平方開之得勾三百二十減較即城徑既有勾股求圓徑之法則勾求圓股求圓可以例見不必立法因原夲有此二問載於後卷故移附于此邊勾股求容圓二甲乙二人俱在城西門甲南行四百八十步乙穿城東行二百五十六步見之測城徑釋曰此勾上容圓也南行邊股也東行邊勾也以邊勾邊股求通圓術曰勾股相乗倍之得二十四萬五千七百六十為實勾股求得五百四十四併股共一千○二十四為股和為法除之乙出東門直行不知步數而止甲出西門南行四百八十步見之乃斜行五百四十四步相㑹問城徑釋曰此邊股邊求邊勾以求通容圓也南行為邊股斜行為邊術曰股求勾以乗股得一十二萬二千八百八十為實半股和得五百一十二為法除之甲出西門南行不知步數而立乙穿城東行二百五十六步見之乃斜行五百四十四步相㑹問城徑釋曰此邊勾邊求邊股以求通圓徑也東行為邊勾斜行為邊術曰勾求股以乗勾半股和除之底勾股求容圓三甲乙二人俱在北門乙東行二百步而止甲穿城南行三百七十五步見之問城徑釋曰此股上容圓也東行為底勾南行為底股以底勾股求通圓術曰勾股相乘倍之為實勾股求以勾和為法除之乙出南門直行不知步數而立甲出北門東行二百步見之復斜行四百二十五步就乙問城徑釋曰此底勾底求底股以求通圓徑也東行為底勾斜行為底術曰筭減勾筭餘平方開之得股與勾相乗得七萬五千為實勾和為法除之得半徑又術倍勾較以乗勾筭得一千八百萬為實四勾加倍較得一千二百五十為隅法作負隅開平方法除之得半徑負隅開平方法曰布實於左以隅法約初商一百置一於左上為法置一乘隅法得一十二萬五千為隅法與上法相乘除實一千二百五十萬餘實五百五十萬倍隅法得二十五萬為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一乘隅算得二萬五千併廉法共二十七萬五千為下法與上法相乘除實盡後如此類者倣此問底股求通圓徑術曰筭減股筭開其餘得勾如前法求之皇極勾股求容圓四甲乙二人俱在城中心立乙穿城東行一百三十六步甲穿城南行二百五十五步望見問城徑釋曰此勾股上容圓以半圓勾股求全圓徑也東行皇極勾也南行皇極股也術曰勾股相乘倍之為實勾股求為法實如法而一得全徑皇極勾求圓股求圓止以勾求股股求勾依上推之不必立法大差勾股以下倣此通勾股折中上求圓五甲乙二人俱在城西北隅乾地乙東行一百八十步斜視城中有塔甲南行三百六十步與乙斜對視塔正居城徑之半問城徑釋曰此上容圓也東行為勾南行為股此以勾股求半容圓徑即勾股容方術術曰勾股相乘為實相併為法實如法而一得半徑大差勾股求容圓六甲乙二人俱在城外西南隅坤地乙東行一百九十二步甲南行三百六十步望乙與城叅直問城徑釋曰此勾外容圓也東行大差勾也南行大差股也術曰勾股相乘倍之得一十三萬八千二百四十為實勾股相減餘一百六十八為勾股較勾股求得四百○八併較共五百七十六為較和以為法除之得全徑小差勾股求容圓七甲乙二人俱在城外東北隅艮地甲南行一百五十步而止乙東行八十步望乙與城叅直問城徑釋曰此股外容圓也東行小差勾也南行小差股也術曰勾股相乘倍之得二萬四千為實相減餘七十為較勾股求得一百七十減較餘一百為較較以為法除之得全徑太虚勾股求容圓八甲乙二人俱在城外東南隅巽地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙與城叅直問城徑釋曰此外容圓也西行即太虚勾北行即太虚股以太虚勾股反而内向求圓故曰外容圓術曰勾股相乘倍之得八千六百四十為實相併得一百三十八為勾股和勾股求得一百○二以減和餘三十六為和較以為法除之得全徑明勾股求容圎九甲乙二人俱在南門乙東行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙與城叅直問城徑釋曰此勾外容半圓也東行為明勾南行為明股術曰勾股相乗倍之得一萬九千四百四十為平實勾股求得一百五十三減勾餘八十一為勾較以為法除之 □勾股求容圓十甲乙二人俱在東門甲南行三十步而止乙東行一十六步望甲與城相叅直問城徑釋曰此股外容半圓也南行為□股東行為□勾術曰勾股相乘倍之為實勾股求以股較為法除之或問黄廣勾股黄長勾股無求圓之法何也曰黄廣之勾黄長之股即圓徑也故不立法曰上下高勾股上下平勾股何以不立法曰上高去城逺下高與上平俱不當城半下平亦不附城故不立法測圓海鏡分類釋術卷一欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷二元李冶撰明顧應祥釋術兩勾求容圓一〈凡七條〉圓城不知周徑甲從城外西北隅乾地東行三百二十步乙從城外西南隅坤地東行一百九十二步見之問城徑釋曰甲東行通勾也乙東行大差勾也此以城南北長短二勾求城徑〈與通股小差股同法〉術曰二行相乗倍為實相併為法除之乙出南門東行七十二步甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問城徑釋曰甲東行通勾也乙東行明勾也此以城北大勾與城南半勾求城徑〈與通股□股同法〉術曰二行相乗得二萬三千○四十為實以乙行步七十二為從方作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷乙出東門直行一十六步而止甲從城外乾隅東行三百二十步望乙與城相叅直問城徑釋曰甲東行通勾也乙東行□勾也此以城北大勾與城東小餘勾求城徑術曰甲行内減二之乙行餘二百八十八以乘甲行得九萬二千一百六十為平實四之甲東行減二之乙東行餘一千二百四十八為從方四為隅法作負隅減從開平方法開之得半徑負隅減從開平方曰布實于左從于右約初商得一百置一於左上為法置一隅因得四百為隅法以減從方餘八百四十八為下法與上法相乘除實八萬四千八百餘實七千三百六十倍隅法得八百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一隅因得八十為隅法併廉法共八百八十以減原從餘三百六十為下法與上次法相乘除實盡後凡言負隅減從開平方法者俱倣此乙出南門折東行七十二步而止甲出北門折東行二百步見之問城徑釋曰甲從北門東行底勾也乙從南門東行明勾也此以城北半大勾城南半短勾求半城徑術曰二行相乘得半徑筭平方開之〈與邊股□股同法〉如乙出南門東行二十步甲出北門東行七百二十步術同乙從城外西南坤隅東行一百九十二步而止甲出北門東行二百步見之問城徑釋曰甲從北門東行底勾也乙從坤隅東行大差勾也此以城北半大勾城南全短勾求城徑〈與邊股小差股同法〉術曰二行相乘得三萬八千四百為實以甲東行二百為從作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷乙出東門直行一十六步甲出北門東行二百步望乙與城叅直問城徑釋曰甲行底勾也乙出東門直行□勾也此以城北半大勾城東小餘勾求城徑術曰二行相減餘一百八十四為底勾□勾較乙東行自之得二百五十六為□勾筭較自之得三萬三千八百五十六減□勾筭得三萬三千六百為實倍甲東行得四百為從方作減從開平方法除之得半徑減從開平方法曰布實於左從於右約初商一百置一於左上為法置一為隅法以減從方餘三百為下法與上法相乘除實三萬餘實三千六百倍隅法得二百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一為隅法併廉法共二百二十以減原從餘一百八十為下法與上法相乘除實盡或於初商除實三萬訖於從内再減一百餘二百為從方次商二十於餘從内減二十餘一百八十為下法亦通後凡言減從開平方法者俱倣此乙出東門直行一十六步甲出南門東行七十二步望乙與城相叅直問城徑釋曰甲行明勾也乙之直行□勾也此以城南半勾與城東餘勾求城徑術曰二行相減餘五十六為明勾□勾較自之得三千一百三十六為較筭東門直行自之得二百五十六為□勾筭二筭相減餘二千八百八十為平實倍明勾得一百四十四為從作減從翻法開平方開之得半徑減從翻法開平方曰布實於左從於右約初商得一百置一於左上為法置一為隅法以減從方餘四十四為下法與上法相乘應除實四千四百實不滿法就於應除數内反減實二千八百八十餘一千五百二十為負積倍初商得二百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一為隅法併廉法共二百二十從不及減反減從一百四十四餘七十六為下法與上次法相乘除實盡或於初商反減實二千八百八十餘一千五百二十為負積又以初商一百反減餘從四十四餘五十六為負從次商二十併負從共七十六為下法亦通後凡言減從翻法開平方者俱倣此兩股求容圓二〈凡七條〉乙出南門直行一百三十五步而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙與城相叅直問城徑釋曰甲從乾隅南行通股也乙出南門直行明股也此以城西大股與城南餘股求城徑〈與通勾□勾同〉術曰甲行内減二乙行餘三百三十以乘甲行得一十九萬八千為實三甲行内減二乙行餘一千五百三十為從方作帶從開平方法除之得半徑〈法見一卷〉乙出東門南行三十步甲從乾隅南行六百步見之問城徑釋曰甲南行為通股乙出東門南行三十步為□股此以西大股與東短股求城徑〈通勾明勾同法〉術曰二行相乘得一萬八千為實以乙南三十為從作帶從開平方法除之得半徑〈法見一卷〉乙居城外東北艮隅南行一百五十步甲從城外西北南行六百步望乙與城叅直問城徑釋曰甲南行通股也乙從艮隅南行小差股也此以城西長股與城東短股求城徑〈與通勾大差勾同法〉術曰二行相乘倍之得一十八萬為實相併得七百五十為法除之得全徑甲出西門南行四百八十步而止乙出東門南行三十步望乙與城叅直問城徑釋曰甲出西門南行四百八十步邊股也乙出東門南行三十步□股也此以城西半股與城東短股求圓徑俗云半⿰梯〈與底勾明勾同法〉術曰二行相乘得半徑筭平方開之甲出西門南行四百八十步而立乙從城外東北艮隅南行一百五十步見之問城徑釋曰甲南行邊股也乙從艮隅南行小差股也此以城西南半股與城東北半股求圓徑〈與底勾大差勾同法〉術曰二行相乘得七萬二千為實以甲南行四百八十為從方作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷甲出西門南行四百八十步乙出南門直行一百三十五步相望與城叅直問城徑釋曰甲南行邊股也乙出南門直行明股也此以城西大半股與城南餘股求圓徑〈底勾□勾同法〉術曰二行相減餘自之得一十一萬九千○二十五為差筭乙行自之得一萬八千二百二十五為明股筭以減差筭餘一十○萬○八百為實倍甲行得九百六十為益從作減從開平方法除之得半徑〈法見前〉乙出東門南行三十步而立甲出南門直行一百三十五步望乙與城叅直問城徑釋曰乙出東門南行□股也甲直行明股也此以城中餘股與城東小股求圓徑〈明勾□勾同法〉術曰二行相減餘自之得一萬一千○二十五為差筭甲直行自之得一萬八千二百二十五為明股筭減差筭餘七千二百為正實倍乙行得六十為從方作以從減法開平方法除之得半徑以從減法開平方曰布實于左從于右約初商得一百置一於左上為法置一於右下為隅法以從減隅餘四十為下法與上法相乘除實四千餘三千二百為實倍隅法得二百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一為隅法併廉法共二百二十減去從方餘一百六十為下法與上次法相乘除實盡後凡言減法開平方者俱倣此又為添積帶從開平方法初商一百置一於左上為法置一於右下為隅法對上法相乘得一萬為益實添入積内共一萬七千二百為實置一帶從得一百六十為下法與上法相乘除實一萬六千餘一千二百為實倍隅法得二百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一為隅法併廉法共二百二十與上次法相乘得四千四百為益實添入餘積共五千六百為實置一併廉法從方共二百八十為下法與上次法相乘除實盡又術明股筭減差筭餘七千二百為實六之□股得一百八十為從方作減從翻法開平方法開之得半徑減從翻法開平方法見前條兩求容圓三城南有槐一株城東有栁一株甲出北門東行丙出西門南行甲丙槐栁悉與城相叅直既而甲斜行四百二十五步至槐下丙斜行五百四十四步至栁下問城徑釋曰甲斜行向西南至槐樹下底也丙斜行向東北至栁樹下邊也此以邊底互測圓徑術曰二斜行相減餘自之得一萬四千一百六十一為差筭甲斜行自之得一十八萬○六百二十五為底筭二筭相減餘一十六萬六千四百六十四為平實倍邊得一千○八十八為從方作帶從開平方法開之得一百三十六為平帶從開平方法見一卷出城南門之東有槐甲出北門東行斜望槐樹與城叅直乃斜行二百七十二步至槐下休止東門之南有栁丙出西門南行斜望栁樹亦與城相叅直乃斜行五百一十步至栁下休止問城徑釋曰槐在南門東七十二步明勾也甲出北門東行二百步望見槐與城相叅直此底勾也斜行至槐下黄長也栁在東門之南三十步□股也丙出西門南行四百八十步望栁與城叅直邊股也斜行至栁樹下黄廣也此以黄長黄廣二立法測望術曰半甲斜行自之得一萬八千四百九十八為黄廣半筭半丙斜行自之得六萬五千○二十五為黄長半筭併二行折半自之得一十五萬二千八百八十一以二筭減之餘六萬九千三百六十為實併二行共七百八十二為從作減從開平方法開之得一百○二為太虚減從開平方法見二卷〈底勾□勾條〉東門之南有栁南門之東有槐俱不知步甲出東門直行乙出南門直行立定二人相望視槐栁與城相叅直既而甲斜行三十四步至栁下乙斜行一百五十三步至槐下問城徑釋曰此明 □ 立法測望甲斜行至栁為□ 乙斜行至槐為明術曰二相乘倍得一萬○四百○四平方開之得太虚加□ 即皇極勾加明即皇極股以皇極勾股求之得城徑皇極勾股求容圓見一卷測圓海鏡分類釋術卷二欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷三元李冶撰明顧應祥釋術通勾與别股測望一〈凡三條〉圓城不知周徑乙從城外西南坤隅南行三百六十步而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問城徑釋曰乙從坤南行大差股也甲從乾東行通勾也此以通勾大差股測望通勾為城北大勾大差股為城西南之虚股術曰二行相乘得一十一萬五千二百為實倍乙行得七百二十為從作減從開平方法除之得全徑減從開平方法見二卷又曰二行相併得六百八十為通以通勾求容圓法求之即得南門外一百三十五步有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問城徑釋曰此以通勾明股立法樹距南門明股也甲之東行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南餘股術曰東行自之又以樹距南門步乘之得一千三百八十二萬四千為立實倍樹距南門步以乘東行步得八萬六千四百為從方二為隅算作帶從負隅開立方法除之得半徑帶從負隅開立方曰布實於左從尾數至首常超二位又以從方約之定首位得一百置一於左上為法置一自之隅因得二萬為隅法併從方得一十○萬六千四百為下法與上法相乘除實一千○六十四萬餘實三百一十八萬四千三因隅法得六萬為方法三因初商得三百又以隅筭因之得六百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一乘廉法得一萬二千置一自之隅因得八百為隅法併方法從方廉隅共一十五萬九千二百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從負隅開立方法者俱倣此乙出東門南行三十步甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅直問城徑釋曰此以通勾□股測望甲東行通勾也乙出東門南行三十步□股也術曰二行相乘得九千六百為實以東行三百二十為從方二為隅算作減從負隅翻法開平方除之得半徑減從負隅翻法開平方曰初商一百置一於左上為法置一隅因得二百為隅法以減從方餘一百二十為下法與上法相乘除實一萬二千實不滿法反減實九千六百餘二千四百為負積倍餘法得四百為廉法次商二十置一於左次為上法置一隅因得四十為隅法併廉隅共四百四十減從不足反減從方三百二十餘一百二十為下法與上次法相乘除實盡後凡言帶從負隅翻法開平方者俱倣此底勾與别股測望二城西門南四百八十步有樹出北門東行二百步見之問城徑釋曰此底勾邊股立法測望西門南四百八十步邊股也出北門東行二百步底勾也底勾居城北勾之半邊股居城西股之半術曰二行相乘得九萬六千為實相併得六百八十為從二為隅筭作負隅減從開平方法除之得半徑負隅減從開平方法見二卷〈通勾□勾條〉圓城出北門北行一十五步折而東行二百○八步有樹出西門西行八步折而南行四百九十五步見之問城徑釋曰此以底勾過步帶短股邊股過步帶短勾立法測望出北門北行為短股折而東為長勾過於底勾出西門西行為短勾折而南為長股過於邊股術曰西行為短勾東行為長勾北行為短股南行為長股短勾併長勾以長股乘之得一十○萬六千九百二十短股併長股以短勾乘之得四千○八十相減餘一十○萬二千八百四十為勾股維乘差又自之得一百○五億七千六百○六萬五千六百為三乘方實長股内減二短勾餘與長勾相減餘二百七十一為股減勾差長勾内減二短股餘與長股相減餘三百一十七為勾減股差股減勾差與勾減股差復相減餘四十六以乘勾股維乘差得四百七十三萬○六百四十為從方股減勾差與勾減股相乘得八萬五千九百○七長短勾併與長短股併相乘又倍之得二十二萬○三百二十倍勾股維乘差得二十○萬五千八百六十三數相併得五十一萬一千九百○七為從一廉長短勾併得二百一十六又四之得八百六十四倍股減勾差得五百四十二二數相併得一千四百六為從二廉作帶從方廉開三乘方法除之得半徑帶從方廉開三乘方曰置所得三乘方積為實以從方廉約之初商得一百置一於左上為法置一乘從一廉得五千一百一十九萬○七百置一自之以乘從二廉得一千四百○六萬置一自乘再乘得一百萬為隅法併從方廉隅共七千○九十八萬一千三百四十為下法與上法相乘除實七十○億九千八百一十三萬四千餘積三十四億七千七百九十三萬一千六百為次商之實倍從一廉得一億○二百三十八萬一千四百三因從二廉得四千二百一十八萬四因隅法得四百萬初商自之六因得六萬初商三之以乘下廉得四十二萬一千八百相併加入從一廉得九十九萬三千七百○七為上廉初商四之帶從二廉得一千八百○六為下廉次商二十置一為法置一乘上廉得一千九百八十七萬四千一百四十置一自之以乘下廉得七十二萬二千四百併方廉隅共一億七千三百八十九萬六千五百八十為下法與上法相乘除實盡或作初商一百置一為法置一乘從一廉置一自之以乘從二廉置一自乘再乘為隅法併從方廉隅共七千○九十八萬一千三百四十為下法與上法相乘除實七十○億九千八百一十三萬四千餘實三十四億七千七百九十三萬一千六百為次實四因隅法得四百萬為方法初商自之六因得六萬為上廉初商四之得四百為下廉次商二十置一於左次為上法倍初商加次商得二百二十以乘從一廉得一億一千二百六十一萬九千五百四十初商三之併初次商因之得三萬六千次商自之得四百共三萬六千四百以乘從二廉得五千一百一十七萬八千四百以兩從廉併入從方共一億六千八百五十二萬八千五百八十為從置一乘上廉得一百二十萬置一自之以乘下廉得一十六萬置一自乘再乘得八千為隅法併方廉隅共五百三十六萬八千帶從共一億七千三百八十九萬六千五百八十為下法與上法相乘除實盡此法分别從方從廉明白故重録附之出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四步望塔正居城之半問城徑釋曰此以不及底勾與不及邊股測望南行二百二十五步與高股同即半徑為勾之股東行六十四步與平勾同即半徑為股之勾也當以平勾高股立法為是但其望塔當城之半故附底勾邊股條下術曰二行相乘即半徑筭乙從城外西南坤隅南行三百六十步甲出北門東行二