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丙午年 七月十有三日

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Root / 四庫全書 / clean / 子部 / 天文演算法類 / 算書之屬 / 莊氏算學

Work: 算書之屬 Viewing: Source
Metadata
Work ID
126565
Title
莊氏算學
Corpus root
四庫全書
Ws Categories
PD-old
欽定四庫全書 莊氏算學卷一 淮徐海道莊亨陽撰 梅勿庵開方法 一平方 平方四邊相等今所求者其一邊之數西法謂之方根方者初商也初商不盡則倍初商之根為廉法除之得兩廉又以次商為隅法自乘得隅以補兩廉之空而成正方形是謂次商又不盡則合初商次商得數倍之為㢘法除之得次兩廉又以三商為隅法自乘得隅以補次兩廉之空而成正方形自此而四商五商倣而加之能事畢矣 凡減隅積皆視其隅數為何等隅數是單則積止於單位隅數是十其積止於百位百止於萬位千止於百萬位萬止於億位每隅法大一位則隅積大兩位所以初商減積止初㸃次商減積止次㸃三商四商五商皆可以類推也 〈自單位作㸃起每隔一位㸃之有二㸃商數有十三㸃商數有百也〉 凡初商得一二三四皆書於㸃之上一位商得五六七八九皆書於㸃之上兩位其故何也五以上之廉倍之則十故豫進一位以居次商四以下雖倍之猶单數也所以不同 大約所商单數必在亷法上一位乃法上得零之理也開方有實無法廉法者乃其法也 次商用歸除凡歸除得數皆書於籌之第一位今須看次商所減之數其籌行内第一位是空與否若不空即以次商得數對餘實首一位書之若第一位是空則以次商得數對餘實上一位書之雖不離籌之第一位而所商之有空位無空位出矣立方審空位之法亦然 一立方 平方則一方次合兩廉一隅以成方面立方則一方次有三平廉以輔於方之三面又有三長廉以補三平廉之隙又有小方隅以補三平廉之隙推之三商四商皆然而方體成矣 三平廉長濶相同皆如初商數三長廉長如初商數其兩頭髙與濶則如次商數 立方三位作㸃者自乘再乘之積止於三位也初商㸃在首位則獨商首位㸃在次位則合商兩位在三位則合商三位也凡初商得一數者書於㸃上一位得二三四五者書於㸃上二位得六七八九者書於㸃上三位其故何也盖開方以廉為法而平方只有二廉其廉之積數只有進一位故一進而足立方則有三平廉而其積數有進一位者有進兩位者故必立三等也要其豫為續商之地使所得單數居於法上之一位則同方單一其廉法單三若方單二則廉法一十二變為十數進一位矣故一用常法二用進法也方單五其廉法七十五若方單六則廉法一百零八又變百數進兩位矣故五用進法而六以上用超進之法也 三平廉用自乘者三平面積也三長廉則未有積故與平廉異也次商數自乘以乘長廉者每長廉之一數各分次商自乘之數也 一平方帶縱 平方帶縱者長方面也初商得平方與縱方縱方之濶如平方之數長則加所設縱之數次商得廉縱一廉二隅一蓋倍廉不倍縱一為帶縱之廉一為不帶縱之廉也用法與平方相似但初商時必以初廉得數乘縱數為縱方積然後合兩積以減原實為稍異耳 若應商十數因無縱積改商單九是初商空也則於初商位紀○而紀其改商之數於○下若次商者然既為次商則減積亦盡於第二㸃 初商得五至得九皆書於㸃上二位不論縱之多寡若得四以下則視縱之多少而為之進退法以縱折半加入初商 〈單從單十從十百千各以類加〉若滿五以上則亦進書於㸃之上兩位 〈如初商三而縱有四初商四而縱有四之類〉若縱數少雖加之而不滿五則仍書於㸃之上一位 〈如初商四而縱只有一初商六而縱只有二之類〉搃而言之所商單數皆書於廉法之上一位故初商得數有進退之法乃豫為廉法之地以居次商也初商五以上倍之則十雖無縱加廉法已進位矣初商雖四以下而以半縱加之滿五則其倍之加縱而為廉法也亦滿十而進位矣㢘法進位故初商亦必進蓋豫算所商單數已在廉法之上也 又初商若得單數其廉法即為命分凡商得單數必在命分上一位凡開方皆然 一立方帶縱 凡立方帶縱有三一只帶一縱如云長多方若干或高多方若干是也一帶兩縱而縱數相同如云長不及方若干髙不及方若干是也一帶兩縱而縱數不相同如云長多濶若干濶又多髙若干是也大約帶一縱者只有縱數而已帶兩縱者有縱數又有縱方故其術不同立方帶一縱者長多於方謂之横縱髙多於方謂之直縱初商得立方一方縱一合成長立方形次商平廉三内帶縱者二長廉三内帶縱者一小隅一合七形而成一形三商以上者皆倣此 以積實列位作㸃如立方法截首一㸃為初商之實視立方表中積數有小於初商實者用其方根為初商得數用其積數為初商積數次以初商自乘以乘縱數為縱積合計立方積縱積共數以減原積而定初商不及減者改商之及減而止 次商則以初商得數自乘而三之又以縱與初商相乘而兩之共為平廉法或以初商三之縱倍之併其數以乘初商或以初商加縱而倍之併初商數以乘初商竝同 〈所謂帶縱㢘二不帶縱廉一也〉又以初商三之加入縱為長廉法 〈所謂帶縱廉一不帶縱廉二也〉乃以平廉法約第二㸃上餘實商除得數為次商於是以次商乘平廉法為三平廉積又以次商自乘以乘長廉為三長廉積就以次商自乘再乘為隅積合計平廉長廉隅積共若干以減餘實不及減者改商之及減而止 三商則以初商次商所得數加縱而倍之併商得數為法仍與商得數相乘為平廉法又以初商次商所得數三之加縱為長廉法以除原實如次商法餘倣此列商得數依立方法得一書於㸃之上一位得二三四五書於㸃之上兩位得六七八九書於㸃之上三位若縱數多廉法有進位則宜用常法者改用進法宜用進法者用超進之法宜超進者更超一位書之其法於次商時酌而定之蓋次商時有三平㢘三長㢘再加隅一為命分之法法上一位單數也從此單數逆尋而上自單而十而百而千至初商位止有不合者改而書之若與初商恰合不必強改此法甚妙平方帶縱亦可用之也 若宜商一十而改單九或宜商一百而改九十凡得數改退小一等數者皆不用 上一㸃而以第二㸃論之此尤要訣不可忘 〈或於初商外作圈而以所商小一等數書於圈下亦可以上一㸃論也〉立方帶兩縱縱數相同者如髙不及方若干則方之横與直俱多於髙是為兩縱初商有縱廉二縱方一并立方而四蓋兩縱廉輔立方之兩面而縱方以補其隅合為一短方形也次商平廉三内帶一縱者二帶兩縱者一長廉三内帶縱者二不帶縱者一小隅一共七形合一短方形也 用法先以縱倍之為縱廉法又以縱自乘為縱方法乃如立方法列位作㸃視表中求初商方數及立方積次以初商得數乘縱方數為縱方積又以初商自乘數乘縱廉數為縱廉積合計縱方縱廉立方之積共若干數以減原實而定初商不及減改商之及減而止 次商則以初商得數加縱倍之以乘初商得數 〈所謂帶一縱之廉二也〉又以初商加縱自乘得數 〈所謂帶兩縱之廉一也〉併之共為平廉法或以初商三之加縱以初商加縱乘之亦同次以初商加縱倍之併初商數共為長廉法 〈所謂帶縱者二不帶縱者一也〉或以初商三之縱倍之亦同乃置餘實列位以廉法位酌定初商列法而進退之以平為法而除餘實得數為次商 〈皆所以減首位是空與否而為之進若退〉或合平廉長廉兩法以求次商亦同於是以次商乘平廉法為平廉積又以次商自乗數乗長廉法為長廉積又以次商自乗再乗為隅積合計平廉長廉隅積共若干以減餘實而定次商又法以次商乗長廉法為長廉法又以次商自乗為隅法併長廉平廉隅法以與次商相乗為次商廉隅共積以減餘實亦同不及減者改商之及減而止三商四商倣此 立方帶兩縱縱數不相同者如長多於濶髙又多於長初商有大廉縱一小廉縱一縱方一并立方形而四蓋大廉縱以輔髙之一面小廉縱以輔長之一面而縱方以補兩縱之闕也次商平廉三内帶小縱者一帶大縱者亦一兼帶兩縱者又一長廉三内帶小縱者一帶大縱者一不帶縱者一小隅共七形合成不等方形也用法以兩縱相併為縱亷以兩縱相乗為縱方乃如立方法列位作㸃求初商之實以立方表求得初商立方積次以初商乗縱方數得縱方積以初商自乗乗縱廉數得縱亷積合計三積以減原實皆如前法 次商則以初商長濶維乗得數而併之為平廉法又以初商長濶髙併之為長廉法乃置餘實列位 〈以平廉酌定初商之位而進退之〉遂以平廉為法求次商以次商乗平廉為平廉積以次商自乗數乗長廉為長廉積以次商自乗再乗為隅積合三積以減餘實不及則改及則止以待三商餘倣此 凡不能成一單數者則以所商長濶髙維乗併之如平廉又以長濶髙併之如長廉又加單一如隅為命分母以所餘之數為命分子 維乗之法如初商三十尺為濶加縱五尺共三十五尺為長又加縱一尺共三十六尺為髙濶乗長得一千零五十尺髙乗濶得一千零八十尺長乗髙得一千二百六十尺併三維乗數共得三千三百九十尺為平廉法若合長亷加隅一即為命分母也 若在次商後則加次商得數若在三商後則加三商得數 用籌法 開方用籌㨗法廉隅二形也故有二法今借開方大籌為隅法列於亷法籌下而共商之則隅亷合為一法而用加㨗矣存前法者所以著其理用㨗法者所以善其事 既得初商即倍根數為廉法以亷法數用籌 〈如商根為四則用八商根為六則用十二〉以列於立方籌之上為廉隅共法合視共法籌某行内有與次商之實同者或畧少者減實以得次商以本行内方根命之既得次商則合初商次商倍之以其數用籌列平方籌以求三商四商以下倣此隅者小平方也故可以平方籌為法廉之數每大于隅一位今以平方籌為隅列於廉下則隅之進位與廉之本位兩半圓合成一數故亷隅可合為一法也何以知亷大於隅一位也曰有次商則初商是十數矣平方之廉法是初商倍數故大於隅一位 若次商之實小於廉隅共法之第一行則知次商是空位也 〈不能成一數故空〉則於廉法籌下平方籌上加一空位籌為廉隅共法以求三商既得三商則合初商三商數倍之去空位籌以倍數用籌列於平方籌之上以求四商如初商得四次商得空則用空位籌列於八籌之下及三商既得九則倍四○九而為八一八之數空位籌可不用矣若兩空位則加兩空籌三空位則加三空籌餘倣此 凡餘實必在商數下一位起倘空位則可作圏補之又凡亷隅共法籌第一行數即命分母也盖能滿此數即成一單數矣 若立方則以初商數自乗而三之為平廉法以平亷法用籌列於立方籌之上為平廉小隅共法别以初商數三之而比共法尾位進一位為長亷法以長亷法用籌列於立方籌之下 〈法于長廉法籌下加一空籌以合進一位之數〉 視共法籌内有小於實者為平廉小隅共積用其根數為次商次以次商自乗數 〈即平方籌之積數〉與長廉法相乗 〈以平方籌之數尋長廉籌之行取其行内積數用之〉得數加入平隅共積為次商搃積以減次商實乃如法以求三商餘倣此 隅者小立方也故可以立方籌為法平廉之數每大於隅二位今以立方籌為隅法列於平廉下則隅之首位與平亷之末位兩半圓合成一數故平㢘小隅可合為一法長㢘之兩頭皆如次商自乗之數故可以平方乗之又長㢘之數每大於隅一位故於下加一空籌以進其位便加積也何以知平㢘大于隅二位而長亷只大一位也蓋平㢘者初商自乗之積也初商於次商為十數十乗十則成百數矣隅積者次商本位也故平㢘與隅如百與單相去二位也若長㢘則是初商之三倍位同初商初商與次商如十與單故長亷與小隅亦如十與單相去一位也 若次商之實小於平廉小隅共法之第一行或僅如共法之第一行而無長廉積則次商是空位也法於初商下作空位圈以為次商而于平㢘籌下立方籌上加兩空位籌為三商平亷小隅之共法以求三商其長㢘法下又加一空位籌并原有一空位籌共兩空位籌為三商長㢘法或長㢘不必加空籌但于得數下加兩圜若商數有兩空位者平㢘下小隅上加四空位籌長㢘積下加三圈 蓋有空位則所求者三商也初商與三商如百與單而平㢘者初商之自乗百乗百成萬故平㢘與三商之隅如萬與單大四位也此加兩空籌之理 〈平㢘原大二位加二空籌則大四位矣〉 初商與三商既如百與單則長㢘與隅亦如百與單大兩位也此又加一空籌之理也 命分還原法如原實八步開得方二步除實四步不盡命為方二步又五分步之四然在兩亷可得五之四在隅則得二十五分步之十六而已實不及五之四也故通分法還原以分母五通二步得一十分又納分子四共一十四分自乗得一百九十六為實以命分五自乘得二十五為法除之只得七步又二十五分步之二十一以較原實少二十五之四矣故必另置分母五以分子四減之餘一以轉乗分子四得四即隅差也加隅差入方積中然後以分母自乗除之則合原積矣 若立方積一十七步開得立方每面二步除八步餘九步如法命為立方二步又十九分步之九在平㢘可得十九分步之九在長㢘與隅則不滿也法以分母十九通二步為三十八分又納分子九分共四十七分為立方全數以全數自乗再乗得一十○萬三千八百二十三分為通積另置分母十九自乗得三百六十一内減分子九自乗八十一餘二百八十分以分子九乗之得二千五百二十分為隅差又置分母十九内減得分九餘十分轉乗分子九得九十分以乗命分母十九得一千七百一十分為長亷每步虚數又以長㢘法六步乗之得一萬○二百六十分為長㢘差合二差共一萬二千七百八十分以加入通積共得一十一萬六千六百○三分為實以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分為法以除實得一十七步合原積 莊氏算學卷一 欽定四庫全書 莊氏算學卷二 淮徐海道莊亨陽撰 幾何原本舉要 凡角度皆起於圓心而見於圓界圓不論大小俱有三百六十度之數度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不盡之數分之故執有度之圓界 為凡角大小之規也 二平行線若作一斜線交加於上則二横線内外所成 之二角俱為相等 在平行線上作一斜直線即成八角此八角之 庚戊乙甲戊己兩相等角謂之對角甲戊庚庚戊乙兩角同心謂之並角庚戊乙戊己丁二角相等角一邊謂内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖錯交謂相對錯角庚戊乙丁己辛二角之等角一邊謂之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一邊謂之内角八角之中半鈍半鋭各自相等推之三平行線四平行線皆然也凡三角形之三角相並必與二直角等而具半周之度凡三角形自一界線引長成一外角將三角形内所對二角並之始與一外角等 凡三角有二形兩邊線之度各等二線所合之角俱等則二形底線之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界線之度各相等則三角度亦必等而形内所函亦等也 若二形一界線之度相等於相等線左右所生之二角又相等則他線他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二邊等線者其底線之兩角度亦為相等也蓋作一長線上剖角下剖底成兩直角三角形各相等也則底線左右所成角必等可知 凡三角形之長界線必對大角最長對最大次長對次大短者對小者 凡三角形必有二鋭角何也凡三角形將三角並之必與二直角等故一鈍必兩鋭一直亦兩鋭即三等角亦皆鋭也 凡自一㸃至一横線作衆線衆線内有一垂線必短於他線而他線之與垂線相離愈逺者線愈長也 凡三角無論直鋭鈍合並二界線必長於所餘之一界線所以凡自一㸃又至 一㸃畫㡬線其各線中僅一線直而短餘必曲而長矣四邊形有五種一四方形邊角俱等也一長方形角等而兩邊長兩邊短也若四邊等而角兩鈍兩鋭者謂斜方形又兩邊長兩邊短而角兩鈍兩鋭者謂長斜方形若四邊不等四角又不等者謂無法形 凡四邊平行線形其角之各兩對角必俱相等 於對角作線分為兩三角形是為對角線必将平行線四邊形分為兩平分 凡平行線之四邊作兩對角線相交處為平分二線之正中 凡於四邊形對角線之正中作一斜横線截開則將四邊形為兩平分 四邊形若於對角線不拘何處交加依兩界作二平行線即成四四邊形二形為對角線内之形二形為對角線旁餘之形此兩旁形其積必 等蓋對角線原属平分而等今交加線中所成兩大三角兩小三角形亦属平分而等於原兩三角内對減兩大三角兩小三角則所旁餘四邊形其積亦必等兩平行線内凡同底所成之四邊形其面積俱等何也如甲乙戊丁丙己兩三角形其甲丁戊 己二線之度俱與乙丙平行線為等故互相等也若於甲丁戊己二線每加一戊丁線即甲戊丁己兩線俱等因甲乙丙丁之四邊形為平行線則所各相對之線亦俱等也再戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙平行線一邊之内外角兩形為等自此兩三角形減去丁戊庚所存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等於此所存之二形每加一庚乙丙形則成甲乙丙丁戊己丙乙之相等積四邊形矣故凡兩平行線内凡同立於一底者則線無論短長所存之四邊形俱等積也 兩平行線内若同立一底凡所有各種三角形之面積亦俱等也蓋三角為平行四邊形之一半四邊既等則三角亦等也底度同亦然 凡衆角形自角至心作線有㡬界即成㡬角形若作六界即成六三角形矣 欲知衆邊形角度之數将邊數加倍於得總數内減四其所餘之數為直角數即為衆角 度也如七邊形是七個三角形凡三角形併三角等兩直角則七三角形等十四直角而圓心所有之七角當四直角矣故将十四直角減四直角餘十直角之度為衆角之總度也 凡一直線切於圓界雖長過界而不與圓界出入交加此謂之切線又兩圓之圓界相過相切而不相交加出入謂之切圓 凡一直線横分圓界謂之 如戊所分圓界之一段謂之弧如甲乙丙 線與弧線相遇處成兩形如甲乙丙俱為圓 之弧分之角 凡自 之兩頭作兩線外向圓界相遇此角名為圓分内角又謂對弧立角 自圓心作二輻線至弧線成三角形謂之分圓面形凡自與圓界相切輻線之末作垂線必在圓外 凡在圓 線若自圓心作垂線可以平分 線垂至圓界便可平分弧線蓋自甲心作兩半徑至乙丙二處其線相等則丙乙二角相等故自甲角至乙丙底線之丁處作垂 線便是平分也 凡自圓外一㸃至圓界兩邊作二切線此二線必相等蓋自圓心作二輻線與二切線相切則二切線與二輻 線互為垂線而兩線相遇之角 必俱為直角又於兩直角作一 對角線是謂 線而成丁乙丙 與甲乙丁兩三角形丙乙丙丁係輻線原等則底線兩合角必等減圓内兩角數則甲乙丁甲丁乙二角乃兩直角之所餘也二角既等二切線亦必等矣 凡圓有兩 線若等其分圓弧面之積亦等若自心至兩 各作一垂線則二垂線度亦等又自心至兩 線之各兩頭作四輻線亦等則所成之兩三角形亦等 於甲乙輻線末作垂線者切線也甲 輻線割圓於戊而至丁者割線也戊 垂線至己者正 也凡立於乙戊弧 之角者欲求三角之度三邊之數皆於是取也 三角俱抵圓邊者界角也一角居心二角抵邊者心角也心角交與界角有三種其圓心所生界角或在二直線之一線者或在二直線之外者或在二直線之間者此三種心角皆大於界角一倍如第一圖心角在丁乙直線之内則心角為甲丙丁鈍角形之外角外角則兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙甲為一圓之輻線相等則所合丁甲二角亦必相等外角既兼有二角之度則比丁角為大一倍可知矣第二圖心角在丁乙直線之外則自丁過内心至戊作一直線成甲丙戊一大心角甲丁戊一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一 小界角凖前論大心角倍於大界角小心角亦倍於小界角今於大心角減去小心角大界角減去小界角則所減之心角倍於所減之界角而所存之原心角亦倍於所存之原界角也第三圖心角在丁乙丁甲直線之間自丁界過丙心至對界作一直線亦如第一圖論将心角剖為二界角亦剖為二則分為兩心角各倍於兩界角仍合為一心角則倍於一界角也 自圓之弧線凡一叚任與圓界何處其尖相切所成之界角有㡬何其度俱為等也蓋同立一弧者心角皆大於界角一倍如上節所云則同弧之界角不論何處皆小於心 角一倍也因其俱為心角之半則不拘何處作界角皆相等也 圓内有一心角一界角若心角所對弧度得界角所對弧度之一半此兩角度必相等也盖同弧之心角大於界角一倍今於心角弧度去一半則兩角必相等也凡圓之界角若立於圓界之半必為直角蓋心角所對弧線若是界角所對弧線之一半則二角之度必等今界角對弧為半周将半周弧剖作二心角則二角皆為直角既為直角則界角對弧乃兼兩心角對弧者安得不為直角乎 凡圓之界角若在半圓分之小分内必為鈍角也如圖甲乙丙為小半圓則所餘甲丁丙為大半圓若将甲丁丙弧線於丁處平分又自圓心作戊丁戊甲兩線丁甲弧大於圓周四分之一為鈍角也又心角對弧若為界角對弧 之一半則二角度為相等今甲丁正得甲丁丙之半則戊為鈍角乙亦為鈍角也 凡圓之界角若在半圓分之大分内必為鋭角也如圖甲乙丙為大半圓所餘甲戊丙為小半圓若将甲丙為弧線兩分於戊又自丁作丁甲丁戊兩線成甲丁戊心角形此 心角形所對既不足圓界四分之一則為鋭角也既為鋭角則甲乙丙角必為鋭角可知矣 函圓形者有函圓切三角形函圓切四方形有函圓切多邊形圓内切形者有圓内切三角形圓内切四方形圓内切多邊形函圓衆界形之度大於函於圓之界其函衆界形之圓界度亦大於所函之衆界形在外者大在内者小也故函形界必大於函於形界也 有一函圓衆界形又一直角三角形此三角形一直角所生二直線内一直線度若與所函圓之輻線度等又一直線度與函圓衆界形之各界共度等則三角形面積與衆界形面積俱等也如自幾邊形之心至角作幾線分為幾三角求三角之中長線即輻線也底等髙等所作三角形俱等即所云二平行線内同底所作三角形俱等也合衆三角形之底為一大三角形之底其面積當無不等也 一圓所函之衆界形一直角三角形此三角形之一直角所生二直線内一直線度與彼圓自心至衆界形界所作垂線度若等再一直線度與彼衆界形之共界度若等則兩形之面積俱等也 有一圓形有一勾股形若股如半徑勾若全周則兩形之面積必等也蓋比前函圓之衆界形則為小比前函於圓之衆界形則為大就中間取之恰合無疑也夫函於圓之衆界形輻線及界而不及弧是比圓為小也函圓之衆界形輻線雖及弧而衆界度共線又長是比圓為大也今以圓周及輻線取直角三角形而合之相等無疑則可得圓之面積也盖圓線式異於直線式難於符合然苟將圓線作萬萬段亦與直線近也 衆界形或函圓或函於圓其界數愈多愈與圓界度相近如自函三邊而為六邊六邊而為十二邊十二邊而為廿四邊無論内外愈近圓界度數也試設一函於圓九十六邊形又設一函圓九十六邊形而作一圓若将函圓形作一千五百六十二分又將他形照此所分之度分之則函於圓形僅得一千五百六十一分矣而圓界度大於所函之衆界小於函圓之衆界必得一千五百六十一分餘其圓界中心徑線必得四百九十七分若即小數算之將圓界作二十二分則中心徑線必得七分餘故在圓界可得直線之度在直線亦可得圓界之度也 有一圓形又一衆界形此圓界度若與彼衆界度等則圓形之面積必大于衆界形之面積也試凖前半徑作股界度作勾之法求之則方周圓周之界度雖同而圓之垂線長方之垂線短則方所成之三角不及圓所成之三角而所函之面積方亦不及圓矣 凡平面上所立之線若無偏斜猶平階立直柱其各邊所生之角若俱直是謂平面上之垂線 相對兩平面之角各垂線度若俱等此相對二平面謂之平行面 平面上所立之平面若無偏斜猶平地上作直壁是謂平面上之直平面 自三面四面以上其各瓣相並所存之角謂之厚角成厚角之平面各角度不足於四直角度也何也試将五面厚角尖使其平伸共為一平面則五瓣各相離而有空處 不能成圓面故不足四直角也若欲將四直角顯尖作厚角其瓣大而不能成平面厚角矣 平面三稜厚角其三面内若将兩面角並之必大於所餘之一角度也試將三平面使之平伸而兩角相並一角孤行則可見矣 凡平面上二直線相交處作一垂線莫偏斜則此線於平面上在在俱為垂線也蓋若有偏則自平面上視之或成鈍角或成鋭角既無偏斜則為直角既為直角則移向平面上處處俱為垂線矣 衆線相交處立一垂線其角若俱直此所交之各線必在平面一也 平面上作二垂線正直立之此二線必互為平行也蓋於平面上作一直線而正直作二垂線則所交直線之角皆為直角所謂二直線一邊成内外之二角也凡平行二線之間任意自此一線至彼一線隨處作直線斜線交線三角形線俱同原平行線在平面上二線與他一線平行雖在别面此二線亦互相為平行也 相對二平面間若横一線正垂在二平面上俱生直角此相對二面互相為平行面也蓋於二平面上各作對角斜線兩相交處為兩平面之中而垂線正當兩線相交之處而俱成直角則兩平面上之兩對角四邊俱係平行則兩平面亦必為平行者也 二平行而上凡相當之各二線俱為平行也 二平行面横穿一平面而皆成直角則中間縫線亦必平行也如以木版穿木版之狀 各種面内積之處謂體依面之端名之也設如全身無角只有一圓面此謂圓體全身各面俱平而有角此謂平體立方是也其身有曲平兩相襍謂之襍體如半截橄㰖是也全身相對之各二面俱平行此謂平行面體長立方長斜立方是也全身相對之面不平行而獨兩底面平行此謂底平行面體三角柱是也周圍圓形而底與面平謂長圓體圓柱是也一平面底而立幾平面俱合於一角而成大此總謂尖瓣體也底三角者為三瓣尖體底四角者謂四瓣尖體底衆角者謂衆瓣尖體若在平面上立圓面而成鋭尖此謂尖圓體也 所云圓體長圓體尖圓體此三種面俱生於一動之間耳以甲乙為樞心將甲乙丙作轉式旋轉一周即成為圓體也於甲乙丙丁平面形以甲乙為樞心以丙丁線界作轉式旋轉一周即為長圓體也於甲乙丙三角形以甲乙為樞心以丙界作轉式旋轉一周即尖圓體也樞心正則為正體樞心偏則偏體矣 