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莊氏算學 (四庫全書本)
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莊氏算學
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莊氏算學 (四庫全書本)/卷07
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欽定四庫全書 莊氏算學卷七 淮徐海道莊亨陽撰 正方體 邊求積 法以邊數自乗得平方面積再以邊數乗之得立方體積如係米糓則用石法除之得石斗各數 〈二千五百寸為一石二百五十寸為〉 〈一斗二十五寸為一升〉凡筭積糓法皆同 倍積求邊 〈設正邊二尺〉 法以每邊二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求邊數 八倍積求邊 將邊數加倍即得 長方體 邊求積 法以長邊與濶邊相乗得長方面積再與髙數相乗得長方體積○如係米糓則用石法除之得石斗各數 倍積求邊 〈設長一尺二寸濶八寸髙四寸今將其積倍之仍與原形同式問長濶髙〉 法用正立方比例先以長一尺二寸自乗再乗得立方積一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長再用比例以求濶與髙以原長一尺二寸為一率原濶八寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之濶又以原長一尺二寸為一率原髙四寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即所求之髙 長圓體 圓周及髙求積 〈設圓周二十四尺髙十尺〉 法用圓周求面積法求得圓徑七尺六十三寸九十五分有餘又求得圓面積四十五尺八十三寸六十六分有餘為圓面積再與髙十尺相乗得四百五十八尺三百六十六寸有餘即所求之長圓體積○如係米糓或米窖問盛米幾何俱以石法除體積得石斗各數有徑求積法同 積及髙求周徑 〈設圓窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑〉 法以石法二千五百寸與米數相乗得四百尺為圓窖積以髙十尺除之得四十尺為圓窖面積乃用圓面積求徑法 〈用圓周三五五方周四五二比例開平方〉求得圓徑七尺一寸三分六釐有餘即所求之圓徑再用徑求周法 〈徑二三周三五五比例〉求得二十二尺四寸一分九釐有餘即所求之圓周 帶縱較數立方 帶縱立方者兩兩等邊長方體積也髙與濶相等惟長不同者為帶一縱立方長與濶相等而皆比髙多者則為帶兩縱相同之立方至于長與濶與髙皆不同者則為帶兩縱不同之立方開之之法大槩與立方同止有帶縱之異耳其帶一縱之法如以髙與濶相等惟長不同為問者則以初商為髙與濶以之自乗又以初商加縦數為長以之再乗得初商積至次商以後亦有三方亷三長亷一小隅但其一方亷附于初商積之方面者即初商數其二方亷附于初商積之長面者則帶縱也其二長亷附于初商積之方邊者即商數其一長亷附于初商積之長邊者則帶縱也其帶兩縦相同之法如以長與濶相等皆比髙多為問者則以初商加縱數為長與闊以之自乗又以初商為髙以之再乗得初商積至次商以後其一方亷附于初商積之正面者則帶兩縱其二方亷附于初商積之旁面者則各帶一縦也其一長亷附于初商積之髙邊者即初商數其二長亷附于初商積之長濶兩邊者即各帶一縱也其帶兩縱不同之法如以濶比髙多長比濶又多為問者則以初商為髙又以初商加濶縱為濶與髙相乗又加長縦為長以之再乗得初商積至次商以後其一方亷附于初商積之正面者則帶兩縦其二方亷附于初商積之旁面者則一帶濶縱一帶長縱也其一長亷附于初商積之髙邊者即初商數其二長亷附于初商積之長濶兩邊者則各帶一縱也惟小隅則無論帶一縱兩縱皆各以所商之數自乗再乗成一小正方其每邊之數即三方亷之厚亦即三長亷之濶與厚焉凡有幾層亷隅皆依次商之例逓析推之法雖不一要皆本于正方而後加帶縱故商出之數皆為小邊方體共十二面邊若帶一縦或帶兩縦相同者則八邊相等四邊相等若帶兩縦不同者則每四邊各相等是故得其一邊加入縱多即得各邊也 帶一縱立方 設帶一縱立方積一百一十二尺其髙與濶相等長比髙濶多三尺問髙濶長各幾何 法列積如開立方法商之其 積一百一十二尺止可商四 尺乃以四尺書于原積二尺 之上而以所商四尺為髙與濶 〈因髙與濶等故四尺即方之髙與濶也〉加縱多三尺得七尺為長即以髙與濶四尺自乗得一十六尺又以長七尺再乗得一百一十二尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙與濶俱四尺加縱多三尺得七尺即立方之長也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一百一十二尺其甲乙為髙甲己為濶己戊為長甲乙甲己俱四尺己戊為七尺己戊比己庚多三尺即所帶之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方積庚辛壬丙丁戊扁方形即帶縱所多之扁方積也 