百步見之問城徑釋曰此以底勾大差股立法測望乙從坤隅南行大差股也甲東行底勾也底勾為城北東半勾大差股為城西南虚股術曰二行相乘得七萬二千倍之得一十四萬四千為實以南行三百六十為從方作帶從開平方法除之得全徑帶從開平方法見一卷乙出南門直行一百三十五步甲出北門東行二百步見之問城徑釋曰此底勾明股立法測望乙出南門直行明股也甲出北門東行底勾也底勾為城北半勾明股為城南餘股術曰東行自之以南行乘之得五百四十萬又四之得二千一百六十萬為立方實以南門餘股一百三十五為從廉作帶從廉開立方法除之得全徑帶從廉開立方曰置所得立積為實以從廉約之初商二百置一於左上為法置一乘從廉得二萬七千置一自之得四萬為隅法併從廉共六萬七千為下法與上法相乘除實一千三百四十萬餘實八百二十萬倍從廉得五萬四千三因隅法得一十二萬相併得一十七萬四千為方法三因初商帶從廉得七百三十五為廉法約次商得四十置一於左次為上法置一乘廉法得二萬九千四百置一自之得一千六百為隅法併方廉隅共二十萬五千為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從廉開立方法者俱倣此乙出南門南行一百三十五步而立甲出北門北行一十五步折而東行二百○八步見之問城徑釋曰此底勾帶短股與明股立法測望乙出南門南行明股也甲出北門北行北門外短股也折而東行類底勾而過之術曰以東行乗南行得二萬八千○八十自之得七億八千八百四十八萬六千四百為三乘方實東行自之得四萬三千二百六十四以乘南行得五百八十四萬○六百四十倍之得一千一百六十八萬一千二百八十為從方北行自之於上併南北二行以減東行餘自之減上位餘數減上寄位併南北二行以東行乘之倍之以減寄位餘五萬六千九百八十八為從一廉四之東行得八百三十二於上併南北二行減東行餘五十八四之得二百三十二以減上位餘六百為從二廉四為虚隅作帶從二廉減從翻法開三乘方開之得半徑帶一廉以從二廉益從減從為法翻法開三乘方曰列所得三乘方實從一廉從二廉隅法約之初商一百置一於左上為法置一乘從一廉得五百六十九萬八千八百為益隅之廉置一自之以乘從二廉得六百萬為益從之廉併入從方共一千七百六十八萬一千二百八十為通法置一自乘再乘以隅因之得四百萬為隅法併益隅之廉共九百六十九萬八千八百為減實以減通法餘七百九十八萬二千四百八十為下法與上法相乘除實七億九千八百二十四萬八千實不滿法翻減實七億八千八百四十八萬六千四百餘九百七十六萬一千六百為負積二因乘出從一廉得一千一百三十九萬七千六百為益隅之廉三因乘出從二廉得一千八百萬為益從之廉又三之初商乘從二廉得一十八萬為益從次廉四因隅法得一千六百萬為方法初商自之六因又以隅因得二十四萬為上廉初商四之隅因得一千六百為下廉次商二十置一於左上為法置一乘從一廉得一百一十三萬九千七百六十併益隅之廉共一千二百五十三萬七千三百六十共為益隅置一乘益從次廉得三百六十萬置一自之以乘從二廉得二十四萬併二數加入益從之廉共二千一百八十四萬為益從併入從方共三千三百五十二萬一千二百八十為通法置一乘上廉得四百八十萬置一自之以乘下廉得六十四萬置一自乘再乘隅因得三萬六千為隅法併方法上下廉隅法得二千一百四十七萬二千併益隅共三千四百○○萬九千三百六十為減實以減通法不及減反減通法三千三百五十二萬一千二百八十餘四十八萬八千○八十為負法與上法相乘除負積盡後凡言帶一廉以二廉益從減從翻法開三乘方法者俱倣此甲乙二人同出北門行至東北隅艮地分路乙往南行一百五十步而立甲又東行連前共二百步望乙與城相叅直問城徑釋曰此底勾小差股立法測望甲前後共東行底勾也乙往南行小差股也術曰二行相乘又以乙南行乘之得四百五十萬為實二行相減以乘乙南行得七千五百二行相乘得三萬二數相併得三萬七千五百為法實如法而一得半徑又曰二行相乘得三萬為實倍底勾減小差股餘二百五十為法乙出東門南行三十步而立甲出北門東行二百步望乙與城相叅直問城徑釋曰此底勾□股立法測望乙出東門南行□股也甲出北門東行底勾也術曰二行相乘得六千為平實相減得一百七十為從方作減從翻法開平方法除之得半徑減從翻法開平方法見二卷又曰乙南行自之得九百為□股筭以乘東行得一十八萬為立實 □股筭為從方東行内減二之乙南行餘一百四十為益廉作帶從減益廉翻法開立方法除之得半徑帶從減益廉翻法開立方曰置所得積一十八萬以從方廉約之初商一百置一於左上為法置一乘從廉得一萬四千置一自之得一萬為隅法帶從方共一萬九百以減益廉餘三千一百為下法與上法相乘除實二十一萬實不滿法反減實一十八萬餘一十三萬為負積倍益廉得二萬八千三因隅法得三萬為方法三因初商得三百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一乘益廉得二千八百併入倍益廉得三萬○八百置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方從方廉隅共三萬七千三百反減益廉三萬○八百餘六千五百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從減廉翻法開立方法者倣此大差勾與别股測望三甲乙二人俱在城西門南行至西南坤隅分路乙往東行一百九十二步而立甲復南行計前後共四百八十步望乙與城相叅直問城徑釋曰此大差勾與邊股立法測望乙自坤隅東行大差勾也甲自西門往南共行邊股也術曰二行相乘得九萬二千一百六十又以乙東行乘之得一千七百六十九萬四千七百二十為實二行相減餘二百八十八亦以東行乘之得五萬五千二百九十六加二行相乘之數共一十四萬七千四百五十六為法實如法而一得半徑又曰二行相乘為實倍甲南行減乙東行餘為法甲從城外西南坤隅東行一百九十二步乙從東北艮隅南行一百五十步望甲與城相叅直問城徑釋曰此大差勾與小差股立法測望甲東行大差勾也乙南行小差股也〈與小差勾大差股同〉術曰二行相乘倍之即全徑筭小差勾與别股立法測望四乙從城外東北艮隅東行八十步甲從城外西北乾隅南行六百步見之問城徑釋曰此小差勾與通股立法測望乙從艮隅東行小差勾也甲從乾隅南行通股也〈與通勾大差股同法〉術曰二行相乘倍之得九萬六千為實二之東行得一百六十為從作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷乙從城外東北艮隅往東行八十步甲出西門南行四百八十步見之問城徑釋曰此小差勾與邊股立法測望乙東行小差勾也甲南行邊股也術曰二行相乘倍之得七萬六千八百為實以乙東行為從作帶從開平方法除之得全徑帶從開平方法見一卷乙從艮隅東行八十步而立甲從城外西南坤隅南行三百六十步見之問城徑釋曰此以小差勾大差股立法測望乙東行小差勾也甲南行大差股也術曰二行相乘倍之即圓徑筭明勾與别股測望五乙出南門東行七十二步而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙與城相叅直問城徑釋曰此明勾通股立法測望乙出南門東行明勾也甲從乾隅南行為通股術曰二行相乘得四萬三千二百為實以甲南行六百為從方二為隅法作負隅減從開平方法除之得半徑負隅減從開平方法見二卷乙出南門東行七十二步而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直問城徑釋曰此明勾邊股立法測望乙東行明勾也甲南行邊股也術曰乙東行自之得五千一百八十四為明勾筭以南行乘之得二百四十八萬八千三百二十為立方實明勾筭為從南行内減二東行餘三百三十六為益廉作帶從減廉開立方法除之得半徑帶從減廉開立方曰置所得立方實以從方從廉約之初商一百置一於左上為法置一乘益廉得三萬三千六百置一自之得一萬為隅法帶從方共一萬五千一百八十四以減益廉餘一萬八千四百一十六為下法與上法相乘除實一百八十四萬一千六百餘實六十四萬六千七百二十為次商之實倍益廉得六萬七千二百三因隅法得三萬為方法三因初商得三百為廉法約次商得二十置一於左上為法置一乘益廉得六千七百二十加入前倍廉共七萬三千九百二十置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方法從方廉隅共四萬一千五百八十四以減益廉餘三萬二千三百三十六為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從減廉開立方法者俱倣此又曰明勾邊股相乘得三萬四千五百六十為實明勾邊股相減餘四百○八為從方一虚法作減從開平方除之尤捷甲出南門東行七十二步而立乙出東門南行三十步望乙與城相叅直問城徑釋曰此明勾□股立法測望甲出南門東行明勾也乙出東門南行□股也術曰二行相乘得二千一百六十為實相併得一百○二為從作以從減法開平方除之得半徑以從減法翻法開平方曰置實于左從於右約初商得一百置一於左上為法置一為隅法以從減隅隅不及減從内翻減隅一百餘二為負從以負從為下法與上法相乘得二百反増入實内共二千三百六十四為次商之實倍隅法得二百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一為隅法併廉隅共二百二十以從減之餘一百一十八為下法與上法相乘除實盡後凡如此類者俱倣此通變隨宜又術二行相併得一百○二為太虚相減餘四十二即太虚勾股較倍筭減較筭餘一萬九千○四十四平方開之得一百三十八為太虚勾股和加較半之為股減較半之為勾以太虚勾股求圓徑又曰二行相乘倍為實相減餘為從作帶從開平方法除之得虚勾二行相併即虚以勾求股以得圓徑 □勾與别股立法測望四乙出東門直行一十六步甲從城外西北乾隅南行六百步見之問城徑釋曰此以□勾通股立法測望乙出東門直行□勾也甲從乾隅南行通股也術曰甲南行自之又以乙東行一十六乘之得五百七十六萬為立方實倍東行以乘南行得一萬九千二百為從方二為隅作帶從負隅開立方法除之得半徑帶從負隅開立方法見前通勾明股乙出東門直行一十六步甲出西門南行四百八十步見之問城徑釋曰此□勾邊股立法測望乙出東門直行□勾也甲出西門南行邊股也術曰二行相乘得七千六百八十又以南行乘之得三百六十八萬六千四百又四之得一千四百七十四萬五千六百為立方實以東行一十六步為從廉作帶從廉開立方法除之得全徑帶從廉開立方法見前底勾明股條圓城不知周徑南門外一百三十五步有樹出東門直行一十六步見之問城徑釋曰此□勾明股立法測望出東門外一十六步為□勾城東之餘勾也樹在城南一百三十五步為明股城南之餘股也以餘勾餘股測城徑術曰餘勾餘股相乘為勾乘股筭自之得四百六十六萬五千六百為三乘方實勾乘股筭倍之得四千三百二十又以餘勾餘股併乘之得六十五萬二千三百二十為從方餘勾餘股相併自之得二萬二千八百○一餘勾餘股相減自之得一萬四千一百六十二數相減餘八千六百四十為益廉作帶從廉添積開三乘方法除之得半徑帶從益廉添積開三乘方曰置所得三乘方積以從方廉約之初商一百置一於左上為法置一乘從益廉得八十六萬四千併從方共一百五十一萬六千三百二十為益積之法與上法相乘得一億五千一百六十三萬二千為益實添入原積共一億五千六百二十九萬七千六百為通實置一自乘再乘得一百萬為隅法與上法相乘除實一億餘五千六百二十九萬七千六百為次實二因益廉得一百七十二萬八千四因隅法得四百萬為方法初商自之六因得六萬為上廉初商四之得四百為下廉約次商得二十置一於左次為上法置一乘益廉得一十七萬二千八百併前倍廉共一百九十○萬○八百併從方共二百五十五萬三千一百二十為益積之法與上法相乘得五千一百○六萬二千四百為益實添入次實共一億○七百三十六萬為通實置一乘上廉得一百二十萬置一自之以乘下廉得一十六萬置一自乘再乘得八千為隅法併方廉隅共五百三十六萬八千為下法與上法相乘除實盡又為帶從方廉減隅翻法開三乘方其法曰初商一百置一於左上為法置一自乘再乘得一百萬為隅法置一乘從廉得八十六萬四千併從方共一百五十一萬六千三百二十以減隅法不及反減隅法一百餘五十一萬六千三百二十為負隅與上法相乘得五千一百六十三萬二千加原實共五千六百二十九萬七千六百為次商之實四因隅法得四百萬為方法初商自之六因得六萬為上廉初商四之得四百為下廉次商二十置一於左次為上法置一乘上廉得一百二十萬置一自之以乘下廉得一十六萬置一自乘再乘得八千為隅法併方法廉隅共五百三十六萬八千為通隅倍初商加次商得二百二十以乘從廉得一百九十○萬○八百併從方共二百五十五萬三千一百二十以減通隅餘二百八十一萬四千八百八十為下法與上法相乘除實盡後凡言如此類立法者倣此又術曰以樹去南門步自之得一萬八千二百二十五為餘股筭副置二位一以餘股乘之得二百四十六萬○三百七十五為餘股立筭一以餘勾乘之得二十九萬一千六百為勾乘股立筭相乘得七千一百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實餘勾餘股相乘得二千一百六十為勾股相乘筭倍之以乘餘股立筭得一百○六億二千八百八十二萬為從方餘勾自之得二百五十六為餘勾筭四之以乘餘股得一十三萬八千二百四十倍勾乘股立筭得五十八萬三千二百二數相減餘四十四萬四千九百六十為從二減廉以勾股相乘筭為隅筭作從廉減從方負隅開三乘方法除之得八十一為明勾較以除明股筭得二百二十五為明勾和加較半之為減較半之為勾勾股相乘倍為實以較除之得通和較通和較即城徑也從㢘減從方負隅開三乘方曰約初商八十置一於左上為法置一自之以乘從廉得二十八億四千七百七十四萬四千以減從方餘七十七億八千一百○七萬六千置一自乘再乘得五十一萬二千以隅筭因之得一十一億○五百九十二萬為隅法併從方共八十八億八千六百九十九萬六千為下法與上法相乘除實七千一百○九億五千九百六十八萬餘實六十四億八千五百六十七萬為次實四因隅法得四十四億二千三百六十八萬為方法初商自之六因又以隅因得八千二百九十四萬四千為上廉初商四之隅因得六十九萬一千二百為下廉約次商得一置一於左次為上法倍初商加次商得一百六十一又併初次商為八十一乘之得一萬三千○四十一以乘從廉得五十八億○二百七十二萬三千三百六十以減餘從餘一十九億七千八百三十五萬二千六百四十為從方置一乘上廉置一自之以乘下廉俱如舊置一自乘再乘仍得一為隅法併方法從方廉隅共六十四億八千五百六十七萬為下法與上法相乘除實盡測圓海鏡分類釋術卷三欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷四元李冶撰明顧應祥釋術通勾與别測望一圓城南門之南有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步乙出西門南行望樹及甲與城相叅直乃斜行二百五十五步至樹下問城徑釋曰此以通勾上高立法測望甲東行通勾也乙斜行乃天之日上高也乙從西門南行四百八十步為邊股樹在南門外一百三十五步為明股術曰二行相乘又以半甲東行乘之得一千三百○五萬六千為立方實二行相乘得八萬一千六百半甲東行乘甲東行得五萬一千二百相併得一十三萬二千八百為益從甲東行三百二十為減從廉減從開立方法除之得半徑帶從以廉減從開立方曰布實於左從於右别置減從廉約初商得一百置一於左上為法置一乘從廉得三萬二千以減從方餘一十○○八百置一自之得一萬併餘從共一十一萬○八百為下法與上法相乘除實一千一百○八萬餘一百九十七萬六千倍減廉得六萬四千三因隅法得三萬為方法三因初商得三百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一乘減廉得六千四百併倍廉共七萬○四百以減原從餘六萬二千四百置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方廉隅共三萬六千四百帶餘從共九萬八千八百為下法與上法相乘除實盡得半徑一百二十後凡言帶從以廉減從開立方法者倣此甲從城外西北乾隅東行三百二十步而立乙出南門直行不知步數望見甲與城相叅直遂斜行四百二十五步與乙相㑹問城徑釋曰此以通勾底立法測望甲東行通勾也乙自南門外斜行就甲為底乃日之地也術曰二行相減餘一百○五為通勾底差以乘通勾得三萬三千六百又以半通勾乘之得五百三十七萬六千為立方實半通勾乘通勾得五萬一千二百與差乘通勾之數相減餘一萬七千六百為從方倍東行得六百四十步為益廉作帶從減益廉開立方法除之帶從減益廉開立方法見三卷〈明勾邊股下〉圓城南門外有槐樹一株東門外有栁樹一株兩樹斜相距二百八十九步甲從城外西北隅向東行三百二十步望槐栁與城相叅直問城徑釋曰此以通勾皇極立法測望甲東行通勾也兩樹斜相距皇極也原法先求出皇極勾即栁至城心步后以勾求股以皇極勾股求容圓即是術曰通勾與皇極相乘得九萬二千四百八十自之得八十五億五千二百五十五萬○四百為三乘方實皇極自乗得八萬三千五百二十一為皇極筭以通勾乘之得二千六百七十二萬六千七百二十倍之得五千三百四十五萬三千四百四十為從方倍通勾皇極相乘之數得一十八萬四千九百六十為第一從廉倍皇極得五百七十八為第二益廉以二為隅筭作帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方法除之得一百三十六為皇極勾求城徑以皇極勾求皇極股二百五十五勾股相乘倍為實以除之即得容圓全徑〈勾求股見一卷〉帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方曰置所得三乘方積為實列從方從一廉從二益廉約商首一位得一百置一於左上為法置一自之以乘益廉得五百七十八萬置一自乘再乘以隅筭因之得二百萬為隅法益廉共七百七十八萬與上法相乘得七億七千八百萬為益實添入積内共九十三億三千○五十五萬○四百為通實置一乘從一廉得一千八百四十九萬六千為益從併入從方共七千一百九十四萬九千四百四十為下法與上法相乘除實七十一億九千四百九十四萬四千餘實二十一億三千五百六十○萬六千四百為次商之實四因隅法得八百萬為方法初商自之六因又以隅筭因之得一十二萬為上廉初商四之隅因得八百為下廉次商三十置一於左次為上法倍初商加次商得二百三十併初次商為一百三十相乘得二萬九千九百又加初商自之一萬共三萬九千九百以乘從二益廉得二千三百○六萬二千二百為益廉之實置一乘上廉得三百六十萬置一自之得九百以乘下廉得七十二萬置一自乘再乘得二萬七千隅因得五萬四千為隅法併方廉隅共一千二百三十七萬四千為益隅之實與益廉之實相併得三千五百四十三萬六千二百為益積之法與上次法相乘得一十○億六千三百○八萬六千為益積之實添入餘實共三十一億九千八百六十九萬二千四百為通實倍初商加次商得二百三十以乘從一廉得四千二百五十四萬○八百為益從併入從方共九千五百九十九萬四千二百四十為下法與上次法相乘除實二十八億七千九百八十二萬七千二百尚餘三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實二因上廉得七百二十萬三因下廉得二百一十六萬四因隅法得二十一萬六千併入方法共一千七百五十七萬六千為方法併初次商自之又六因得一十○萬一千四百以隅筭因之得二十○萬二千八百為上廉併初次商四之得五百二十以隅因得一千○四十為下廉三商得六置一於左上為法倍初次商加三商得二百六十六併初次商加三商得一百三十六相乘得三萬六千一百七十六又以初次商併自之得一萬六千九百加之共五萬三千○七十六以乘從二益廉得三千○六十七萬七千九百二十八為益廉之實置一乘上廉得一百二十一萬六千八百置一自之以乘下廉得三萬七千四百四十相併得一百二十五萬四千二百四十為廉法置一自乘再乘得二百一十六以隅因之得四百三十二為隅法併方法廉法隅法共一千八百八十三萬○六百七十二為益隅之實併益廉之實共四千九百五十○萬八千六百為益積之法與上法相乘得二億九千七百○五萬一千六百為益積添