凡體若面平行相當所對兩邊面積俱為等也如正方體六面相當則六面面積俱等如長方體各底面相當則底面之面積俱等也 凡體苟面積形式一同俱等謂全等體形不等而積等謂等積體積不等而式等謂等式體 平行面三凡體形自對角線分為兩段此兩段為全等體也 平行平面之間若同在一底立各平行體形其積俱為等如面例 平行平面之間有在等積底所立之各平行體形其積必俱等蓋所立之處不同而其度同也故等也 平行平面之間有在等積三角形兩底所立各三面體形此所立各體之積必俱等也理如前節 平行平面之間同在一底作一平行體形作一三面體形則三面體形必為平行體形之一半 各種體形難以發明必作圖以明然有空實二端空者宗其空實者宗其實乃可耳 凡等式體苟立於等積之底其體之髙若等則其積俱為等凡尖圓尖瓣皆然也蓋將大體截分為衆小體其小體底度亦等也 有各種平行底之平面體與各種平面尖體兩底積若等其髙數又等則此一平行底之平面體與彼平面尖體三形之積等推之平行面體與四瓣尖體三形之積等平行底之圓面體與圓面尖體三形之積等蓋三面尖體為三平面平行底平面體三分之一四面尖體為平行面體三分之一尖圓體為圓柱體三分之一也若将實形作空形以水注之作比例可見 凡相等界度之體内其圓體所函之積數强於他種體所函之積也如一圓一方一十二瓣體論積皆不及圓蓋如論面函於圓界之積大於各等邊平形所函之積也六面俱為等面八角俱為直角是謂正方體 厚角正體有五種觀於各面數而名之也一為四瓣面之體此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是謂四瓣體二為六瓣面之體即正方體也三為八瓣面之體共八面面各三角各三界度若俱等是為八瓣面體四為十二瓣面之體此每面有五角各五界度若俱等是謂十二瓣體五為二十瓣面之體此每面有三角每面各三角各三界度若俱等是謂二十瓣體此正體五種外不生他形總不外三角四角五角之平面合而成也蓋将三角平面形三瓣形合成一厚角餘一面求角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣體是也将三角平面四形合之復加四形八瓣體是也将三角平面五形合之復加十五形二十瓣體是也然欲以三角六形合之不能成厚角矣蓋六三角平面形界於界角於角而對合之成六角之平面形能為平尖不能顯也是故三角形所生只於四瓣八瓣二十瓣自此而外無有也四角所成只於正方角此外無有也将五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣體是也此外不能成他角也至六角平面形則将三角相合已等於四直角能為平而已不成厚角也六角如此七八以上可知矣 凡比例面比面體比體線比線不同者不相謀也凡将兩物度數互相比之此比出之度數為大為小謂之比例其比者與所比於物者俱謂率齊數之謂也其比之物謂前率其所比於之物謂後率也如甲乙二線相比此所比出之甲線或為長或為多乙線或為短或為少謂之比例也将此二線相比故謂之二率而所比之甲線謂之前率其比於之乙線謂之後率矣 凡兩兩相比謂之四率如一率與二率之比同於三率與四率之比此為同理比例也如一率甲二率乙三率丙四率丁乙線為甲線六分之五丁線為丙線六分之五則甲乙二線之比同於丙丁二線之比是謂同理比例苟求得乙線有甲幾倍之數則可知丁線有丙幾倍之數也 又凡四率将一率與三率分作幾分将分數相等定凖此兩率分度雖不同而分數為等於是以二從一以四從三㸔幾分為均其一與二之比即如三與四之比為同理比例也 有兩不同之比例如二率四率之分數相等而一率於二率為四之六三率於四率為四之五則不同矣而可相比例謂一與二之比大於三與四之比也前比例之數多再比例之數少也故又謂之兩不相同之比例也有相連比例率如甲線一 〈一率〉乙線二 〈二三率同〉丙線四 〈四率〉甲與乙之比同於乙與丁之比是謂相連比例倣此於相連比例之内将一率甲與三率丙比者謂隔一位加一倍之比例也将甲與丁比者謂隔二位加二倍之比例也将甲與戊比者謂隔三位加三倍之比例也比例難於講觧試作圓以明之於大圓内作小圓於圓之中心作二線割小圓弧抵大圓弧則成大圓己甲庚小圓辛甲壬之甲角此甲角之對弧己庚苟為大圓之六十度則亦為辛壬小圓之六十度蓋圓之大小雖不同而分數為等故以大圓周為一率庚己弧為二率小圓周為三率壬 辛弧為四率一與二之比同於三與四之比也兩圓周為比之之率為前率兩弧為比於之率為後率兩兩相當分數俱等是為順理比例也倣此凡各率各度雖異相當之數若等一二之比同於三四之比俱為順理比例又有幾種論如左一種反比例反一為二反三為四仍相等也如前大圓周為一率大弧界為二率小圓周為三率小弧界為四率今以大弧界為一率大圓周為二率小弧界為三率小圓周為四率比例亦同也一種轉理比例謂一與三比二與四比也以大圓周為一率小圓周為二率大弧界為三率小弧界為四率其比例亦無不同也 一種分理比例謂於一率三率中各減與二率四率相等之一分以比二率四率仍為相當比例也如二率四率原於一率三率為六之一今各減一率三率之一分則又為五之一比例亦然也 一種合理比例謂合原一率二率之數以比二率合原三率四率之數以比四率原各為六之一今又各為七之一也 一種更理比例謂換却二率四率之原數各更以他數如原各為六之一今又各為六之五也 一種隔位比例如有兩項四率原為相當比例則以此四率中之一率與四率為比又以彼四率中之一率與四率為比合為一四率仍為相當比例率也 一種錯綜比例如此邊有相連比例三率彼邊亦有相連比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟錯綜之則取此中末之比例彼另設一線置於彼第一線之比又取此上末之比例彼另設一線與彼中線之比蓋彼雖另設一線仍是相連比例線此相連之比同於彼相連之比此隔位之比亦同於彼隔位之比也一種相減比例如甲丙乙丁二線所有之三倍内減去丙戊丁己二倍互相之比同於原甲丙乙丁二線之比 也 一種相加比例如甲乙二線照本度各加三倍為丙丁線互相之比同於原甲乙二線之比也 得此比例線之法則面之相當者為比例面體之相當者為比例體也且線亦可以例面面亦可以例體也如甲六分線與乙三分線相比丙六分面與丁三分面相比戊六分體與巳三分體相比每每相當分數相等則互相為比例也 以二數相乗所得兩數為均若以二線均為幾度每各線度作小方形以此線小方乗彼線小方即成兩直角四界形蓋以一線為横一線為縱彼此互乗形亦均也又一線分為三度作小方形一線分為四度有竒作小方形一線横一線縱乗成函十二長方形而竒數亦附於方末也 又将前線所作方形取其半相乗亦得四方形也蓋取三方之半而為六小方取四方之半而為八小方八六四十八六八亦四十八便成兩函四十八之長方形而其總度仍相等也蓋兼取其半而無改於原度故也四方直角平面形凡在一線可以相乗也如甲乙形欲 乗丙丁線則將此 形作四小方體又 将丙丁依甲乙所 分之厚分比之若得三分則将甲乙形三層垜之遂成函十二小方形之直角體也凡六面平行直角體必得壘一四邊直角平面與一直線相乗而成也 凡兩直角平面形欲相比例有兩比例焉如大形之長度與小形之長度幾倍為均大形之寛度與小形之寛度幾倍為均是也然合 〈闕〉比兩比例仍是一比例如甲方之長與乙方之長三倍為均甲方之寛與乙方之寛兩倍為均二三相乗為六則甲方之形與乙方之形之比例為六倍為均也 若長四倍為均寛三倍為均三四一十二則大 形與小形之比例為十二倍為均也再若大形之横度比小形十二為均小形之直度比大横直度三倍為均則以三除十二得四大形比小形四倍為均也若四倍則以四除十二得三倍為均皆成一比例也 有兩直角形若此形之長倍於彼形之長而彼形之寛反倍於此形之寛則此兩形之積為等也或一倍或三四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率相乗所得數必同於一率四率相乗所得數也如一率二二率四三率三四率六以中率三四相乘為十二首尾率二六相乗亦一十二也試将三度四度之線相乗作長方形又将二度四度線相乗作長方形形雖不同而積等也故一二三率已知者也所求四率未知者也既求得四率則以一率與四率相乗所得數與二率三率相乗所得數無以異也如東河之水流速三倍西河之水流速六倍東河之流一秒十缸欲知西河之流一秒幾何缸則以東河之三倍為一率西河之六倍為一率東河之十缸為三率求得西河之流二十缸試相乗之數為等也又如三個兵每月餉六兩今已五月應餉幾何則以三兵為一率六兩為二率五月為三率求得餉銀一十兩試相乗之數又等也 有兩個直角面苟此面之横界與他面之横界此面之縱界與他面之縱界比例若等則此兩面相比之比例即為兩界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相連比例一條所云也蓋兩界之比例第為一倍之比例而兩面之比例為加一倍之比例也如甲之横界大于乙一倍而為二縱界亦大於乙一倍而 為二則甲之面大於乙之面三倍而為四為二倍為均者二若甲之横界縱界各大於乙五倍則甲之面内與乙之面内六倍為均者有六矣 丙乙之邊線為相連比例丙乙之面於相連比例中為隔一位加一倍比例今設一甲線為一分乙線為二分丙線為四分為相連比例則丙面與乙面之比同於丙線與甲線之比蓋丙面大於乙面三倍丙線長於甲線三倍共為隔一位加一 倍之比例也 前數節所論直角面之縱横界比例等者謂之同直角面其兩相比例之横界俱謂之相當界也 在相同直角面縱横兩相當界之比例必等也 在相同直角面於兩面相當之一界作為兩方面則所作兩方面互相之比即同於原面互相之比亦為隔一位加一倍之比例也 直角體則有三比例長也寛也厚也如大形之長寛厚各大於小形之長寛厚一倍則先成長寛倍之平面形於平面形上又叠一相等之平面形則亦倍厚矣倍而成平面則二倍為均者有二倍而成體則四倍為均者有二矣 有直角兩體苟此一體之底與他一體之底為大一倍而他一體之厚與此一體之厚亦大一倍則此二體之積等蓋即一體之豎起與放倒也 有兩直角體苟此體之長寛厚界與彼體之長寛厚界相比之比例若俱同謂之同式體而長寛厚各一邊相比例之界俱謂相當界也 凡兩直角同式體互相比之比例為界比例之隔二位加二倍之比例也如大體之長寛厚比小體各大一倍則此兩體相比之比為隔二位相加之比例也蓋界線為相連之比例者倍而為平面為隔一位相加之比例又倍而為體則為隔二位相加之比例也苟作一相連比線之率甲為一分乙為二分丙為四分丁為八分又作一直角體與三界各加一倍之直角體則小體與大體之比同於一率甲線與四率丁線之比若知甲線比丁線為八分之一即可知大體比小體為八分之一也有直角同式兩體在此兩體比例相當之二界立作兩四方體互相以比之其比例仍同於原體之比也蓋原體為隔一位加一倍之比例則於兩相當界所作體亦為隔一位加一倍之比例均是八分之一也 凡二平行線内凡有直角面互相之比同於與此兩底互相之比也如甲己面之丙己底界與戊丁面之己丁底界若大三倍則甲己面與戊丁面亦大三倍也試将戊己相兼之縱界依此 界分與丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面四分總為大三倍也 凡二平行線内所有凡平行四邊面互相之比同於其兩底界互相之比也蓋同底所立之直面斜面積俱同則直面斜面之比例俱等故底若大三倍則 面亦大三倍也 凡在二平行線之間若有兩三角形以兩形積互相之比必同於兩底界互相之比也蓋同底所作之三角形為四邊形之一半四邊形之比例等則三角形之比例亦等故三角底若大一倍則三角形積亦大一倍底若大三倍則積亦大三倍也 凡三角幾形之底俱在於一直線又與各底相對之衆角皆聚於一處則其三角衆形必在二平行線之間也觀圖可見 凡三角形作與底線平行之線不拘何處截斷則兩旁之線皆成四比例線如圖甲丁與丁乙之比同於甲戊與戊丙之比是二段互相比之比例同也又甲丁一段與甲乙全線之比同於甲戊 一段與甲戊全線之比是分線之比例同也故曰四相比例也蓋自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二線分為幾三角形此内之乙戊丁丙丁戊兩三角形既在二平行線之間又同立於丁戊之底則其積等也又各増入甲戊丁三角形其積亦等也又甲丁戊丙丁戊兩三角形其底線同在甲丙一直線而兩角又相遇於丁即如前所云二平行線之間有兩三角形則兩形積互相之比必同於兩形底界互相之比則甲丁戊形積比丙戊丁形亦同於底線甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙丁戊兩形積之比亦同於甲丁丁乙兩底線之比也再甲乙戊甲丁丙兩形之積既等則甲丁戊形積與乙丁戊形積之比同於甲丁段與乙丁段之比而又同於甲戊段與丙戊段之比是以甲丁段與乙丁段之比必同於甲戊段與丙戊段之比也故以甲丁為一率丁乙為二率甲戊為三率可以求戊丙之四率也誠如是以甲乙丙全形之三角或與所分甲乙戊三角或與所分甲丙丁三角之比例俱為同也因其比例同而此三角全形所分兩形之積既為等則甲丙丁所分形之甲丁底與甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形之甲戊底與甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱為同也則甲丁段之一分為一率甲乙全線三分為二率甲戊段一分為三率甲丙全線四分為四率亦為相比例率也 凡在三角形内不論何處作與底平行直線則以所作平行線與原底線之比同於兩邊所截一段與各每邊全線之比也 如圖所截若甲丁段二分甲乙線六分則丁戊線亦為二分乙丙線亦為六分可知也何也試将甲乙丙三角形轉以乙甲線為底於戊丁線之 戊處至己處作與甲乙平行線則己乙之度即戊丁之度準前節全線與截段相比之例則戊丁平行線與原為底乙丙全線之比必同於甲戊與甲丙全線甲丁與甲乙全線之比也故以甲戊為一率甲丙為二率戊丁為三率乙丙為四率為四相比例以甲丁為一率甲乙為二率戊丁為三率乙丙為四率亦四相比例率也大小三角形每每相當角若等則其積雖異而其形為同謂同式三角形也再有一三角形自此形分之出一庚子癸三角形又出一子丑 壬三角形此所分出兩形與原形每每相當角俱等亦謂同式形也 三角衆形内相當各二角度若等則餘一角度必等亦謂同式三角形也蓋三角相合必與二直角等足半周之度也 有衆大小三角形若同式将衆形相當界互相比之比例為同俱為相比例率也如二勾股同式形則此股與相當股之比必同於勾與勾之比股與股之比也試将勾股如前截一小勾股可騐矣 同式直角兩形互相之比同於在此各一面相當界所作方形相比之比例蓋三角積得方形之半全與全之比若半與半之比也 同式直角兩形互相之比即是各一面相當界相比之比例為加一倍之比例也如甲線一分乙線二分丙線四分為相連比例線今兩形之三邊線若各大一倍則亦如直角四邊形積為大三倍矣大三倍則非相連比例線而為甲線一分與丙線四分隔一位加一倍之比例也 同式鈍角鋭角互相之比亦同於此各一面相當界所作方形互相比之比例而為在此各一邊相當界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前節 有多邊衆形其邊數同而相當角度等謂同式多邊形則大形甲邊之比與小形甲邊之比同於乙邊與乙邊之比也 有衆曲界形在曲界形之或内或外作相函之各種直 界形其 式若等 亦謂同 式曲界形也兩襍界形二圓分形亦於兩中間各作三角形若同式即謂之同式襍界同式圓分也 大小各圓分之式若同其分限雖殊而分數必等與其分相對所成之心角必俱等也 将同式大小多邊兩形内為三角以分此所分相當大小三角形之式俱同也如兩五邊形各分為三三角形 則甲乙丙與己庚辛相當為同 式甲丙丁與己辛壬相當為同 式己壬癸與甲丁戊相當為同式蓋兩形相當角度等則相當界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相當之比同於甲丙己辛相當二界相比之比例由是甲丙己辛之比同於丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦猶甲丁己壬之比而甲丁己壬之比亦猶丁戊壬癸之比故曰相同式也 凡同式多邊大小衆形互相之比同於在此相當界所作四方形互相比之比例而與此各一 面相當界互相比之比例為加一倍之比例也理如前 凡大小同式直界形互相之比同 於在其形内外相函之同式形各 相當界立作平面方形互相比之 比例如圖甲乙丙庚辛壬相當三角各二形之比同於在甲丙庚壬所作方形相比之比例也蓋大形所函者甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故於甲丙庚壬相當二界立作方形而得比例也 凡圓曲襍各種界形之内将每每一類同式形互相之 比同於在所比形之内外 相函同式形之每每相當 所作方形相比之比例也如 圖大小二圓形内雖函六面同式多邊 兩形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四邊同式兩形函甲丙丁庚壬癸三角同式兩形而但取所函四邊形甲丙壬庚相當界所作之方形便得圓形比例也蓋衆界之界愈多則於圓界愈近故将直角形分為千萬界形在圓界可以近用之而圓曲形亦既可以為千萬直界形以用之故将此二圓為同式直界互相之比同於在所函同式形之相當二界所作方形相比之比例也然則二圓互相之比同於或在輻線或在徑線所作方形相比之比例可知矣 凡大小平面體之相當角度若俱等相當界互相比而比例若同是謂同式體正方體四瓣面體皆然若圓柱體則論其中所函尖瓣等體若同式則謂之同式圓體各種體之式若同将每每一類體互相之比同於在每每相當界作四方體相比之比例如於兩同式尖瓣體之相當作四方體是也 同式各種體内将每每一類體互相比者同於在此内外各所函者函於者同式體之每每相當界作方體互相比之比例也如兩球體函於兩方體以小球則大球則以小方為一率小球為二率大方為三率可以得大球之四率也 自直角三角形之直角至相對界作一垂線分為兩直角形則此大小三三角形俱為同式也盖中垂兩傍所成俱為直角而乙角又不變兩 角相等則一角亦等而丁變為甲甲變為丁矣丙角亦不變而與乙甲丁同為同式三三角形也自直角三角形之直角至於對界作一垂線截相對界為兩段則所截之兩段長者為一率短 者為三率而垂線為中率為相連比例三率也如甲乙丙甲丁乙兩角俱為同式則比例必同以乙丁比甲丁同於甲丁比丁丙也 自直角作垂線至於對界在此垂線作四方形又将所分對界兩段一段為長一段為髙合作長方形兩積俱等也盖三線既為相連比例線 凡相連比例三線其中線自乗之積同於一線三線相乗之積故也 凡直角三角形是謂勾股勾股上兩方合之與 上方等積何也如圖以甲乙丙全形分為甲乙庚甲庚丙大小兩形是為同式形而每每 相當界互相比之比例同也於是以小形庚丙與全形甲丙之比同於全形甲丙與全形乙丙之比為相連比例率也則在甲丙中率所作四方形必同於一率庚丙為髙與三率乙丙為長相乗所 作長方形之積等也又大形乙庚與全形甲乙之比同於全形甲乙與全形乙丙之比亦為相連比例率而在甲乙中率所作方形同於一三合率所作方形之積等也今庚丁乙壬所分之兩形與己丙戊乙兩方形每等則将所分兩形相合則乙丁方形自然與己丙戊乙兩方形等可知矣 在勾股 三界作凡同式三形 上積兼有勾股之積也 在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圓在二小界作甲庚乙兩半圓亦如前節為等也而甲庚乙半圓之甲戊乙弧一段甲己丙半圓之甲丁丙弧一段若減之則所餘甲庚乙戊甲己丙丁二段又與甲乙丙原三角形之積等也 一圓之内二 線不拘何處相交以相交所截之段互相轉比之比例俱同為四相比例率也如圖二線於己處相交以此戊己段與己丙段相比之比例将己丁己乙相比之位轉之為己乙己丁雖以後為前以前為後比之其比例仍同而戊己己丙己乙己丁四段為相比例率也 蓋乙戊己丁己丙兩形此兩形之乙角丁角既俱切於圓界而又同立於戊丙之弧則此二角為等而二角之己角為對尖之角其角亦為等二形之三角俱等即為同式也同式則戊己己丙相當二線互相之比即同於己乙己丁相當二線互相比之比例又戊己己丙己乙己丁四段俱為相比例率也 於圓徑線不拘何處作一垂線將徑線截為兩段則所截之兩段為一率三率而垂線為中率成相連比例也即勾股垂線之理 自圓外之凡一㸃出二線過圓界 之二處至相對弧界則此兩全線 互相之比同於在圓界外所有之 二段轉位以比之比例而為四相比例率也如圓自丙至丁自戊至乙相交作二線成甲丙丁甲乙戊兩三角形則兩形之丙戊二角既同切於圓界同立於乙丁之弧則丙戊等角也再甲角既係公共則亦等角也二角既等則同式矣同式則甲丙甲戊相當二界互相之比同於甲丁甲乙相當二界相比之比例以甲丙為一率甲戊為二率轉位甲丁為三率轉位甲乙為四率俱為相比例率也 将函於圓之三角形於甲角作平分角之甲戊直線則甲乙傍線與甲丁段直線之比即同於甲戊全直線與甲丙傍線之比也蓋甲乙戊甲丁丙形之丙戊二角同弧同切其度為等而甲乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角 而平分為兩角其度亦必等是為同式形也則以兩形之相當甲乙小界與甲丁小界之比同於又相當甲戊大界與甲丙大界之比也 將函於圓三角形之甲角為兩平分自甲角至底線作甲丁直線分底線為兩段以乙丁與丁丙之比同於甲乙傍線與甲丙傍線之比也蓋自丁處作甲乙平行之丁戊線成戊丁丙小三角形則全形之乙角與小形之丁角為 平行線一邊之内外角為等而丙角係公共角亦為等為同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角為平行線間之尖錯交角度為等而甲丁戊甲乙丁之甲角原係平分亦為等是甲丁戊角之丁角甲角等可知兩角既等則兩等角所對甲戊丁戊線亦必等也是故全形甲乙線與甲丙線之比同於相當丁戊線與戊丙之比而甲戊線與丁戊線等則甲乙比甲丙亦若甲戊比戊丙也又丙乙丙甲二線既為丁戊平行線所截則乙丁比丁丙若甲戊比甲丙也 凡球體在長圓内苟此球徑線與長 圓體之底徑髙度若俱等則此球積 為長圓體三分之二也何則將球體 合長圓體於乙丁平分之又將半長圓體内減去半球體餘乙己庚丁申丙癸凹面體為與己庚壬尖圓體等積等也何以知之将尖圓凹面二體俱與己庚底平行分為幾段之面則兩體之面積每段各相等也試将尖圓體分癸夘申一段之面積必與分曲凹形午癸申戌一段周圍之面積等矣何也以壬癸半徑作正方與壬子子癸兩線作兩正方並之為 等也又以壬癸半徑線作一圓與以壬子子癸為兩半徑線作兩圓並之為等也再壬乙與壬癸俱是一圓之 半徑線必等而壬乙與夘午俱為 一長方之平行線亦必等則卯午 與壬癸亦必等也是則以壬子子 癸為兩半徑作兩圓亦必等於卯午半徑線所作一圓也今將夘午所作圓内減去與壬子線相等之癸卯線所作之圓即餘癸午曲凹形一段周圍之面與癸子為半徑線所作圓面等也夫卯癸線與癸子線既為等線而卯癸與癸子為半徑作兩圓亦必等則癸午曲凹形之面積必與卯癸為半徑作圓之面積等矣再将壬未半徑作一圓以壬辰辰未為兩半徑作兩圓等亦如前所云以 辰未為半徑作一圓與壬未相等辰已線為半徑作一圓之面積内減去辰未作圓之面積所餘未巳曲凹形一段周圍之面積與壬辰為半徑作圓之面積等而壬辰與辰寅既為正方之等線則以尖體内之辰寅為半徑作圓之面積與相對未巳曲凹形之面積等也夫兩體每段所分既俱相等則全體亦必相等矣前云一尖圓體與一長圓體其底積髙數若等則尖圓體與長圓體為三分之一也所餘曲凹形既與尖圓等積則亦三分之一而所減半球為半長圓體三分之二而全球為全長圓體三分之二矣 有一尖圓體又一半球體苟尖圓體底徑與半球體徑度等而尖圓體髙度與半球體半徑又等則此尖圓體為半球體積之一半也盖尖圓為長圓三分之一而半球為長圓體三分之二則尖圓為半球之半也又球體徑度與尖圓體底徑度若等而球體半徑與尖圓體髙又等則此一球體之積當四尖圓體之積也蓋將尖圓加一倍則與半球等合四尖圓則與全球等也有一球體又一尖圓體苟尖圓體底面積與球體外面總積若等而尖圓髙度與球體半徑又等則此兩體之積為等也何也将球體從外面至心分為千萬尖體此所分千萬尖體之底積必與原球外面之總積等亦即與尖圓體之底面積等也又原尖圓體之髙與所分千萬尖體之髙旣等則一尖圓體之積與所分千萬尖體總積等也如是其所分千萬尖體之總積既與原球之積等則此尖圓體之積必與此球體之積等可知矣 凡有一球體苟以此球體之半徑作一圓則所作圓之面積於此球體外面積為四分之一也如前節之言既為相等又作一小尖圓體其底徑與原球徑等其髙與原球體半徑等則於原球為四分之一而於前大尖圓體亦為四分之一也此大小兩尖圓體之髙度既等其兩底面積之比同於兩體積之比例體積為四分之一底面積亦為四分之一而於球體外面之積亦為四分之一也因其為四分之一而小尖圓體之半徑原與球體半徑等則以此球體半徑作圓之面積亦與球體外面積為四分之一可知矣 