設如帶一縱立方積二千四百四十八尺其髙濶相等長比髙濶多五尺問髙濶長各幾何 法以初商積二千尺商十尺書于原積二千尺之上而以所商十尺為初商之髙濶加縦多五尺得十五尺為初商之長即以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之長十五尺再乗得一千五百尺書于原積之下相減餘九百四十八尺為初商積乃以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之髙濶十尺與初商之長十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得四百尺為次商三方亷面積以除次商積九百四十八尺足二尺則以二尺書于原積八尺之上合初商次商共一十二尺為初商次商之 髙濶加縱多五尺得十七尺為初商次商之長乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之長十七尺再乗得二千四百四十八尺與原積相減恰盡即知立方之髙濶俱十二尺其長為十七尺也設帶兩縱相同立方積五百六十七尺其長濶俱比髙多二尺問長濶髙各幾何 法以共積五百六十七尺可商八尺因留兩縱積故取略小數商七尺乃以七尺書于原積七尺之上而以所商七尺為髙加縱多二 尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙為七尺加縱多二尺得九尺即立方之長與濶也 設如帶兩縱不同立方積三千零二十四尺其濶比髙多二尺其長比濶又多四尺問髙濶長各幾何 法以初商積三千尺商十尺書于原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加濶比髙多二尺得十二尺為初商之濶再加長比濶多四尺得十六尺為初商之長即以初商之髙十尺與初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之長十六尺再乗得一千九百二十尺書于原積之下相減餘一千一百零四尺為次商積乃以初商之濶十二尺與初商之長 十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺與初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺三數相併得四百七十二尺為次商三方亷面積以除次商積一千一百零四尺足二尺則以二尺書于原積四尺之上合初商次商共十二尺為初商次商之髙加濶比髙多二尺得十四尺為初商次商之濶再加長 比濶多四尺得十八尺為初商次商之長乃以初商次商之髙十二尺與初商之濶十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之長十八尺再乗得三千零二十四尺與原積相減恰盡即知立方之髙十二尺其濶為十四尺其長為十八尺也 直線體 設正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾何 法以每邊二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之得一十六 尺即如戊己庚辛正方體積 每邊二尺五寸一分有餘 設長方體長一尺二寸濶八寸髙四寸今將其積倍之仍與原形為同式形問得長濶髙各幾何 法以長一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長既得長乃以原長一尺二寸為一率原濶八寸為二率今長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之濶也又以原長一尺二寸為一率原高四寸為二率今長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之開立方亦得一尺零一釐有餘為所求之濶以髙四寸自乗再乗倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為所求之髙也如圖甲乙丙丁長方體甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊長一尺二寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體此兩長方體積之比例即如相當二界各作兩正方體積之比例也 設塹堵體形濶五尺長十二尺髙七尺問積幾何 法以濶五尺與長十二尺相乗得六十尺 又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得 二百一十尺即塹堵體形之積也 又法以濶五尺與髙七尺相乗得三十五尺折半得一十七尺五寸與長十二尺相乗得二百一十尺即塹堵體形之積也如圖甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲乙髙與乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面積又與丙丁長相乗即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也 