入餘實共六億一千五百九十一萬六千八百為通實倍初次商加三商得二百六十六以乘從一廉四千九百一十九萬九千三百六十為益從併從方共一億○二百六十五萬二千八百為下法與上法六相乘除實盡得一百三十六為皇極勾此法以二廉與隅添積以第一廉益從為法又為帶從負隅以廉隅減從開三乘方法其法曰以八十五億五千二百五十五萬○四百為正實以五千三百四十五萬三千四百四十為從方以一十八萬四千九百六十為從一廉以五百七十八為從二減廉二為隅算約初商得一百置一於左上為法置一自之得一萬以乘從二廉得五百七十八萬為減廉置一自乘再乘又以隅因得二百萬為隅法併減廉隅法得七百七十八萬為減從置一乘從一廉得一千八百四十九萬六千為益從以益從加入原從得七千一百九十四萬九千四百四十以減從減之餘六千四百一十六萬九千四百四十為下法與上法相乘除實六十四億一千六百九十四萬四千餘實二十一億三千五百六十○萬六千四百為次商之實四因隅法得八百萬為方法初商自之六因又以隅因之得一十二萬為上廉初商四之隅因得八百為下廉約次商得三十置一於左上為法倍初商加次商得二百三十併初次商得一百三十相因得二萬九千九百又加初商自乘一萬共三萬九千九百以乘從二廉得二千三百○六萬二千二百為減廉置一乘上廉得三百六十萬置一自之以乘下廉得七十二萬置一自乘再乘隅因得五萬四千為隅法併方廉隅共一千二百三十七萬四千為減隅併減廉減隅共三千五百四十三萬六千二百為減從倍初加次商得二百三十以乘從一廉得四千二百五十四萬○八百為益從以加原從得九千五百九十九萬四千二百四十以減從減之餘六千○五十五萬八千○四十為下法與上法相乘除實一十八億一千六百七十四萬一千二百餘實三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實二因上廉得七百二十萬三因下廉得二百一十六萬四因隅法得二十一萬六千併入方法共一千七百五十七萬六千為方法初次商併自之六因又以隅筭因之得二十○萬二千八百為上廉初次商併四之隅因得一千○四十為下廉約三商得六置一於左次為上法倍初次商加三商得二百六十六併初次三商共一百三十六相因得三萬六千一百七十六又加初次商相併自之一萬六千九百共五萬三千○七十六以乘從二廉得三千○六十七萬七千九百二十八為減廉置一乘上廉得一百二十一萬六千八百置一自之以乘下廉得三萬七千四百四十置一自乘再乘以隅因得四百三十二為隅法併方廉隅共一千八百八十三萬○六百七十二為減隅減廉減隅相和得四千九百五十○萬八千六百為減從倍初次加三商得二百六十六以乘從一廉得四千九百一十九萬九千三百六十為益從以加原從得一億○二百六十五萬二千八百以減從減之餘五千三百一十四萬四千二百為下法與上法相乘除實盡此法以第一廉為益從第二廉與隅為減從以從為法後凡如此類者俱倣此圓城南門外往東有樹甲從城外西北隅東行三百二十步望樹與城叅直復斜行二百七十二步至樹下問城徑釋曰此以通勾黄長立法測望南門外往東七十二步有樹明勾也甲東行通勾也斜行至樹下地之月黄長也術曰二行相減餘四十八為差倍差倍東行相乘得六萬一千四百四十為實倍差倍東行步相併得七百三十六為益從二為隅法作負隅減從翻法開平方法除之得全徑負隅減從翻法開平方法見三卷通勾□股條下前以半徑此以全徑推廣即是丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步望乙丙俱與城相叅直既而乙欲就丙乃斜行一百○二步相㑹問城徑釋曰此以通勾太虚立法測望丙出南門東行七十二為明勾乙出東門南行三十步為□股甲東行通勾也乙斜行太虚也以此勾立法術曰甲東行自之得一十○萬二千四百為東行筭倍斜行乘之得二千○八十八萬九千六百為立方實倍斜行乘東行得數又加倍東行筭得二十七萬○○八十為從方四之東行得一千二百八十為益廉四為隅法作帶從負隅以廉添積開立方法除之得半徑帶從負隅以廉添積開立方曰置所得立方實于左以從方益廉隅筭約之初商一百置一於左上為法置一乘益廉得一十二萬八千與上法相乘得一千二百八十萬為益實添入積内得三千三百六十八萬九千六百為通實置一自之又以隅筭因之得四萬為隅法併從方共三十一萬○○八十為下法與上法相乘除實三千一百○○萬八千餘實二百六十八萬一千六百為次實二因乘過益廉得二十五萬六千為益廉三因隅法得一十二萬為方法三因初商得三百為廉法次商二十置一於左上為法置一乘原益廉得二萬五千六百併入乘過益廉得二十八萬一千六百與上法相乘得五百六十三萬二千為益實添入次實共八百三十一萬三千六百為通實置一乘廉法得六千隅因得二萬四千置一自之隅因得一千六百為隅法併方廉隅共一十四萬五千六百帶從方共四十一萬五千六百八十為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從負隅以廉添積開立方法俱倣此又為帶從廉半翻法減從負隅開立方法法曰初商一百置一於左上為法置一乘從廉得一十二萬八千以減從方餘一十四萬二千○八十置一自之隅因得四萬為隅法併減餘從方共一十八萬二千○八十為下法與上法相乘除實一千八百二十○萬八千餘實二百六十八萬一千六百為次商之實二因從廉得二十五萬六千三因隅法得一十二萬為方法三因初商得三百為廉法約次商得二十置一於左次為上法置一乘從廉得二萬五千六百併入前二因從廉得二十八萬一千六百以減從方不及反減從方二十七萬○○八十餘一萬一千五百二十為負從置一乘廉法以隅因得二萬四千置一自之隅因得一千六百為隅法併方廉隅共一十四萬五千六百反減負從餘一十三萬四千○八十為下法與上法相乘除實盡後凡如此類者俱倣此又術曰斜行乘東行筭半之得五百二十二萬二千四百為實斜行乘東行如東行筭半之得六萬七千五百二十為從方東行三百二十為從廉如前法求之得半徑不用隅算添積減從隨意又曰四之斜行以乘東行筭得四千一百七十七萬九千二百為正實倍斜行乘東行加二之東行筭得二十七萬○○八十為從方倍東行得六百四十為從廉如前法開之得全徑二百四十添積減從俱同乙出城東門上南不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步望乙與城相叅直復斜行一百七十步與乙相㑹問城徑釋曰此以通勾小差立法測望甲東行通勾也斜行小差也術曰二行相減餘一百五十為差自之得二萬二千五百以乘東行得七百二十萬為實倍差以乘東行得九萬六千為從方倍差得三百為隅算作負隅減從開平方法除之得半徑負隅減從開平方法見二卷〈通勾□勾條〉又術倍東行筭得二十三萬四千八百倍二行相乘數得一十○萬八千八百相減餘九萬六千為實倍東行得六百四十為從作減從開平方法除之得全徑二百四十減從開平方法曰列實于左從于右約初商得二百置一於左上為法置一為隅法以減從方餘四百四十為下法與上法相乘除實八萬八千餘八千為次商之實餘從内再減二百餘二百四十為從次商四十置一於左上為法置一為隅法以減從方餘二百為下法與上法相乘除實盡法見二卷底勾□勾條下因從有重位故重出圓城南門外直南不知步數有槐樹一株南門外東行不知步數有栁樹一株槐栁斜相距一百五十三步甲從城外西北隅東行三百二十步望槐栁與城相叅直問城徑釋曰此以通勾明立法測望二樹斜相距明也甲東行通勾也術曰通勾自之得一十○萬二千四百為通勾筭二行相乘得四萬八千九百六十又以二數相乘得五十○億一千三百五十○萬四千為三乘方實明乘通勾筭三之得四千七百○○萬一千六百為從方倍二行相乘數以減通勾筭餘四千四百八十為第一廉倍通勾得六百四十為第二益廉二步為隅法作帶從負隅以二廉減從方開三乘方法除之得半徑帶上廉負隅以下廉減從開三乘方法曰置所得三乘方實以㢘隅從方約之初商一百置一於左上為法置一自之以乘從二廉得六百四十萬為減廉以減從方餘四千○六十○萬一千六百為從方置一乘第一廉得四十四萬八千為益廉置一自乘再乘得一百萬又以隅因之得二百萬為隅法併從方益廉隅法共四千三百○四萬九千六百為下法與上法相乘除實四十三億○四百九十六萬餘實七億○八百五十四萬四千為次商之實四因隅法得八百萬為方法初商自之六因又以隅法因之得一十二萬為上廉初商四之隅因得八百為下廉約次商得二十置一於左上為法倍初商加次商得二百二十以乘從二廉得一十四萬○八百併初次商得一百二十因之得一千六百八十九萬六千為減廉以減餘從餘二千三百七十○萬五千六百為從方倍初商加次商得二百二十以乘第一廉得九十八萬五千六百為益廉置一乘上廉得二百四十萬置一自之以乘下廉得三十二萬置一自乘再乘又以隅因之得一萬六千為隅法併方法從方廉益上下廉隅法共三千五百四十二萬七千二百為下法與上法相乘除實盡丙出東門南行乙出東門直行各不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步回望乙丙與城相叅直既而乙欲就丙乃斜行三十四步相㑹問城徑釋曰此以通勾□ 立法測望甲東行通勾也乙斜行三十四步就丙□ 也術曰通勾自之得一十○萬二千四百為通勾筭又以通勾増乘得三千二百七十六萬八千倍□ 乘通勾筭得六百九十六萬三千二百二數相減餘二千五百八十○萬四千八百為立方實 □ 乘通勾得一萬○八百八十以減二之通勾筭得一十九萬三千九百二十為從方通勾加五得四百八十為益廉五分為隅法作帶從負隅以廉添積開立方法除之得全徑帶從負隅以廉添積開立方曰置所得立方實及從方益廉約初商得二百置一於左上為法置一乘益廉得九萬六千與上法相乘得一千九百二十萬為益實添入積内得四千五百○○萬四千八百為實置一自之得四萬以隅算五分因之得二萬為隅法併從方共二十一萬三千九百二十為下法與上法相乘除實四千二百七十八萬四千餘實二百二十二萬○八百倍益廉得一十九萬二千○三因隅法得六萬為方法三因初商得六百以隅因得三百為廉法約商次位得四十置一於左上為法置一乘原益廉得一萬九千二百併入倍廉得二十一萬一千二百與上法四十相乘得八百四十四萬八千為益實加入餘實得一千○六十六萬八千八百為實置一乘廉法得一萬二千置一自之隅因得八百為隅法併方法從方廉隅共二十六萬六千七百二十為下法與上法相乘除實盡此法已見前通勾太虚條下因隅𥮅不同故又重出又為帶從以廉減從負隅開立方法其法曰初商二百置一於左上為法置一乘從廉得九萬六千以減從方餘九萬七千九百二十為從置一自之隅因得二萬為隅法併從方共一十一萬七千九百二十為下法與上法相乘除實二千三百五十八萬四千餘實二百二十二萬○八百從方内再減從廉九萬六千餘一千九百二十為從方三因隅法得六萬為方法三因初商隅因得三百為廉法次商四十置一於左上為法置一乘從廉得一萬九千二百以減餘從不及減於從廉内反減餘從一千九百二十餘一萬七千二百八十為負從置一乘廉法得一萬二千置一自之隅因得八百為隅法併方廉隅共七萬二千八百反減負從餘五萬五千五百二十為下法與上法相乘除實盡又術斜步乘東行筭得三百四十八萬一千六百為立方實斜步乘東行以減半東行筭得四萬○三百二十為從方半步為隅法作負隅帶從開立方法除之得勾圓差八十步以減通勾即半徑負隅帶從開立方法見三卷〈通勾明股條〉東門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之復斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以通勾下平立法測望甲東行通勾也斜行至樹下乃川之地下平也術曰二行相減餘一百八十四為差倍差減東行以其餘乘東行得一萬五千三百六十為實倍差得三百六十八為從方二為隅法作減從負隅翻法開平方法除之得半徑減從負隅翻法開平方見三卷〈通勾□股條下〉底勾與别測望二乙從城外西北乾隅南行不知步數而立甲出北門東行二百步見之復斜行六百八十步與乙㑹釋曰此以底勾通測望甲出北門東行二百步底勾也斜行六百八十步通也術曰二行相減餘四百八十曰差相併得八百八十曰和差和相乘得四十二萬二千四百減去差筭餘一十九萬二千為實差和相併得一千三百六十為從二為隅𥮅作帶從負隅開平方除之得半徑帶從負隅開平方法曰置實于左從於右約初商得一百置一於左上為法置一乘隅算得二百為隅法併從方共一千五百六十為下法與上法相乘除實一十五萬六千餘實三萬六千倍隅法得四百為廉法約次商二十置一於左上為法置一乘隅算得四十為隅法併從方廉隅共一千八百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從負隅開平方法者俱倣此又術以差筭二十三萬○四百為實以東行步減差餘二百八十為從方作帶從開平方法除之得三百六十為通勾較以較減即通勾以通勾求容圓法求之得城徑此法以半勾全求股以求和較勾求容圓見一卷南門外不知步數有塔一座東門外往南不知步數有樹甲出北門東行二百步望樹與塔俱與城相叅直及量樹斜距塔二百五十五步釋曰此以底勾下高立法測望出北門東行二百底勾也塔距樹即日之山下高也術曰底勾筭與下高相乘得一千○二十萬為立方實以底勾筭四萬為從方高為從廉作帶從方廉開立方法除之得半徑帶從方廉開立方曰置實于左以從方從廉約之初商一百置一於左上為法置一乘從廉得二萬五千五百置一自之得一萬為隅法併從方從廉隅共七萬五千五百為下法與上法相乘除實七百五十五萬餘實二百六十五萬二因從廉得五萬一千三因隅法得三萬相併得八萬一千為方法三因初商得三百帶從廉得五百五十五為廉法次商二十置一於左上為法置一乘廉法得一萬一千一百置一自之得四百為隅法併方法從方廉隅共一十三萬二千五百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從方廉開立方法者俱倣此南門外不知步數有樹乙從南門東行亦不知步數而立甲出北門東行二百步望樹與乙與城相叅乙復斜行一百五十三步至樹下與甲相望問城徑釋曰此以底勾明立法測望甲出北門東行底勾也乙斜行至樹下明也術曰半底勾乘明得一萬五千三百為實二行相併半之得一百七十六步半為從方半為隅算作帶從負隅開平方法除之得七十二為明勾帶從負隅開平方法見前底勾通股條求城徑以明勾乘底勾平方開之得半徑又曰勾求股以明勾股求容圓法求之得全徑東門外往南有樹乙出東門直行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與樹俱與城相叅直乙遂斜行三十四步至樹下釋曰此以底勾□ 立法測望甲出北門東行底勾也乙斜行至樹下□ 也術曰底勾減二□ 餘一百三十二以底勾乘之得二萬六千四百又以□ 筭一千一百五十六乘之得三千○五十一萬八千四百為三乘方實倍底勾以□ 筭乘之得四十六萬二千四百為從方底勾減□ 餘自之得二萬七千五百五十六為從一廉底勾減□ 餘倍之得三百三十二為從二廉作帶從方上廉以下廉減從開三乘方法除之得□股三十求城徑以□勾股求容圓法求之帶從方廉以下廉減從開三乘方曰約初商得三十置一於左上為法置一自之得九百以乘從二廉得二十九萬八千八百為減廉以減從方餘一十六萬三千六百為從方置一乘第一廉得八十二萬六千六百八十為益廉置一自乘再乘得二萬七千為隅法併從方益廉隅法共一百○一萬七千二百八十為下法與上法相乘除實盡得三十為□股後凡如此類者俱倣此乙出南門東行不知步數而立甲出北門東行二百步見之乃斜行二百七十二步與乙相㑹釋曰此以底勾黄長立法測望東行底勾也斜行黄長也術曰二行相減餘七十二為差以乘甲東行得半徑筭四之即全徑筭各以平方開之乙出東門南行不知步數而立甲出北門東行二百步見之斜行一百七十步與乙㑹釋曰此以底勾小差立法測望乙出東門行三十步乃東之山甲出北門東行底勾也斜行與乙㑹乃山之地小差也術曰以二行差三十乘甲東行得六千為平實以斜行一百七十為從方作減從翻法開平方法除之得半徑減從翻法開平方法見二卷及三卷底勾□股條乙出東門東行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城相叅直乃斜行一百三十六步與乙㑹釋曰此以底勾下平立法測望甲東行底勾也斜行與乙㑹下平也術曰倍二行差以減東行步餘七十二以乘東行得半徑筭倍平減底勾以底勾乘之亦同大差勾與别測望三乙從城外東北艮隅東行不知步數而立甲從城外西南坤隅東行一百九十二步望乙與城角相叅直復斜行二百七十二步與乙㑹釋曰此以大差勾黄長立法測望甲從坤隅東行為坤之月大差勾也斜行與乙㑹乃月之地黄長也術曰倍大差勾減黄長餘一百一十二為倍勾減差自之得一萬二千五百四十四黄長自之得七萬三千九百八十四相減餘六萬一千四百四十為平實以倍勾減差四之得四百四十八為從八為益隅作負隅減法開平方法除之得半徑負隅以從減法開平方曰置實于左以從約之初商一百置一于左上為法置一乘隅法得八百以減去從方四百四十八餘三百五十二為下法與上法相乘除實三萬五千二百餘實二萬六千二百四十倍隅法得一千六百為廉法次商二十置一於左上為法置一乘隅法得一百六十併入廉法共一千七百六十減去從方四百四十八餘一千三百一十二為下法與上法相乘除實盡後凡言負隅以從減法開平方法者倣此又為以從添積負隅開平方法詳見八卷皇極和和與太虚勾股較條下明勾與别測望四乙出東門不知步數而立甲出南門東行七十二步見之又斜行一百三十六步就乙釋曰此以明勾平測望甲出南門東行七十二步明勾也斜行就乙乃月之川下平也術曰斜行自之得一萬八千四百九十六為平筭二行相減餘六十四自之得四千○九十六為差筭即平勾筭以減筭餘為平股筭開之得股平股即圓半徑也乙出東門南行不知步數而立甲出南門往東七十二步見乃斜行一百○二步與乙㑹問城徑釋曰此以明勾太虚立法測望甲出南門東行明勾也斜行就乙太虚也術曰二行相減餘三十為差斜行自之為斜筭倍差乘東行又倍之為八千六百四十以減斜筭餘一千七百六十四平方開之得四十二為較倍差乘東行得四千三百二十為實較為從方平方開之得四十八為虚勾加較為股併為和和即城徑測圓海鏡分類釋術卷四欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷五元李冶撰明顧應祥釋術通股與别測望一圓城乙出東門東行不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步見之復斜行五百四十四步與乙相㑹釋曰此以通股邊立法測望甲從乾隅南行六百步通股也斜行乃天之川邊也術曰二行相減餘五十六為差差乘南行得三萬三千六百又以半南行乘之得一千○○八萬為立方實半南行以乘南行得一十八萬與差乘南行相併得二十一萬三千六百為從方倍南行得一千二百為從廉作帶從廉減從方翻法開立方法除之得半徑帶從廉減從翻法開立方曰置所得實于左以從方從廉約之初商一百置一於左上為法置一乘從廉得一十二萬以減從方餘九萬三千六百為從置一自之得一萬為隅法併從方共一十○萬三千六百為下法與上法相乘應除實一千○三十六萬實不滿法反除實一千○○八萬餘二十八萬為負積倍從廉得二十四萬三因隅法得三萬為方法三因初商得三百為廉法約次商二十置一於左上為法置一乘從廉得二萬四千併入倍廉共二十六萬四千以減從方不及反減從方二十一萬三千六百餘五萬四百為負從置一乘廉法得六十置一自之得四百為隅法併方廉隅共三萬六千四百以減負從餘一萬四千為下法與上法相乘除實盡此術改為以從廉添積開立方亦可後凡言帶從廉減從方翻法開立方法者俱倣此出城東門外往南有樹甲從西北乾隅南行六百步見樹斜行五百一十步至樹下問城徑釋曰此以通股黄廣測望南行通股也斜行乃天之山黄廣也術曰二行相減餘九十為差倍差以乘倍南行得二十一萬六千為實差併南行倍之得一千三百八十為從二為隅算作減從負隅開平方法除之得全徑減從負隅開平方法見二卷通勾□勾條又曰倍差乘南行得一十○萬八千為實差併南行共六百九十為從方作減從開平方法除之得全徑不用隅算減從開平方法見二卷底勾□勾條出城南門外往東不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步望樹與城相叅直乃斜行四百○八