有一球體又一圓形苟此圓形之半徑與球體徑度若等則此一圓形之面積為與一球體外面積等也蓋以球之半徑作圓之半徑則其面積為球四分之一若以球之全徑為圓之半徑則半徑所作之圓視全徑所作之圓面積又為四分之一矣何則凡圓互相之比同於相當界所作方形互相比之比例又為每相當界互相比之比例為加一倍之比例也兹兩半徑之比為大一倍而兩圓面之比又加一倍即是半徑作圓為一分全徑作圓為四分既為四分則此圓面積與球體外面等積可知矣有長圓體又一長方體苟此長方體底面積與長圓體周圍面積若等又此長方體髙度與長圓體半徑之半又等則此長方體之積為與一長圓體之積等也何也将長圓體從壬癸 心線至外面分為千萬長體則此所分千萬長體之共積為子己長方體積之一半也蓋子庚髙度與所分千萬長體之壬丁髙度相等又長方體之庚己底面積與所分千萬長體之底共 面積及長圓體甲丙周圍面積等如前所云所分千萬長體之共積與子己長方體為一半亦如以子庚髙度分一半為戊庚而戊己長體即與所分千萬長體相等矣如是則戊己長方體積與甲丙長圓體等積可知也有一球體一長圓體苟此長圓體之底徑度髙度與球體徑度若等則此球體外面之積為與長圓體周圍之面積等也 蓋將球體半徑乙壬分為六分用半徑之半三分與戊 己庚辛長圓體之面積相乗得數照 前節所云為長圓體之積也又用所 分六分之二為乙壬半徑三分之一 與球體外面積相乗得數為球體之積也夫球體比長圓體積為三分之二矣然用三與長圓體周圍之面積相乗者為得長圓體積用二與球體外面積相乗者為得球體積今以球體與長圓體相比之比例同於為乗面積用三二兩數之比例如是則球體外面之積與長圓體周圍之積等可知也 有一平面鴨卵形其大徑度與圓徑若等則鴨卵形之平面積與圓面積之比同於以鴨卵形之小徑與大徑相比之 比例也何也将與戊己徑線平行任分幾線此每線假如庚辛與壬癸之比同於戊己與乙丁之比而為作鴨卵形之定理也今每平行線俱依此之比例即平行鴨蛋形之積與圓形之積相比同於乙丁小徑與戊己大徑之比例也 長方面内有平面鴨卵形正方面内有圓形苟長方之寛與鴨蛋形小徑度等長與大徑度等而正方一邊度又圓徑度俱與鴨蛋形大徑度等則以長方面積與正方面積之比例同於以鴨蛋形面積與圓形面積相比之比例也又鴨蛋體大徑與球體徑度若等則鴨蛋體外面積與球體外面積相比之比例同於以鴨蛋體小徑與大 徑相比之比例也何則将兩體外面俱分幾平行圓此每圓假如以子丑圓界與寅卯圓界之比同於以子丑圓徑與寅卯圓徑之比也今照作鴨蛋形之定理而子丑徑與寅邜徑之比同於戊己徑乙丁徑相比之比例誠如是其每大圓界與相對小圓界俱依此為比例則兩外面積之相比同於兩徑之相比可知矣 有能函鴨蛋體之長圓體則鴨蛋體外面之全積為與長圓體周圍之積等也則試以鴨蛋體之大徑作球之徑又作一函球之長圓則函球之長圓與函鴨蛋之長圓周圍面積之比同於兩底圓界相比之比例亦同於大徑線與小徑線相比之比例也又球體之面積與函球體之周圍面積既等則以函球體周圍面積與函鴨蛋體周圓面積之比亦同於大徑與小徑之比也則是鴨蛋體面積與函鴨蛋體周圍面積二項與球體面積相比皆同於大徑與小徑之比則鴨蛋與函蛋體兩項面積相等可知矣 有一鴨蛋體函於一球體則兩積之比同於鴨蛋體小徑線所作正方面與球體大徑線所作正方面相比之比例也 有一鴨卵體有一恰函鴨蛋體此兩體積之比同於球體積與函球體積相比之比例也 有一鴨蛋體恰函於長圓體内則鴨蛋體積為得長圓體積三分之二也蓋蛋體與函卵體之比同於球體與函球體之比則彼為三分之二此亦三分之二也有一長方體恰函鴨蛋體有一見方體恰函球體則長方體積與鴨蛋體積之比同於見方體積與球體積相比之比例也又長方體積與見方體積之比同於鴨蛋體積與球體積相比之比例也 有一球體恰函於長圓體内若将此兩體俱於寅邜處 分之此所分球體子丙丑一段之 凸面積與所分相對長圓體寅巳 庚卯一段之周圍外面積為等也 何則假如於癸子丑辰小長圓體内減去壬子丑小尖圓體此所減小尖圓體積為小長圓體積三分之一其所餘者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹體之一段周圍面積與子丑線為徑作相對圓之面積等矣如是則乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體與癸子丑辰小長圓體此二體之底面積髙度既等其體積亦等而乙寅子丑卯丁曲凹體之積與壬子丑小尖圓之積等矣然因何為等蓋壬子丑小尖圓體所分每每圓之面積與所分相對每每曲凸體周圓之面積等也壬子丑小尖圓體積既為癸子丑辰小長圓體積三分之一又此小長圓體積與乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體積為相等則是乙寅子丑卯丁曲凹體之積與乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體積為三分之一苟於乙子丑丁球段内減去壬子丑一小尖圓體餘乙子壬丑丁球體一段之積與乙寅卯丁一長圓體積為三分之二也若於乙寅卯丁長圓體内減去壬寅卯尖圓體為此乙寅卯丁長圓體三分之一餘乙寅壬卯丁長圓體一段之積與乙子壬丑丁球體一段之積等也今将乙寅壬卯丁一段之體從外面至心之壬處分為千萬尖體之共底面積相乗得數為乙寅壬卯丁一段之體積數也又以此乙子壬丑丁一段之體從外面至心之壬處分為千萬尖體若以乙壬半徑為髙度用三分之一與所分千萬尖體之共底面積相乗得數為乙子壬丑丁一段之體積數也如前所云此乙寅壬卯丁一段體積與乙子壬丑丁一段體積既等則此兩體面積亦必等而此乙丙丁半球體凸面積與乙己庚丁半長圓體周圍外面積亦等若於半長圓内減去乙寅邜丁一段外面積於半球體内減去乙子丑丁一段外面積此所減之乙子丑丁一段面積與彼所減之乙寅邜丁一段面積為相等此所餘子丙丑球體一段面積與彼所餘寅己庚邜長圓體一段面積相等可知也有鴨蛋體一半有球體一半若全球體徑度與全蛋體大徑度等而半鴨蛋體髙度與半球體髙度亦等則此半蛋體外面之積與半球體外面積同於以蛋體小徑度與球體徑度相比之比例也理同前 有大小半鴨蛋體有大小半長圓體若全體之小徑與全體之底徑等而大小半體之髙度又等則此大小半鴨蛋體外面之積與大小半長圓體周圍外面之積等也何則試作一鴨蛋體外函以球體又外函以長圓體照甲己髙度截於寅丑為長 三分之一則全與全半與半之比亦若三分之一與三分之一之比也是小半蛋體之外面積與小半球體外面之積之比亦若函小半蛋體外面之積與函小半球體長圓之外面積相比之比例而小半球之外面積既與函球小半長圓之外 面積等則小半蛋體之外面積安得不與函蛋體小半長圓之外面積等乎 有一鴨蛋體恰函於一球體内則以鴨蛋每段之積與相對球體每段積之比同於以鴨蛋體小徑之所作正方面積與球體徑度所 作正方面積之比也如圖甲寅邜一段與相對球體甲子丑一段俱與乙丁戊己大小徑線平行分為幾圓面此所分蛋體每圓之面積與所分相對球體之每圓面積之比同於以乙丁小徑度所作正方面積與戊己大徑度所作正方面積相比之比例如是則以甲寅邜之體積與甲子丑之體積之比同於乙丁徑之方面積與戊己徑方面積相比之比例可知矣 在一直線一邊立垂線法如乙丁線欲於乙邊作垂線則将規矩一股任意立於甲丁線上或 丙處為心又以一股自乙處轉作一圓則於丁乙線之甲處相交自相交丁處過丙心至相對圓界作一直線此線於戊處與圓界合自戊處至乙處作一戊乙直線即垂線也 分圓界為三百六十度法則照圓之輻線度分此界為六段六段分為十二段十二段各平分為三段則為三十六段三十六段各平分為五段則為 一 百八十段一百八十段又各平分為二段則成三百六十段矣 一直線上欲作一三十度角則将甲乙線照分度圓之丙丁輻線度截於戊處又以規矩一股立於甲一股自戊處旋轉作一弧線乃以規矩取圓界 之丙庚度将弧線截於己處自己至甲作一直線即為三十度角也 有丁戊直線欲於丙處作平行線則以規立於丙向丁戊線作弧線如甲又以規取丙甲度立於乙向丙㸃平行作一弧線又照甲乙度以規立於丙向第二次所作弧線處再作一弧線則二線於己處相交自丙至乙作一直線則成平行線也 如甲乙線上作一四方形則以規矩立於甲作丙乙弧線又立於乙作甲丁弧線又於甲乙兩頭如法立甲丙乙丁垂線於丙丁二處相切又作丙丁一直線即成為四方形矣 如乙圓之外有甲㸃欲於此㸃作切圓線則於甲㸃至圓心作一直線又以乙為心 以甲為界作甲丙弧線又自甲乙線所割丁處作丁己垂線截外圓界於丙又自丙至乙作一直線又於丙乙線所割戊處作甲戊線則所求之切線也 欲知圓界内等角之角度則三角形各六十度四界形角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七秒 〈度各六十分分各六十秒〉八界形角各一百三十五度九界形角各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各一百五十度 作函圓多界等度之各種形法則自圓心作幾輻線 〈三邊作三線四邊作四線餘倣此〉 於輻線末各作切界線引至合角則成函圓多界形也 作函多界俱等各種形圓法則照平分直線法作垂線引二垂線相交處為心以角為界即成函多界之圓形也 各形作内切圓亦照分直線法以交合處為心以邊為界即是也 一三角形一圓形欲於此圓外作切界三角形與原有之三角形同式如圖将乙丙底線引長作辛壬線即成乙丙兩外角即於圖作 與辛乙甲等之子癸戊角作與壬丙甲等之己癸子角於癸己子三輻線末作垂線引而合之即成同式形也何也盖三角形之三角相並必與兩直角等今丑戊癸子四邊形作戊子線分 為兩形此四邊形之四角相並必與四直角等就中減戊子原作之兩直角所餘癸丑兩角相並亦與兩直角等也又直線上内外並必與二直角等則辛乙甲外角甲乙丙内角並之必為兩直角今戊癸子角既為效辛乙甲所作則戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而論則丙角必等於卯角甲角必等於寅角又可知矣若欲於圓内作切界同式三角形如圖任意作與甲角等度之辛角将角逐線引至圓界作辛庚辛戊二線再自戊至 庚作一直線又於戊處倣乙角作戊角引線至壬切圓界再自壬至庚作直線即成同式形何也盖戊壬庚庚辛戊兩形同立於戊庚之弧而 壬辛兩角同切於圓界則兩角為等因其為等此辛角原倣甲角而為比壬等於辛則亦必等於甲也又戊角乃倣乙角而為比亦必等也二角既等則庚角之等丙角可知矣 勾股形作容方則以直角為心勾末為界規作一象限将弧線兩平分處作直線至直角分 線為兩於 線分處作一勾垂線又作一股垂線 即成兩直角也 有甲乙直線欲将此直線為正方對角線與正方邊相較之所餘求作一正方則以甲乙線為一邊線作一小正方作甲丙小對角線又以丙為心乙為界作一圓又引甲丙線至戊作甲戊為大正方一邊線作大正方即是所求之正方也何也引甲 乙線至己為對角線乙己之線與戊己之線等盖丙乙丙戊同為小圓之輻線則戊乙兩角為等也若於丙乙己丙戊己二直角内減去乙丙戊則所餘乙戊兩角又等也兩角既等則兩邊亦等而甲乙為戊己相較之餘也 有一直線将此線為底作一兩邊等度而兩邊各一角為上一角之倍則将兩頭各作七十二度角兩線引長相交則上角必三十六度也若以一直線為兩邊等度線則作一三十六度角兩邊如線之長而止又作一底線則下兩角各七十二度也 若欲以一直線為五邊形之一邊則如前於此線之兩頭各作七十二度之兩邊等形於此形外作切角圓形再於兩長邊弧線度各平分 之則成五邊形也何則丙乙弧之界角為三十六度若為心角則七十二度則丙乙弧乃得圓分之七十二度於圓分為五分之一也則於甲丙弧及甲乙弧各兩分之合成五分故為五邊形也 理分中末線将全線求大小分則将全線為一邊線作一兩邊等度兩底角與上一角各大一倍之三角形又作五邊形乃自甲至乙作直 線截於丙處則丁戊為全丁丙為大分戊丙為小分得相連比例也盖丁甲乙戊兩弧線度等則甲戊丁乙甲戊兩角度必等又戊甲乙角與 戊丁乙角共立於乙戊弧則角度亦等也再甲戊乙與戊甲丁兩角本相等若以等角内減去甲丙戊形則所餘丁甲乙丁戊乙兩角必等矣然則丁戊乙角原係與乙丁戊角為大一倍作者則丁戊乙角比甲戊丙戊甲丙兩角為等矣其丁丙甲角因為甲丙戊之一外角與丙甲戊丙戊甲兩内角為等而丁丙甲與丁甲丙兩角為等矣因其等則丁甲丁丙兩線為等也又丁甲甲戊兩線原等其甲丁戊角必與甲乙丁角等而丁戊甲甲戊 丙大小兩三角形内小三角形之丙甲戊角與大三角形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角與丁戊甲之戊角原係共角亦必等因大小兩三角形既等是為同式則以戊丁線與甲丁線相比之比同於以戊甲線與丙戊線相比之比例而丁甲與丁丙等戊 甲與丁甲等亦與丁丙等則以丁戊全線與大分丁丙相比之比同於丁丙大分與丙戊小分相比之比例為相連比例也 欲平分甲乙一直線為數段則於甲乙末各作一直線如丙丁将丙丁各為平分作線割甲乙 線則甲乙線亦為平分也於是甲乙線與乙壬線之比同於甲丁線與丁己線相比之比例矣 又如有甲乙線於己辛兩處分為三分又有丙丁一線亦欲分為三分為相比例三率則以甲乙線丙丁線為平行線自甲乙之末各分直線切丙丁線末至 戊相㑹又自辛己兩處各作兩線亦合於戊則丙丁線即分為三分而為甲乙線之相比例三率矣 有直線二率作與此相連比例三率線法如有八分 甲乙四分甲丙之二線求作一二分 之相連線則将甲丙甲乙二線合成 甲角又於乙末増甲丙線度為甲戊 線自乙至丙作一直線又於戊作乙 丙之平行線如戊己将甲丙線引至己處則所引丙己線度即為二分之分而為甲乙甲丙相連比例第三率也 〈甲乙甲丙乙戊丙己為比例四率乙戊同甲丙除去不用則甲乙與甲丙之比同扵甲丙與丙己之比也〉有直線三率欲作相比例第四率線再為相比例數率線則照様作甲丙線而以甲乙線度截於乙處乃用規矩以甲為心以乙為界作一弧線而取乙丁線度一股立於乙一股交於弧線得相交之丁處遂作乙丁線又作甲戊線切丁 末如甲丙度長又作與乙丁平行之戊丙線其戊丙線即為第四率也盖甲丙全與甲乙段之比同於丁乙平行線與戊丙底之比比例同也若欲作相比例數率則将甲戊甲丙線引長如癸子中作平行數線分為五叚即得十相比例率也故以甲乙與甲丙之比同於丁乙與戊丙之比例甲丙與甲己之比同於戊丙與庚己之比例甲己與甲辛之比同於庚 己與壬辛之比例甲辛與甲癸之比同於壬辛與子癸之比例也 比例尺二股各有平分線分為二百餘分假如有丁戊一線欲分為十分則以規矩取丁戊線度立於尺各二百分之乙丙二㸃将尺乙丙二處照丁戊線度開之使不移動次以規矩立於尺之第二十分之己庚二㸃取己庚之間度此間度即是平分丁戊線為十分之度也何也如甲乙丙三 角形為己庚平行線所截則甲己與甲乙之比同於己庚與乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分為十分之一乙丙十分己庚一分亦為十分之一也 於比例尺作圓之諸 線之總線法則自甲之合處至乙丙二末作二線於甲乙之丁處為心以甲乙兩末為界作半圓而分半圓界為百八十度自甲處至所分圓界各作 線而立規矩一股於甲處又以一股於戊二十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十度子百四十度丑百六十度等處取 線度各作於甲乙甲丙兩線上即為諸 線度之總線也其取用之法若欲知寅角之度則以規矩一股立寅處一股任意作夘辰弧線隨取寅夘輻線之度立於尺之六十度之丁未處将尺之丁未照輻線度開之勿動乃将 規矩取夘辰弧線之度放於尺兩股所容中間何處恰好若恰容在八十度之申酉處則是現原有寅角八十度之 線也何則若作丁未申酉二直線則甲申酉之三角形為平行之丁未線所截則甲丁與甲酉之比同於丁未與申酉之比也然則甲丁為六十度 線甲酉為八十度 線其與底平行之丁未線既與小圓輻線等所以丁未線為小圓六十度之 線申酉線亦為小圓八十度之 線以此知寅角夘辰度之為八十度也如此凡大小圓之輻線度安於尺之六十度處照此開之其大小圓之諸 線之度俱現於兩股間也 〈以六十度通 即半徑故〉 於比例作分平面線法自甲之合處至乙丙二末作直線截甲丙線於丁處照甲丁度於甲末作甲戊垂線自戊處至所截丁處作戊丁線照戊丁線度将甲丙線截於己處自戊至己作戊己線又照戊己線度将甲丙線截於庚處自戊至庚作戊庚線照此不止作至 丙末又将甲乙線亦照甲丙所截截之即成分平面線也何則於甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊兩方者也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方為大一倍甲庚方大甲丁方為二倍也由是推之甲庚方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此則甲辛甲壬等界上方俱是大於甲丁界上方三倍四倍可知也苟有一癸子平面四方形欲大於此形二倍之四方形則以規矩取癸子界度立於丁處将尺照此度開之勿動次将規矩取尺庚寅處度作方即大於癸子方二倍也盖於丁丑庚寅作二線而甲庚寅之三角為丑丁平行線所分則以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲庚既大於甲丁二倍則寅庚亦大於丑丁二倍矣有二直線欲以此二線作中比例線法則将二直線相連為圓徑以平分處為心以兩末為界作圓形然後於二線連接處作垂線切圓界則為中比例線也 有二直線作中二率比例線如圖将二線合為直角又引作十字線如丁與丙取矩尺庚癸二角正跨兩引線上使矩尺壬辛股二處正切於甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊三線其所現乙癸乙庚則為中二率線 也蓋以戊癸之丑為心戊末為界作半圓以甲庚之寅為心甲末為界作半圓則乙癸線者甲庚半圓徑上之垂線為甲乙乙庚之中率也乙庚線者戊癸半圓徑上之垂線 為乙戊乙癸之中率也則以甲乙線比乙癸線同於以乙癸線比乙庚線也以乙癸線比乙庚線同於以乙庚線比乙戊線也故曰中二率也 於比例尺作分體線法則於甲之合處至二股之乙丙二末作甲乙甲丙二線以規矩取丁己方體之戊己界度立於甲而截於甲乙線之庚處次作大於戊己界一倍之辛壬線依前法求得中二率為癸子丑寅二線将癸子界作見方體則此 體大於丁己見方體一倍也盖四線為相連比例率而戊己與辛壬為加二倍之比例則丁己卯子二體為同式而以戊己癸子各一界相比之比例為加二倍之比例也戊己辛壬二線之比因同於丁己卯子二體之比例若辛壬第四線大於戊己一倍則卯子體亦大於丁己體一倍矣次将規矩取癸子界度一股立於甲一股照此度截於甲乙線之辰處則此度所作方體大於原丁己體一倍矣再作比原丁己體之戊己界長二倍之己未線照前求中二率之申酉戌亥二線将申酉第二率線度取於規矩一股立於甲一股截甲乙線之乾處則甲乾界度所作方體比原丁己體為二倍可知也照此不止作大於丁己體之戊己界或三四倍或五六倍之 長線如前求得中二率将所求第二率度截於尺線上即成比例尺之分體線也若有一坎庚見方體欲作一大於此二倍之體則以規矩取坎庚體之艮庚界度将比例尺之所截庚處照此開之勿動次将比例尺第三所截乾處之開度取於規矩即是大於坎庚體二倍之形界盖甲庚線與甲乾線之比同於以庚庚與乾乾線之比例甲乾上方大於甲庚上方二倍則乾乾上方必大於庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之界度長一百釐則以此界一百釐自乘再乘則此體積共乙百萬釐大此一倍之體數為二百萬釐其二百萬釐體之一面界度為一百二十五釐又大二倍之體數為三百萬釐其三百萬釐體之一面界度為一百四十四釐如此累加将外界之釐數書明又将釐度分於尺寸欲書入比例尺則将所書之數以規矩取所分之度初照一百釐界度截比例尺之庚處次照一百二十五釐界度截於辰處三照一百四十四釐界度截於乾處不止至末與前法所分俱為同也 有一直角四界形作為與此等積之正方形如圖将甲乙乙丙合為一直線求得中率之丁乙線作丁戊正方形為與甲丙等積也盖相連比例三率其中率自乘之積與首率末率相乗之積等故丁己上方與甲乙乗乙丙之方等積也 凡有三角形知其一角之度及角兩旁之界 度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角為三十七度角兩旁丙甲界長十四丈丙乙界長十三丈則作與丙角為等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作為十四分長丁己界作為十三分長自戊至己作直線相㑹與甲乙丙大形同式将戊角之度取於規矩安於分度圓界看容多少便知戊角度若干若容七十度則大形甲角之度亦為七十度矣又小形己角可知為七十三度則大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九分可知大形甲乙界之為九丈矣餘皆如此盖即小以知大舉一以例餘也 作不用比筭測髙深廣逺各種三角形之儀器法先作甲乙丙半圓界分為百八十度将此半圓之丁甲丁乙丁丙三半徑線每每分為一百分各作直線縱橫相交㑹如碁局再於徑線之兩末作兩立表安住不動又於丁心處如圖作一逰表如戊己将逰表亦如半徑度分為二百分再於此儀器後面掛一墜線為庚即可按線而測矣如欲測旗杆之髙則将儀器之丁心安於所立之處定准墜線 以甲乙徑線兩末之立表與旗杆癸處對准為地平穏住不動再将戊己逰表與旗杆尖之辛處相對准次量所立之丁處至旗杆癸處得若干若得四十丈則看儀器地平線上自丁心起用四十分當四十丈如子再㸔子處垂線與上逰表相交處得若干若得三十分如丑則旗杆之髙為三十丈也若欲測丁辛 線數則㸔自丁至丑相交處得若干分若得五十分則相當數為五十丈也若欲測丁癸辛三角形之各角度則癸角既為直角再㸔圓界自乙至遊表相交處得若干度為丁角度與九十度相減所餘者為辛角度也 畫地圖者選戊己兩處可以盡見諸形先於戊處立儀器指諸要𦂳數處看所成之數角各得幾何度記之次移儀器到己處将不動表與己對准為地平亦指於諸要𦂳數處看所成之數角亦各幾何度亦記之然後取一幅紙任意作一線為戊己相當線将前所測角度倣而作之一 一與前相當成數三角形其中邊所有之形一一畫上即成圖也若将大圖蹲入小圖則将大圖分為數正方形小圖亦分為數正方形與大圖相當将大圖中某方形内所函之山河城渠村林依蹲而入於小圖即與原大圖同也 凡有多界形倣此或為大或為小之同式形方如甲乙丙丁一無法形欲減各界之半作同式形則任意自一壬處作諸對角線又任意将甲乙界之度取其半為甲乙平行線作於甲壬乙 壬二線之間恰容癸子處照此於對角線間作諸界之平行線則所成癸子卯己之形即是原有形每界減一半之同式小形也苟欲作大於原有之形則将對角線任意引長而照前任意加為界度與原界作平行線即成所欲作之大形也或自一角發線亦可 凡兩數相乗者平行方數也如二三相乗為六是也三數連乗者立方數也如二三乗得六又乗以四則為四六二十四也 〈以上為幾何原本〉 凡一與三之比同於四與十二之比一與五之比同於十二與六十之比二之比三亦猶四之比六也六之比九也盖凡可以倍計者皆可為比例二其二而為四二其三而為六三其二而為六三其三而為九故三與九之比同於六與三十六之比 〈按末句有誤數〉 凡可以度盡大數之衆小數相合於此加數根之一所得之總數與所度之大數等也如大數有六可以小數二三度盡若加數根一則亦六也 大數二十八可以小數二四七十四度盡若将二四七十四與數根之一并之則亦二十八也 有一比例數求與此比例相等之相連比例數法如三與五之比例求與此比例相等之相連比例幾将三自因得九又三與五因得十五又五自因得二十五則此九與十五及二十五之三數為三與五比例相等之相連比例三數也三與五之比同於九與十五之比例九與十五之比同於十五與二十五之比為相連比例也又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五與七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十七四十五七十五一百二十五之四數為三與五比例相等之相連比例四數同於三與五之比例也 凡一數除衆數所除得數之比同於原衆數之比也如以三歸十二而得四以三歸十五而得五則四與五之比若十二與十五之比也而四與十二之比同於五與十五之比也 有同相比例四數其首末相乗所得數與中兩數相乗之得數等也有相等兩方數則此縱與彼縱之比同於以彼横與此横之比也如四六相乗與三八相乗皆為二十四則以此之六比彼之八以彼之三比此之四比例為等也 凡以兩數除一數而盡此得之兩數相比若所用以歸除兩數之比也如四除三十六而得九六除三十六而得六則九六兩數之比若六四之比也 