步至樹下問城徑釋曰此以通股大差立法測望南行通股也斜行乃天之月大差也術曰南行自之得三十六萬為南行筭兩行相乘得二十四萬四千八百倍之内減南行筭餘一十二萬九千六百為實倍南行得一千二百為從作減從開平方法除之得半徑減從開平方法見二卷〈底勾□勾條〉又術兩行相乘得二十四萬四千八百以減南行筭餘一十一萬五千二百為實二為隅算作負隅開平方法除之得全徑負隅開平方法見一卷〈底勾底條下〉圓城南門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步望樹與城叅直斜行二百五十五步至樹下問城徑釋曰此以通股上高立法測望甲南行為通股斜行為天之日上高也術曰二行相減餘三百四十五為差倍之減甲南行餘九十以乘南行得五萬四千為實以倍差六百九十為從方以二為隅算作負隅減從開平方法除之得半徑負隅減從開平方法見二卷〈通勾□勾條〉圓城南門外不知步數有槐一株東門外不知步數有栁一株有人從城外西北隅南行六百步望二樹與城東南角相叅直其槐栁斜相距二百八十九步問城徑釋曰此以通股皇極立法測望南行為通股二樹斜相距步即皇極日之川也術曰南行步與二樹相距步相乘又自之得三百○○億六千七百五十六萬為三乘方實通股乘皇極筭倍之得一億○○二十二萬五千二百為從方通股皇極相乘倍之得三十四萬六千八百為從一廉倍皇極得五百七十八為從二廉二為隅算作帶從負隅以廉隅添積開三乘方法除之得二百五十五為皇極股求城徑以皇極股求皇極勾得一百三十六勾股相乘倍為實以除之得容圓全徑帶從負隅以廉隅添積開三乘方曰置所得三乘方實從方從廉隅算約之初商二百置一於左上為法置一乘從一廉得六千九百三十六萬為益從加從方共一億六千九百五十八萬五千二百為下法置一自之以乘從二廉得二千三百一十二萬為益隅置一自乘再乘以隅筭因之得一千六百萬為隅法併益隅共三千九百一十二萬為益積之法以初商因之得七十八億二千四百萬為益實添入原積得三百七十八億九千一百五十六萬為通實以下法上法相乘除實三百三十九億一千七百○四萬餘三十九億七千四百五十二萬為次商之實二因益從得一億三千八百七十二萬為益從方三因益隅得六千九百三十六萬為益隅之方三之初商乘從二廉得三十四萬六千八百為益隅之廉四因隅法得六千四百萬為方法初商自之六因又隅因之得四十八萬為上廉初商四之隅因得一千六百為下廉約次商得五十置一於左上為法置一乘從廉得一千七百三十六萬為益從廉併益從方共一億五千六百○六萬為益從之實加入從方共二億五千六百二十八萬五千二百為下法置一乘益隅之廉得一千七百三十四萬置一自之以乘從二廉得一百四十四萬五千為益隅之隅併益隅方廉隅共八千八百一十四萬五千為益隅之實置一乘上廉得二千四百萬置一自之以乘下廉得四百萬置一自乘再乘隅因得二十五萬為隅法併方上下廉隅法共九千二百二十五加益隅之實共一億八千○三十九萬五千為益積之法以次商乘之得九十○億一千九百七十五萬為益實添入餘積共一百二十九億九千四百二十七萬為通實以下法與上法相乘除實一百二十八億一千四百二十六萬餘一億八千○○一萬為二商之實二因益從廉得三千四百六十八萬併入益從方得一億七千三百四十萬為益從方二因益隅之廉得三千四百六十八萬三因益隅之隅得四百三十三萬五千俱併入益隅方得一億○八百三十七萬五千為益隅方併初次商三之以乘從二廉得四十三萬三千五百為益隅之廉二因上廉得四千八百萬三因下廉得一千二百萬四因隅法得一百萬併入方法共一億二千五百萬為方法併初次商自之六因又隅因之得七十五萬為上廉併初次商四之隅因得二千為下廉約三商得五置一於左上為法置一乘從一廉得一百七十三萬四千為益從廉併益從方得一億七千五百一十三萬四千為益從之實加入從方共二億七千五百三十五萬九千二百為下法置一乘益隅之廉得二百一十六萬七千五百置一自之以乘從二廉得一萬四千四百五十為益隅之隅併益隅方廉隅共一億一千○五十五萬六千九百五十為益隅之實置一乘上廉得三百七十五萬置一自之以乘下廉得五萬置一自乘再乘隅因得二百五十為隅法併方上下廉隅共一億二千八百八十○萬○二百五十加益隅之實得二億三千九百三十五萬七千二百為益積之法以三商因之得一十一億九千六百七十八萬六千為益實添入餘積得一十三億七千六百七十九萬六千為通實下法與上法相乘除盡又為以二廉隅減一廉從方開三乘方其法曰初商二百置一於左上為法置一乘從一廉得六千九百三十六萬為益從方併從方共一億六千九百五十八萬五千二百為從置一自之以乘從二廉得二千三百一十二萬為益隅之實置一自乘再乘隅因得一千六百萬為隅法加益隅之實得三千九百一十二萬為減實以減從餘一億三千○四十六萬五千二百為下法與上法相乘除實二百六十○億九千三百○四萬餘三十九億七千四百五十二萬為次商之實二因益從之實得一億三千八百七十二萬為益從方三因益隅之實得九千六百三十六萬為益隅之方三之初商以乘從二廉得三十四萬六千八百為益隅之廉初商自之六因又隅因得四十八萬為上廉初商四之隅因得一千六百為下廉次商五十置一於左上為法置一乘從一廉得一千七百三十四萬為益從之廉併益從方得一億五千六百○六萬為益從之實加入從方共二億五千六百二十八萬五千二百為從置一乘益隅之廉得一千七百三十四萬置一自之以乘從二廉得一百四十四萬五千為益隅之隅併益隅方廉隅共八千八百一十四萬五千為益隅之實置一乘上廉得二千四百萬置一自之以乘下廉得四百萬置一自乘再乘隅因得二十五萬為隅法併方廉隅得九千一百二十五萬加益隅之實得一億八千○三十九萬五千為減實以減從餘七千五百八十九萬○二百為下法與上法相乘除實三十七億九千四百五十一萬餘一億八千○○一萬為三商之實二因益從方廉得三千四百六十八萬併入益從方得一億七千三百四十萬為益從方二因益隅之廉得三千四百六十八萬三因益隅之隅得四百三十三萬五千俱併入益隅之方得一億○八百三十七萬五千為益隅之方併初次商三之以乘從二廉得四十三萬三千五百為益隅之廉二因上廉得四千八百萬三因下廉得一千二百萬四因隅法得一百萬併入方法共一億二千五百萬為方法併初次商自之十二因得七十五萬為上廉併初次商八因得二千為下廉三商得五置一於左上為法置一乘從一廉得一百七十三萬四千為益從廉併益從方得一億七千五百一十三萬四千為益從之實加入從方共二億七千五百三十五萬九千二百為從置一乘益隅之廉得二百一十六萬七千五百置一自之以乘從二廉得一萬四千四百五十為益隅之隅併益隅方廉隅共一億一千○五十五萬六千九百五十為益隅之實置一乘上廉得三百七十五萬置一自之以乘下廉得五萬置一自乘再乘隅因得二百五十為隅法併方廉隅共一億二千八百八○萬○二百五十加益隅之實得二億三千九百三十五萬七千二百為減實以減從餘三千六百○○二千為下法與上法相乘除實盡右二法已見四卷通勾皇極下因其頭緒太繁故重出以便學者丙出南門南行乙出南門東行各不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙丙悉與城相叅直既而丙欲就乙乃斜行一百五十三步相㑹問城徑釋曰此以通股明立法測望丙出南門而南為明股乙出南門而東為明勾丙之斜行就乙則明也甲南行六百通股也術曰通股自之得三十六萬為通股筭又以通股乘之得二億一千六百萬明乘通股筭倍之得一億一千○一十六萬二數相減餘一億○五百八十四萬為立方實倍通股筭得七十二萬明通股相乘倍之得一十八萬三千六百二數相減餘五十三萬六千四百為從方通股六之得三千六百為從廉六為隅筭作帶從廉負隅以隅減從開立方法除之得半徑帶從廉負隅以隅減從開立方曰置所得立實以從方廉約之初商一百置一於左上為法置一乘從廉得三十六萬置一自之又以隅因之得六萬為隅法以減從方餘四十七萬六千四百併從廉共八十三萬六千四百為下法與上法相乘除實八千三百六十四萬餘實二千二百二十萬倍從廉得七十二萬三因隅法得一十八萬為方法三因初商得三百以隅因之得一千八百為廉法次商二十置一於左上為法置一乘從廉得七萬二千加入倍廉得七十九萬二千置一自之又隅因得二千四百為隅法置一乘廉法得三萬六千併方法廉隅共二十一萬八千四百以減原從方餘三十一萬八千併入從廉共一百一十一萬為下法與上法相乘除實盡又為帶從方廉負隅以隅添積開立方法其法曰初商一百置一於左上為法置一自之以隅因得六萬與上法相乘得六百萬為益實添入積内共一億一千一百八十四萬為實置一乘從廉得三十六萬併從方共八十九萬六千四百為下法與上法相乘除實八千九百六十四萬餘實二千二百二十萬三因隅法得一十八萬為方法三因初商以隅因得一千八百為廉法次商二十置一於左次為上法置一乘廉法得三萬六千置一自之隅因得二千四百為隅法併方廉隅共二十一萬八千四百與上法相乘得四百三十六萬八千為益實添入餘積共二千六百五十六萬八千為實倍初商加次商得二百二十以乘從廉得七十九萬二千併從方共一百三十二萬八千四百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從廉負隅以隅減從開立方法俱倣此或減從或添積隨意又術通股自之得三十六萬為通股筭又以斜行乘之得五千五百○八萬為立方實通股明相乘得九萬一千八百與半通股筭相減餘八萬八千二百為從方五分為隅法作帶從負隅開立方法除之得三百六十為股圓差以減通股得城徑帶從方負隅開立方曰置實於左從于右約初商得三百置一於左上為法置一自之得九萬以隅算五分因得四萬五千為隅法併從方共一十三萬三千二百為下法與上法相乘除實三千九百九十六萬餘實一千五百一十二萬三因隅法得一十三萬五千併從方共二十二萬三千二百為方法三因初商得九百隅因得四百五十為廉法次商六十置一於左上為法置一乘廉法得二萬七千置一自之隅因得一千八百為隅法併方廉隅共二十五萬二千為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從方負隅開立方法者俱倣此丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙丙與城相叅直既而乙欲就内乃斜行一百○二步相㑹問城徑釋曰此以通股太虚立法測望甲南行通股也丙斜行一百○二步就乙太虚也術曰南行自之得三十六萬為通股筭以斜步乘之得三千六百七十二萬倍之得七千三百四十四萬為立方實倍南行乘斜行得一十二萬二千四百倍南行筭得七十二萬二數相併得八十四萬二千四百為從方四之南行得二千四百為益廉四步為隅算作帶從負隅以從廉減從方開立方法除之得半徑帶從負隅以廉減從方開立方法見四卷通勾□ 條下又為帶從負隅以廉添積開立方法法見四卷通勾太虚條下又術通股筭乘太虚倍之得七千三百四十四萬為立實通股虚相乘得六萬一千二百加通股筭得四十二萬一千二百為從方以通股六百為益廉五分為隅算作帶從負隅以廉減從開立方法除之得全徑法與前同或減從或添積隨意東門外往南不知步數有石柱一箇乙出東門直行不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望石柱與乙與城相叅直乙乃斜行三十四步至石柱下問城徑釋曰此以通股□ 立法測望甲南行通股也乙斜行□ 也術曰通股□ 相乘得二萬○四百又以通股筭三十六萬乘之得七十三億四千四百萬為三乘方實 □ 乘通股筭三之得三千六百七十二萬為從方通股筭内減去兩箇通股□ 相乘之數餘三十一萬九千二百為從一廉倍通股得一千二百為第二廉二為隅算作帶從方廉負隅以二廉減從開三乘方法除之得半徑帶從方廉負隅以二廉減從開三乘方曰置所得三乘方實以從方廉隅算約之初商一百置一於左上為法置一自之以乘二廉得一千二百萬為減廉以減從方餘二千四百七十二萬為從方置一乘從一廉得三千一百九十二萬為益廉置一自乘再乘又以隅法因之得二百萬為隅法併從方益廉隅法得五千八百六十四萬為下法與上法相乘除實五十八億六千四百萬餘實一十四億八千萬四因隅法得八百萬為方法初商自之六因又以隅法因之得一十二萬為上廉初商四之又以隅因之得八百為下廉約次商得二十置一於左次為上法倍初商加次商得二百二十以乘二廉得二十六萬四千又併初次商得一百二十因之得三千一百六十八萬為減廉以減餘從不及減反減餘從二千四百七十二萬餘六百九十六萬為負從倍初商加次商為二百二十以乘從一廉得七千○二十二萬四千為益廉置一乘上廉得二百四十萬置一自之以乘下廉得三十二萬置一自乘再乘又以隅因之得一萬六千為隅法併方法益廉上下廉隅法共八千○九十六萬減去負從六百九十六萬餘七千四百萬為下法與上法相乘除實盡此術已見四卷通勾明條下因後有翻減從不同故重出又為帶從方負隅以二廉添積開三乘方如前約初商一百置一於左上為法置一自之以乘從二廉得一千二百萬與上法相乘得一十二億為益積添入原積共八十五億四千四百萬為實置一乘從一廉得三千一百九十二萬為益廉置一自乘再乘又以隅算因之得二百萬為隅法併從方益廉隅法共七千○六十四萬為下法與上法相乘除實七十○億六千四百萬餘實一十四億八千萬倍益廉得六千三百八十四萬四因隅法得八百萬為方法初商自之六因又隅因得一十二萬為上廉初商四之又隅因得八百為下廉約次商得二十置一於左次為上法倍初商加次商為二百二十併初次商得一百二十相因得二萬六千四百又加初商自之一萬共三萬六千四百以乘從二廉得四千三百六十八萬與上法相乘得八億七千三百六十萬為益實添入餘積共二十三億五千三百六十萬為實置一乘從一廉得六百三十八萬四千併倍益廉共七千○二十二萬四千置一乘上廉得二百四十萬置一自之以乘下廉得三十二萬置一自乘再乘以乘隅算得一萬六千為隅法併方法從方益廉上下廉隅法共一億一千七百六十八萬為下法與上法相乘除實盡又術曰半通股筭以乘通股筭得六百四十八億為三乘方實通股自乘再乘得二億一千六百萬□ 乘通股筭得一千二百二十四萬倍得二千四百四十八萬二數相併得二億四千○四十八萬為從方 □ 乘通股倍之為四萬○八百以減通股筭餘三十一萬九千二百為從一廉以通股六百為從二廉半步為隅算作帶從廉負隅減從以二廉益從開三乘方法除之得三百六十為股圓差以減通股即圓徑帶一廉負隅減從以二廉益從開三乘方曰置所得三乘方實以從方廉隅約之初商三百置一於左上為法置一乘從一廉得九千五百七十六萬為益隅之廉置一自乘再乘以隅算半步因得一千三百五十萬為隅法算併益隅之廉共一億○九百二十六萬以減從方餘一億三千一百二十二萬為從置一自之得九萬以乘從二廉得五千四百萬為益從併入餘從共一億八千五百二十二萬為下法與上法三百相乘除實五百五十五億六千六百萬餘實九十二億三千四百萬倍益隅之廉得一億九千一百五十二萬四因隅法得五千四百萬為方法初商自之六因又以隅算因之得二十七萬為上廉初商四之又以隅算因之得六百為下廉約次商得六十置一於左次為上法置一乘從一廉得一千九百一十五萬二千併入倍益隅之廉得二億一千○六十七萬二千為益廉置一乘上廉得一千六百二十萬置一自之以乘下廉得二百一十六萬置一自乘再乘又以隅因之得一十○萬八千併方法廉隅共七千二百四十六萬八千加益廉得二億八千三百一十四萬以減原從不及翻減從方二億四千○四十八萬餘四千二百六十六萬為負從倍初商加次商得六百六十併次商得三百六十相因得二十三萬七千六百又加初商自之九萬共三十二萬七千二百以乘二廉得一億九千六百五十六萬減去負從四千二百六十六萬餘一億五千三百九十萬為下法與上次法六十相乘除餘實盡若不翻減乘出二廉併從方以從一廉隅法減之亦是東門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步立定乙出北門東行斜望樹及甲與城相叅直遂斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以通股下平立法測望甲南行通股也乙之斜行下平也術曰通股平相乘得八萬一千六百又以半通股乘之得二千四百四十八萬為立方實半通股乘通股得一十八萬併通股平相乘之數得二十六萬一千六百為從方六百為從廉作以從廉減從開立方法除之得半徑帶從以廉減從開立方法見四卷通勾上高條下邊股與别測望二乙從城外西北乾隅東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行六百八十步與乙相㑹問城徑釋曰此以邊股通立法測望甲出西門南行邊股也斜行通也術曰二行相減餘二百為差相併得一千一百六十為和以差乘和減去差筭四萬餘一十九萬二千為實和差相併得一千三百六十為從方二為隅法作帶從負隅開平方法除之得半徑帶從負隅開平方法見四卷底勾通條乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直又斜行四百○八步與乙相㑹問城徑釋曰此以邊股大差立法測望甲出西門南行邊股也又斜行就乙乃天之月大差也術曰二行相減餘七十二為差以乘甲南行得三萬四千五百六十為實以斜行四百○八步為益從方作減從開平方法除之得半徑減從開平方法曰初商一百置一於左上為法置一減從方餘三百○八為下法與上法相乘除實三萬○八百餘實三千七百六十從方内再減一百商次位得二十置一於左次為上法置一減餘從餘一百八十八為下法與上法相乘除實盡此法已見二卷底勾□勾下因從有重位故重出乙出南門直行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行二百五十五步與乙㑹問城徑釋曰此以邊股上高立法測望甲出西門南行邊股也斜行就乙乃天之日上高也術曰倍斜行減南行餘三十以乘南行得半徑筭又曰斜行減南行餘自之得五萬○六百二十五為上高股筭斜行自之為筭二筭相減開其餘亦半徑南門外往南不知步數有樹乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與樹正與城相叅直乙乃斜行一百五十三步至樹下問城徑釋曰此以邊股明立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹下明也術曰邊股内減二明餘一百七十四以乘邊股得八萬三千五百二十明自之得二萬三千四百○九二數相乘得一十九億五千五百一十一萬九千六百八十為三乘方實邊股乘明筭倍之得二千二百四十七萬二千六百四十為從方邊股減明餘自之得一十○萬六千九百二十九為從一廉邊股減明餘倍之得六百五十四為從二廉作帶從益廉以二廉減從開三乘方法除之得明勾七十二以勾求股得一百三十五以明勾股求容圓術求之得城徑帶從益廉以二廉減從開三乘方曰以所得三乘方實以從方廉約之初商七十置一於左上為法置一自之以乘二廉得三百二十○萬四千六百為減從之廉以減從方餘一千九百二十六萬八千○四十為從置一乘一廉得七百四十八萬五千○三十為益從之廉置一自乘再乘得三十四萬三千為隅法併從方益廉隅法共二千七百○九萬六千○七十為下法與上法相乘除實一十八億九千六百七十二萬四千九百餘實五千八百三十九萬四千七百八十為次商之實四因隅法得一百三十七萬二千為方法初商自之六因得二萬九千四百為上廉初商四之得二百八十為下廉次商得二置一於左上為法倍初商加次商得一百四十二以乘二廉得九萬二千八百六十八又併初次商得七十二因之得六百六十八萬六千四百九十六為減從以減餘從尚餘一千二百五十八萬一千五百四十四為從方倍初商加次商得一百四十二以乘從一廉得一千五百一十八萬三千九百一十八為益從廉置一乘上廉得五萬八千八百置一自之以乘下廉得一千一百二十置一自乘再乘得八為隅法併方法從方益廉上下廉隅法共二千九百一十九萬七千三百九十為下法與上法相乘除實盡此法已見四卷底勾□ 條因此有重位故重出又為帶從方廉以二廉添積開三乘方法法以類推東門之南不知步數有樹乙出東門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望樹與乙與城相叅直乙復斜行三十四步至樹下問城徑釋曰此以邊股□ 立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹□ 也術曰半□ 乘邊股得八千一百六十為實□ 邊股和半之得二百五十七為帶從方半步為隅法以帶從負隅開平方法求得□股三十以□股乘邊股即半徑筭帶從負隅開平方法見四卷底勾通條乙出東門南行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行五百一十步㑹乙問城徑釋曰此以邊股黄廣立法測望甲出西門南行邊股也斜行乃天之山黄廣也術曰斜行減南行餘三十為差差乘南行即半徑筭東門外不知步數有樹乙從城外西北乾隅東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步見乙與樹與城相叅直既而乙斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以邊股下平立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹下為川之地下平也術曰邊股自之得二十三萬○四百為筭以平乘之得三千一百三十三萬四千四百為立方實以邊股筭為從方平為從廉作帶從方廉開立方法除之得半徑帶從方廉開立方法見四卷底勾下高條下小差股與别測望三甲從城外西南坤隅復往南行不知步數而立乙從城外東北艮隅南行一百五十步望見之乃斜行五百一十步就乙相㑹問城徑釋曰此以小差股黄廣立法測望乙從艮隅南行小差股也斜行與甲㑹黄廣也術曰斜行自之得二十六萬○一百為黄廣筭倍南行以減斜行餘二百一十自之得四萬四千一百○二數相減餘二十一萬六千為實倍南行以減斜行餘四之得八百四十為從八為隅筭作帶從負隅開平方法除之得半徑帶從負隅開平方法見四卷底勾通條下 □股與别測望四甲出南門南行不知逺近而立乙出東門南行三十步見之却斜行二百五十五步與甲同立問城徑釋曰此以□股下高立法測望乙南行□股也斜行至甲處乃日之山下高也術曰斜行自之得六萬五千○二十五為高筭斜行減南行餘二百二十五自之得五萬○六百二十五即高股筭二筭相減餘一萬四千四百即高勾筭即半徑筭甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行三十步見之遂斜行一百○二步與甲㑹問城徑釋曰此以□股太虚立法測望乙出東門南行□股也斜行就甲太虚也術曰二行相減餘七十二為差以乘南行又四之得八千六百四十斜行自之得一萬○四百○四為虚筭二數相併得一萬九千○四十四為平實平方開之得一百三十八為太虚勾股和加斜步即城徑又曰倍虚筭減平實平實即和筭也餘一千七百六十四平方開之得較四十二減和半之為勾加和半之為股以虚勾股求容圓亦通測圓海鏡分類釋術卷五 <子部,天文算法類,算書之屬,測圓海鏡分類釋術> 欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷六元李冶撰明顧應祥釋術勾與和測望一甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行三百二十步見之甲又斜行與相會計甲直行斜行共一千二百八十步問城徑釋曰此通勾與通股和測望乙東行通勾也甲直斜共行通股和也術曰勾自之得一十○萬二千四百以和除之得八十為股較以較減和半之為股以勾股求容圓術求之得城徑又曰勾和各自乘相減為實倍和除之得股相併為實倍和除之得邉勾以下俱以類推即是乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立只云丙行多於乙步甲從乾隅東行三百二十步望乙丙與城相叅直計乙丙共行一百○二步問城徑釋曰此以通勾與明勾□股和測望甲東行通勾也乙出東門南行為□股丙出南門東行為明勾共計一百○二步明勾□股和也術曰倍共步乘東行筭得二千○八十八萬九千六百為立方實共步乘東行加東行筭得一十三萬五千○四十為從方東行為從亷五分為隅算作帶從負隅以亷減從開立方法除之得全徑帶從負隅以亷減從半翻法開立方曰置所得實以從方約之初商二百置一於左上為法置一乘從亷得六萬四千以減從方存七萬一千○四十為從置一自之得四萬以隅算五分因之得二萬為隅法併從共九萬一千○四十為下法與上法相乘除實一千八百二十○萬八千餘實二百六十八萬一千六百從方内再減六萬四千止餘七千○四十為從三因隅法得六萬為方法三因初商得六百為亷法次商四十置一於左次為上法置一乘從亷得一萬二千八百以減餘從不及減反減餘從七千○四十餘五千七百六十為負從置一乘亷法以隅因得一萬二千置一自之隅因得八百為隅法併方亷隅共七萬二千八百減去負從餘六萬七千○四十為下法與上法相乘除實盡法已見四卷通勾太虚條因以五分為隅故重出又為帶從負隅以亷添積開立方法法見四卷通勾虚條下乙出東門東行丙出南門南行各不知步數而立甲從乾隅東行三百二十步望乙丙二人俱與城相參直計乙丙共行一百五十一步問城徑釋曰此以通勾與□勾明股和立法測望甲東行通勾乙東行□勾丙南行明股也術曰通勾自之得一十萬○二千四百半之得五萬一千二百又自之得二十六億二千一百四十四萬為三乘方實以三百六十二乘半通勾筭得一千八百五十三萬四千四百為從方通勾乘和步得四萬八千三百二十為從一亷五之通勾得一千六百為從二亷二分五釐為常法作帶從方亷三乘方法開之得八十為小差小差者通股較也以減通勾即城徑帶從方亷負隅單位開三乘方曰置所得三乘方實以亷隅約之商得八十置一於左上為法置一乘從一亷得三百八十六萬五千六百置一自之以乘從二亷得一千○二十四萬置一自乘再得五十一萬二千以二分五釐因之得一十二萬八千為隅法併從方一亷二亷隅法得三千二百七十六萬八千為下法與上法相乘除實盡東門外徃南有樹乙出東門徃東不知步數而立甲出北門東行二百步斜望乙與樹正與城相叅直既而乙復折而斜行至樹下與甲相望計乙直行斜行共五十步釋曰此以底勾與□勾和立法測望甲出北門東行底勾也乙一直一斜□勾□ 也術曰底勾與和相減餘一百五十為差差加底勾復以差乘之得數半之得二萬六千二百五十差自之得二萬二千五百二數相減餘三千七百五十為實併勾和半之得一百二十五為法實如法而得一南門外往東不知步數有樹乙出南門南行不知步數而立甲出北門東行二百步見樹與乙與城相叅直乙復斜行至樹下與甲相望計乙一直一斜共二百八十八步問城徑釋曰此以底勾與眀股和立法測望甲出北門東行底勾也乙出南門南行明股也斜行明也術曰勾和相減餘半之得四十四為半差以減底勾餘一百五十六為汛率汎率自之又倍之得四萬八千六百七十二半差乘和步得一萬二千六百七十二二數相減餘三萬六千為實半底勾減和步得一百八十八倍汎率得三百一十二二數相併得五百為法實如法而一得明勾勾與較測望二甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行三百二十步見之甲又斜行與乙相㑹計甲直行不及斜行八十步釋曰此以通勾與股較測望乙東行通勾也甲直行不及斜行股較也術曰較除勾筭得一千二百八十為股和減較半之為股加較半之為邉勾以下俱即此類推股與和測望三甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙東行不知步數見之又斜行與甲相㑹計乙直斜共行一千步問城徑釋曰此以通股勾和測望甲南行通股也乙直東行與斜行共勾和也術曰股自之得三十六萬和除之得三百六十為勾較減和半之為勾加和半之為邉股以下推此甲從乾隅南行六百步而立乙出南門直行丙出東門直行三人相望俱與城相叅直計其行步則乙與丙共行一百五十一步釋曰此以通股□勾明股和立法測望甲行通股乙行眀股丙行□勾也共之和也術曰通股為筭半而自之得三百二十四億為三乘方實倍和加通股以乘半通股筭得一億六千二百三十六萬為從方通股乘和步得九萬○六百為從一亷通股加半股得九百為從二亷二分五釐為隅算作帶從方亷負隅以二亷減從翻法開三乘方法除之得三百六十為股圓差以減通股即圓徑帶從方亷負隅以二亷減從翻法開三乘方曰置所得三乘方實以從方亷隅約之初商三百置一於左上為法置一自之以乘二亷得八千一百萬以減從方餘八千一百三十六萬置一乘從一亷得二千七百一十八萬置一自乘再乘以隅算二分五釐因之得六百七十五萬為隅法併從方從一亷隅法共一億一千五百二十九萬為下法與上法相乘除實三百四十五億八千七百萬實不滿法反減實三百二十四億餘二十一億八千七百萬為負積四因隅法得二千七百萬為方法初商自之六因又以隅因之得一十三萬五千為上亷初商四之隅因之得三百為下亷商次位得六十置一於左次為上法倍初商加次商得六百六十以乘從二亷得五十九萬四千又併初次商得三百六十因得二億四千三百八十四萬以減餘從亦不及減反減從八千一百三十六萬餘一億三千二百四十八萬為負從置一倍初商加次商得六百六十以乘從一亷得五千九百七十九萬六千置一乘上亷得八百一十萬置一自之以乘下亷得一百○八萬置一自乘再乘隅因之得五萬四千為隅法併方法從一亷上下亷隅法共九千六百○三萬以減負從餘三千六百四十五萬與上次法除負積二十一億八千七百萬又為帶從方負隅以二亷添積開三乘方其法曰初商三百置一於左上為法置一自之以乘從二亷得八千一百萬與上法相乘得二百四十三億為益實加入原實共五百六十七億為實置一乘從一亷得二千七百一十八萬為益亷置一自乘再乘得二千七百萬以隅算二分五釐因之得六百七十五萬為隅法併從方從益亷隅法共一億九千六百二十九萬為下法與上法相乘除實五百八十八億八千七百萬實不滿法反除實五百六十七億餘二十一億八千七百萬為負積四因隅法得二千七百萬為方法初商自之六因又以隅因之得一十三萬五千為上亷初商四之隅因得三百為下亷次商六十置一於左次為上法置一倍初商加次商得六百六十又併初次商相因得三百六十得二十三萬七千六百又加初商自之九萬共三十二萬七千六百以乘從二亷得二億九千四百八十四萬與上次法六十相乘得一百七十六億九千○四十萬減去負積存一百五十五億○三百四十萬為實倍初加次共六百六十以乘從一亷得五千九百七十九萬六千為益從亷置一乘上亷得八百一十萬置一自之以乘下亷得一百○八萬置一自乘再乘隅因得五萬四千為隅法併方法益亷上下亷隅法共九千六百○三萬併從方共二億五千八百三十九萬為下法與上法相乘除實盡右開三乘方内俱帶翻法后如此類者倣此南門之東不知步數有樹乙出南門南行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與樹俱與城相叅直乙復斜行至樹下與甲相望計乙直行斜行共二百八十八步問城徑釋曰此以邉股及明股和立法測望甲出西門南行邉股也乙出南門直行明股斜行至樹明也共步明股和也術曰股和相減餘一百九十二為差加股復以差乘之折半得六萬四千五百一十二差自之得三萬六千八百六十四二數相減餘二萬七千六百四十八為實併股和半之得三百八十四為法實如法而一得明勾七十二以明勾股求圎徑東門外往南有樹乙出東門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望樹與乙俱與城相叅直既而乙斜行至樹下與甲相望計乙直斜行共五十步釋曰此以邉股及□勾和立法測望甲出西門南行邉股也乙直行□勾斜行□ 也術曰股和相併半之得二百六十五為汛率以汎率減邉股餘二百一十五自之得四萬六千二百二十五和步乘汎率得一萬三千二百五十半之得六千六百二十五二數相減餘三萬九千六百為平實以汎率減邉股六之得一千二百九十為從方作帶從開平方法開之得□股三十𢃄從開平方法見一卷股與較測望四甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙東行不知步數見之又斜行與甲相㑹計乙行直步不及斜三百六十步問城徑釋曰此以通股勾較測望甲南行通股也乙東行不及斜行勾較也術曰股自乘較除之得勾利減較半之為勾加較半之為邉股以下推此與和測望五甲乙二人俱在城外西北乾隅乙向南行不知步數而立甲向東行亦不知步數望見之遂斜行六百八十步與乙㑹計甲之東與乙之南共九百二十步問城徑釋曰此以通與勾股和測望甲斜行與乙㑹也甲之東為勾乙之南為股共步和也術曰倍筭與和筭相減餘為實平方開之得勾股較減和半之為勾加和半之為股邉以下推此甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西門向南直行壬從北門穿城南行四人遙相望悉與城相叅直只云甲丙相望處斜量六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步問城徑釋曰此通與邉勾底股和立法測望甲丙相望通也庚從西門穿城東行邉勾也壬從北門穿城南行底股也共步和也術曰共步自之得三十九萬八千一百六十一為和筭共步減相望處步餘自之得二千四百○一為差筭差筭減和筭餘三十九萬五千七百六十為平實倍斜步加差四十九共一千四百○九為從作帶從開平方法除之得全徑帶從開平方法見一卷甲乙二人共立於城外東北艮隅乙南行過城門而立甲東行望乙與城相叅直而止丙丁二人共立於城外西南坤隅丁向東過城門而立丙向南行望丁及甲乙悉與城相叅直丙復斜行六百八十步與甲相㑹計乙之南與丁之東共三百四十二步問城徑釋曰此通與大差勾小差股和立法測望乙從艮隅而南過城門而立山之艮小差股也以甲東行為勾丁從坤隅東行過城門而立坤之月大差勾也以丙南行為股丙斜行與甲相會通也乙丁直行共步大差勾與小差股和也術曰斜步共步相乘倍之得四十六萬五千一百二十為實斜步共步相減餘三百三十八為差倍斜行加差共一千六百九十八為從作帶從開平法除之得全徑帶從開平方法見前甲出東門東行乙出南門南行各不知步數相望與城相叅直甲復斜行二百八十九步與乙相㑹乙直行長甲直行短共計一百五十一步問城徑釋曰此以皇極 □勾明股和立法測望甲東行為□勾乙南行為明股甲之斜行皇極也術曰斜行自之得八萬三千五百二十一為筭共步自之得二萬二千八百○一為和筭和筭減筭餘六萬○七百二十為實倍共步減斜行餘一十三步為從作帶從開平方法除之得全徑帶從開平方法見前甲乙二人同出東門甲東行乙南行丙丁二人同出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望悉與城相叅直問其步數則曰甲丙共行了一百五十一步乙丁立處相距一百○二步問城徑釋曰此太虛與□勾明股和立法測望甲出東門直行為□勾而乙南行為股丙出南門南行為明股而丁東行為勾甲丙共步□勾明股和也乙丁相距太虚也術曰共步相距步相減餘四十九為差自之得二千四百○一為差筭共步自之得二萬二千八百○一為和筭差筭減和筭餘二萬○四百為實倍距步减差餘一百五十五為從作以從減法開平方法除之得全徑以從減法開平方法見前又為以從添積開平方其法曰初商二百置一於左上為法置一乘從得三萬一千為益積添入原積共五萬一千四百為實置一為隅法與上法相乘除實四萬餘實一萬一千四百倍隅法得四百為亷法次商四十置一於左上為法置一乘從方得六千二百為益實添入餘積共一萬七千六百為實置一併亷法共四百四十為下法與上法相乘除實盡後凡言以從添積開平方法俱倣此岀南門向東有槐樹出東門向南有栁樹丙丁俱出南門丙直往南丁往東至槐樹下立甲乙俱出東門甲直往東乙往南至桞樹下立四人遙相望見各不知歩數只云丙丁共行了二百○七步甲乙共行了四十六步其甲丙立處相距二百八十九步問城徑釋曰此以皇極與明勾股和□勾股和立法測望槐在南門之東為南之月明勾也丁直行往南為日之南明股也共行二百○七明勾股和也栁在東門之南為山之東□股也甲直行往東為東之川□勾也共行四十六步□勾股和也甲丙立處相距為日川皇極也術曰二和相減餘以減相距餘半之得六十四為平勾以加二和相減為平股相乘為實平方開之即半徑又曰二和相併以減相距餘半之得一十八為汎率加明和為長加□和為廣長廣相乘得半徑筭南門之東有槐東門之南有栁丙出南門直行丁出南門東至槐下甲出東門直行乙出東門南至栁下相望俱與城相叅直計丙南丁東共行二百○七步甲東乙南共行四十六步其二樹相距一百○二步問城徑釋曰此與前問同前以逺相距言此以近相距言近相距太虚也以太虚與明叀二和立法測望術曰叀和乘虚又自之得二千二百○一萬四千八百六十四為平實併二和自之得六萬四千○○九為二和筭 □和自之得二千一百一十六為□和筭明和自之得四萬二千八百四十九為明和筭併明和筭叀和筭以減二和筭餘一萬九千○四十四為益隅作負隅開平方法除之得叀倍筭與和筭相減開其餘得叀勾股較加和半之為股減和半之為勾負隅開平方曰置所得平實以益隅約之初商三十置一於左上為法置一乘益隅得五十七萬一千三百二十為下法與上法相乘除實一千七百一十三萬九千六百餘實四百八十七萬五千二百六十四倍下法得一百一十四萬二千六百四十為亷法約次商得四置一於左上為法置一乘益隅得七萬六千一百七十六併入亷法共一百二十一萬八千八百一十六為下法與上法相乘除實盡此法已見一卷底勾條下因隅算多故重出又曰隅算除平實即得叀筭又曰明和乘虚又自之得四億四千五百八十○萬○○九百九十六為平實如前法為負隅平方開之得明若以益隅除平實徑得明筭又術虚自之得一萬○四百○四為虚筭以叀和乘之得四十七萬八千五百八十四為平實倍明和得四百一十四為益隅開之得叀若以益隅除平實徑得叀筭虚自之以明和乘之得二百一十五萬三千六百二十八為平實倍叀和為益隅開之得明若以益隅除平實徑得明筭三位負隅開平方曰置平實四億四千五百八十○萬○九百九十六于左以益隅一萬九千○四十四約之初商一百置一於左上為法置一於右下乘益隅得一百九十○萬四千四百為下法與上法相乘除實一億九千○四十四萬餘實二億五千五百三十六萬○九百九十六倍下法得三百八十○萬八千八百為亷法次商五十置一於左上為法置一乘益隅得九十五萬二千二百為隅法併亷法共四百七十六萬一千為下法與上次相乘除實二億三千八百○五萬餘實一千七百三十一萬○九百九十六倍隅法得一百九十○萬四千四百併入亷法共五百七十一萬三千二百為亷法約三商得三置一於左為法置一右下乘益隅得五萬七千一百三十二為隅法併入亷法共五百七十七萬○三百三十二為下法與上法相乘除實盡與較測望六甲丙二人俱在城外西北隅起程丙南行甲東行各不知步數隔城相望既而甲斜行六百八十步與丙相㑹問其東行步數則曰我少於丙南行二百八十步問城徑釋曰此通與通勾股較立法測望甲東行為勾丙南行為股甲少於丙步數勾股較也斜行也術曰自乘倍之得九十二萬四千八百較自乘得七萬八千四百相減餘八十四萬六千四百為實平方開之得勾股和九百二十加較半之為股减較半之為勾又曰較相減得四百為較較相併得九百六十為較和較較較和相乘得三十八萬四千為實倍較得五百六十為從二為隅筭作以從減法負隅開平方法除之得通股作帶從負隅開平方法除之得通勾帶從負隅開平方法見四卷底勾通條帶從負隅以從減隅開平方法見四卷大差勾黄長條下又為以從添積負隅開平方以六百乘從益實倍六百得一千二百為法即是邉以下類推乙出東門南行不知步數而立甲出西門直徃南行回望乙與城相叅直又斜行五百一十步與乙相㑹問乙行步則曰少於城徑二百一十步不知城徑㡬何釋曰此黄廣與叀股黄廣勾較立法測望乙出東門南行為叀股城徑即黄廣勾少於城徑即叀股黄廣勾較也斜行黄廣也術曰較自之得四萬四千一百為較筭以為實斜歩四之減二較餘一千六百二十為從五為隅算作負隅減從開平方法除之得叀股三十加較為黄廣勾即城徑負隅減從開平方法見二卷通勾叀勾條乙出南門東行不知步數而立甲出北門直徃東行望乙與城相叅直又斜行二百七十二歩與乙相㑹問乙東行步則曰少於城徑一百六十八步不知城徑㡬何釋曰此黄長與明勾黄長股較立法測望乙出南門東行為明勾城徑即黄長股少於城徑即明勾黄長股較也斜行黄長也術曰較自之得二萬八千二百二十四為實四斜行減二較餘七百五十二為從方五為隅算作負隅減從開平方法除之得明勾七十二加較為黄長股即城徑負隅減從開平方法見二卷測圓海鏡分類釋術卷六欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷七元李冶撰明顧應祥釋術通勾股和與别勾股測望一丙從城西門穿城東行二百五十六步而立丁從城北門穿城南行三百七十五步而立甲乙二人俱在城外西北乾隅甲向東乙向南各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直只云甲東乙南共步九百二十問城徑釋曰此以通勾股和與邉勾底股立法測望甲東行為勾乙南行為股共步為通勾股和丙穿城東行邉勾丁穿城南行底股也術曰丙東行自之得六萬五千五百三十六為邉勾筭丁南行自之得一十四萬○六百二十五為底股筭相併得二十○萬六千一百六十一為二筭和倍邉勾底股和與通勾股和相減餘三百四十二又減於邉勾底股和餘二百八十九自之得八萬三千五百二十一以減二筭和餘一十二萬二千六百四十為平實以邉勾底股和六百三十一為從半步為隅算作負隅減從開平方法除之得全徑負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條丙出東門不知步數而立丁出南門不知步數而立甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行各立定四人遙相望俱與城相叅直既而丁從立處向東北斜行四百二十五步與甲㑹丙從立處向西南斜行五百四十四步與乙㑹問甲乙行步則曰共行九百二十問城徑釋曰此通勾股和與邉底立法測望甲東行為通勾乙南行為通股共行九百二十通勾股和也丙從丁處斜行就甲底也丁從立處斜行就乙邉也術曰二相減餘自之得一萬四千一百六十一為實二相併減共行步餘四十九為法實如法而一得二百八十九減法為全徑丙出南門東行稍逺丁出東門南行稍近甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行各不知步數而立相望俱與城相叅直既而丙從立處向東北斜行二百七十二步與甲會丁從立處向東南斜行五百一十步與乙會問甲乙行步則曰共行九百二十步不知城徑㡬何釋曰此通勾股和與黄廣黄長立法測望甲東行為勾乙南行為股共行九百二十步為通勾股和也丙之就甲黄長也丁之就乙黄廣也術曰併二以減通勾股和餘一百三十八為差以併二乘差得一十○萬七千九百一十六為實又以差加通勾股和得一千○五十八為法實如法而一得一百○二為太虚加差為全徑丙出南門東行稍逺丁出東門南行稍近甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行各不知步數而立相望俱與城相叅直既而丙從立處向西南斜行四百○八步與乙會丁從立處向東北斜行一百七十步與甲會問甲乙行步則曰共行九百二十不知城徑㡬何釋曰此通勾股和與大差小差立法測望甲東行為通勾乙南行為通股共歩和也丙就乙大差也丁斜就甲小差也術曰二相併共五百七十八為二和以減通和餘三百四十二為中率以乘通和倍之得六十二萬九千二百八十為實三之通和得二千七百六十加中率得三千一百○二為從二為隅算作負隅減從開平方除之得全徑負隅減從開平方法見二卷通勾股和與諸和較立法測望二甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百二十步乙從城外東北艮隅南行丁從城外西南坤隅東行四人遙相望而立俱與城相叅直既而甲還至艮隅復南行一横一直共行二百三十步與乙會丙還至坤隅復東行一横一直共行五百五十二步與丁㑹問城徑釋曰此通勾股和與大差勾股和小差勾股和立法測望甲東行為勾丙南行為股共行九百二十步通勾股和也甲還至艮為小差勾復南行與乙會為小差股共行二百三十步小差勾股和也丙還至坤為大差股東行與丁會為大差勾共行五百五十二大差勾股和也術曰二差勾股和相併得七百八十二為大小差和和以減通勾股和得一百三十八即太虚勾股和又以大小差和和乘之得一十○萬七千九百一十六為平實以通勾股和加太虚勾股和得一千○五十八為法實如法而一得一百○二為虚加虚和即城徑又曰併二差和減通和得一百三十八為虚勾股和二差和相減餘三百二十二乘之得四萬四千四百三十六如前術得一千○五十八為法除之得四十二為虚勾股較以加和半之為股減和半之為勾甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百二十步乙從城外東北艮隅南行丁從城外西南坤隅東行各不知步數而立與甲丙共四人遙相望俱與城相叅直既而乙復向東北斜行與甲㑹丁復向西南斜行與丙會問其行步乙曰我南行不及斜行二十步丁曰我東行不及斜行二百一十六步問城徑釋曰此通勾股和與大差勾較小差股較立法測望甲東行為通勾丙南行為通股共行九百二十步通勾股和也乙從艮隅南行為小差股斜行就甲為小差不及二十步小差股較也丁從坤隅東行為大差勾斜行就丙為大差不及二百一十六步大差勾較也術曰以小差股較減通和餘九百步復以二十步乘之得一萬八千於上又以大差勾較減九百餘六百八十四半之得三百四十二乘上位得六百一十五萬六千為立實三因小差股較得六十以減通和餘八百六十於上以半之大差勾較一百○八減三百四十二餘二百三十四乘上位得二十○萬一千二百四十為從方以大差勾較減通和餘七百○四三之小差股較減通和餘八百六十相併得一千五百六十四於上又以大差勾較併三百四十二得五百五十八倍之得一千一百一十六減去小差股較二十餘一千○九十六以減上位餘四百六十八為益亷四為常法作負隅帶亷減從開立方法除之得一百五十為小差股加較為較各自乘相減開其餘為勾負隅帶益亷減從開立方曰初商一百置一於左上為法置一乘益亷得四萬六千八百置一自之得一萬以隅法因之得四萬為隅法併益亷共八萬六千八百以減從方餘一十一萬四千四百四十為下法與上法相乘除實一千一百四十四萬四千實不滿法反除實六百一十五萬六千餘五百二十八萬八千為負積倍益亷得九萬三千六百三因隅法得一十二萬為方法三因初商得三百為亷法次商五十置一於左上為法置一乘從亷得二萬三千四百併入倍亷共一十一萬七千為益亷置一乘亷法得一萬五千隅因得六萬置一自之得二千五百隅因得一萬為隅法併方亷隅共一十九萬加益亷共三十○萬七千以減從方不及減反減從方二十○萬一千二百四十餘一十○萬五千七百六十為負從與上法相乘除負積盡此法雖已見前因有翻法故重出又為帶從負隅添積開立方法甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百二十步乙出東門東行丁出南門南行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而乙從立處斜行與甲會丁從立處斜行與丙㑹以二斜行相和共三百九十一步相較得一百一十九步問城徑釋曰此通勾股和與上高下平和上高下平較立法測望甲東行通勾丙南行通股共步和也乙斜就甲下平丁斜就丙上高共步和也相較較也術曰二和自之得一十五萬二千八百八十一為和筭二較自之得一萬四千一百六十一為較筭較筭減筭餘半之得六萬九千三百六十為實以二和減通和餘五百二十九為從作減從開平方法除之得二百四十為全徑減從開平方法見二卷底勾□勾條又曰和較相併半為高相減半之為平甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百二十步乙丁二人俱在城外東南巽隅乙北行丁西行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而乙復斜行至丁立處相㑹問其行步則曰乙直行比丁直行較多其多步與斜行步相併共一百四十四步相減餘六十步問城徑釋曰此通勾股和與太虚較和較較立法測望甲東行為通勾丙南行為通股共步通勾股和也乙從巽隅北行乃㢲之山與月之泛同太虚股也丁從巽隅西行乃㢲之月即泛之山太虚勾也乙斜行就丁乃山之月太虚也乙直行多於丁直行數太虚勾股較也以多步併斜行一百四十四較和也多歩減斜行六十較較也術曰較較減較和餘半之得四十二為太虛勾股較以減較和得自之得一萬○四百○四倍之減較自乘一千七百六十四餘一萬九千○四十四為實平方開之得一百三十八為太虛勾股和加較半之為股減較半之為勾通勾和與諸和較測望三甲丙二人俱在城外西北乾隅甲直往東丙直往南乙丁二人俱在城之南門乙向東行丁向南行俱不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲向西南斜至丙立處乙亦斜行至丁立處問其行步則甲直斜共行一千步乙直斜共行二百二十五步問城徑釋曰此以通勾和明勾和立法測望甲在乾往東為通勾斜行就丙為通直斜共步勾和也乙在南門東行為明勾斜行就丁為明直斜共步勾和也術曰乙共步自乘再乘得一千一百三十九萬○六百二十五為平實乙共歩自之得五萬○六百二十五為從甲共步一千為隅算作負隅以從減法開平方法除之得明股一百三十五負隅以從減法開平方曰置實以從隅約之初商一百置一於左上為法置一乘隅算得一十萬減去從方餘四萬九千三百七十五為下法與上法相乘除實四百九十三萬七千五百餘實六百四十五萬三千一百二十五為次實下法再加十萬共一十四萬九千三百七十五為方法次商三十置一於左次為上法置一乘隅算得三萬併入方法共一十七萬九千三百七十五為下法與上法相乘除實五百三十八萬一千二百五十餘實一百○七萬一千八百七十五為次實下法内再加三萬共二十○萬九千三百七十五為方法次商五置一於左次為上法置一乘隅算得五千併入方法共二十一萬四千三百七十五為下法相乘除實盡得明股一百三十五明股自之以勾和除之得勾較八十一加和半之為股減和半之為勾負隅以從減法開平方已見四卷大差勾黄長下因此法有三位故重出而小變之又為以從添積開平方其法曰初商一百置一於左上為法置一乘從得五百○六萬二千五百為益積添積共一千六百四十五萬三千一百二十五為實置一乘隅得一十萬與上法相乘除實一千萬餘實六百四十五萬三千一百二十五倍隅法得二十萬為方法約次商三十置一於左次為上法置一乘從得一百五十一萬八千七百五十為益實添餘積共七百九十七萬一千八百七十五為實置一乘隅得三萬併方法共二十三萬為下法與上法相乘除實六百九十萬餘實一百○七萬一千八百七十五下法内再加三萬共二十六萬為方法次商五置一於左上為法置一乘從方得二十五萬三千一百二十五為益積添入餘積共一百三十二萬五千為實置一乘隅得五千併方法共二十六萬五千為下法與上法相乘除實盡法已見前卷甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二人俱出東門乙東行丁南行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復斜行與丁會問其行步甲直斜共一千步乙直斜共五十步問城徑釋曰此通勾和與□勾和立法測望甲東行為通勾斜行就丙為通共步和也乙出東門而東□勾也斜行就丁□ 也和為共步術曰通勾和内減二之□勾和餘九百為汎率汎率自之得八十一萬半之得四十○萬五千 □勾和乘汎率得四萬五千二數相併得四十五萬為平實二十二乘汎率得一萬九千八百四十二乘□和得二千一百減汎率得一千二百二數相併得二萬一千為益從四之□勾和得二百為隅法作負隅減從開平方法除之得□股三十負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行各不知步數而立遙望與城相叅直既而甲復向西南斜行與丙相會問其行步甲一直一斜共一千步甲斜直相較與甲之斜丙之直相較共四百四十步問城徑釋曰此通勾和與勾較股較和立法測望甲東行為通勾丙南行為通股甲斜行為通一直一斜勾和也直斜相較為勾較甲斜丙直相較為股較兩相較共四百四十步二較和也術曰以二較和減勾和餘五百六十半之自乘得七萬八千四百為平實以和一千為從方二分五釐為常法作減從開平方法開之得八十為小差勾負隅減從開平方法見二卷又曰以二較和減勾和餘五百六十自之得三十一萬三千六百為平實四之勾和得四千為從方作減從開平方除之得八十不用負隅通股和與諸和較測望四甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二人俱出南門乙東行丁南行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復斜行與丁會問其行步則甲之斜與丙之直共一千二百八十步乙之斜與丁之直共二百八十八步問城徑釋曰此通股和與明股和立法測望甲東行為通勾丙南行通股也甲斜行與丙㑹通也甲之斜丙之直共步通股和也乙出南門東行為明勾丁南行明股也乙斜行與丁會明也乙之斜丁之直共步明股和也術曰二和相減餘九百九十二以明和乘之得二十八萬五千六百九十六減明和筭餘二十○萬二千七百五十二半之得一十○萬一千三百七十六為泛率以五萬七千六百乘泛率得五十八億三千九百二十五萬七千六百為平實通和加二之明和又半之得九百二十八為次率次率乘泛率得九千四百○七萬六千九百二十八明和乘泛率得二千九百一十九萬六千二百八十八二數相減餘六千四百八十八萬○六百四十為從方次率自之得二千二百○八以明和乘之得六十三萬五千九百○四二數相減餘二十二萬五千二百八十為隅法作帶從平方開之得明勾七十二勾自乘和除之得股較以加和半之為減和半之為股帶從隅開平方曰置實從隅約之初商七十置一於左上為法置一乘負隅得一千五百七十六萬九千六百為隅法併從方共八千○六十五萬○二百四十為下法與上法相乘除實五十六億四千五百五十一萬六千八百餘一億九千三百七十四萬○八百為次實二因隅法得三千一百五十三萬九千二百為亷法次商二置一於左上為法置一乘隅法得四十五萬○五百六十為隅法併從方亷法共九千六百八十七萬○四百為下法與上法相乘此條平實原係一百○二億七千七百○九萬三千三百七十六數多故減之甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二人俱出城東門乙東行丁南行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而丙復斜行與甲相㑹丁亦斜行與乙相㑹問其行步則曰丙一直一斜共一千二百八十步丁一直一斜共行六十四步問城徑釋曰此通股和與□股和立法測望甲東行為通勾丙南行通股也丙又斜行與甲會通也一直一斜共步通股和也乙出東門為□勾丁南行□股也丁又斜行與乙會□ 也一直一斜共步□股和也術曰二共步相乘得八萬一千九百二十為平實以通股和一千二百八十為從以□和除通和得二十為汎率減一自之得三百六十一倍汎率減一得三十九相併共得四百為隅算作以從減泛負隅開平方法除之得□勾一十六步勾自乘得二百五十六以□勾股和除之得□股較四加和半之為減和半之為股負隅以從減法開平方見四卷大差勾黄長條又為以從添積開平方法通和和與諸和較測望五甲乙同在城外西北乾隅甲南行較逺乙東行較近隔城斜望與城相叅直甲復向東北斜行與乙相會二人共行了一千六百步甲南行不及斜行八十歩問城徑釋曰此通和和與股較立法測望乙東行為通勾甲南行為通股斜行與乙相會為通二人共行一千六百步通和和也甲南行不及斜行八十步股較也術曰四之股較以減和和餘自之得一百六十三萬八千四百股較自之得六千四百义十八因之得一十一萬五千二百相減餘一百五十二萬三千二百為平實○四之和和得六千四百減十六較加十八較得六千五百六十為從四為隅法作負隅減從開平方法除之得勾股較二百八十加股較即勾較三百六十股較乘勾較倍為實平方開之得和較二百四十負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條甲乙同在乾隅甲南行乙東行隔城相望與城叅直甲向東北斜行與乙相會二人共行了一千六百步乙東行不及甲斜行三百六十步問城徑釋曰此通和和與勾較立法測望乙東行為通勾甲南行為通股斜行為通共行一千六百步通和和也乙東行不及甲斜行勾較也術曰倍較以較乘之得二十五萬九千二百又九之得二百三十三萬二千八百寄于左倍較以加和得二千三百二十倍較以減倍和得二千四百八十二數相減餘一百六十為泛率自之得二萬五千六百以減左位餘二百三十○萬七千二百為平實十八因較得六千四百八十減四泛率得七千一百二十為從方四為隅筭作帶從負隅開平方法除之得二百八十為勾股較以減勾較餘八十為股較勾較乘股較倍之為實平方開之得和較帶從負隅開平方法見四卷底勾通條甲乙二人俱在乾隅甲南行乙東行遙相望與城相叅直甲復向東北斜行與乙相會二人共行了一千六百步乙東行不及甲南行二百八十步問城徑釋曰此通和和與勾股較立法測望乙東行為通勾甲南行為通股斜行與乙會為通共行一千六百步通和和也乙東行不及甲南行二百八十步勾股較也術曰併和較自之得三百五十三萬四千四百和較相減自之得一百七十四萬二千四百二數相併共五百二十七萬六千八百為平實四之和步得六千四百為從二為隅法作帶從負隅開平方法除之得六百八十為通減較得勾帶從負隅開平方法見四卷底勾通條甲乙二人俱在乾隅甲南行乙東行遙相望與城相叅直甲復向東北斜行與乙會二人共行一千六百步甲南行不及斜行與乙東行不及甲斜行共四百四十步問城徑釋曰此通和和與勾較股較併立法測望二人共步通和和也甲南行不及斜行為股較乙東行不及斜行為勾較共四百四十步勾較與股較併也術曰併和及二差併以三歸之即通甲乙二人俱在乾隅甲南行逺乙東行近遙相望與城相叅直既而甲復向東北斜行與乙會二人共行一千六百步甲南行不及斜行乙東行不及甲南行乙東行不及甲斜行三事共七百二十步問城徑釋曰此通和和與勾股較勾較股較并立法測望甲南行通股斜行通乙東行通勾共一千六百步通和和也乙東行不及甲南行為勾股較不及甲斜行為勾較甲南行不及斜行為股較三較相併共七百二十術曰三較和半之自乘又三之得三十八萬八千八百減和和餘三十八萬七千二百為平實倍和和半三較和五之二數相倂得五千為從二為隅算作負隅減從開平方法除之得股較八十負隅減從開平方見二卷通勾□勾條通和和與别測望六甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二人俱在城中心乙穿城往東門外丁穿城往南門外直行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而丙向東北斜行與甲會甲東行與丙一南一斜共一千六百步丁亦從南門外立處斜行二百八十九步與乙會問城徑釋曰此通和和與皇極立法測望甲東行通勾丙南行通股斜行通共步和和也乙從城心出東門為皇極勾丁從城心出南門為皇極股丁斜行會乙則皇極也術曰以皇極乘通和和平方開之即通甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙出東門南行丁出南門東行各不知步數而立四人遙相望與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復斜行與丁會問其行步則曰甲一東一斜與丙之南共一千六百步乙斜行一百○二步問城徑釋曰此通和和與太虛立法測望甲東行為通勾斜行為通丙南行為通股共步一千六百通和和也乙斜行與丁會即月之山太虚也術曰半乙斜行以乘甲丙共步得八萬一千六百為實以共步一千六百為從四為隅算作負隅減從翻法開平方法除之得三百四十為半通倍之以減和和餘九百二十為勾股和再減通即和較負隅減從翻法開平方曰置所得平實以從約之初商三百置一於左上為法置一隅因得一千二百為隅法以減從方餘四百為下法與上法相乘得一十二萬除實不足反減實八萬一千六百餘三萬八千四百為負積倍隅法得二千四百為亷法次商四十置一於左上為法置一隅因得一百六十為隅法併亷法共二千五百六十減從不足反減從一千六百餘九百六十為下法與上法相乘除實盡得半通三百四十後凡言負隅減從開平方法俱倣此測圓海鏡分類釋術卷七欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷八元李冶撰明顧應𥙶釋術諸和立法測望一甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙出南門東行丁出東門南行各不知步數而立四人遥相望與城相叅直既而相會各言步數甲云我與乙共行了三百九十二步丙云我與丁共行了六百三十步問城徑釋曰此通勾明勾和與通股□股和立法測望甲從乾東行為通勾乙從南門外東行為明勾共行三百九十二步通勾明勾和也丙從乾隅南行為通股丁出東門南行為□股共行六百三十步通股□股和也術曰甲乙共步自之得一十五萬三千六百六十四為通勾明勾和筭丙丁共步自之得三十九萬六千九百為通股□股和筭二筭相乘得六百○九億八千九百二十四萬一千六百為三乘方實丙丁共步互乘通勾明勾和筭得九千六百八十○萬八千三百二十甲乙共步互乘通股□股和筭得一億五千五百五十八萬四千八百二數相併得二億五千二百三十九萬三千一百二十為從方又以二筭相併得五十五萬○五百六十四步以七分半因之得四十一萬二千九百二十三二共步相乘得二十四萬六千九百六十二數相减餘一十六萬五千九百六十三為從一亷二共步相併得一千○二十二以七分半因之得七百六十六步半為第二亷以七分半因七分半得五分六釐二毫五絲以减全步餘四分三釐七毫五絲為隅筭作帶從方亷隅以二亷减從開三乘方法除之得全徑帶從方亷隅筭以二亷减從開三乘方曰置所得三乘方實以亷隅約之初商二百置一於左上為法置一自之得四萬以乘從二亷得三千○六十六萬以减從方餘二億二千一百七十三萬三千一百二十為從置一乘從一亷得三千三百一十九萬二千六百置一自乘再乘得八百萬以隅筭因之得三百五十萬為隅法併從方從亷隅法共二億五千八百四十二萬五千七百二十為下法與上法相乘除實五百一十六億八千五百一十四萬四千餘實九十三億○四百○九萬七千六百為次商之實四因隅法得一千四百萬為方法初商自之六因又以隅筭因之得一十○萬五千為上亷初商四之又以隅筭因之得三百五十為下亷約次商得四十置一於左上為法倍初商加次商得四百四十以乘從二亷得三十三萬七千二百六十又併初次商得二百四十因之得八千○九十四萬二千四百為减亷以减餘從餘一億四千○七十九萬○七百二十為從倍初商加次商得四百四十以乘從一亷得七千三百○二萬三千七百二十為益亷置一乘上亷得四百二十萬置一自之以乘下亷得五十六萬置一自乘再乘得六萬四千又以隅筭因之得二萬八千為隅法併方法從方益亷上下亷隅法共二億三千二百六十○萬二千四百四十為下法與上法相乘除實盡又為帶從方亷隅以二亷添積開三乘方法甲乙俱出東門甲東行乙南行丙丁俱出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而乙復斜行與甲會丙復斜行與丁會問其行步乙云我一直一斜共六十四步丙云我一直一斜共二百八十八步問城徑釋曰此明股和與□股和立法測望甲出東門東行為□勾乙南行為□股斜行會甲為□ 