凡有平加衆數此衆數内之凡一數若作為原數将此數以上有幾位平加幾次相差之數與首數並之得數為與原數等也如上所列之數若将十五作原數此十五以上有四位而衆數原平加之數係三若将三之四次數而與首數三相並得十五與所作原數之數等也由此推之若於平加衆數内凡減一位将所餘之位數與原平加之數相乗得數與衆小數内至小數相並與衆數内至大數為等也假如上六數内減一數餘五數将此五與平加之三相因得十五與至小數三相並得 〈三六九二五八一一一〉十八為與至大數相等矣 凡平加衆數若将此數内之兩數相並所得數與兩傍相等隔位之他兩數相並得數等也如十二與九為廿一十五與六亦廿一十八與三亦廿一也盖升愈升降愈降合降與升則但見平也 又将此内凡一數之兩傍數相加折半即與中間數等也如十五加九為廿四折半斯得十二矣十二加六為十八折半斯得九矣十八加十二為三十折半斯得十五矣其理則前節可推也 又此平加衆數若将首末兩數相加以所有幾位之位數相乗得數折半則與原有衆數之總數等也如十八加三為廿一以位數六乗之得乙百二十六折半得六十三與衆數之總數等也盖照前節推六數相加合成三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒數理亦相同 凡平加之位若是竒數則以中一位之數與位數幾相乗即得衆數之總數也如所列以中一位一○乗位數五得五十即為衆數之總數也盖首尾相加乗位數折半而得總數今中位乃首尾相加之一半故以乗位數 〈四七○三六一一一〉總數 〈○五〉即為總數也 凡有自一每位平加二比例衆竒數之總與位數自乗之得數等也如所列總數得四十九以位數七七自乗亦四十九也若一三五七九五位總數二十五以位數五自乗亦二十五也理如前節以中一位數乗位數同盖七位則七為中五位則五為中故也亦如首乗相並 〈一三五七九一三一一〉折半乗位數之理也 凡有自二每位平加二之比例衆偶數以位數加一以與位數相乗即與衆數之總數等也如所列位數是七加一為八以與位數七相乗為五十六即總數之數也亦即首末相加折半乗中一位之理也若位數是偶則 〈二四六八○二四一一一〉以位數自乗可得衆數之總數也 凡平加比例之衆數如所列以小數一與大數十一相減餘十以平加數根二除之得五再加入小數一得六 〈一三五七九一一〉即原有之位數也 凡平加比例知小數及位數與平加數根而求大數法如所列知小數三知位數六知平加數根四将位數六減一餘五與平加數四相因得二十加十入小數三即大數為廿三也 若欲知小數則亦以位數六減一餘五與平加數四相因得二十以與大數十三相減餘三則此三即為至小數也 若知小數及位數及平加數根而求知總數則先察得大數為二十三加入小數三為二十六以與位數六相乗得一百五十六折半得七十八為所求之總數也若知大數及平加數根及位數而求知總數法亦如之若知大小兩數及位數求平加數根法則将三與廿三相減餘二十又将位數六減一為五除之得四則此四為平加數之根也 若知大小兩數及平加數根而求位數法則将大數與小數相減餘二十以平加數四除之得五加一為六即是所求之位數也 若知平加之數根與位數及衆位之總數而求至大至小之兩數法則将總數七十八以位數六除之得十三為首末兩數相加之一半又将十三加倍作廿六為首末兩數相加之總數乃将位數六減一餘五與平加數根四相乗得二十為至大數又将前所得之二十六與此二十相減餘六為小數之加一倍數此數折半為三是所求之至小數也将三加入二十得二十三為所求之至大數也此法之理備於前矣 凡不等兩數求一數可以度盡之法如二十與廿四相減餘四又将四與二十相減餘十六以十六與四相減餘八以四減八則無餘則此四為度盡兩數之數也謂之轉減亦謂之紐數 三邊無角不可以相比例則必先求中長線以為正 然後角可求也然中長線之數為正 而僅有半徑無角無餘 則其數又不可知故以勾 求股之術求之除一邊為 則總較之術所求者勾也盖兩 之總之較既具於上兩邊矣所求者欲破下邊以為兩勾而得其較耳兩 之總乗 之較以兩勾之總除之必得較矣 〈鈍角則以較除而得總〉以勾較之餘取其半以益較必得大勾矣存其半必得小勾矣如此則中長線之數可明而勾股 相求之術可施既得勾股之數則用以與半徑正餘 相比例而角可得矣 一角有角無對邊數兩邊有邊無對角數則皆不可以互求矣然此兩邊所對之角乃與得角合成半周度是此角之外之弧度即兩角之度也但未知兩角之大小何如剖分耳惟外角有平行之對角與兩角之一角等度則雖其數未可知而其形可剖欲知其數者必以兩角之較求之欲知兩角之較者又必以兩邊之較例之兩邊有總有較半外角又有切線則可因是以求半較角矣以半較角減半外角則小邊對角之度得矣其餘一角則可以三隅反矣 三較連乗者求三角容圓之半徑也○三較者三邊與半總相較之餘也三較連乗所得之數乃容員半徑自乗又乗半總之數也故以三較連乗為中率而以半總除之則得容員半徑之積數矣以積數開方則得半徑矣○兩數所以相合者何也盖引伸三較於一邊則半總也從兩邊之角直剖為長線於第一較處横斷作小勾即容員半徑也至末總斷作大勾而以容員半徑乗之即二較三較相乗之數也小勾自乗比乗大勾如第一較與半總之比例則二較相乗以小勾自乗乗之亦如第一較與半總之比例 〈闕〉 錢百文買果百顆 梨一顆錢三文 柑一顆錢二文橄欖七顆錢一文 算得梨四顆錢十二文 柑四十顆錢八十文 橄欖五十六顆錢八文 〈按此條前後皆有闕文〉 莊氏算學卷二 <子部,天文算法類,算書之屬,莊氏算學> 欽定四庫全書 莊氏算學卷三 淮徐海道莊亨陽撰 勾股測量 立表杆測法 〈凡立表杆必用垂線取直並量所立地距人立尺寸以取凖〉 測髙 〈設有一旗杆距人立處三丈欲知其髙立表杆測之〉 法以距旗杆三丈處立一表杆髙四尺 〈如圖丁丙〉向前又立一表杆髙八尺 〈如圖戊己〉看兩表端與旗杆頂齊 〈如圖甲丁〉量兩表間相距五尺 〈如圖丁庚〉乃以五尺為一率前表八尺内減後表四尺餘四尺 〈如圖戊庚〉為二率距旗杆三丈 〈如圖丁辛〉為三率求得四率二丈四尺 〈如圖甲辛〉加入後表四尺得二丈八尺 〈如圖甲乙〉即旗杆之髙也 測逺 〈設有一樹欲知其逺用表杆測之〉 法先立一表杆對樹 〈如圖甲乙〉次于表杆處取直角横量十五丈立一表杆 〈如丙〉再依次表立一表杆對樹參直 〈如丁〉乃於丁表處作垂線至丙乙線界 〈如圖丁己〉量得五丈復量丙 己度得三丈爰以三丈為一率五丈為二率十五丈 〈丙乙〉為三率求得四率二十五丈 〈如圖甲乙〉即樹之逺也 比例 〈比例者以原有之兩數為例以今有之一數與之比較而得所求之數也凡比例皆列四率以二率三率相乗以一〉 〈率歸除得四率為所求〉 正比例 〈一名異乗同除〉 法以原有之兩數為一率二率今有之一數為三率得四率為所求凡一率與三率為類二率與四率為類設如每三人賞銀一兩八錢今應賞二百四十人共該銀若干 法以原有之三人為一率一兩八錢為二率今有之二百四十人為三率求得四率一百四十四兩即賞銀總數 轉比例 〈一名同乗異除〉 法以今有之一數為一率原有之兩數為二率三率得四率為所求假如有田一畆原濶八步長三十步今要濶十二步該長若干 法以今濶十二步為一率原長三十步為二率原濶八步為三率求得四率二十步即今所求之長數 〈葢乗除之數逓増逓減者為正比例總數相同分者多則得數轉少分者少則得數轉多為轉比例〉 正比例帶分 設如每銅二斤六兩換錫三斤九兩今有銅七斤十二兩該換錫若干 法以原銅二斤六兩通為三十八兩為一率原錫三斤九兩通為五十七兩為二率今銅七斤十二兩通為一百二十四兩為三率求得四率一百八十六兩即今所換錫數以每十六兩為一斤除之得十一斤零十兩 轉比例帶分 設如營造每日用五十六人計一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人完工該幾何日 法以今用六十四人為一率因分母為九 〈即命一月為九分也〉加入分子三共十二為二率原用五十六人為三率求得四率十分半滿分母九分收為一月餘一分半即命為一月又九分月之一分半為完工之日數若欲知一分半之日數則以九分為一率以一月通為三十日為二率以一分半為三率求得四率五日是為分子日數 合率比例 〈係合兩比例或合三比例用一次除乗而得〉 設如以夏布換綿布但知每夏布三丈價銀二錢每綿布七丈價銀七錢五分今有夏布四十五丈應換綿布若干 法以夏布三丈與綿布價銀七錢五分相乗得二兩二錢五分為一率夏布價銀二錢與綿布七丈相乗得一兩四錢為二率夏布四十五丈為三率求得四率二十八丈即夏布四十五丈所換綿布之數 〈此兩比例合為一比例法〉如分兩比例算之則先以夏布三丈為一率價銀二錢為二率今夏布四十五丈為三率求得四率為價銀三兩即夏布四十五丈所值銀數再以綿布價銀七錢五分為一率綿布七丈為二率夏布所值銀三兩為三率求得四率二十八丈即為夏布所換綿布之數 設如原有鵝八隻換雞二十隻雞三十隻換鴨九十隻鴨六十隻換羊二隻今有羊五隻問換鵞幾何 法以羊二隻與所換鴨九十隻相乗得一百八十隻再以所換鷄二十隻乗之得三千六百隻為一率以原鴨六十隻與原雞三十隻相乗得一千八百隻再以原鵝八隻乗之得一萬四千四百隻為二率今羊五隻為三率求得四率二十隻即羊五隻所換鵞數 〈此三比例合為一比例法〉如欲分三比例算之則先求羊五隻所換鴨數以羊二隻為一率鴨六十隻為二率今羊五隻為三率求得四率得鴨一百五十隻即羊五隻所換鴨數次求鴨一百五十隻所換雞數以鴨九十隻為一率雞三十隻為二率今羊五隻所值之鴨一百五十隻為三率求得四率得雞五十隻即羊五隻所值雞數然後求雞五十隻所換鵞數以雞二十隻為一率鵞八隻為二率今羊五隻所值之雞五十隻為三率求得四率得鵝二十隻即羊五隻所換鵞數也 測髙 〈設有一旗杆不知其逺今欲求其髙用表杆兩測求之〉 法先立一表杆髙四尺 〈如圖丁丙〉向前又立一表杆髙八尺 〈如圖戊己〉看兩表端與旗杆頂齊 〈如圖甲丁〉量兩表間相距五尺 〈如圖丁庚〉記之再退後三丈對凖前表立一表杆髙四尺 〈如圖壬癸〉向前又立一表杆髙八尺 〈如圖子丑〉看兩表端與旗杆頂齊 〈如圖甲壬〉量兩表間相距一丈 〈如圖壬夘〉乃以再測之距度一丈與先測之距度五尺相減餘五尺 〈如圖壬寅〉為一率前表八尺與後表四尺相減餘四尺 〈如圖子夘〉為二率先測與再測相距之三丈 〈如圖壬丁〉為三率求得四率二丈四尺 〈如圖甲辛〉加入後表髙四尺得二丈八尺 〈如圖甲乙〉即旗杆之髙如欲求其逺則以再測之距度一丈與先測之距度五尺相減餘五尺 〈如圖壬寅〉為一率再測之距度一丈 〈如圖壬夘〉 為二率兩測相距之三丈 〈如圖壬丁〉為三率求得四率六丈 〈如圖壬辛〉即旗杆距退後表杆之逺 又法設塔一座欲知其髙用相等兩表測之 法先立一表杆比人目髙四尺人離表杆六尺㸔塔頂與表端齊又自前表退後六丈復立一表杆亦比人目髙四尺人離表杆八尺㸔塔頂與表端齊乃以前表距分六尺與後表距分八尺相減餘二尺 〈如圖己壬〉為一率表比人目髙四尺 〈如圖辛庚〉為二率兩表相距六丈 〈如圖辛戊〉為三率求得四率十二丈 〈如圖甲癸〉加表比人目髙四尺 〈如圖癸乙〉共十二丈四尺 〈如圖甲乙〉即人目以上之髙再加人目距地之尺寸即塔頂距地平之髙如求塔距前表之逺則以兩表 距分相減之二尺 〈如圖己壬〉為一率前表距分六尺 〈如圖丙丁〉為二率兩表相距之六尺 〈如圖辛戊〉為三率求得四率十八丈 〈如圖戊癸〉即塔距前表之逺再加六丈即塔距後表之逺又法設樓一座欲知其髙以不等兩表測之 法先立一長表比人目髙六尺人離表五尺四寸㸔樓 與表端齊又退後二丈立一短表比人目髙四尺人離表六尺四寸㸔樓脊與表端齊乃以前表比人目髙六尺 〈如圖丙丁〉為一率前表距分五尺四寸 〈如圖目丁〉為二率後表比人目髙四尺 〈如圖戊己與庚辛同〉為三率求得四率三尺六寸 〈如圖目辛〉為前表與後表同髙所得之距分 〈庚目辛勾股形與戊壬己勾股形同〉爰以三尺六寸 〈如圖目辛與壬己同〉與後表距分六尺四寸 〈如圖目己〉相減餘二尺八寸 〈如目〉圖壬為一率後表比人目髙四尺 〈如圖戊己〉為二率前表距分五尺四寸 〈如圖目丁〉内減三尺六寸餘一尺八寸 〈如圖辛丁〉與兩表相距之二丈 〈如圖己丁〉相減餘一丈八尺二寸 〈如圖戊庚〉為三率求得四率二丈六尺 〈如圖甲癸〉加表比人目之髙四尺 〈如圖癸乙〉共得三丈 〈如圖甲乙〉即人目以上之髙再加人目距地尺寸即樓脊距地之髙 又日景測髙 〈設一旗杆量日景長十丈問髙㡬何〉 法于同時立一表杆髙四尺量表景長二尺乃以表景二尺為一率表髙四尺為二率旗杆之景一丈為三率求得四率二丈即旗杆之髙 矩度測量 〈矩度之制必用正方每邊定一百分或二百分横豎俱界線畫成小方分對中 心所出線兩邊安表取中心安逰表定凖墜線以成勾股〉 測髙 〈設有一旗杆距人立處三丈欲測其髙㡬何〉 法用矩度以定表看地平逰表看旗杆頂得距地平分四十分 〈此矩度係界畫為一百分自中心平分半矩為五十分〉乃以半矩五十分 〈如圖丁己〉為一率所得距分四十分 〈如圖辛己〉為二率距旗杆三丈 〈如圖丁庚〉為三率求得四率二丈四尺 〈如圖甲庚〉即矩度中心所對地平至旗杆頂之髙再加矩度中心距地 〈如圖庚乙〉即所求旗杆之髙也 測逺 〈設有一樹欲求其逺用矩度測之〉 法須平安矩度以定表與逰表定凖正方直角定表對樹隨逰表所指立表杆二三處横量十五丈復安矩度定表對表杆逰表對樹得矩中心距分三十分乃以距 分三十分 〈如圖戊丁〉為一率半矩五十分 〈如圖戊丙〉為二率横量十五丈 〈如圖丙乙〉為三率求得四率二十五丈 〈如圖甲乙〉即所求樹之逺也 重矩測髙 〈設山一座欲知其髙以重矩測之〉 法用矩度以定表看地平逰表看山頂得距地平分四十分又向後量九丈復安矩度以定表仍看前矩定表所看原處逰表看山頂得距地平分三十二分乃以前矩距分四十分 〈如圖己庚〉為一率半矩五十分 〈如圖丙庚〉為二率後矩距分三十二分 〈如圖辛壬〉為三率求得四率四十分 〈如圖丙子〉乃以後矩之半矩五十分與四十分相減 〈後矩之辛壬丑勾股形與前矩之癸子丙勾股形相同〉餘十分 〈如圖丁丑〉為一率後矩距分三十二分 〈如圖辛壬〉為二率兩矩相距九丈 〈如圖丁丙〉為三率求得四率二十八丈八尺 〈如圖甲戊〉即矩度中心所對地平至山頂之髙再加矩度中心矩即所求山之髙 若求山距後矩之逺則以相距矩分相減之十分 〈如圖丁丑〉為一率半矩五十分 〈如圖丁壬〉為二率兩矩相距之九丈 〈如圖丁丙〉為三率求得四率四十五丈 〈如圖丁戊〉即後矩距山之逺減兩矩相距九丈即前矩距山之逺 又法設有一石欲知其逺不取直角于左右兩處測之 法先平安矩度于右以定表對左矩中心逰表看石得距中心距分三十七分五釐其逰表之斜矩分為六十二分五釐次安矩度于左以定表對右矩中心逰表看石得距中心距分十一分二釐五毫其逰表之斜距分為五十一分二釐五毫横量兩矩相距三十九丈乃以兩矩中心距分相併得四十八分七釐五毫 〈如圖甲乙與丙丁兩勾股相併〉為一率右矩逰表之斜距分六十二分五釐 〈如圖右丁〉為二率横量三十九丈 〈如圖右左〉為三率求得四率五十丈 〈如圖石右〉即右矩距石之逺如求左矩距石則仍以四十八分七釐五毫為一率以左矩逰表之斜距分五十一分二釐五毫 〈如圖甲左〉為二率仍以三十九丈為三率求得四率四十一丈 〈如圖石左〉即左矩距石之逺也 又法設隔河一樹欲知其逺不能定直角斜對樹兩測求之 法先平安矩度于一處復隨定表所指横量十七丈安一矩度 〈如止用一矩度則記凖一處亦可〉以先安矩度定表看後安矩度中心逰表看樹得距矩度中心距分四十九分其逰表之斜距分為七十分次以後安矩度定表看先安矩度中心逰表看樹得距矩度中心距分十五分其逰表之斜距分為五十二分二釐乃以先安矩度之中心距分四十九分與後安矩度之中心距分十五分相減為三十四分 〈如圖戊乙〉為一率先安矩度逰表之斜距分七十分 〈如圖乙先〉為二率横量十七丈 〈如圖先後〉為三率求得四率三十五丈 〈如圖樹先〉即先安矩度距樹之逺如求後安矩度距樹則仍以三十四分為一率以後安矩度逰表之斜距分五十二分二釐 〈如圖丁後與戊先等〉為二率仍以十七丈為三率求得四率二十六丈一尺 〈如圖樹後〉即後安矩度距樹之逺 尖圓體 〈圓底尖堆得長圓體三分之一倚壁尖堆二分之一内角堆得圓底尖堆四分之一外角 堆得圓底尖堆四分之三〉 圓底尖堆設積米一堆髙五尺底周一十四尺問該米數幾何 法以底周十四尺用圓周求面積法求得圓面積一十五尺五十九寸七十一分八十四釐一十二毫有餘為尖圓堆之㡳面積再與髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百釐有餘 〈為長圓體積〉三歸之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為圓底尖堆之積數然後以石率二千五百寸除之得米一十石零三升九合八勺有餘即所求圓底尖堆之米數 倚壁尖堆設倚壁積米一堆高四尺底周六尺該米幾何 法以底周六尺 〈此全圓周之半〉倍之得一十二尺為全周乃用圓周求面積法求得圓面積一十一尺四十五寸九十一分五十五釐有餘 〈為全圓面積〉折半得五尺七十二寸九十五分七十七釐有餘為倚壁尖堆之底面積再以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有餘 〈為半周長圓體積〉三歸之得七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為倚壁尖堆之積數然後以石率二千五百寸除之得三石零五升五合七勺有餘即所求倚壁尖堆之米數 倚壁内角堆設倚壁内角積米一堆髙五尺周一十二尺該米幾何 法以周一十二尺 〈此全圓周四分之一〉四因之得四十八尺為全周乃用圓周求面積法求得圓面積一百八十三尺三十四寸六十四分九十釐有餘 〈此全圓面積〉四歸之得四十五尺八十三寸六十六分二十二釐有餘為倚壁内角凖之底面積再與髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分 〈為長圓一角之體積〉三歸之得七十六尺三百九十四寸三百七十分為倚壁内角堆之積數然後以石率除之得三十石零五斗五升七合有餘即所求倚壁内角堆之米數 倚壁外角堆設倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺該米幾何 法以周三十三尺 〈此全圓周四分之三〉三歸四因得四十四尺為全周乃用圓周求面積法求得圓面積一百五十四尺六寸一十九分八十一釐九十二毫有餘四歸三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六釐四十四毫有餘為倚壁外堆之底面積再以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十釐有餘三歸之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為倚壁外角堆之積數然後以石率除之得九十二石三升七合有餘即所求倚壁外角堆之米數 截積 正方形從一邊截積設正方積二百二十五尺今欲于一邊截積四十五尺問截濶幾何 法以總積二百二十五尺開平方得十五尺為正方邊以十五尺除截積四十五尺得三尺即截積之濶于十五尺内減三尺餘十二尺即截剰餘積之濶也 正方形從兩邊截積設正方積三百六十一尺今欲截積一百六十五尺餘積仍為正方形問應得邊數幾何 法以總積三百六十一尺與截積一百六十五尺相減餘一百九十六尺開平方得一十四尺即截積所除之正方邊 長方形截積設長方形一萬九千二百尺長比濶多四十尺今減積二千八百八十尺問餘積長濶各幾何 法以總積一萬九千二百尺用帶縦平方得長一百六十尺濶一百二十尺今如欲截濶則以長一百六十尺除截積二千二百八十尺得十八尺為截積之濶于原濶一百二十尺内減十八尺餘一百零二尺即截剰餘積之濶如欲截長則以濶一百二十尺除截積二千二百八十尺得二十四尺為截積之濶于原長一百六十尺内減二十四尺餘一百三十六尺即截剰餘積之長截積 勾股形截上段積設股三十六尺勾二十七尺今從上段截積五十四尺問應截長濶各幾何 法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積五十四尺倍之 〈即甲丁與丁戊相乗之長方〉為三率求得四率八十一尺開方得九尺即所截之濶 〈葢股與勾之比必同于甲丁丁戊相乗之長方與丁戊自乗之正方之比〉再以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率所截之濶九尺為三率求得四率十二尺即所截之長 勾股形截下段積設股三十六尺勾二十七尺今從下段截斜方形積四百三十二尺問截長及上濶各若干 法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積四百三十二尺倍之得八百六十四尺為三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内減所得四率六百四十八尺餘八十一尺開方得九尺為所截之濶再以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率濶九尺與勾二十七尺相減餘十八尺 〈如圖己丙〉為三率求得四率二十四尺 〈如圖戊己與丁乙等〉即所截之長或用勾股形有邊求積法求得勾股積四百八十六尺内減從下段所截之斜方積四百三十二尺餘五十四尺即為從上段所截之勾股形積依前法比例求之所得之濶即上濶上段之長與股三十六相減即下段所截之長 三角形截積算法與勾股形同 〈底濶如勾中長如股〉 斜方形截上段積設兩直角斜方形長二十四尺下濶二十尺上濶十二尺今從上股截積一百六十八尺該截長濶各幾何 法以長二十四尺為一率下濶二十尺内減上濶十二尺餘八尺為二率截積一百六十八尺倍之得三百三十六尺為三率求得四率一百一十二尺再以上濶十二尺自乗得一百四十四尺與所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺開方得十六尺即所截之濶乃以上下兩濶相較減之八尺為一率長二十四尺為二率截濶與上濶相減餘四尺為三率求得四率十二尺即所截之長 斜方形截下段積設斜方形長二十四尺上濶十二尺下濶二十尺今從下段截積二百一十六尺求截長濶 法以長二十四尺為一率下濶内減上濶餘八尺為二率截積二百一十六尺倍之得四百三十二尺為三率求得四率一百四十四尺乃以下濶二十尺自乗得四百尺内減所得四率一百四十四尺餘二百五十六尺開方得一十六尺即所截之濶再以上下兩濶較減所餘之八尺為一率長二十四尺為二率下濶二十尺内減截濶十六尺餘四尺為三率求得四率十二尺即所截下段之長 梯形 梯形截上段積截下段積 法俱與斜方形同 上下兩濶較比斜方形為二倍截積比斜方形亦為二倍故其比例皆同 梯形自一邊截勾股積設梯形長一百二十尺上闊二十尺下闊八十尺今自一邊截勾股積四百五十尺求截長闊幾何 法以長一百二十尺為一率上濶二十尺與下濶八十尺較減餘六十尺折半得三十尺 〈如圖乙戊〉為二率截積四百五十尺倍之得九百尺為三率求得四率二百二十五尺開方得一十五尺為所截之濶 〈如圖乙辛〉乃以半較三十尺為一率長一百二十尺為二率截濶十五尺為三率求得四率六十尺即所截之長 梯形自一邊截斜方形積設梯形長一百二十尺上濶四十尺下濶八十尺今自一邊截斜方形積四千二百尺求所截之上下濶 法以上濶四十尺與下濶八十尺較減餘四十尺折半得二十尺為所截斜方形上濶與下濶之較又以截積 四千二百尺倍之得八千四百尺以長一百二十尺除之得七十尺為所截斜方形上濶與下濶之和加較二十尺得九十尺折半得四十五尺即下濶減較二十尺得五十尺折半得二十五尺即上濶 分積 三角形平分面積一半仍與原形同式 設三角形小腰邊二十丈大腰邊三十四丈底邊四十二丈面積三百三十六丈今分面積一半與原形同式問所截三邊各長若干 法以原面積三百三十六丈為一率原面積折半得一百六十八丈為二率底邊四十二丈自乗得一千七百六十四丈為三率求得四率八百八十二丈開方得二十九丈六尺九寸八分四釐八毫為所截之底邊乃以原底邊為一率大腰邊為二率所截底邊為三率求得四率二十四丈零四寸一分六釐有餘即所截之大腰邊又以原底邊為一率小腰邊為二率所截底邊為三率求得四率十四丈一尺四寸二分有餘即所截之小腰邊○凡各形截積仍欲與原形同式者算法 倣此 圓面截弧矢形有矢求圓設圓形徑一尺二寸矢濶二寸四分求 長 甲乙為全徑甲戊為矢丙丁為 甲丙丁為截弧矢形 法以矢濶二寸四分為首率圓徑一尺二寸内減矢濶二寸四分餘九寸六分為末率首末率相乗得二十三寸零四分開方得四寸八分為中率 〈即丙戊〉倍之得九寸六分為弧矢形之 圓面截弧矢形有 求矢設圓形徑一尺七寸 長一尺五寸求矢濶 法以 長一尺五寸折半得七寸五分自乗得五十六寸二十五分為長方積以圓徑一尺七寸為長濶和用帶縦和數開方法算之得濶四寸五分即 矢形之矢弧矢形求圓徑設弧矢形 長一尺一寸矢濶四寸求圓徑 法以矢濶四寸為首率 長一尺二寸折半得六寸為中率以中率六寸自乗首率四寸除之得九寸為圓之截徑加矢濶四寸即圓徑 圓面截弧矢形求積 法用勾股八線表比例求截弧之度分隨比例得所截弧背之丈尺乃自截弧至圓心作一弧背三角形以半徑數與弧背之丈尺相乗得數折半為弧背三角形之面積又自圓心至 作一平三角形用半徑與矢相減餘數為中垂線以中垂線與 相乗得數折半為平三角形面積兩三角形面積相減即弧矢形面積 又法以矢與 相加以半矢乗之得數為弧矢形面積此法較前法微疎如無八線表則以此法算之併積 兩正方形併積有邊較求分積及邊 設大小兩正方積共四百一十尺大方邊比小方邊多六尺問分積及各邊幾何 法以共積四百一十尺加倍得八百二十尺又以兩方邊較六尺自乗得三十六尺與八百二十尺相減餘七百八十四尺開方得二十八尺為兩方邊之和加較六尺折半得十七尺為大正方之邊減較六尺折半得十一尺為小正方之邊以方邊各自乗得積數 兩正方形併積有邊總求分積及邊設大小兩正方形積共六百一十七尺兩正方邊共三十五尺求分積及各邊之數幾何 法以共積六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以兩邊和三十五丈自乗得一千二百二十五尺與倍積相減餘九尺開方得三尺即兩方邊之較兩邊和三十五尺與邊較三尺相加折半得十九尺即大正方之邊減邊較三尺得十六尺即小正方之邊次方邊各自乗得積數 兩正方形相併有邊較積較求各邊設大方邊比小方邊多七尺大方積比小方積多三百四十三尺求各方邊 法以積較三百四十三尺用邊較七尺除之得四十九尺即兩正方邊之和加較七尺折半得二十八尺為大正方之邊減較七尺餘二十一尺為小正方之邊兩正方形相併有邊總積較求各邊設大小兩正方邊共三十一尺大正方積比小正方積多一百五十五尺求各邊 法以積較一百五十五尺用兩邊和三十九尺除之得五尺為兩方邊之較與兩邊和三十一尺相加折半得十八尺即大正方之邊減較五尺餘十三尺即小正方之邊 兩正方形併積有積較求各邊設大小兩正方積共一百三十尺大正方積比小正方積多二十二尺求各邊 法以積較三十二尺與共積一百三十尺相減餘九十八尺折半得四十九尺即小正方之積開方得七尺即小正方之邊小方積四十九尺與積較三十二尺相加得八十一尺即大正方之積開方得九尺即大正方之邊三正方形併積有三邊較求各邊設三正方形共積三百八十一尺大方邊比次方邊多六尺次方邊比小方邊多三尺求各方邊 法以大方邊比小方邊所多之較六尺自乗得三十六尺又以次方邊比小方邊所多之較三尺自乗得九尺兩數相併得四十五尺與共積三百八十一尺相減餘三百三十六尺三因之得一千零八尺為長方積 〈其濶為三小正方邊長為三小正方邊兩大方邊較兩次方邊較〉又以大方邊較六尺倍之得十二尺次方邊較三尺倍之得六尺兩數相併得十八尺為長濶較用帶縱較數開方法算之得濶二十四尺歸之得八尺即小正方邊加次方邊所多之較三尺得十一尺即次方邊再加大方邊所多之較三尺得十四尺即大正方 容面 圓面容正方設圓徑十尺問内容正方邊幾何 法以圓徑十尺自乗得一百尺折半得五十尺開平方得七尺零七分一釐有餘即圓面内所容正方邊也圓面容三角形設圓徑二十尺問内容三角形之一邊尺寸㡬何 乙丙與半徑等甲乙丙為正勾股形全徑為 乙丙為勾則甲丙為股 法以圓徑二十尺為 折半十尺為勾用勾 求股法得十七尺三寸二分有餘即圓面内所容三角形之一邊三角形容正方面設三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺問内容正方邊㡬何 法先用三角形求中垂線法求得十二尺為中垂線與底四十四尺相加得五十六尺為一率中垂線十二尺為二率原底邊四十四尺為三率求得四率九尺四寸二分八釐有餘即三角形内所容正方邊也 三角形容圓面設三角形每邊一尺二寸問内容圓面徑㡬何 乙丙丁勾股形與甲丙丁勾股形同式丙丁勾為乙丁 之半則甲丙勾亦必為甲丁 之半甲丁與乙甲等故甲丙圓面半徑得乙丙中垂線三分之一倍之即為全徑 法先用三角形求中垂線法求得一尺零三分九釐有餘為中垂線以三歸之得三寸四分六釐有餘為圓面半徑倍之得六寸九分二釐有餘即所求圓面徑 勾股形容正方設勾九尺股十二尺問内容正方邊幾何 法以勾九尺與股十二尺相加得二十一尺為一率勾九尺為二率股十二尺為三率求得四率五尺一寸四分二釐有餘即勾股形内所容正方面邊也 勾股形容圓面設勾九尺股十二尺問内容圓面徑幾何 乙庚與乙戊等庚丁與丁己等于乙丙與丙丁勾股和内減乙丁 所餘為戊丙及丙己二段各為圓面之半徑相併即為全徑 法以勾股求 法求得十五尺為 乃以勾九尺與股十二尺相加得二十一尺内減 數十五尺餘六尺即所容圓面徑 鋭角鈍角三角形容圓面式 法先用三角形有邊求積法求得三角形積倍之為長方積併三邊共數除之得數為圓面半徑加倍即為全徑 按分逓折比例 二八差分 三七差分 四六差分 逓折差分 加倍減半差分 設有人一千六百名二分賞銀八分賞米求賞銀賞米人數各幾何 法以二分八分相併得十分為一率人一千六百名為二率二分為三率求得四率三百二十名即賞銀人數再以八分為三率求得四率一千二百八十名即賞米人數 設有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之求各得米數若干 法以二分為甲衰八分為乙衰二歸八因得三十二為丙衰三數相併得四十二分為一率米數五百八十八石為二率若以甲衰二分為三率則求得四率二十八石即甲應分米數若以乙衰八分為三率則求得四率百一十二石即乙應分米數或以丙衰三十二分為三率則求得四率四百四十八石為丙應分之米數設有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八逓減納之甲户三十乙戸四十丙戸五十丁户六十戊户七十問各户該納若干 法以逓減最少之戊户為二衰丁户為八衰挨次二歸八因則丙户為三十二衰乙户為一百二十八衰甲户為五百一十二衰再以甲户三十與甲衰五百一十二相乗得一萬五千三百六十為甲户共衰數 以乙户四十與乙衰一百二十八相乗得五千一百二十為乙户共衰數 以丙戸五十與丙衰三十二相乗得一千六百為丙户共衰數 以丁户六十與丁衰八相乗得四百八十為丁户共衰數 以戊戸七十與戊衰二相乗得一百四十為戊户共衰數 乃以五等衰數相併得總衰二萬二千七百為一率糧數二千六百五十五石九斗為二率以甲衰五百一十二為三率求得四率五十九石九斗零四合為一甲户應納糧數以四户三十乗之得一千七百九十七石一斗二升為甲户共納糧數 以乙衰一百二十八為三率求得四率十四石九斗七升六合為一乙戸應納糧數以乙户四十乗之得五百九十九石零四升為乙户共納糧數 以丙衰三十二為三率求得四率為一丙户應納糧數以丙户五十乗之得數為丙户共納糧數 丁戊二等算法倣此以上係二八差分之式 設有銀五千兩令二縣分支東縣支七分西縣支三分問各支若干 法以三分七分相併得十分為一率銀五千兩為二率若以東縣七分為三率求得四率三千五百兩即東縣應支之數以西縣三分為三率求得四率一千五百兩即西縣應支之數 設以車載物行十里限二十刻今已行七里該幾刻方到 法以十里為一率二十刻為二率十里減去已行七里餘三里為三率求得四率為六數即再行六刻方到 設有熟絲四百九十七兩七錢按絹綾緞逓次三七分織問各該若干 法將三數三因之得九分為絹衰三歸七因得二十一分為綾衰七數七因之得四十九分為緞衰三數相併得總衰七十九分為一率總絲四百九十七兩七錢為二率若以緞衰四十九分為三率則求得四率三百零八兩七錢為織緞餘數以綾衰二十一分為三率則求得四率一百三十二兩三錢為織綾線數以絹衰九分為三率則求得四率五十七兩六錢為織絹線數設有田一百三十八畝每畆徴米二斗今欲七分徴米三分折絲每米一石折絲一斤問各該若干 法以三分七分相併得十分為一率以米二斗乗田一百三十八畆得總米二十七石六斗為二率七分為三率求得四率十九石三斗二升即徴米之數再以總米二十七石六斗減去徴米十九石三斗二升餘八石二斗八升為折絲之數以米一石為一率絲一斤通為十六兩為二率折絲米八石二斗八升為三率求得四率一百三十二兩四錢八分以斤法收之得八斤四兩四錢八分即米三分折絲之數 以上係三七差分法 設有水田三百畆令上下二戸四六分灌問各灌若干畆 法以四分六分相併得十分為一率田三百畆為二率以六分為三率求得四率一百八十畆即上户應灌之田以四分為三率求得四率一百二十畆即下户應灌之田 設有糧一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按四六逓次應載問各載若干 法以四分為戊衰六分為丁衰挨次六因四歸得九分為丙衰十三分半為乙衰二十分二五為甲衰五數相併得總衰五十二分七五為一率糧一千二百六十六石為二率以甲衰二十分二五為三率求得四率四百八十六石即甲舟應運糧數以乙衰十三分半為三率則求得四率三百二十四石以丙衰九分為三率則求得四率二百一十六石以丁衰六分為三率則求得四率一百四十四石以戊衰四分為三率則求得四率九十六石為各舟應運糧之數 設有熟稻七百九十九畆六分八釐令甲乙丙三人挨次以十分之六收穫問各分收若干 法以一百為甲衰六十為乙衰三十六為丙衰三數相併得總衰一百九十六為一率稻七百九十九畆六分八釐為二率甲衰一百為三率求得四率四百零八畆又以乙衰六十為三率求得四率二百四十四畆八分以丙衰三十六為三率求得四率一百四十六畆八分八釐即三人應收之米數 以上係四六差分法 設有銀一千二百六十六兩五錢令四商以十分之七逓次販貨出賣問每人該銀若干 法以一千為第一人分數七百為第二人分數四百九十為第三人分數三百四十三為第四人分數合併得二千五百三十三分為一率銀一千二百六十六兩五錢為二率以四商分數各為二率求得各四率第一人五百兩第二人三百五十兩第三人二百四十五兩第四人一百七十一兩五錢為各販貨之數 設有生銅入爐三次每次鎔去渣十分之二今得浄熟銅三百四十八兩問原銅㡬何 法以八分自乗再乗得五百十二分為一率十分自乗再乗得一千分為二率熟銅三百四十八兩為三率求得四率四百八十四兩三錢七分五釐即原銅之數設有絹四百七十丈一尺八寸四分令三等人戸挨次照十分之六出之上户二十五中戸三十下戸四十八問每戸出若干 法以一百為上等分數以二十五戸乗之得二千五百分以六十為中等分數以三十五户乗之得一千八百分以三十六為下等分數以四十八户乗之得一千七百二十八分三數相併得總衰六千零二十八分為一率絹四百七十丈一尺八寸四分為二率以三等各衰為三率求得各四率上户七丈八尺中户四丈六尺八寸下户二丈八尺零八分即三等人應出之數 設一人織絹日加一倍四日而成六丈七尺五寸問日織絹若干 法以一為初日分數二為次日分數四為三日分數八為四日分數合併得十五分為一率絹六丈七尺五寸為二率以一二四分各為三率求得四率四尺五寸為初日所織倍之得九尺為次日所織又倍之得一丈八尺為次三日所織又倍之得三丈六尺為第四日所織合之共六丈七尺五寸也 設一人借銀為商三次每次得利比本銀加一倍每次還銀二百兩三次本利還盡亦無餘銀問原本若干 法以一為本銀分數二為本利共分四為二次本利共分八為三次本利共分即以八分為一率原本銀一分為二率又以一為第三次還銀分二為第二次還銀分四為第一次還銀分合併得七分與二百兩相乗得一千四百兩為三率求得四率一百七十五兩為原本銀數 設有田一千二百畆令甲乙丙丁四人挨次逓減一半分種問各種若干畆 法以八為甲分四為乙分二為丙分一為丁分合併得十五分為一率田一千二百畆為二率以甲八分為三率求得四率六百四十畆即甲所種田數折半則乙得三百二十畆又減半則丙得一百六十畆又減半則丁得八十畆也 設有銀三千一百六十兩令三等人逓次減半分用一等二十名二等二十四名三等三十名問每等人得銀㡬何 法以四為一等分數以二十乗之得八十分二為二等分數以二十四乗之得四十八分一為三等分數以三十乗之得三十分合併得一百五十八分為一率銀三千一百六十兩為二率以各等人數各為三率求得四率一等銀八十兩二等四十兩三等二十兩即各等每一人應得銀數 以上皆各等差分之例 按數加減比例 逓加逓減差分 超位加減差分互和折半差分 首尾互凖差分 設有金六十兩令甲乙丙三人依次逓加五兩分之問各得若干 法以三人為一率六十兩為二率一人為三率求得四率二十兩為乙應得金數加五兩則為甲之數減五兩則為丙之數 設有銀九百九十六兩分給八人自末名以上逓加十七兩問首末二人各得若干 法以八人為一率九百九十六兩為二率一人為三率求得四率一百二十四兩五錢再以十七兩折半得八兩五錢加之得一百三十三兩為第四人應得銀數再加十七兩得一百五十兩為第三人再加十七兩得一百六十七兩為第二人再加十七兩得一百八十四兩為首二人應得銀數又將原數以八兩五錢減之得一百一十六兩為第五人應得銀數再以十七兩逓減三次餘六十五兩即末一人應得銀數 設有一百人首名賞銀一百兩以下逓減五錢問該銀若干 法以一分為一率逓減五錢為二率九十九分為三率求得四率四十九兩五錢即第一名多于百名之數于一百兩内減之得五十兩零五錢即第一名應賞之數又與第一名賞銀各得一百五十兩零五錢以百名乗之得一萬五千零五十兩折半得七千五百二十五兩即賞銀總數 設一人行路日增六里共行三百二十里但知初末兩日所行共一百六十里問該行㡬日初末兩日各該若干里 法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃共日之中數為一率一日為二率共行三百二十里為三率求得四率四日即所行日數又以日增六里折半得三里加于中數八十里得八十三里為第三日所行里數再加六里得八十九里為第四日所行里數第二日則減中數之三為七十七里初日更減六里為七十一里 設有人十三日共織布一十三丈五尺三寸因日漸長每日加工六寸問初末兩日各織布若干 法以十三日為一率布一千三百五十三寸為二率一日為三率求得四率一百零四寸為第七日所織之數亦即初末兩日互相折半之中數乃以第七日上計初日下計末日俱得六分與逓加六寸相乗得三十六寸于一百零四寸内減之餘六十八寸初日所織之數加之得一百四十寸為末日所織之數 設有田七百二十畆令甲乙丙三人依次逓減分耕問各該若干畆 法以三分為甲衰二分為乙衰一分為丙衰合併得六分為一率田七百二十畆為二率一分為三率求得四率一百二十畆為丙所耕之田二因之乙得二百四十畆三因之甲得三百六十畆凡命法中不足所減分數者以此為例 設有糧一千一百三十四石令五等戸逓減納之一等二十四户二等三十三戸三等四十四等五十一五等六十問毎户納若干 法以五四三二一為五等衰分以五衰乗二十四户得一百二十分以四衰乗三十三户得一百三十二分以三衰乗四十二户得一百二十六分以二衰乗五十二戸得一百零二分以一衰乗六十户得六十户五數合併得總衰五百四十分為一率糧一千一百三十四石為二率一分為三率求得四率二石一斗為第五率一户應納糧數二分因之得四石二斗應第四等三分因之得六石三斗屬第三等四分因之得八石四斗屬第二等五分因之得十石五斗屬第一等皆就一戸算之以上逓加逓減例 設有米二十四石分與甲四分乙五分丙七分丁九分問各得若干 法以四五七九合併得二十五分為一率米二十四石為二率以甲乙丙丁各分數各為三率求得四率甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六斗四升即各得分數 設有銀五千兩買得馬四匹園一區宅一所其園價多馬三倍宅價又多園四倍問各價若干 法以一分為馬衰加三倍得四分為園衰又將四分加四倍得二十分為宅衰合併得二十五分為一率價五千兩為二率以馬衰為三率求得四率二百兩為馬價加三倍得八百兩為園價園價加四倍得四千兩為宅價設有銀七十兩買駱駝馬驢各一匹但知馬比駝價為九分之四驢比駝價為九分之一問各價若干 法以一分為驢衰四分為馬衰九分為駝衰合併得十四分為一率銀七十兩為二率駝馬驢各衰數各為三率求得各四率驢為五兩馬為二十兩駝為四十五兩即各畜之價 設一人為商三次初收獲利比原銀多二倍二次獲利比初次本利又多四倍三次獲利比二次本利又多三倍共計利與原銀得九百兩問原本銀若干 法以一分為初次本衰加二倍得三分為初次本利共衰又于三分加四倍得十五分為二次本利共衰又于十五分加三倍得六十分為三次本利共衰即以六十分為一率三次本利共九百兩為二率一分為三率求得四率十五即原本銀數 設有米五百三十五石賞三等人一等二十名二等五十名三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗問各等每人得米若干 法以五斗米數與二等五十名人數相乗得米二十五石一等多二等七斗是多三等一石二斗與一等二十名人數相乗得米二十四石合併得四十九石于總米五百三十五石内減去此數餘得四百八十六石乃以三等人數相併得一百八十人為一率四百八十六石為二率一人為三率求得四率二石七斗即三等一人應得米數加五斗為三石二斗是二等人所得再加七斗為三石九斗是一等人所得 以上係超位加減 設有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分之但知甲多于丙三十六石問各該米若干 法以三人為一率米一百八十石為二率一人為三率求得四率六十石即乙應得米數再以甲多于丙之三十六石折半為十八石加于乙數為七十八石屬甲減于乙數為四十二石屬丙 設有銀二百四十兩趙錢孫李四人互相折半分之但知趙多于李十八兩問各該銀若干 法以四人為一率銀二百四十兩為二率一人為三率求得四率六十兩為錢孫二人相和折半之數再以趙多于李之十八兩三歸 〈四人用三歸若三人則用二歸五人則用四歸也〉得六兩即四人逓加之數較折半得三兩加于六十兩即錢銀數再加六兩為六十九兩即趙銀較于六十兩減三兩為五十七兩屬孫再減六兩為五十一兩屬李以上互相折半 設甲乙丙丁四人挨次分銀但知甲得六十九兩丁得五十一兩問乙丙兩人銀數 法以三分為甲多于丁之衰數 〈四人故用三分若五人則用四分六人則用五分也〉為一率于六十九兩中減去五十一兩餘十八兩為二率一分為三率求得四率六兩為四人逓加之較于丁之五十一兩内加六兩得五十七兩為丙再加六兩得六十三兩屬乙如三色者則以首尾兩數相和折半即得中數 設七人運糧不言總數但知第一人第二人共運二十三石七斗第五第六第七共運二十六石一斗其逓加之數俱相等問每人運糧若干 法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升為第一人第二人相和折半之數于二十六石一斗以三歸之得八石七斗即第六人應運糧數乃以第一分第二分之中數一分半與第六分相減餘四分半為一率第一二人共運折半之中數十一石八斗五升與第六人之八石七斗相減餘三石一斗五升為二率一分為三率求得四率七斗即每人逓加之數由第一人而上逓加七斗則第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗設八人分米但知第一二兩人共得十一石九斗第七八兩人共得八石三斗其逓加之數俱相等問每人應得米數若干 法以十一石九斗折半得五石九斗五升為第一二兩人相和折半之數再以八石三斗折半得四石一斗五升為第七八兩人相和折半之數乃以第一分第二分之中數一分半與第七分第八分之中數七分半相減餘六分為一率第一第二相和折半之五石九斗九升與第七第八相和折半之四石一斗五升相減餘一石八斗為二率一分為三率求得四率三斗即每人逓加之較折半為一斗五升加于五石九斗五升得六石一斗為第一人應得米數以次逓減三斗即以下諸人之數 設有竹九節截為九筒逓次長短不均但知根底三節共盛米三升九合梢上四節共盛米三升問九筒各盛米數 法以三升九合三歸之得一升三合即第二節盛米之數又以三升四歸之得七合五勺即第七八兩節相和折半之數乃以第二分與第七第八折半之中數七分半相減餘二分半為一率以一升三合與七合五勺相減餘五合五勺為二率一分為三率求得四率一合即每節逓加之較自第一節所盛一升三合而加一合即第一節所盛米數逓減一合即以下諸節之數也設有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人逓減納之定甲乙納數與丙丁戊納數相等問各納㡬何 法以四分為甲多于戊之衰 〈自甲至戊隔四位故以四分為衰數也〉三分為乙多于戊之衰合併得七分以二分為丙多于戊之 〈次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同〉十五分為第二次比第七次所多衰數合併得三十三分十二分為第三次比第七次所多衰數九分為第四次比第七次所多衰數六分為第五次比第七次所多衰數三分為第六次比第七次所多衰數合併得三十分乃以三十分同三十三分相減餘三分為前兩次多于後五次之較又以後五次同前二次相減餘三次為後五次多于前兩次之較夫前多三分後多五次而其數則相等則三分即為三總分數合之得三十分為一率米二百四十石為二率每人衰數各為三率求得四率甲六十四石乙五十六石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石亦共一百二十石 設有糧一千零九十二石令七次逓減運送定前二次與後五次運數相等問每次運數若干 法以十八分為第一次比第七次所多衰數 〈第一至第七隔六位應以六為所多衰數則每位逓加一分但前後較歸除不盡不可分法故將六分用三因之為十八分則每一次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同〉十五分為第二次比第七次所多衰數合併得三十三分十二分為第三次比第七次所多衰數九分為第四次比第七次所多衰數六分為第五次比第七次所多衰數三分為第六次比第七次所多衰數合併得三十分乃以三十分同三十三分相減餘三分為前兩次多于後五次之較又以後五次同前二次相減餘三次為後五次多于前兩次之較夫前多三分後多五次而其數則相等則三分即為三次之數乃以三次為一率三分為二率一次為三率求得四率一分即第七次之分數每次逓加三分則第六次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合併得三十五分第二次十六分第一次十九分合併亦三十五分然後并兩總數得七十分為一率糧一千零九十二石為二率一分為三率求得四率十五石六斗即第七次一分之運數再以每次各分較乗之則第一次得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗合之為五百四十六石是前兩次運數第三次得二百零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百零九石二斗第六次得六十二石四斗與第七次十五石六斗合之亦為五百四十六石是後五次運數以上首尾互凖 邊求積 設三廣田南濶六十步北濶八十步中濶四十步長一百二十步中濶距南北邊相等問積幾何 法宜截作兩梯形田算之以南濶六十步與中濶四十步合併折半得五十步與半長六十步相乗得三十步為南半截梯形積又以北濶八十步與中濶四十步合併折半得六十步與半長六十步相乗得三千六百步為北半截梯形積兩形相合六千六百步以畆法除之得二十七畆五分即三廣積法 積求邊 設三廣田積二十七畆五分南濶六十步北濶八十步中濶四十步中濶距南北邊相等問長幾何 法以二十七畆五分用畆法化步得步數四因之置南北濶將中濶數倍之三數相并為法除之得一百二十步即三廣田之長 如兩距不必相等必有距南北各數或邊求積或積求邊皆截兩梯形算之 莊氏算學卷三 <子部,天文算法類,算書之屬,莊氏算學> 欽定四庫全書 莊氏算學卷四 淮徐海道莊亨陽撰 曲線體 設長圓體徑與高皆七尺問積幾何 法以長圓體徑七尺求得圓面積三十八尺四十八寸四十五分零九釐九十六豪二十五絲有餘以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圓體之積也 又法以長圓體徑七尺求得圓周數與髙七尺相乗得數為長圓體之外面積以半徑之三尺五寸乗之得數折半即長圓體之積也 又法以長方體積一○○○○○○○○為一率長圓體積七八五三九八一六三為二率現設之長圓體徑七尺自乗以髙七尺再乗得數為三率求得四率即長圓體之積也 〈一率一○○○○○○○○ 二率七八五三九八一六三 三率三四二四率二六九三九一五六九九○九〉 設尖圓體底徑六尺中髙六尺問積幾何 法以底徑六尺求得底面積數以髙六尺乗之得數以三歸之即尖圓體之積也 又法以尖方體積一○○○○○○○○為一率尖圓體積七八五三九八一六三為二率現設之尖圓徑體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得數三歸之成尖方體積為三率求得四率即尖圓體之積也 