共行六十四步股和也丁出南門東行為明勾丙南行為股斜行會丁為共行三百八十八歩股和也術曰二和相乘得一萬八千四百三十二為二和相乘筭 □和自之得四千○九十六為□和筭倍之以减二和相乘筭餘一萬○二百四十為實一十四乘□和得八百九十六以二十為隅筭作帶從負隅開平方法除之得一十六為□勾勾自乘和除之得股較四加和半之為减和半之為股十四即□勾股較二十即□ 較較帶從負隅開平方法見二卷底勾通條甲乙二人俱出東門甲東行乙南行丙丁二人俱出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲復斜行與乙會丁復斜行與丙會詢其行步甲云我直斜共五十步丁云我直斜共二百二十五步問城徑釋曰此明勾和與□勾和立法測望甲出東門直行為□勾斜行就乙為□ 共歩和也丁出南門東行為明勾斜行就丙為明共步和也術曰以丁共步自之得五萬○六百二十五為明和筭又自之得二十五億六千二百八十九萬○六百二十五於上二共步相乘得一萬一千二百五十半之得二億八千四百七十六萬五千六百二十五以减上位餘二十二億七千八百一十二萬五千為平實二共步相减餘一百七十五為二和差以乘明和筭倍之得一千七百七十一萬八千七百五十於上倍甲共步得一百以乘明和筭又半之得二百五十三萬一千二百五十併上共二千○二十五萬為從以二行相减差自之得三萬○六百二十五於上又以二共步相乘數半得五千六百二十五减上位餘二萬五千為隅法作負隅减從開平方法除之得明股負隅减從開平方法曰初商一百置一於左上為法置一乘隅法得二百五十萬以减從方餘一千七百七十五萬為下法與上法相乘除實一十七億七千五百萬餘實五億○三百一十二萬五千為實餘從内再减二百五十萬餘一千五百二十五萬為從次商三十置一於左上為法置一乘隅法得七十五萬以减從方餘一千四百五十萬與上法相乘除實四億三千五百萬餘實六千八百一十二萬五千為實餘從内再减七十五萬餘一千三百七十五萬為從次商五置一於左上為法置一乘隅法得一十二萬五千以减餘從餘一千三百六十二萬五千為下法與上法相乘除實盡負隅减從開平方法已見二卷通勾□勾下因有三位故重出明股與勾和求勾股自乘和除之得勾較减和半之為勾加和半之為甲乙俱出東門甲東行乙南行丙丁俱出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遥相望俱與城相叅直問其行步則甲乙共四十六步丙丁共二百○七步問城徑釋曰此明勾股和與□勾股和立法測望甲東行□勾乙南行□股丁出南門東行明勾丙南行明股甲乙共步□勾股和也丙丁共步明勾股和也術曰二共步相併得二百五十三自之得六萬四千○○九二共步相乘四之得三萬八千○八十八二數相减餘二萬五千九百二十一為實二共步相併以六步半因之得一千六百四十四步半二共步相併以四步半因之又四之得四千五百五十四步二數相併得六千一百九十八步半為從方以七十○步四分三釐七毫五絲為隅法作負隅帶從開平方法除之得四步為□股較負隅帶從開平方法曰置實從方隅約之商得四置一於左上為法置一乘隅得二百八十一步七分五釐帶從方共六千四百八十○步二分五釐與上法相乘除實盡又曰副置二和以約分法約之得二十三為平率以除明和得九除□和得二二和相减餘一百六十一以平率除之得七為較率九因得明較六十三二因得□較一十四以較加和半之為股减和半之為勾甲乙俱出東門甲東行乙南行丙丁俱出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直問其行步甲與丁共八十八步乙與丙共一百六十五步問城徑釋曰此明勾□勾和與明股□股和立法測望甲出東門東行為□勾丁出南門東行為明勾共行八十八步二勾和也乙出東門南行為□股丙出南門南行為明股共行一百六十五步二股和也術曰二和相减約得一十一相平為壘率以除勾和得八為勾率除股和得一十五為股率勾股相併得二十三為和率相减得七為較率勾股求得一十七為率以勾减得九為大差率大差者勾較也以股减得二為小差率小差者股較也六為黄方率各以壘率乘二和共得二百五十三二較共得七十七二共得一百八十七二黄方共得六十六二大差共得九十九二小差共得二十二四差共一百二十一二大差共與二小差共相乘得二千一百七十八為實四差共為法除之得一十八即半虛黄方倍之加二黄共得一百○二即明勾□股共也减二共得一百五十一即明股□勾共也二數相减餘四十九即明較□較較也名為旁差旁差减二共餘一百三十八為太虛和加虛即城徑虚與明勾□股共同數又曰虛黄方加二和共得二百八十九减旁差即城徑甲丙二人俱從城中心甲東行出城直行丙南行出城直行乙丁二人俱在城外東南巽隅乙西行丁北行各不知步數而立四人遥相望俱與城相叅直問其行則甲東丙南共三百九十一步乙西丁北共一百三十八步問城徑釋曰此皇極勾股和與太虛勾股和立法測望甲從城心東行至川一百三十六為皇極勾丙從城心南行至日二百五十五步為皇極股共步勾股和也乙從巽隅西行至月四十八步即泛之山為太虛勾丁從巽隅北行九十步至山即月之泛為太虛股共步勾股和也術曰二和相乘得五萬三千九百五十八為實相併得五百二十九為法實如法而一得太虛一百○二圓城西門外往南二百五十五步有塔甲乙二人俱在塔下甲南行乙東行丙丁二人俱在城外東北艮隅丙東行丁南行戊巳二人俱出南門戊南行巳東行庚辛二人俱出東門庚東行辛南行各不知步數而八人遥相望俱與城相叅直問其行步則乙之東不及甲之南與丙之東不及丁之南二不及數共一百六十一步己之東不及戊之南庚之東不及辛之南二不及數共七十七步問城徑釋曰此上高勾股較下平勾股較和與明勾股較□勾股較和立法測望西門外往南有塔乃西之旦與日之心同甲乙從塔下分行甲往東乃旦之日為上高勾乙復往南即天之旦為上高股勾不及股一百○五為高差丙丁從城外東北艮隅分行丙往東乃艮之地為下平勾丁往南即山之東為下平股勾不及股五十六為平差二不及共數高差平差和也戊己從南門分行己往東乃南之月為明勾戊往南即日之南為明股勾不及股六十三步為明差庚辛從東門分行庚往東乃東之川為□勾辛往南即山之東為□股勾不及股一十四步為□差二不及共步明差□差和也諸和與較參互立法測望二南門外不知步數有槐一株甲從城外西北乾隅直往東行至一栁樹下望見槐樹遂斜行至槐自云我直斜共行了七百四十五步乙從城外西南坤隅南行望見槐栁與城相參直亦斜行至槐自云我斜行不及直行一百○五步釋曰此通勾底和與大差股上高較立法測望南門有槐乃日之南為明股甲從乾東行至栁乃乾之地為通勾斜行至槐下乃日之地為底共行七百四十五步者通勾底和也乙從坤隅南行至望處乃天之坤為大差股亦斜行至槐乃天之日為上高不及直行一百○五步者大差股上高較也術曰甲知步内减乙較步半之為通勾加乙較步半之為底用通勾底測城徑法求之得半徑又曰四較步乘通勾筭得四千三百○○八千為立實倍通勾乘通勾得二十○萬四千八百四較乘通勾得一十三萬四千四百相减餘七萬○四百為從方四之通勾得一千二百八十為益亷作帶從减廉開立方法除之得全徑帶從减從亷開立方曰列置所得立實方亷初商二百置一於左上為法置一乘從亷得二十五萬六千置一自之得四萬為隅法併從方共一十一萬○四百以减從亷餘一十四萬五千六百為下法與上法相乘除實二千九百一十二萬餘一千三百八十八萬○八千為次實倍從亷得五十一萬二千三因隅法得一十二萬為方法三因初商得六百為亷法次商四十置一於左上為法置一乘從亷得五萬一千二百併入倍亷共五十六萬三千二百為益亷置一乘亷法得二萬四千置一自之得一千六百為隅法併方法從方亷隅共二十一萬六千以减益亷餘三十四萬七千二百與上法相乘除實盡諸和與較參互立法三圓城西門外直上南有栁樹一株東門外往東有槐樹一株俱不知步數甲從城外西北乾隅南行至栁樹下望見槐樹又斜行至槐樹下直斜共行了一千一百四十四步乙從城外東北艮隅東行望槐柳與城相叅直復斜行至槐樹下與甲㑹乙東行不及斜行五十六步問城徑釋曰此通股邊和與小差勾下平較立法測望甲從乾隅南行至柳下為通股斜行至槐為邊共行一千一百四十四步通股邊和也乙從艮隅東行乃艮之地為小差勾斜行至槐乃地之川為下平不及五十六步小差勾與下平較也術曰如乙直行不及斜行五十六即甲斜行不及直行差也副置甲共步其一加五十六而半之得甲直行六百步為通股其一减五十六而半之得甲斜行五百四十四步為邊以五十六乘甲南行又倍南行得一千二百乘之得四千○三十二萬為立方實又以五十六乘南行倍之得六萬七千二百半甲南行乘二之甲南行得三十六萬相併得四十二萬七千二百為從方倍南行得一千二百為從亷五分為隅法作從負隅以亷减從翻法開立方法除之得全徑帶從負隅以亷减從翻法開立方曰置所得立方實以從方亷隅約之初商二百置一於左上為法置一乘從亷得二十四萬以减從方餘一十八萬七千二百為從置一自之得四萬隅因得二萬併從方共二十○萬七千二百為下法與上法相乘除實四千一百四十四萬實不滿法反除實四千○三十二萬餘一百一十二萬為負積餘從内再减從亷二十四萬亦不及减反减餘從一十八萬七千二百餘五萬二千八百為負從三因隅法得六萬為方法三因初商得六百為亷法次商四十置一於左上為法置一乘從亷得四萬八千反併負從得一十○萬○八百俱為負從置一乘亷法隅因得一萬二千置一自之隅因得八百為隅法併方亷隅共七萬二千八百反减負從餘二萬八千為下法四千相乘除實盡此法已見四卷通勾□ 條因用法不同故重出又為帶從負隅以亷添積開立方亦可甲出南門東行乙出東門南行各不知步數而立相望與城相參直既而乙復斜行與甲㑹計乙行步一直一斜共一百三十二步直行不及斜行七十二步問城徑釋曰此□股虚和與□股虚較立法測望甲出南門東行為明勾七十二乙出東門南行為□股三十斜行與甲㑹為太虚一百二直行不及斜行七十二為□股虛較適與明勾同數直斜相併則□股虛和也即兩箇乙南行一箇甲東行去共二數相併即兩箇虛相减即兩箇乙南行也術曰倍不及得一百四十四以不及减共步餘六十乘之得八千六百四十為實四之不及得二百八十八為法除之得乙直行三十為□股以减共步餘為虚求城徑倍虛筭减和筭餘為實平方開之即太虚較四十二加和半之為股减和半之為勾以虚勾股求容圓即得又為帶從負隅以亷添積開立方法甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行相望與城相叅直乙復斜行與甲㑹二人共行了二百○四步甲東行不及共步一百三十二步釋曰此明勾□股太虚和又與明勾相較立法測望甲出南門東行七十二步為明勾乙出東門南行三十步為□股斜行一百○二步與甲會為太虚共步明勾□股太虚和也甲行不及共步和與明勾相較之數也術曰以不及减共步餘七十二為明勾即甲東行步半共步减明勾餘三十為□股即乙南行步半共步得一百○二為太虚即乙斜行步乙南行减甲東行餘四十二即太虛較較自之與自之相减餘為實平方開之即勾股和加較半之為股减較半之為勾以虛勾股求容圓得城徑圓城南門之東有槐一株東門之南有柳一株甲出南門直行往南乙出東門直行往東各不知步數而立相望槐柳俱與城相叅直甲復向東北斜行至槐樹下乙復向西南斜行至柳樹下問其行步則甲直斜共行二百八十八步乙直斜共行五十步甲直行乙直行相併多於槐柳相距四十九步問城徑釋曰此明股和□勾和又明股□勾和與太虛較立法測望槐在南門之東七十二步為明勾甲出南門直行為明股斜行至槐柳下為明共行二百八十八步明股和也柳在東門之南三十步為□股乙出東門直行為□勾斜行至柳樹下為□ 共行五十步為□勾和也槐柳斜相距一百○二步為太虛甲直行與乙直行相併得一百五十一步為明股□勾和多於虛四十九步是明股□勾和與太虛較也術曰二和相併减二之多於太虛步即城徑又曰二和相乘即半徑筭圓城中心往南有大石塔一座城外東北艮隅往東有小石塔一座東門外正東有柳樹一株東門外往南有大槐樹一株其大槐樹正與城中大石塔相對不差尺寸南門往東有榆樹一株甲從石塔下起程出南門直行往南不知步數而立乙從東門起程直行至柳樹下折而北至小石塔下又往東不知步數而立望柳槐榆與甲立處俱與城相叅直問其步數則曰甲從南門至立處乙從東門至柳樹下相併多於榆槐斜相距四十九步石塔穿城至甲立處多於石塔與槐相距栁樹北往小石塔步數多小石塔下復往東步數二較相併一百六十一步問城徑釋曰此明股□勾和與太虛較下髙勾股較與下平勾股較和立法測望南門外往東有榆乃南之月為明勾甲出南門復南行為明股東門外往南有槐乃山之東為□股乙從東至柳乃東之川為□勾榆與槐斜相距乃月之山為太虛甲南門至立處乙東門至栁下共步為明股□勾和多於槐榆相距四十九步乃明股□勾和與太虛較也城中有大石塔至南門外甲立處乃日之朱為下髙股塔距槐乃朱之山為下髙勾甲穿城南行步多於塔去槐步乃下髙勾股較也城東柳樹北至小石塔乃川之夕為平股石塔復東行至立處乃夕之地為下平勾南行多於東行步下平勾股較也二較相併一百六十一步髙差平差和也術曰二數相减半之又自之得三千一百三十六為實以四十九為法除之得平勾六十四又曰二數相减餘自之得一萬二千五百四十四為實如四十九而一得平股和二百五十六勾自之和除之得平股較一十六加和半之為减和半之為股城心上南有大石塔城南門往東有榆一株東門往南有大槐一株與城中石塔東西相對東門直東有栁一株城外東北艮隅往東有小石塔與城東栁樹南北相對甲從城中塔下起程穿城出城直往南不知步數而立乙從東門起程直行至柳樹下折而北往小石塔下又往東亦不知步數望甲與柳槐榆俱與城相參直甲復斜行向東北直至柳樹下問其行步則曰甲從大石塔穿城南行立處多於大石塔與槐相去步數乙從栁樹北行至小石塔多於從石塔東行步數二較相併共一百六十一步甲從南起程至立處多於南門距榆樹步數東門南至槐多於東至栁步數二較相併共七十七步斜行至栁下多於城徑四十九步問城徑釋曰此髙較平較和與明較□較和并皇極與城徑較立法測望甲從城中石塔下穿城往南而立乃日之朱下髙股也大石塔與城外槐樹相距乃朱之山下髙勾也多步乃下髙勾股較也乙從城東門栁樹下折而往北至小石塔下乃川之夕下平股也復往東乃夕之地下平勾也多步乃下平勾股較也二較相併共一百六十一步乃平差髙差和也又名角差甲自南門往南立處乃日之南明股也南門往東至榆樹乃南之月明勾也多步明勾股較也東門往南至槐乃山之東□股也直東門至栁乃東之川□勾也多步□勾股較也二較相併七十七步明差□差和也甲從直南立處斜行至栁樹下乃日之川皇極也多城徑四十九步為皇極與城徑較即皇極黄廣勾較也術曰二和相併半之得一百十九為平率副置平率一加四十九一减四十九相乘得一萬一千七百六十為實四十九為法實如法而一得城徑城心往南有大石塔一座東門外往南有大槐一株與塔相對南門外往東有榆樹一株東門外正東有栁樹一株城外東北艮隅往東有小石塔一座甲從城中石塔下穿城直往南不知步數而立乙從東門直行至栁樹下轉往北至石塔復往東亦不知步數而立丙從城外東南巽隅往西至榆樹下立三人遙相望與槐樹俱與城相叅直既而丙又斜行至槐樹下復南行回還巽隅訖問其行步則曰甲從大石塔穿城往南立處多於槐距塔步數乙從東門外栁樹下北至小石塔多於復東行歩數二較相併共一百六十一步甲自南門起至立處多於南門距榆步數東門外往南至槐多於往東至栁步數二較相併共七十七步丙從巽隅西至榆步數與從栁南還步又少於斜行六十步問城徑釋曰此髙差平差和明差□差和與太虛較較立法測望甲從城中石塔穿城往南而立為下高股石塔距槐為下高勾勾股相較為下高較亦曰高差乙從東門外栁樹下北至小石塔為下平股又東行至立處為下平勾勾股相减為下平較亦曰平差共一百六十一步高差平差和也南門至甲立處為明股南門東至榆樹為明勾勾股相减為明較即明差東門南至槐為□股東至栁為□勾勾股相减為□較即□差共七十七步明差□差和也丙從巽隅西至榆乃巽之月與泛之山同為太虛勾斜行至槐樹下為太虚復南行還巽地與月之泛同為太虛股西行不及南行為太虚勾股較較步不及斜行六十為太虚較較也術曰二和相减餘八十四加太虛較較半之得七十二為泛率自之得五千一百八十四為實角差内减二汎率餘一十七為從作帶從開平方法除之得六十四為平勾角差即高差平差併也甲丙二人俱在城中心丙望南門直行出城不知步數而立甲望東門出城亦不知步數望見之丙復斜行與甲相會問其行步則曰甲丙直斜共行了六百八十步又曰甲東直行少於丙南直行一百一十九步問城徑釋曰此皇極和和與勾股較立法測望甲從城中心東行為皇極勾丙從中心南行為皇極股斜行與甲會為皇極共行六百八十步為皇極和和也甲東行不及丙南一百一十九步為皇極勾較也術曰二數相减餘五百六十一為差差自之得三十一萬四千七百二十一為差筭較自之得一萬四千一百六十一為較𢌿二筭相减餘三十○萬○五百六十為平實四其差二其較相併得二千四百八十二為從方二為隅筭作負隅開减從開平方法除之得一百三十六為皇極勾負隅减從開平方曰置所得平實以從方隅筭約之初商一百置一於左上為法置一乘隅筭得二百以從减方餘二千二百八十二為下法與上法相乘除實二十三萬八千二百餘實七萬二千三百六十從方内再减二百餘二千○八十二次商三十置一於左上為法置一隅因得六十以减從方餘二千○二十二為下法與上法相乘除實六萬○六百六十餘實一萬一千七百為實餘從内再减六十餘一千九百六十二次商六置一於左上為法置一隅因得一