〈一率一○○○○○○○○○ 二率七八五三九八一六三 三率七二 四率五六四八六六七七三六〉 又法以長方體積一○○○○○○○○為一率尖圓體積二六一七九九三八八為二率現設之尖圓體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得數為三率求得四率即尖圓體之積也 〈一率一○○○○○○○○ 二率二六一七九九三八八三率二一六 四率五六五四八六六七八○八〉 設尖圓體底周二十二尺自尖至底周之斜線五尺求中垂線之髙幾何 法以底周二十二尺求得底徑數折半得半徑為勾以自尖至底周之斜線五尺為 求得股數即中垂線之髙也 〈三尺五寸六分九釐三豪三絲三忽有餘即中垂線之髙〉 設圓球徑二尺問外面積幾何 法以圓球徑二尺求得周數與徑二尺相乗得數即圓球之外面積也 〈一十二尺五十六寸六十三分七十釐有餘即圓珠外面積〉 設圓球徑一尺二寸問積幾何 法以圓球徑一尺二寸求得圓面積數以圓球徑一尺二寸乗之得數為長圓體積三歸之得數倍之即圓球之體積也 又法以圓球徑一尺二寸求得圓球之外面積數以半徑六寸乗之得數三歸之即圓球之體積也 又法用方積一○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率現設之圓球徑一尺二寸自乗再乗得數為三率求得四率即圓球之體積也 〈一率一○○○○○○○○ 二率五二三五九八七七五 三率一七二八 四率九○四七七八六八三〉 又法以圓球徑一○○○○○○○○為一率正方邊八○五九九五九七為二率現設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率數為與圎球積相等之正方體每邊之數自乗再乗即圓球之體積也 又法以二十一分為一率十一分為二率現設之圓球徑一尺二寸自乗再乗得數為三率求得四率即圓球之體積也 設圓球積六尺問徑幾何 法以球積一○○○○○○○○ 為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設之圓球積六尺為三率 求得四率數為與圓球徑相等之正方邊之正方體積開立方即得圓球之徑也 〈一率一○○○○○○○○ 二率一九○九八五九二一七 三率六 四率一一四五九一五五九〉 〈○二〉 又法以方邊一○○○○○○○○為一率球徑一二四○七○○九八為二率現設之圓球積六尺開立方得數為三率求得四率即圓球之徑也 〈一率一○○○○○○○○ 二率一二四○七○○九八三率一八一七一二○ 四率二二五四五○二〉 設撱圓體大徑六寸小徑四寸問積幾何 法以小徑四寸求得圓面積數以大徑六寸乗之得數為長圓體積三歸之得數倍之即撱圓體之積也 又法以小徑四寸自乗得數以大徑六寸再乗得數為長圓方體積乃以方積一○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率現得之長方體積為三率求得四率即撱圓體之積也 〈一率一○○○○○○○○ 二率五二三五九八七七五 三率九六 四率五○二六五四八二〉設撱圓體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小徑各幾何 法以球積一○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設撱圓體積五十寸為三率求得四率為長方體積乃以大徑比小徑多二寸為長圓與濶之較用帶一縱開立方法算之得濶數即撱圓體之小徑加大徑比小徑多二寸即撱圓體之大徑也 〈五寸九分九釐二毫大徑〉 〈一率一○○○○○○○○ 二率一九○九八五九三一七 三率五○四率九五四九二九六五八五○〉 設上下不等圓面體上徑四尺下徑六尺髙八尺問積幾何 法以上徑四尺求得上圓面積又以下徑六尺求得下圓面積又以上徑四尺與下徑六尺相乗得數開方得中徑用徑求圓面積法求得中圓面積數三數相併與髙八尺相乗得數三歸之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六釐有餘即上下不等圓面體之積也 又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下徑六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等圓面體上補成一小尖圓體之共髙乃以下徑六尺求得圓面積數與所得共髙數相乗得數三歸為大尖圓體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘數為上尖圓體之髙以上徑四尺求得圓面積與上髙數相乗得數三歸之為上小尖圓體之積與大尖圓體積相減餘即上下不等圓面體之積也 又法以正方體積一○○○○○○○○為一率圓面體積七八五三九八一六三為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上下徑相乗三數相併以髙八尺乗之得數三歸之成上下不等正方體積為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一釐有餘即上下不等圓面體之積也 〈一率一○○○○○○○○ 二率七八五三九八一六三 三率二○二六六六六六六六六 四率一五九一七四○二七七○一〉 又㨗法以一○○○○○○○○為一率二六一七九九三八八為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上下徑相乗三數相併以髙八尺乗之得數為三率求得四率即上下不等圓面體之積也 設上下不等撱圓面體上大徑四尺小徑三尺下大徑八尺小徑六尺髙十尺問積幾何 法以上大徑四尺與上小徑三尺相乗得十二尺以下大徑八尺與下小徑六尺相乗得四十八尺又以上大徑四尺與下小徑六尺相乗下大徑八尺與上小徑三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得八十四尺乃以方積一○○○○○○○○為一率圓積七八五三九八一六三為二率三數相併為三率求得四率數與髙十尺相乗得數三歸之即上下不等撱圓面體之積也 又㨗法以一○○○○○○○○為一率一三○八九九六九四為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相併以髙十尺乗之得數為三率求得四率即上下不等撱圓面體之積也 設截球體一段髙二寸底徑九寸六分問積幾何 法以髙二寸為首率底徑九寸六分折半為中率求得末率一尺一寸五分二釐為圓球之截徑加髙二寸為 圓球之全徑折半為圓球之半徑又以髙二寸為勾底徑折半為股求得 五寸二分作平圓半徑用求圓面積法求得平圓面積數即為截球體一段之外面積與圓球半徑六寸七分六釐相乗得數三歸之餘為自圓球中心所分球面尖圓體積又以截球體底徑九寸六分用求平圓面積法求得截球體之底面積數於圓球半徑六寸七分六釐内減去截球體之髙二寸餘數與截球體之底面積數相乗得數三歸之餘為自圓球中心至截球體底徑所分平面尖圓體積與球面尖圓體積數相減餘即截球體一段之積也 〈七十六寸五百七十一分八百八十釐有餘即截積數〉 設空心圓球積二千寸厚三寸問内外徑數各幾何 法以球積一○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設之空心圓球積二千寸為三率求得四率為空心正方體積乃用算空心正方體法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得數與所得空心正方體積數相減餘數六歸之得數用厚三寸除之得内徑相乗長方面積數乃以厚三寸倍之得六寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶一尺一寸四分六釐三毫九絲七忽有餘即空心圓球内徑加較六寸即空心圓球外徑也 〈一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七 三率二○○四率三八一九七一八六三四〉 設圓窖一座周二十四尺髙十尺問盛米若干 法以周二十四尺求得圓面積數與髙一丈相乗得數為圓窖之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率圓窖體積四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘為三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有餘即所盛之米也 〈一率二千五百寸 二率一石 三率四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘 四率一百八十三石三斗四升六合四勺有餘〉 設圓窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑各幾何 法以米一石為一率一石積數二千五百寸為二率盛米一百六十石為三率求得四率四百尺為圓窖之積數以髙十尺除之得四十尺為圓窖之面積乃以圓積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九 五四為二率現得之圓窖面積四十尺為三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一釐六十毫有餘開平方得七尺一寸三分六釐四毫九絲有餘即圓窖之徑數再用徑求周法求得周二十二尺四寸一分九釐九毫四絲有餘即圓窖之周數也 〈一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四 三率四○四率十五○九二九五八一六○〉設積米一堆髙五尺底周十四尺問米數幾何 法以底周十四尺求得圓面積數為尖圓堆之底面積 與髙五尺相乗得數三歸之為尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之尖圓堆之積數二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有餘即所堆之米數也 〈一率二五 二率一 三率二五九九五三○六八二 四率一○三九八一〉 設倚壁積米一堆髙四尺底周六尺問米數幾何 法以底周六尺為半周倍之為全周以周求得圓面積數折半為倚壁尖圓堆之底面積以髙四尺乗之得數三歸之為倚壁尖圓堆之積數以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之倚壁尖圓堆之積數七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為三率求得四率三石零五升五合七勺七杪有餘即倚壁所堆之米數也 〈一率二五 二率一 三率七六三九四三六 四率三○五五七七〉 設倚壁内角積米一堆髙五尺周一十二尺問米數幾何 法以周一十二尺四因之得四十八尺為全周以周求 得圓面積數四歸之為倚壁内角尖圓堆之底面積與髙五尺相乗得數三歸之為倚壁内角尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之倚壁内角尖圓堆之積數七十六尺三百九十四寸三百七十分為三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有餘即倚壁内角所堆之米數也 設倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺問米數幾何 法以周三十三尺三歸四因得四十四尺為全周以周求得圓面積數四歸三因得數為倚壁外角尖圓堆之底面積以髙六尺乗之得數三歸之即倚壁外角尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為率一石為二率現得之倚壁外角尖圓堆之積數二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有餘即倚壁外角所堆之米數也 〈一率二五 二率一 三率二三一九二九七二八八四率九二四三七一八〉 各等面體 設四面體每邊一尺二寸求積幾何 法以每邊一尺二寸為 每邊折半得六寸為勾求得股數為每一面之中垂線與每邊一尺二寸相乗折半為每一面之面積又以每邊一尺二寸為 每一面之中垂線取其三分之二為勾求得股數為四面體自尖至底中心之立垂線或以每一面之中垂線數為 每一面之中垂線取其三分之一為勾亦得股為四面體自尖至底中心之立垂線以此立垂線與每一面之面積數相乗三歸之得二百零三寸六百四十六分七百三十七釐有餘即四面體之積也 又求自尖至底中心之立垂線㨗法以每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方即得自尖至底中心之立垂線 又以正方體積一○○○○○○○○為一率四面體積一一七八五一一二九為二率現設之四面體之每邊一尺二寸自乗再乗為三率求得四率即四面體之積也 〈一率一○○○○○○○○ 二率一七八五一一二九三率一七二八 四率二○三六四六七五 ○〉設四面體體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐問每邊數幾何 法以四面體積一 一七八五一 一二九為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即四面體之每一邊也 〈一率一一七八五一一二九 二率一○○○○○○○○ 三率二○三六四六七五○ 四率 一七二八〉 又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率四面體之每邊二○三九六四八九○為二率現設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐開立方得五寸八分八釐三毫三絲六忽五微有餘為三率求得四率一尺二寸即四面體之每一辶也 〈一率一○○○○○○○○ 二率二○三九六四八九○三率二○三六四六七五○ 四率一二〉設八面體每邊一尺二寸求積幾何 法以八面體分作二尖方體算之將每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為二尖方體之共底面積又以每邊自乗之一尺四十四寸倍之開平方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽二微有餘為二尖方體之共髙即八面體之對角斜線以此斜線與二尖方體之共底面積一尺四十四寸相乗三歸之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六釐有餘即八面體之積也又法以正方體積一○○○○○○○○為一率八面體積四七一四○四五二一為二率現設之八面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二釐有餘即八面體之積也 〈一率一○○○○○○○○ 二率四七一四○ 四五二一 三率一七二八 四率八一四五八七○一二〉設八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐問每邊之數幾何 法以八面體積四七一四○四五二一為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即八面體之每一邊也 〈一率四七 一 四○四五二一 二率一○○○○○○○ ○ 三率八一四五八七○一二 四率一七三八〉 又法以正方體之每一邊一○○○○○○○○為一率八面體之每邊一二八四八九八二九為二率現設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐開立方得九寸三分三釐九毫二絲六忽有餘為三率求得四率一尺二寸即八面體之每一邊也 〈一率一○○○○○○○○ 二率一二八四八九八二九 三率九三三九二六 四率一二〉設十二面體每邊一尺二寸求積幾何 法以十二面體分作十二五角尖體算之將每邊一尺二寸求得五等邊形之分角線為一尺零二分零七毫八絲零九微有餘自中心至每邊之垂線為八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘面積為二尺四十七寸七十四分八十七釐三十毫有餘乃用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率現設之每邉一尺二寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六毫四絲零七微有餘為每一面兩角相對之斜線又用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率現得之每一面兩角相對之斜線折半得九寸七分零八毫二絲零三微有餘為三率求得四率一尺五寸七分零八毫二絲零二微有餘為十二面體之中心至每邊正中之斜線乃以此斜線為 每一面中心至邊之垂線八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘為勾求得股一尺三寸三分六釐二毫一絲九忽六微有餘為十二面體之中心至每一面中心之立垂線以此立垂線與每一面積二尺四十七寸七十四分八十七釐三十毫有餘相乗三歸之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九釐有餘為一五角尖體積十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八釐有餘即十二面體之總積也 〈一率六一八○三三九九 二率一○○○○○○○○ 三率一二 四率一九四一六四○七一率六一八○三三九九 二率一○○○○○○○○ 三率九七○八二○三 四率一五七八○八二○二〉 又法以正方體積一○○○○○○○○為一率十二面體積七六六三一一八九○三為二率現設之十二面體之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐有餘即十二面體之積也 〈一率一○○○○○○○○ 二率七六六三一 一八九○三 三率一七二八 四率一三二四一 八六九四六四〉 設十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐求每邊數幾何 法以十二面體積七六六三一 一八九○三為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即十二面體之每一邊也 〈一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○ 三率一三二四一八六九四六四 四率一七二八〉 又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率十二面體之每邊五○七二二二○七為二率現設之十二面體積開立方得數為三率求得四率即十二面體之每一邊也 設二十面體每邊一尺二寸求積幾何 法以正方體積一○○○○○○○○為一率二十面體積二一八一六九四九六九為二率現設之二十面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六釐有餘即二十面體之積也 〈一率一○○○○○○○○ 二辛二一八一六九四九六九 三率一七二八 四率三七六九九六八九○六〉 又法以二十面體之每邊七七一○二五三四為一率正方體之每邊一○○○○○○○○為二率現設之二十面體之每邊數為三率求得四率為與二十面體積相等之正方體每邉之數自乗再乗即二十面體之積也 〈一率七七一○二五三四 二率一○○○○○○○○ 三率一二 四率一五五六三六九〉設二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐求每邊數幾何 法以二十面體積二一八一六九四九六九為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即二十面體之每一邊也 〈一率二一八一六九四九六九 二率一○○○○○○○○ 三率三七六九九六八九○六 四率一七二八〉 又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率二十面體之每邉七七一○二五三四為二率現設之二十面體積開立方得數為三率求得四率即二十面體之每一邊也 〈一率一○○○○○○○○ 二率七七一○二五三四 三率一五五六三六九 四率一二〉 莊氏算學卷四 欽定四庫全書 莊氏算學卷五 淮徐海道莊亨陽撰 中西筆算 度量權衡 度法 丈 尺 寸 分 釐 毫 絲 忽 微 纎 沙塵埃 𣺌 漠 模糊 逡巡 須㬰 瞬息 彈指刹那 六徳 虚空 清浄 〈俱逓以十析〉 量法 石 斗 升 合 勺 撮 抄 圭 〈俱逓以十析〉粟 〈六粟為圭〉 權衡 兩 錢 分 釐 毫 絲 忽 〈俱逓以十析忽以下並與度法同〉凡丈 石 兩以上則為十 百 千 萬 〈逓増十倍〉億兆 京 垓 秭 穰 溝 澗 正 載 極 恒河沙 阿僧秖 那由他 〈不可思議無量數億以下俱逓増萬倍〉 田法 頃 〈百畆為頃〉畆 〈二百四十步為一畆〉分 〈二十四步為分〉步 〈方五尺為步〉 斤法 斤 〈十六兩為一斤〉兩 〈以下俱與權衡同〉 里法 里 〈三百六十步為一里計一百八十丈〉 厯法 周天 〈十二宫為周〉宮 〈三十度為宫〉度 〈六十分為度〉分 秒 微 纎忽 芒 塵 〈俱逓以六十析〉 日時 日 〈十二時又為二十四小時〉時 〈八刻又為二小時〉刻 〈十五分〉分以下俱與前同 石法 石 〈積二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此係舊法如以尺度較倉積先將現用斗較准然後用為比例方得宻合也〉 命位 凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸分釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈則進而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆為竒零命斗為單位則升以下為竒零而石則進而為十若命升為單位則合以下為竒零而斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則錢分釐毫皆為竒零命錢為單位則分以下為竒零而兩則進而為十若命分為單位則釐以下為竒零而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共有五位即知此數首位是萬矣至于厯法宮度分秒日時刻分之定位則每項命兩位如宫曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常列一位即命一等者宫度時刻則兩位命為一等而每一等有十單之列焉此又命位之最要者也 加法 加者命衆數而總成也葢數始于一終于九至十又復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之數合前後之位言之有單十千萬之等先自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本位下挨次并之即得總數若夫宮度時刻斤兩之數則不以十進必足所命之分始進一位 減法 減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有之數書于上應減之數書于下横列必對其位相減必從其類 〈如千減千百減百之類〉如或下數大于上數不足減則借前之一以減本位 〈加法由後而進前減法則借前而退後其理一也〉前位作一㸃以誌之既得本位則前位所借之一并于前數而為減數然數相減必先辯其多寡首位必大于減數始可其定位亦然原列之次為減餘位 因乗 因乗者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則必至于繁而無統此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如兩位以上則各以每位所因之數而又層累以積之也其法以原數為實乗數為法實列于上法列于下必使法實相當 〈如千對千百對百十對十單對單之類〉按法乗實合而加之為所得數定位之法視其法實所命之單位後有竒零與否如無竒零則實中所命之單位相對即法尾之數若有竒零則法實相乗者法實之一位統得數之二位 〈如單位後竒零有一位則截得數之二位竒零有二位則截得數之四位向前為單位紀之〉法實相乗再以法乗者 〈即自乗再乗也〉法實之一位統得數之三位 〈如單位後竒零有一位則截得數之三竒零有二位則截得數之六位向前為單位紀之〉是故得數以一位論者則為單十百千之類以兩位論者則為自乗之類以三位論者則為自乗再乗之類錯綜交互用法不一必須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如于左 開平方法 平方積者兩數相乗所得之數也開之之法每方積二位得方邊一位 法以自乗數與方根相商以相合者即定為初商書于積之上而以自乗之數書于初商積之下爰以方邊末位積數續書于下為次商亷隅之共積乃以初商之數倍之為亷法以除餘積足幾倍即定次商為幾倍書于方積之上而以次商數為隅法與亷法數相加得數為亷隅共法書于餘積之左以次商數乗之得數與次商亷隅共積相減減盡則已如有餘數又為第三位以後積數商開之法與次商同 開帶縱平方法 較法 法以縦方積四因以較自乗二數相加以開平方法開之得邊總加較折半為長減較折半為濶也 又法以縱多折半自乗與原積相加以開平方法開之得數為半和于半和較減半較得濶于半和加半較得長也 較數縱平方有較無長濶和故四因積數與較自乗數相加得長濶和積開方為長濶和 和數縱平方有長濶和無長濶較故用和自乗得和積與四因積相減餘數為較積開平方為長濶較 總之有長濶和有較者于和内加較折半為長減較折半為濶其理同也 和法 法以縱方積數四因以和自乘得數減去四因之數以開平方法開之即長濶相較之數以較數與和數相加折半為長減較即濶也 又法以和數折半為半和自乗與原積相減以開平方法開之得數為半較于半和減半較為濶于半和加半較為長 開立方法 立方者自乗再乗所得之數也有正方體之積數而求其每一邊之數也每積數三位得邊數一位其體形有初商之一大正方 〈此為自一至九自乗再乗數〉為首位用各數自乗再乗為首位積以減通積餘數為次位以後積數次位積形為磬折體包大方之三面故有三平亷其邊與大方等其厚與次商數等有三長亷其長與大方等其寛厚皆與次商數等有一小隅係次商自乗再乗之數法以初商數自乗相因為三平廉面積與餘積相商約得幾倍 〈用為少之數〉即定次位為幾數然後以次商數與初商數相乗三因為三長亷面積又以次商自乗為小隅面積三數相并為平亷長亷小隅之共面積再以次商數乗之為磬折形通積以減餘積減盡則止如有餘數又為第三位以後積數開之之法與次商同 開平方者有正方面之積數而求其每一邊之數也每積二位得方邊一位以縱横之積數能至十倍故也法以各數自乗之數除首位積其餘數為第二位以後積數次以首位數加倍為亷法以商餘積得幾倍即定次位為幾數並以此數為隅法然後以第二位數與亷法隅法相乗以減餘積減盡則止再有不盡之數又為第三位積數照前商除其法皆同 田地頃畆分法 縱横方五尺為一步二百四十步為一畆一百畆為一頃凡地縱横相乗得積步得積步以二百四十步除之得畆數再二十四步為一分除不盡者為零若干步凡得積丈以六十除之得畆數 〈每邊數一丈得積四步〉再六丈為一分除不盡者為零若干丈尺 正比例 以原有之兩數及現有之一數而求所不知之一數也其法以原有為兩數為一率二率以現有之一數為三率二率三率相乗一率除之得四率為所求三率與一率同類四率與二率同類 莊氏算學卷五 欽定四庫全書 莊氏算學卷六 淮徐海道莊亨陽撰 比例十法 一法正方 邊求積 〈設正方邊五十步問積數若干〉 法以方邊五十步自乗得二千五百步即正方積如係田地則以畆法二百四十除之得畆數二十四步為一分滿一百畆為頃凡面積皆同 積求邊 即開平方法 方求斜 〈設正方邊五十尺求對角斜線〉 法以方邊五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺開方得七十尺七寸一分○六毫有餘即對角斜線又倍積求邊與此法同 斜求方 〈設對角斜線五十尺求正方邊〉 法以對角斜線五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺開平方得三十五尺三十五分五釐三毫有餘即正方邊○又正方積折半求方邊與此法同 四倍積求邊 法以方邊數加倍即得 二法長方 邊求積 〈設濶八尺長十二尺求長方積〉 法以濶八尺與長十二尺相乗得九十六尺即長方面積 積求邊 有長濶較或長濶和者用開帶縱平方法算之有濶邊者以濶數除積得長邊有長邊者以長數除積得濶邊 更面 〈設長方形長十二尺濶八尺今將長積倍之仍與原長方同式問得長濶各幾何〉 法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺開方得一十一尺三寸一分三釐有餘即所求之濶乃以原濶八尺為一率原長十二尺為二率今濶一十一尺三寸一分三釐為三率得四率一十六尺九寸七分有餘即所求之長 三法斜方形 〈有兩直角〉 有邊求積 法以上濶二十丈與下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈與長五十丈相乗得一千二百丈即斜方形積數 有積數有長有上下兩濶較求上下濶 法將積數加倍以長除之得數為上下兩濶和加較折半得下濶減較折半得上濶 有積有上下濶求長 法將積加倍以兩濶共數除之得數即所求之長梯形 〈算法與前斜方形同〉 四法三角形 有中長有底濶求積 〈設底濶八十尺中長七十五尺問面積〉 法以中長七十五尺與底濶八十尺相乗得六千尺折半得三千尺即三角形面積 有積數有底濶求中長 〈設三角形積三千尺底濶八十尺問中長〉 法以積三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得七十五尺即三角形之中長 有積數有中長求底濶 與前法同 勾股形 有邊求積有積求邊算法俱與三角形同葢三角形之中長即勾股形之股三角形之底為勾之兩倍三角形積亦勾股形積之兩倍俱得長方面之一半故全與全半與半為比其數相同 甲丙丁為三角形丙丁為底濶甲乙為中長甲丙乙為勾股形甲乙為股丙乙為勾甲丙為 五法鋭角鈍角三角形 〈多邊形附〉 三角形求中垂線及面積 〈設三角形大股十七尺小股十尺底二十一尺〉 法以底二十一尺為一率兩腰相加得二十七尺為二率兩腰相減餘七尺為三率求得四率九尺為底邊之較 〈如圖戊丙〉與底二十一尺相減餘十二尺 〈如圖乙戊〉折半得六尺 〈如圖乙丁〉乃用勾 求股法以甲乙小腰十尺為 自乗得一百尺為 方乙丁六尺為勾自乗得三十六尺為勾方 方内減去勾方餘六十四尺開方得八尺為股即甲丁中垂線再以中垂線八尺與乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形面積 凡十字正方角為直角大于直角者為鈍角 〈如圖甲角〉不及直角者為鋭角 〈如圖乙角丙角也〉甲乙邊為小腰甲丙邊為大腰乙丙邊為底戊丙為底較甲丁為中垂線 多邊形 有邊有對角斜線求面積 法依對角斜線分多邊形為幾形算之 六法兩兩等邊無直角斜方形 〈此等形必有對角斜線方可命算〉有邊求積 〈設斜方形兩小邊皆二十五尺兩大邊皆三十九尺對兩鋭角斜線五十六尺問面積〉 法以對角斜線分斜方形為兩三角形以對角斜線五十六尺為底大邊三十九尺小邊二十五尺為兩腰用三角形求中垂線法 〈法載三角形條下〉求得中垂線十五尺乃以對角斜線與中垂線相乗得八百四十尺即斜方形之面積 有勾有股求 法以股自乗得股方以勾自乗得勾方兩自乗數相加開平方得數為 有勾有 求股 法以勾自乗得勾方以 自乗得 方 方内減勾方餘數開平方得數為股 有股有 求勾 法以股自乗得股方以 自乗得 方 方内減股方餘數開平方得數為勾 甲乙為對角斜線丁己與丙戊俱為中垂線 七法方環形 有邊求積 〈設方環外周二十八丈内周一十二丈求面積〉 法以外周二十八丈四歸之得七丈自乗得四十九丈又以内周一十二丈四歸之得三丈自乗得九丈兩自乗數相減餘四十丈即方環面積 有積及濶求内外邊 〈設面積四千尺濶二十尺求内外方邊〉 法以濶二十尺自乗得四百尺 〈如圖之甲壬寅戊小正方〉四因之 〈為四正方〉得一千六百尺與環積四千尺相減餘二千四百尺 〈壬戊子辛等四縦方共積〉四歸之得六百尺 〈一線方積〉以濶二十尺除之得三十尺即内方邊又以濶二十尺 〈如圖甲壬〉倍之 〈如甲壬并子丁〉得四十尺加内方邊三十尺 〈如戊辛與壬子等〉得七十尺即外方邊 有内外方邊求邊 法以外周二十八丈四歸之得七丈 〈如圖甲丁〉又以内周一十二丈四歸之得三丈 〈如圖戊辛與壬子等〉七丈與三丈相減餘四丈 〈如圖甲壬及子丁二段〉折半得二丈即方環外周至内周之濶 八法圓面 徑求周 〈設圓徑一尺二寸〉 法用周徑定率比例以徑數一一三為一率周數三五五為二率現設圓徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九釐九毫有餘即所求之圓周 周求徑 〈設圓周一丈五尺〉 法以周四三五五為一率徑數一一三為二率現設圓周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四釐六毫有餘即所求之圓徑 徑求面積 〈設徑八寸〉 法用徑求周法求得圓周二尺五寸一分三釐二毫七絲有餘折半得一尺二寸五分六釐六毫三絲有餘又將徑八寸折半得四寸兩折半數相乗得五十寸二十六分五十四釐八十二毫即所求之圓面積 又法用方周圓周定率比例以方周定率四五二為一率圓周定率三五五為一率現設圓徑八寸自乗為三率求得四率即圓面積 周求面積 〈設圓周六尺六寸〉 法用周求徑法求得圓徑二尺一寸零八毫四絲五忽折半得一尺○五分○四毫二絲二忽又將周六尺六寸折半得三尺三寸兩折半數相乗得三尺四十六寸六十三分九十四釐五十八毫即所求之圓面積又法用圓周方積與圓積定率比例以圓周方積一○○○○○○○○為一率圓積七九五七七四七為二率現設之圓周六尺六寸自乗為三率求得四率即圓面積 圓面積求徑 〈設圓面積六尺一十六寸〉 法用圓周方周定率比例以圓周二五五為一率方周四五二為二率現設之圓面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四釐九十三毫為正方面積開方得二尺八寸○五毫有餘即所求之圓徑 圓面積求圓周 〈設圓面積六尺一十六寸〉 法用圓積求徑法求得圓徑二尺八寸零五毫有餘又用圓徑求周法求得八尺七寸九分八釐有餘即圓之周數 九法撱圓 〈一名鴨蛋形〉 徑求面積 〈設大徑九尺小徑六尺問面積〉 法以大徑九尺與小徑六尺相乗得五十四尺為長方積乃用方積圓積之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圓積七八五三九八一六為二率長方積五十四尺為三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分有餘即所求撱圓形之面積 積求徑 〈設撱圓積四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫大徑九尺問小徑〉 法用圓積方積之定率比例以圓積七八五三九八 一六為一率方積一○○○○○○○○為二率現設撱圓積四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫為三率求得四率五十四尺為長方積以大徑九尺除之得六尺即撱圓形之小徑如有小徑求大徑則以小徑數除長方積得數即大徑 十法圓環形 圓環形有内外周及濶求面積 〈設外周二十一尺三寸内周七尺一寸濶二尺二寸六分問面積〉 法以外周二十一尺三寸與内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圓環形之面積 圓環形有内外徑求面積 法用圓徑求周法以内徑數求得内周外徑數求得外周又以内徑與外徑相減餘數折半為環濶依前有内外周及濶求面積法算之即徑 圓環形有内外周求面積 法用圓周求徑法以内周數求得内徑外周數求得外徑乃以兩徑相減餘數折半為環濶依前有内外周及濶求面積法算之即得 圓環形有面積及濶求内外徑 〈設面積四百六十二尺濶七尺求内外徑〉 法以濶七尺除面積得六十六尺即内外周相併折半之數為中周 〈如圖戊己周〉乃用周求徑法求得徑二十一尺有餘為内外徑相併折半之數為中徑 〈如圖戊己徑〉加濶七尺得二十八尺有餘即外徑中徑内減濶七尺餘十四尺有零即内徑 圓環形有面積及濶求内外周 依前法求得内外徑再用徑求周法算之即得 圓環形有面積及内周求外周并濶 〈設面積三尺三十六寸内周一尺一寸〉 法以内周一尺一寸用周求徑法求得内徑三寸五分零一毫有餘又用周徑求積法求得内周圓面積九寸六十二分七十七厘五十毫與圓環積三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七釐五十毫即外周圓面積乃用有圓面積求徑法求得外周徑二尺零九分七釐七毫内減去内徑三寸五分零一毫餘一尺七寸四分七釐六毫折半得八寸七分三釐八毫即圓環形之濶又用徑求周法求得周六尺五寸九分有餘即外周數也 圓環形有面積及外周求内周并濶 〈設面積三百八十四尺外周八十八尺〉 法以外周八十八尺用周求徑法求得外徑二十八尺零一分一釐一毫有餘又用周徑求積法求得外周圓面積六百一十六尺二十四寸六十四分内減去環積三百八十四尺餘二百三十二尺二十四寸六十四分 〈積乃用有圓面積求徑法求得内周徑一十七尺一寸九分六釐與外徑二十八尺零一分一釐二毫相減餘一十尺八寸一分五釐二毫折〉〈半得五尺四寸零七釐六毫即圓環形之濶再用徑求周法求得周五十四尺零二分二釐八毫有餘即内周數也莊氏算學巻六〉 為内周圓面 <子部,天文算法類,算書之屬,莊氏算學> 欽定四庫全書 莊氏算學卷七 淮徐海道莊亨陽撰 正方體 邊求積 法以邊數自乗得平方面積再以邊數乗之得立方體積如係米糓則用石法除之得石斗各數 〈二千五百寸為一石二百五十寸為〉 〈一斗二十五寸為一升〉凡筭積糓法皆同 倍積求邊 〈設正邊二尺〉 法以每邊二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求邊數 八倍積求邊 將邊數加倍即得 長方體 邊求積 法以長邊與濶邊相乗得長方面積再與髙數相乗得長方體積○如係米糓則用石法除之得石斗各數 倍積求邊 〈設長一尺二寸濶八寸髙四寸今將其積倍之仍與原形同式問長濶髙〉 法用正立方比例先以長一尺二寸自乗再乗得立方積一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長再用比例以求濶與髙以原長一尺二寸為一率原濶八寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之濶又以原長一尺二寸為一率原髙四寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即所求之髙 長圓體 圓周及髙求積 〈設圓周二十四尺髙十尺〉 法用圓周求面積法求得圓徑七尺六十三寸九十五分有餘又求得圓面積四十五尺八十三寸六十六分有餘為圓面積再與髙十尺相乗得四百五十八尺三百六十六寸有餘即所求之長圓體積○如係米糓或米窖問盛米幾何俱以石法除體積得石斗各數有徑求積法同 積及髙求周徑 〈設圓窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑〉 法以石法二千五百寸與米數相乗得四百尺為圓窖積以髙十尺除之得四十尺為圓窖面積乃用圓面積求徑法 〈用圓周三五五方周四五二比例開平方〉求得圓徑七尺一寸三分六釐有餘即所求之圓徑再用徑求周法 〈徑二三周三五五比例〉求得二十二尺四寸一分九釐有餘即所求之圓周 帶縱較數立方 帶縱立方者兩兩等邊長方體積也髙與濶相等惟長不同者為帶一縱立方長與濶相等而皆比髙多者則為帶兩縱相同之立方至于長與濶與髙皆不同者則為帶兩縱不同之立方開之之法大槩與立方同止有帶縱之異耳其帶一縱之法如以髙與濶相等惟長不同為問者則以初商為髙與濶以之自乗又以初商加縦數為長以之再乗得初商積至次商以後亦有三方亷三長亷一小隅但其一方亷附于初商積之方面者即初商數其二方亷附于初商積之長面者則帶縱也其二長亷附于初商積之方邊者即商數其一長亷附于初商積之長邊者則帶縱也其帶兩縦相同之法如以長與濶相等皆比髙多為問者則以初商加縱數為長與闊以之自乗又以初商為髙以之再乗得初商積至次商以後其一方亷附于初商積之正面者則帶兩縱其二方亷附于初商積之旁面者則各帶一縦也其一長亷附于初商積之髙邊者即初商數其二長亷附于初商積之長濶兩邊者即各帶一縱也其帶兩縱不同之法如以濶比髙多長比濶又多為問者則以初商為髙又以初商加濶縱為濶與髙相乗又加長縦為長以之再乗得初商積至次商以後其一方亷附于初商積之正面者則帶兩縦其二方亷附于初商積之旁面者則一帶濶縱一帶長縱也其一長亷附于初商積之髙邊者即初商數其二長亷附于初商積之長濶兩邊者則各帶一縱也惟小隅則無論帶一縱兩縱皆各以所商之數自乗再乗成一小正方其每邊之數即三方亷之厚亦即三長亷之濶與厚焉凡有幾層亷隅皆依次商之例逓析推之法雖不一要皆本于正方而後加帶縱故商出之數皆為小邊方體共十二面邊若帶一縦或帶兩縦相同者則八邊相等四邊相等若帶兩縦不同者則每四邊各相等是故得其一邊加入縱多即得各邊也 帶一縱立方 設帶一縱立方積一百一十二尺其髙與濶相等長比髙濶多三尺問髙濶長各幾何 法列積如開立方法商之其 積一百一十二尺止可商四 尺乃以四尺書于原積二尺 之上而以所商四尺為髙與濶 〈因髙與濶等故四尺即方之髙與濶也〉加縱多三尺得七尺為長即以髙與濶四尺自乗得一十六尺又以長七尺再乗得一百一十二尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙與濶俱四尺加縱多三尺得七尺即立方之長也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一百一十二尺其甲乙為髙甲己為濶己戊為長甲乙甲己俱四尺己戊為七尺己戊比己庚多三尺即所帶之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方積庚辛壬丙丁戊扁方形即帶縱所多之扁方積也 設如帶一縱立方積二千四百四十八尺其髙濶相等長比髙濶多五尺問髙濶長各幾何 法以初商積二千尺商十尺書于原積二千尺之上而以所商十尺為初商之髙濶加縦多五尺得十五尺為初商之長即以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之長十五尺再乗得一千五百尺書于原積之下相減餘九百四十八尺為初商積乃以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之髙濶十尺與初商之長十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得四百尺為次商三方亷面積以除次商積九百四十八尺足二尺則以二尺書于原積八尺之上合初商次商共一十二尺為初商次商之 髙濶加縱多五尺得十七尺為初商次商之長乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之長十七尺再乗得二千四百四十八尺與原積相減恰盡即知立方之髙濶俱十二尺其長為十七尺也設帶兩縱相同立方積五百六十七尺其長濶俱比髙多二尺問長濶髙各幾何 法以共積五百六十七尺可商八尺因留兩縱積故取略小數商七尺乃以七尺書于原積七尺之上而以所商七尺為髙加縱多二 尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙為七尺加縱多二尺得九尺即立方之長與濶也 設如帶兩縱不同立方積三千零二十四尺其濶比髙多二尺其長比濶又多四尺問髙濶長各幾何 法以初商積三千尺商十尺書于原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加濶比髙多二尺得十二尺為初商之濶再加長比濶多四尺得十六尺為初商之長即以初商之髙十尺與初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之長十六尺再乗得一千九百二十尺書于原積之下相減餘一千一百零四尺為次商積乃以初商之濶十二尺與初商之長 十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺與初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺三數相併得四百七十二尺為次商三方亷面積以除次商積一千一百零四尺足二尺則以二尺書于原積四尺之上合初商次商共十二尺為初商次商之髙加濶比髙多二尺得十四尺為初商次商之濶再加長 比濶多四尺得十八尺為初商次商之長乃以初商次商之髙十二尺與初商之濶十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之長十八尺再乗得三千零二十四尺與原積相減恰盡即知立方之髙十二尺其濶為十四尺其長為十八尺也 直線體 設正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾何 法以每邊二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之得一十六 尺即如戊己庚辛正方體積 每邊二尺五寸一分有餘 設長方體長一尺二寸濶八寸髙四寸今將其積倍之仍與原形為同式形問得長濶髙各幾何 法以長一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長既得長乃以原長一尺二寸為一率原濶八寸為二率今長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之濶也又以原長一尺二寸為一率原高四寸為二率今長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之開立方亦得一尺零一釐有餘為所求之濶以髙四寸自乗再乗倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為所求之髙也如圖甲乙丙丁長方體甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊長一尺二寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體此兩長方體積之比例即如相當二界各作兩正方體積之比例也 設塹堵體形濶五尺長十二尺髙七尺問積幾何 法以濶五尺與長十二尺相乗得六十尺 又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得 二百一十尺即塹堵體形之積也 又法以濶五尺與髙七尺相乗得三十五尺折半得一十七尺五寸與長十二尺相乗得二百一十尺即塹堵體形之積也如圖甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲乙髙與乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面積又與丙丁長相乗即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也 