十二以减餘從餘一千九百五十為下法與上法相乘除實盡此法已見二卷通勾□勾條因有三位故重出圓城南門往東有槐東門往南有栁甲乙二人俱在城中心甲出南門直行乙出東門各不知步數而立丙丁二人俱在城外東南巽隅丙西行至槐下丁北行至栁下四人遥相望俱與城叅直既而甲復斜行與乙會丙復斜行與丁會問其行步則甲一直一斜與乙直行共六百八十步丙西丁北二直行較丙斜行多三十六步問城徑釋曰此皇極和和與太虛和較立法測望乙從城中心東行為皇極勾甲從城中心南行為皇極股斜行與乙會為皇極共步為皇極和和也丙從巽隅西至槐樹下即太虛勾丁從巽隅北至栁樹下即太虚股丙斜行與丁會為太虚丙西丁北相併即太虚勾股和多於斜行為太虚和較也術曰和較相乘得二萬四千四百八十為實半較得一十八為從半步為隅筭作以從添積負隅開平方法除之得全徑以從添積負隅開平方曰置所得平實以從約之初商二百置一於左上為法置一乘益從得三千六百為益實添入積内共二萬八千○八十為實置一以隅因之得一百為下法與上法相乘除實一萬餘八千○八十為實倍下法得二百為亷法次商四十置一於左上為法置一乘益從得七百二十為益實添入餘積得八千八百為實置一以隅因得二十併亷法共二百二十與上法相乘除實盡又為負隅以從减法開平方法法見四卷大差勾黄長條下測圓海鏡分類釋術卷八欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷九元李冶撰明顧應祥釋術諸較參互立法丙出南門直行甲出東門直行各不知步數相望與城相叅直問其行步甲云我東行少於城徑二百二十四步丙云我南行少於城徑一百○五步問城徑釋曰此明股城徑較與□勾城徑較立法測望甲出東門直行□勾也丙出南門直行明股也術曰二少步相乘又自之得五億五千三百一十九萬○四百為三乘方實二少步相乘得二萬三千五百二十六之共步得一千九百七十四二數相乘得四千六百四十二萬八千四百八十為從方以五十六萬二千五百二十為從一亷四十八之共步得一萬五千七百九十二為從二亷六十三為隅法作帶從亷隅添積開三乘方法除之得半城徑帶從方一亷添積以二亷為法開三乘方曰置所得三乘方實以從方從亷隅法約之初商一百置一於左上為法置一乘從一亷得五千六百二十五萬二千為益亷置一自乘再乘以隅算因得六千三百萬為隅法併從方益亷得一億六千五百六十八萬○四百八十以初商因之得一百六十五億六千八百○四萬八千為益積添入原積共一百七十一億二千一百二十三萬八千四百為通實置一自之以乘從二亷得一億五千七百九十二萬為下法與上法相乘除實一百五十七億九千二百萬餘一十三億二千九百二十三萬八千四百為次商之實二因益亷得一億一千二百五十○萬四千為從一亷之方三因從二亷得四億七千三百七十六萬為從二亷之方三之初商以乘元從二亷得四百七十三萬七千六百為從二亷之亷四因隅法得二億五千二百萬併從方共二億九千八百四十二萬八千四百八十為方法初商自之六因又隅因之得三百七十八萬為上亷初商四之隅因得二萬五千二百為下亷次商二十置一於左上為法置一乘原從一亷得一千一百二十五萬○四百為從一亷之亷併從一亷之方共一億二千三百七十五萬四千四百為益亷之實置一乘上亷得七千五百六十萬置一自之以乘下亷得一千○○八萬置一自乘再乘得八千隅因得五十○萬四千為隅法併方上下亷隅共三億八千四百六十一萬二千四百八十又加益亷之實得五億○八百三十六萬六千八百八十以次商因之得一百○一億六千七百三十三萬七千六百為益實加入次實得一百一十四億九千六百五十七萬六千為通實置一乘從二亷之亷得九千四百七十五萬二千置一自之以乘從二亷得六百三十一萬六千八百為從二亷之隅併從二亷之方亷隅共五億七千四百八十二萬八千八百為下法與上法相乘除實盡丙出南門東行甲出東門南行各不知步數相望俱與城相叅直丙云我東行不及城徑一百六十八步甲云我南行不及城徑二百一十步問城徑釋曰此明勾與城徑較與□股城徑較立法測望丙出南門東行為明勾甲出東門南行為□股術曰二不及相減餘四十二為差自之得一千七百六十四為差筭半甲不及自之得一萬一千○二十五半甲不及減差餘六十三自之得三千九百六十九二數相併内減差筭得一萬三千二百三十為平實二之内不及得三百三十六為益從三步半為隅法作帶從負隅開平方法除之得□股三十帶從負隅開平方法見四巻底勾通甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行丙出東門南行丁出南門東行各不知步數而立四人遙相望與城相叅直問其行步則甲東多於丁東二百四十八步乙南多於丙南五百七十步問城徑釋曰此通勾明勾較與通股□股較立法測望甲從乾隅東行為通勾丁從南門東行為明勾甲多於丁步通勾明勾較也丙出東門南行為□股乙自乾隅南行為通股乙多於丙步通股□股較也術曰二較相乘得一十四萬一千三百六十為實併二較半之得四百○九為從以七分半為隅法作帶從負隅開平方法除之得全徑帶從負隅開平方法見前甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行丙從城外西南坤隅東行丁從城外東北艮隅南行各不知步數四人遙相望俱與城相叅直問其行步則曰甲東行多於丙東行一百二十八步丁南行不及乙南行四百五十步問城徑釋曰此通勾大差勾較與通股小差股較立法測望甲從乾隅東行為通勾丙從坤隅東行為大差勾甲多一百二十八步即為通勾大差勾較與黄長勾同乙從乾隅南行為通股丁從艮隅南行為小差股丁不及乙四百五十步為通股小差股較與黄廣股同術曰二較相乘即城徑筭南門迤東有槐一株東門迤南有栁一株甲乙二人俱在城外西南坤隅甲直往南不知步數而立乙往東徑過南門至槐下立丙丁二人俱在城外東北艮隅丙直往東不知步數而立丁往南徑過東門至栁下立四人遙相望俱與城相叅直問其行步則甲多於乙一百六十八步丙少於丁七十步問城徑釋曰此大差勾股較與小差勾股較立法測望甲從坤往南之天為大差股乙往東至槐下為大差勾甲多一百六十八步大差勾股較也丙從艮隅往東之地為小差勾丁往南至栁下為小差股丙不及丁七十步小差勾股較也術曰二較相乘得一萬一千七百六十為實相減半之得四十九為法實如法而一得全徑甲從坤隅東行過南門不知步數而立乙從艮隅南行過東門不知步數見甲而止甲乃斜行一百○二步與乙會乙曰我南行不及汝東行四十二步問城徑釋曰此大差勾小差股較與太虚立法測望甲從坤隅東行乃坤之月為大差勾乙從艮南行乃艮之山為小差股不及四十二步為大差勾與小差股較也斜行一百○二步太虛也術曰以較減餘六十以乘較併半之得四千三百二十為實以較四十二為從作帶從開平方法除之得虚勾四十八又曰大差勾減小差股即太虛較也自乘倍之與較自乘相減餘為實平方開之得勾股和加較半之為股減較半之為勾圓城南門外正南有塔一座南門之東有槐樹一株東門外正東有望竿一根東門之南有栁樹一株甲乙二人俱在城中心甲南行出城直至塔下立乙東行出城至望竿下立丙丁二人俱在城外西南坤隅丙南行不知步數而立丁東行至槐樹下立戊己二人俱在城外東北艮隅戊東行不知步數而立己南行過東門南栁樹下立六人遙相望俱與城相叅直既而甲斜行至東門外望竿下與乙相會丙斜行經過塔直至南門東槐樹下與丁相會戊斜行向西南至東門之南栁樹下與己相會問其行步則曰以丁東行減丙南行又與丙斜行相較餘步比甲斜行少四十九步以戊從艮隅東行減己從艮隅南行至栁餘步與戊斜行至栁步數相併内減槐栁斜相距步餘一百三十八步其乙東行比甲南行至塔却少一百一十九步問城徑釋曰此大差較較與皇極較小差較和與太虚較并皇極勾股較立法測望甲從城中心出南門至石塔下乃日之心為皇極股乙從城中心出東門至望竿下乃心之川為皇極勾甲斜行與乙會乃日之川為皇極丙從坤隅南行不知步數而立乃天之坤為大差股丁從東行至槐樹下乃坤之月為大差勾丙斜行與丁會乃天之月為大差丁東行減丙南行為大差勾股較又與丙斜行相較為大差較較不及甲斜行四十九步是大差較較與皇極較也戊從艮隅東行乃艮之地為小差勾己從艮隅南行至栁樹下乃山之艮為小差股戊斜行至栁下與己會乃山之地為小差戊東行減己南行為小差勾股較又與戊斜行相併為小差較和槐栁斜相距步即太虛以減小差較和餘一百三十八步是小差較和與太虛較也乙東行不及甲南行一百一十九步為皇極勾股較也術曰併二較自之得三萬四千九百六十九皇極較自之得一萬四千一百六十一相減餘二萬○八百○八為實二為隅算平方開之得太虚一百○二加小差較和與虚相較之數即城徑負隅開平方法見一卷底勾底條南門外不知步數有槐東門外不知步數有桞甲乙俱在乾隅甲東行遇一小塔而立乙南行遇一大石塔而立二人遙相望槐栁俱與城相叅直計其行步則乙南行不及二塔斜相距步數少於小塔與栁相距五十六步甲東行不及二塔斜相距步數多於大塔與槐相距一百○五步問城徑釋曰此通股較與下平較通勾較與上高較測望二塔相距通也丙南行通股不及二塔相距為股較小塔距栁下平也甲東行通勾也不及二塔相距勾較也槐距大塔上高也術曰以股較不及平自之為實二較相減為法除之得平勾六十四若以勾較多高自之為實二較相減為法除之得高股二百二十五測圓海鏡分類釋術卷九欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷十元李冶撰明顧應祥釋術和較參互帶分測望圓城甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行各不知步數而立相望與城相叅直丙復斜行七百八十步與甲會以甲東行步除丙南行得二步四分釋曰此與勾除股數立法測望斜行七百八十步也二步四分乃以勾除股所得之數術曰斜步自之得六十○萬八千四百為平實以二步四分自之得五步七分六釐加一步得六步七分六釐為隅算平方開之得三百為勾勾求股得七百二十甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行隔城見之甲復斜行與乙相會告乙曰我直行斜行共行了一千二百八十步汝東行步居我南行步十五分之八釋曰此通股和與通勾股相較分立法測望乙東行為通勾甲南行為通股斜行為通共行通股和也乙東行既居甲南行十五之八是股得十五勾得八術曰股和自之得一百六十三萬八千四百又以十六因之得二千六百二十一萬四千四百為實以二百五十七因和步得三十二萬八千九百六十為益從以一十六為隅算作減從負隅開平方法除之得股較八十加和半之為減和半之為股負隅減從開平方法見二卷又曰勾居股十五分之八宜以八為勾率十五為股率各自乘併為實平方開之得一十七為率併股率得三十二為法置和步一千二百八十為實置二位一位以股率乘之以法除之得六百為股一位以率乘之以法除之得六百八十為此差分之法簡易明白甲乙二人俱在城外西北乾隅乙直徃南行不知步數而立甲往東行見之甲復斜行與乙會甲云我直斜共行了一千步東行得汝南行十五分之八釋曰此通勾和與通勾股相較分立法測望甲東行為勾斜行與乙會為乙南行為股術曰和步自之得一百萬為和筭分母自之得二百二十五以乘和筭得二億二千五百萬為實分母併分子以分母乘之加入分子得三百五十三倍之得七百○六以乘共步得七十○萬六千為益從分母自之得二百二十五為隅法作負隅減從開平方法除之得三百六十為勾較以較減和得勾負隅減從開平方法見二卷又曰勾居股十五之八就以八為勾率十五為股率勾股求得一十七為率併勾二率共二十五為法以和一千為實副置二位一位以勾率乘之以法除之得勾一位以率乘之以法除之得甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行亦不知步數望見之又斜行與甲相㑹乙云我東行不及城周九分之五甲云我南行多與汝東行二百八十步問城徑釋曰此通勾股較與通勾城周相較分數立法測望乙東行通勾甲南行通股南行多與乙東行為勾股較乙東行不及城周九分之五則城周得九通勾得四術曰東行步少城周九分之五則城徑得三東行得四四勾股較得一千一百二十為實城徑得東行四分之三以四為分母分母自之得一十六於上分母減子餘一倍之得二以分母減子乘之仍得二以減上倍餘一十四為法除實得八十為一分之數二之為城徑四之為勾加較即股甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之乙云我東行居城徑六分之五甲云我南行多於乙二百八十步問城徑釋曰此底勾邉股較與底勾城徑相較分數立法測望乙出北門東行為底勾甲出西門南行為邉股多於乙行步為勾股較乙東行居城徑六分之五為底勾城徑相較步數術曰四之較步得一千一百二十為實分母自之得三十六於上半之分母減分子得二倍之得四又以減子餘二乘之得八以減上位餘二十八為法除實得四十為一分之數五之為東行六之為城徑甲乙二人俱在城外西北乾隅乙南行不知步數而立甲東行不知步數見之問其行步則甲乙共行了九百二十步問城徑居乙南行四十分之一十六釋曰此通勾股和與通股城徑較分數立法測望甲東行為通勾乙南行為通股共行九百二十為勾股和城徑得南行四十分之十六為通股城徑相較分數術曰以分子減母餘倍之得四十八以乘共行得四萬四千一百六十為實分子減母倍之以乘母子和得二千六百八十八子自之得二百五十六相併得二千九百四十四以為法實如法而一得一十五為一分之數又曰列四十與一十六以約分法約之城徑得南行五分之二分母減子餘三倍之得六以乘共行得五千五百二十為實分母減子倍之以乘母子併得四十二分子自之得四相併得四十六為法除實得一百二十為一分之數五之為通股二之為城徑約分法曰副置分母子以少減多得八為等八除分母得五除分子得二甲乙二人俱在城中心甲穿城往南不知步數乙出東門不知步數見之復斜行與甲會計其行乙東行較甲南行得十五分之八乙斜行減甲南行餘三十四減乙東行餘一百五十三步問城徑釋曰此皇極勾較股較與皇極勾股較分數立法測望甲南行為皇極股乙東行為皇極勾斜行為皇極斜行減南行餘三十四股較也斜行減東行餘一百五十三勾較也東行得南行十五分之八勾股較分數也術曰二餘數相乘得五千二百○二倍之得一萬○四百○四平方開之得一百○二復加二餘得二百八十九自之得八萬三千五百二十一於上又以二餘數相減餘一百一十九自之得一萬四千一百六十一以減上位餘六萬九千三百六十為實分母子相乘得一百二十倍之得二百四十為隅算作負隅開平方法除之得一十七為一分之數八之為勾十五之為股各加餘步得甲出西門南行乙出北門東行各不知步數相見復相向斜行各三百四十步相會甲云城徑居我南行二分之一乙云我東行居城徑六分之五問城徑釋曰此通與底勾城徑較分數邉股城徑較分數立法測望甲出西門南行為邉股乙出北門東行為底勾斜行各三百四十步共為通城徑居南行二分之一邉股城徑較分數也東行居城徑六分之五底勾城徑較分數也術曰併斜行自之得四十六萬二千四百為實即筭東行居城徑六分之五城徑得南行二分之一是城徑為六東行為五南行為十二半城徑加南行為十五自之得二百二十五半城徑加東行為八自之得六十四相併得二百八十九為隅算作負隅平方開之得四十為一分之數十二之為邉股五之為底勾六之為城徑負隅開平方法見一卷甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行不知步數見之又斜行與甲會二人共計行一千三百六十步南行得斜行十七分之十二東行得斜行一十七分之五問城徑釋曰此邉股底勾通和與底勾通較分數邉股通較分數立法測望甲出西門南行為邉股乙出北門東行為底勾斜行與甲會為通共行一千三百六十邉股底勾通和也東行得斜行十七分之五底勾通較分數也南行得斜行十七分之十二邉股與通較分數也術曰此用差分法各列置衰十七股十二勾五副併得三十四為法置共步一千三百六十為實以十七因之以法除之得通以十二因之以法除之得邉股以五因之以法除之得底勾求城徑用底勾邉股求容圓法甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之既而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲謂乙云我取汝五分之三亦六百步釋曰此底勾邊股錯揉立法測望甲出西門南行為邊股乙出北門東行為底勾術曰此法用方程術以乙取甲分母六乘六百步得三千六百甲取乙分母五乘六百步得三千乙取甲六分之五是五箇甲行六箇乙行也甲取乙五分之三是五箇甲行三箇乙行也置甲五乙六三千六百步於右甲五乙三三千步於左以右甲五互乘左乙三得一十五左甲五互乘右乙六得三十二正相减餘一十五為法右甲五互乘左三千得一萬五千左甲五互乘右三千六得一萬八千相减餘三千為乙行之實右乙六互乘左三千得一萬八千左乙三互乘右三千六百得一萬○八百相减餘七千二百為甲行之實法除乙實得乙行二百步法除甲實得甲行四百八十步二行步相併自之得四十六萬二千四百於上二行各自之甲得二十三萬○四百乙得四萬相併得二十七萬○四百以减上位餘一十九萬二千為實二行相併得六百八十為從方半步為隅算作負隅帶從開平方法除之得全徑負隅𢃄從開平方法見四卷底勾通條又曰二行相乘得九萬六千為實相併得六百八十為從作𢃄從開平方法除之得半徑𢃄從開平方法見前卷甲從城外西南坤隅往南不知步數而立乙從城外東北艮隅往東望見之既而乙謂甲云我取汝所行三分之一得二百步甲謂乙云我减汝所行四分之三得三百步問城徑釋曰此大差股小差勾錯揉立法測望甲從坤隅南行為大差股乙從艮隅東行為小差勾術曰此用方程術先以甲取乙分三乘二百步得六百步乃三箇乙行一箇甲行也又以乙减甲分母四乘三百步得一千二百乃四箇甲行内減三箇乙行也置甲一乙三六百步於右甲四乙三一千二百步於左以右甲一互乘左乙三仍得三左甲四互乘右乙三得一十二一正一負相併得一十五為法以右甲一互乘一千二百如舊左甲四互乘六百得二千四百相減餘一千二百為乙行之實右乙三互乘一千二百得三千六百左負乙三互乘六百得一千八百正負相併得五千四百為甲行之實法除乙實得乙行八十法除甲實得甲行三百六十求城徑以二行相乘倍之得五萬七千六百平方開之甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行不知步數見之問其行步則甲南行與城徑相較其餘步居南行五分之三乙東行與城徑相較其餘步居東行四分之一又云二餘步相減餘二百八十步問城徑釋曰此股圓差與股較分數勾圓差與勾較分數及股圓差勾圓差較立法測望甲南行為通股城徑相較餘步為股圓差股圓差居股五分之三乙東行為通勾城徑相較餘步為勾圓差勾圓差居勾四分之一二差相減餘二百八十步為股圓差與勾圓差相較也術曰倍二餘步相減數得五百六十步為實勾母乘股子減股母得七為法除之得勾圓差八十三之為城徑四之為勾甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行乙東行各不知步數相望問其行步但云甲南行與城徑相較餘步居南行步五分之三乙東行與城徑相較餘步居東行步四分之一又記得東行分母每分不及南行每分四十步問城徑釋曰此亦股圓差與股較分數勾圓差與勾較分數及二差分母相較數立法測望甲南行為股城徑不及股步為股圓差差得股五分之三乙東行為勾城徑不及勾步為勾圓差差得勾四分之一勾分母與股分母相較得四十也術曰置少步倍之得八十為實以股母子相減得二勾母子相減得三相減餘一為法除之仍得八十為勾圓差三之為城徑四之為勾求股圓差以勾圓差加少步四十得一百二十為一分二之為城徑三之為股圓差五之為股甲出南門直行不知步數而立乙出東門直行見之甲云我行不及股圓差二十四分之一十五乙云我行不及勾圓差五分之四又云甲直行多於乙直行一百一十九步二差相較二百八十步問城徑釋曰股圓差三百六十通股與圓徑較也甲出南門直行為明股明股與股圓差相較不及二十四分之一十五勾圓差八十通勾與圓徑相較也乙出東門直行為□勾□勾與勾圓差相較不及五分之四甲行多於乙行一百一十九步明股□勾較也二差相較二百八十步勾圓差不及股圓差數也測圓海鏡分類釋術卷十

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