設芻甍體形濶四尺長十二尺髙四尺問積幾何 法以濶四尺與長十二尺相乗得四十八尺又與髙四尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即芻甍體形之積也 又法以濶四尺與髙四尺相乗得一十六尺折半得八尺與長十二尺相乗得九十六尺即芻甍體形之積也 如甲乙丙丁戊己芻甍體形以乙丙濶與甲庚相乗折半得甲乙丙三角形面積又與丙丁長相乗即得甲乙丙丁戊己芻甍體形之積也 設方底尖體形底方每邊五尺自尖至四角之斜線皆六尺問尖至底中垂線之髙幾何 法以底方每邊五尺求對角斜線法求得底方對角斜線七尺零七分一釐零六絲有餘折半得三尺五寸三分五釐五毫三絲有餘為勾以自尖至底四角斜線六尺為 用勾 求股法求得股四尺八寸四分七釐六毫八絲有餘即自尖至底中立垂線之髙數也如圖甲乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁對角斜線折半于己得乙己為勾以自尖至角之甲乙斜線為 求得甲己股即自尖至底中立垂線之髙也 又法以底方每邊五尺為平面三角形之底以自尖至四角之斜線六尺為兩腰角平面三角形求中垂線法求得一面中垂線五尺四寸五分四釐三毫五絲為 以底方每邊五尺折半得二尺五寸為勾求得股四尺八寸四分七釐六毫七絲有餘即自尖至底中立垂線之髙數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其四面皆為平面三角形一為甲乙丙一為甲丙丁一為甲丁戊一為甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙甲丙為兩腰求得甲庚中垂線以甲庚為 底邊折半得庚己為勾求得甲己股即自尖至底中立垂線之髙也設方底尖體形底方每邊六尺髙三尺問積幾何 法以下方每邊六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再乗得一百零八尺三歸之得三十六尺即方底尖體形之積也如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一邊自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方體形此扁方體與尖方體之底面積等其髙又等故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙丁戊尖方體三形之積等也 設陽馬體形底方每邊六尺髙亦六尺問積幾何 法以底方每邊六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再乗得二百一十六尺三歸之得七十二尺即陽馬體形之積也如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方體形此己乙丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽馬體三形之積等故三分之即得陽馬體之積也此陽 馬體形與尖方體形雖不一而法 則同也葢尖方體形尖在正中陽 馬體形尖在一隅凡體形其底面 積等髙度又等其體積必相等也 設如鼈臑體形長與濶俱四尺髙九尺問積幾何 法以長與濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一百四十四尺六歸之得二十四尺即鼈臑體形之積也葢鼈臑體即勾股面之尖體如甲丙乙丁鼈臑體形以丁丙長與乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁髙再乗成甲庚戊乙丙己長方體形此一長方體之積與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而甲乙丙丁鼈臑 體之積又為甲戊乙丙丁陽馬體積 之一半陽馬體為長方體三分之一 則鼈臑體又為長方體六分之一矣 設上下不等正方體形上方每邊四尺下方每邊六尺髙八尺問積幾何 法以上方每邊四尺自乗得一十六尺下方每邊六尺自乗得三十六尺又以上方每邊四尺與下方每邊六尺相乗得二十四尺三數相并得七十六尺與髙八尺相乗得六百零八尺三歸之得三百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也 又法以上方邊四尺與下方邊六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下方邊六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等正方體形上補成一尖方體形之共髙乃以下方邊六尺自乗得三十六尺與所得共髙二十四尺相乗得八百六十四尺三歸之得三百八十八尺為大尖方體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘十六尺為上小尖方體之髙以上方邊四尺自乗得十六尺與上髙十六尺相乗得二百五十六尺三歸之得八十五尺三百三十三寸有餘為上小尖方體之積與大尖方體積二百八十八尺相減餘三百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也 設上下不等長方體形上方長四尺濶三尺下方長八尺濶六尺髙十尺問積幾何 法以上長四尺與上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十四尺下長八尺與下濶六尺相乗得四十八尺倍之得九十六尺又以上濶三尺與下長八尺相乗得二十四尺以下濶六尺與上長四尺相乗得二十四尺四數相并得一百六十八尺與髙十尺相乗得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也 又法以上長四尺倍之得八尺加下長八尺共十六尺與上濶三尺相乗得四十八尺又以下長八尺倍之得十六尺加上長四尺得二十尺與下濶六尺相乗得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺與髙十尺相乗得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也 設上下不等芻甍體形上長十尺下長十四尺下濶五尺髙十二尺問積幾何 法以上長十尺與下濶五尺相乗得五十尺以髙十二尺再乗得六百尺折半得三百尺為上下相等芻甍體積又以上長十尺與下長十四尺相減餘四尺與下濶五尺相乗得二十尺以髙十二尺再乗得二百四十尺三歸之得八十尺與先所得上下相等芻甍體積三百尺相并得三百八十尺即上下不等芻甍體之積也如甲乙丙丁戊上下不等芻甍體形自其上稜之甲戊兩端直剖之則分為甲己辛壬戊一芻甍體甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體故以與上長相等之己庚與己辛濶相乗即得己辛壬庚芻甍體之面積與甲癸髙相乗折半得甲己辛壬戊芻甍體積又以甲戊上長與丙丁下長相減所餘丙辛壬丁二叚即二尖方體之共長與乙丙濶相乗得 乙辛與庚辛二尖方體之底面積與髙相乗三歸之即得甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體積與一甲己辛壬戊一芻甍積相加即得甲乙丙丁戊一上下不等芻甍體之總積也 設兩兩平行邊斜長方體形長二尺四寸濶八寸髙二尺七寸問積幾何 法以長二尺四寸與濶八寸相乗得一尺九十二寸又以髙三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即兩兩平行邊斜長方體形之積也如圖甲乙丙丁戊己斜長方體形以乙丙濶與丙丁長相乗得乙丙丁庚長方面積以戊丙髙再乗成己乙丙丁辛壬長方體凡平行平面之間所有立于等積底之各平行體其積俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之長方體必與己乙丙丁辛壬正立長方之體積為相等也 設空心正方體積一千二百一十六寸厚二寸問内外方邊各幾何 法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸與共積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸六歸之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸 為内方邊與外方邊相乗長方面積乃以厚二寸倍之得四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶八寸即内方邊得長一尺二寸即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體其甲丑即空心正方體之厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸類八小隅體與空心正方體相減則餘空心正方體之六面丑寅巳子類六長方扁體六歸之得丑寅己子一長方扁體用厚二寸除之得丑寅夘辰一長方面積其丑寅濶與戊己等即内方邊其丑辰長與甲乙等即外方邊其丑戊辛辰皆與甲丑厚度等丑戊辛辰並之即長濶之較故以厚二寸倍之為帶縱求得濶為内方邊長為外方邊也 又法以厚二寸倍之得四寸為内方邊與外方邊之較自乗再乗得六十四寸與空心正方體積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸三歸之得三百八十四寸以内外方邊之較四寸除之得九十六寸為長方面積以内外方邊之較四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶八寸即内方邊加較四寸得一尺一寸即外方邊也 設大小兩正方體大正方體比小正方體每邊多四寸積多二千三百六十八寸問大小兩正方邊多幾何 法以大正方邊比小正方邊所多之較四寸自乗再乗得六十四寸與大正方體比小正方體所多之積二千 三百六十八寸相減餘二千三百零四寸三歸之得七百六十八寸以邊較四寸除之得一百九十二寸為長方面積乃以邊較四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶十二寸即小正方之邊數加較四寸得十六寸即大正方之數也如甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體試于甲乙丙丁大正方體減出戊己庚辛一小正方體餘壬申戊辛庚丙丁三面磬折體形即大正方積比小正方積所多之較甲戊為磬折體之厚即大正方邊比小正方邊所多之較此三面磬折體形依開立方次商法分之則得癸子丑三方亷體寅夘辰三長亷體己一小隅體以甲戊邊較自乗再乗得己一小隅體與磬折體積相減餘三方亷體三長亷體三 歸之則得癸一方亷體寅一長亷體共成午甲已未庚甲乙扁方體其午甲厚與甲戊等以午甲厚除之則得甲乙庚未之長方面形甲戊即長濶之較故用帶縱開平方法算之得乙庚濶與戊乙等即小正方之邊數以甲戊與戊乙相加得甲乙即大正方之邊數也 設大小二正方體共邊二十四尺共積四千六百零八尺問兩體之每邊及體積各幾何 法以共邊二十四尺自乗再乗得一萬三千八百二十四尺内減共積四千六百零八尺餘九千二百十六尺三歸之得三千零七十二尺以共邊二十四尺除之得 一百二十八尺為長方面積乃以共邊二十四尺為長濶和用𢃄縱和數開平方法算之得濶八尺即小正方之邊數與共濶二十四尺相減餘十六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體以共邊二十四尺自乗再乗則成壬乙癸子一總 正方體内減甲乙丙丁戊己庚辛大小兩正方體之共積餘丑寅夘三方亷體辰已午三長亷體三歸之則得丑一方亷體辰一長亷體共成未壬乙丙戊甲一扁方體用壬乙共邊除之則得未壬戊甲之長方面形其未壬濶與壬申等其壬戊長與甲乙等故以壬乙共邊為長濶和用帶縦和數開平方法算之得未壬濶即小正方之邊數與長濶和相減餘壬戊長即大正方之邊數也 設人立河坡平處欲知水邊低于平地之數用重表之法測之 法于河坡平處立四尺表杆測之稍前再立二尺表杆㸔兩表端參對水邊低處量得距分六尺向前直量三丈復立四尺表杆重測稍前仍立二尺表杆㸔兩表端參對水邊低處量得距分四尺八寸乃以前測之距分六尺與後測之距分四尺八寸相減餘一尺二寸為一率表杆四尺與二尺相減餘二尺為二率前測與後測相距三丈為三率求得四率五丈為水邊低于表尖之數内減去表髙四尺餘四丈六尺即水邊低于河坡平處之數也 設人在山上欲知山澗之深用重表測之 法于山邊立二尺表杆稍後立四尺表杆測之看兩表端參對澗底量得兩杆相距得三尺再退量五尺復立四尺表杆重測稍前仍立二尺表杆㸔兩表端參對澗底量得兩杆相距得三尺四寸乃以後測之距分三尺四寸與前測之距分三尺相減餘四寸為一率表杆四尺與二尺相減餘二尺為二率兩表相距五尺為三率求得四率二丈五尺為山澗距表尖之深内減去表髙四尺餘二丈一尺即所求山澗之深也 設東西二樹欲知其相距之逺測距東樹七十丈距西樹五十丈問二樹相距 法用同式形比例先以距東樹七十丈取其五十分之一得一丈四尺即對東樹直量一丈四尺作記又以距西樹五十丈亦取其五十分之一得一丈即對西樹直量一丈作記乃于兩作記處斜量如得四尺五寸是為 同式形之相距數然後以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺 〈因兩作記處為二樹測處五十分之一則所得同式形之相距數亦必為二樹相距數五十分之一〉即二樹相距之逺也 設東西二樹欲知其相距之逺用重表或取同式形測之問二樹相距 法先用不取直角測逺法 〈如測石測樹之法〉求得二樹距測處之逺再用知兩逺求相距之法求之 設左右兩峰不知其髙逺欲求兩峰相距 法先用重表求髙逺法各求得髙與逺 〈其髙為尖峰距地平之髙其逺為山根距測處之逺〉如求得左峰髙四十八丈逺六十四丈右峰髙六十五丈逺七十二丈乃用勾股求 法以左峰四十八丈為股逺六十四丈為勾求得 八十丈即左峰距人之逺以右峰髙六十五丈為股逺七十二丈為勾求得 九十七丈即右峰距人之逺然後用知兩逺求相距法各取其百分之一對左峰直量八尺作記對右峰直量九尺七寸作記如于兩作記處横量得一丈二尺即加一百倍為一百二十丈得兩峰相距之逺 左峰髙如左甲逺如甲丙右峰髙如右乙逺如乙丙兩峰相距如 設如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸測之問水面距地之深 設井口徑濶九尺法于井沿取直角立表杆測之人目對表端斜向井沿看水以恰見水邊為凖如表髙四尺量得表距井沿一尺五寸則以一尺五寸為一率表髙四尺為二率井口濶九尺為三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也 方圓諸率 徑○七 周二二 徑○五○ 周一五七 徑○三二 周一○○ 徑一一三 周三五五 徑一○○○○○○ 周三一四一五九二 凡徑求周者以周率乗以徑率除得周周求徑者以徑率乗以周率除得徑 平方積四○○○○○○○○ 平圓積三一四一五九二六五 平方積一○○○○○○○○ 平圓積○七八五三九八一六 平方積四五二 平圓積三五五 平方積一四 平圓積一一 立方積 同平方率 圓柱積同平圓率 圓周自乗積八八 圓周中占積○七 方柱積三 方錐積一 圓柱積三 圓尖積一 圓柱積三 圓球積二 立方積六○○○○○○○○ 立圓積三一四一五九二六五 立方積一○○○○○○○○ 渾圓積○五二三五九八七七 立方積六八七 渾圓積三五五 立方積二一 渾圓積一一 立方積二一 渾圓積一 一 渾圓面積四 平圓面積一 撱圓求積 兩徑相乗數以十一乗之十四除之得所求 解曰取撱圓兩徑之中率作圓其容與撱圓等渾撱圓求積 小徑自乗再以大徑乗之以十一乗二十一除得所求解曰方體渾撱圓之比例猶立方與渾圓也 弧矢求徑及離徑半徑 置 折半自乗以矢除之得所求 解曰半 股也矢 句較也餘徑 句和也股之自乗積以和除之得較以較除之得和故以矢除之得餘徑餘徑加矢折半為半徑半徑減矢為離徑也弧矢求積 〈舊法以矢 相并得弧背徑一圍三之義也疎甚不可法〉 置弧背以離徑并矢 〈即半徑〉乗之别置 以離徑乗之兩數相減餘折半得所求 解曰弧背圓周分線也離徑并矢圓半徑也于弧背兩端作線㑹于圓心成雜線形求積之法當與圓同故以半徑乗背折半得積也又雜線形内除弧矢形餘一三角形以 為濶以離徑為高高乘濶折半得積以減雜線形積則所餘者弧矢積矣故以半徑乗背離徑乗 相減折半得積也 求中率法 以兩率相乗得數平方開之得中率 截方錐體求積法 置上方自乗下方自乗上下方相乗三數并以髙乗之以三除之得所求 右形得方體一塹堵方錐各四今方體三塹堵方錐體各十二故以三除也 〈凡塹堵二之一方錐三之一〉 截圓錐體求積法 置上徑自乗下徑自乗上下徑相乗三數並以髙乗之再十一乗四十二除得所求 〈元當用三除之又十一乗十四除之今用四十二除者三因十四得四十二合兩次除為一次除也〉 截直鋭體求積 倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之兩數并以髙乗之以六除之得所求 右形具體如截方錐今得直體六塹堵錐體各二十四故以六除也 截撱圓鋭體求積 倍面大徑加底大徑以面小徑乗之又倍底大徑加面大徑以底小徑乗之兩數並以髙乗之再以十一乗八十四除得所求 〈此以六因十四得八十四也〉 莊氏算學卷七 欽定四庫全書 莊氏算學卷八 淮徐海道莊亨陽撰 七政經緯 日躔法 年根 查二百恒年表内年根録之隨記最髙衝之數于旁 〈表内之數微滿三十即進一秒下並同〉 日數 查周嵗平行表内日數録之隨記最髙行之數于旁 平行 年根與日數相加得之 髙衝 最髙衝與最髙行相加得之 引數 以髙衝減平行得之或平行不及減加十二宮減之 均數 以引數宫度分查加減差表得之 〈數内秒滿三十收為一分也〉法○宮至五宫順查本行與左行相較六宮至十一宮逆查本行與右行相較將較數以引數零分乗之得數視本行大者減小者加若引數無零分則直用本行之數隨記加減號 〈如引數係九宫一十八度十七分逆查本行為一度五十七分四十二秒較右行一度五十七分三十六秒得多六秒以引數七分乗之得四二為四秒一十二微去微數不用净得四秒將本行四十二秒減去四秒為一度五十七分三十八秒得均數記減字號〉 細行 以均數依加減號加減于平行得之 宿度 以細行宮度查距宿鈐取度分小于細行者用之若本宮宿度分大于細行則借前一宮用 〈自己巳年起算至本年共若干年以每年五十一秒乗之以六十除之得數何度分以加于用宿之度分内與細行度分相減餘為某宿幾度幾分〉月離法 四年根 查二百恒年表録之 〈月自行即引數 正交年根加減六宫用如七減六為一一加六為七餘同〉 四日數 查日平行表内日數録之 平行實行 年根日數相加得之正交年根減日數即得 兩日差 以太陽宮度查日差表得分數即以分數查時刻平行表得之 〈表内秒滿三十收為一分〉隨記加減號 平行總平引 以日差依加減號加減于兩平行得之 兩均數 以平引宮度分查加減差表同日躔隨記加減號 實行實行引 以均數依號加減于平行總平引得之 太陽 録本日日躔細行 距日次引 以實行減太陽即得滿六宮者去之 次均 以距日次引宮度查二三均表定直行再以實行引宫度定横行○一二宮順查三四五宫逆查相較 〈其較出之數若係二四六等行以二除之三六九等以三除之得數或餘一二秒復化為微除至三十微即進一秒視本位大小而加減之得次均數記加減號〉 白道經 以次均依號加減于實行得之 交均大距數 以距日次引宮度查交均表得之表内距限即大距之數記加減號 正交經 以交均依號加減于正交平行得之 中交 以正交之宮加減六宮用 白經 即録前白道經之數 月距正交 以白經轉減正交經得之 同升差 以月距正交宮度查白道升度得之記加減號 黄道視行 以同升差依號加減于白道得之 視緯 以月距正交宮度查黄白距度表定横行又以大距數之數查表内相近之數用之定南北號 四宿 查距宿鈐同日躔各以本度分減之 過宮 土木星法 年根交行 查恒年表 兩日數 查平行表 兩平行 如日躔 前均中分 以引數平行宮度分查表相較同日躔記加減號 實經 以前均依號加減于平行得之 日躔 即録本日細行 次引 以日躔轉減實經得之 次均較分 以次引宮度分查表同前均記加減號 三均 以中分較分分數相乗逢三十秒進一分以下十除之即得 并均 二三相加得之 視經 以實經依次均號加減于并均得之 正交實經 以實經數録之 距交 以實經倒減交行得之 中分 以距交宮度查緯行表相較將較出之分化為秒以五除之得若干計本位至本數得幾分 〈如距交二宫十三度即查二宫十度與十五度相較十度係五分四十九秒十五度係四分三十八秒較多一分十一秒將分化為秒共得七十一秒以五除之得一十四秒計十位至十三位得三分為四十二秒得五分○八秒餘倣此〉視本位大小加減之即得如有緯行細表則不用分如其數直書之緯限亦同 緯限 以次引宮度分查緯行表緯度之數距交在前六宮用北度之數後六宮用南度之數以五分之或以兩數平分之亦得表内旁另注加減字于數内加減之 視緯 以緯限度化為分用中分零分相乗得數以六十除之距交在前六宮緯北後六宮緯南 宿度 火星法 年根正交 同土木 兩日數 同土木 兩平行 同土木 兩均數距日 同土木 實行引 同土木 太陽 即日躔 相距 以太陽倒減實行得之 半距距餘半 相距在前六宮相距折半為半距不用距餘半相距在後六宮以實行正減太陽得半距半距折半為距餘半 日引 以太陽減去本年最髙衝之數加減六宮用 半徑 以實引宮度分查表相較得之 日差 以日引宮度分查表相較得之 星數 以半徑日差相加得之 總 以距日星數相加得之 較 以距日星數用大減小得之 半距均線 有距餘半者以距餘半查八線表正切線之數無則以半距查正切線之數以較相乗以總除之 減弧 以所除之數查八線表取近者用之 次均 或半距或距餘半減去減弧得之 視行 相距在前六宮次均與實行相加相距在後六宮次均與實行相減 距交 以實行減正交得之 中分 以距交查表同土木星得數兩平分之 緯限 以相距查表亦平分之即得 視緯 同土木 𪧐度 同土木 金水星法 三年根 查同土木 伏見日數 本星平行表内日數録之 距冬至引數 日數 即録太陽平行表内日數 三平行 同土木 三前均中分 同土木 實經引 同土木 實行 視前均號加減反用之 二均較分 以實行宮度分查表同土木 三均 同土木 并均 同土木 視經 同土木 次實引 實引加十六度即得 前中分 金星以次實引查同土木得數平分之水星無次實引以實引宮度查之 前緯限 以實引宮度查小輪之數亦平分之即得 前緯 乗除同土木若中分在前六宫緯限在○一二九十十一六宮中分在後六宮緯限在三四五六七八六宮者緯為北若中分在前六宮緯限在三四五六七八六宮中分在後六宮緯限在○一二九十十一六宮者為緯南 後中分 以實行實引兩宮相見之處查同前 〈如實行四宮實引六宫必欲表内兩宮俱有方用或有四宮無六宮有六宮無四宮者不用餘倣此〉 後緯 同前緯依表内南北號記之 視緯 視前後二緯同號者相加異號者以大減小即得 𪧐度 三較連乗發明 分角取心從心作三垂線破為六勾股形其垂線界處即為三邊與半總之較者二 三較連為一線即成半總 半總一面線之末作岀線引分角過心中線與垂線合添成大勾股形與中線第一垂線平行即為相似形 第一垂線為小勾股之勾中直線為 其旁為股股即第一較添成大勾股其過心中線即為 小勾視大勾如第一較視半總 小勾自乗視小勾乗大勾亦如第一較視半總 小勾乗大勾之積同第二第三較相乗之積第二第三相乗之積以第一較乗之為總積則小勾乗大勾之積亦可以第一較乗之為總積總積以半總除之得小勾之積以小勾之積除之得半總所以然者小勾為勾第二較為股一勾股也大勾為 股以第三較為勾又一勾股也凡勾股相似形小股乗大勾之數即小勾乗大股之數故二三較相乗之積與小勾乗大勾之積均也二三較相乗之積復乗以第一較之所得積與小勾自乗又乗半總所得積均也 如勾三股四 五半總六則勾較三股較二 較一勾股較相乗得六 較乗之仍得六此三較連乗之數也容員半徑一乗半總亦仍得六此員半徑自乗又乗半總之數也 三較連乗以半總除之者所以取圓半徑也三較連乗而以首較乗半總除之者所求對角之線也既以首較乗半總則通二法為一法故中間可省首較一乗 〈按求對角線語有脱誤〉 莊氏算學卷八 <子部,天文算法類,算書之屬,九章錄要>