設芻甍體形濶四尺長十二尺髙四尺問積幾何 法以濶四尺與長十二尺相乗得四十八尺又與髙四尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即芻甍體形之積也 又法以濶四尺與髙四尺相乗得一十六尺折半得八尺與長十二尺相乗得九十六尺即芻甍體形之積也 如甲乙丙丁戊己芻甍體形以乙丙濶與甲庚相乗折半得甲乙丙三角形面積又與丙丁長相乗即得甲乙丙丁戊己芻甍體形之積也 設方底尖體形底方每邊五尺自尖至四角之斜線皆六尺問尖至底中垂線之髙幾何 法以底方每邊五尺求對角斜線法求得底方對角斜線七尺零七分一釐零六絲有餘折半得三尺五寸三分五釐五毫三絲有餘為勾以自尖至底四角斜線六尺為 用勾 求股法求得股四尺八寸四分七釐六毫八絲有餘即自尖至底中立垂線之髙數也如圖甲乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁對角斜線折半于己得乙己為勾以自尖至角之甲乙斜線為 求得甲己股即自尖至底中立垂線之髙也 又法以底方每邊五尺為平面三角形之底以自尖至四角之斜線六尺為兩腰角平面三角形求中垂線法求得一面中垂線五尺四寸五分四釐三毫五絲為 以底方每邊五尺折半得二尺五寸為勾求得股四尺八寸四分七釐六毫七絲有餘即自尖至底中立垂線之髙數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其四面皆為平面三角形一為甲乙丙一為甲丙丁一為甲丁戊一為甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙甲丙為兩腰求得甲庚中垂線以甲庚為 底邊折半得庚己為勾求得甲己股即自尖至底中立垂線之髙也設方底尖體形底方每邊六尺髙三尺問積幾何 法以下方每邊六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再乗得一百零八尺三歸之得三十六尺即方底尖體形之積也如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一邊自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方體形此扁方體與尖方體之底面積等其髙又等故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙丁戊尖方體三形之積等也 設陽馬體形底方每邊六尺髙亦六尺問積幾何 法以底方每邊六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再乗得二百一十六尺三歸之得七十二尺即陽馬體形之積也如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方體形此己乙丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽馬體三形之積等故三分之即得陽馬體之積也此陽 馬體形與尖方體形雖不一而法 則同也葢尖方體形尖在正中陽 馬體形尖在一隅凡體形其底面 積等髙度又等其體積必相等也 設如鼈臑體形長與濶俱四尺髙九尺問積幾何 法以長與濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一百四十四尺六歸之得二十四尺即鼈臑體形之積也葢鼈臑體即勾股面之尖體如甲丙乙丁鼈臑體形以丁丙長與乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁髙再乗成甲庚戊乙丙己長方體形此一長方體之積與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而甲乙丙丁鼈臑 體之積又為甲戊乙丙丁陽馬體積 之一半陽馬體為長方體三分之一 則鼈臑體又為長方體六分之一矣 設上下不等正方體形上方每邊四尺下方每邊六尺髙八尺問積幾何 法以上方每邊四尺自乗得一十六尺下方每邊六尺自乗得三十六尺又以上方每邊四尺與下方每邊六尺相乗得二十四尺三數相并得七十六尺與髙八尺相乗得六百零八尺三歸之得三百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也 又法以上方邊四尺與下方邊六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下方邊六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等正方體形上補成一尖方體形之共髙乃以下方邊六尺自乗得三十六尺與所得共髙二十四尺相乗得八百六十四尺三歸之得三百八十八尺為大尖方體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘十六尺為上小尖方體之髙以上方邊四尺自乗得十六尺與上髙十六尺相乗得二百五十六尺三歸之得八十五尺三百三十三寸有餘為上小尖方體之積與大尖方體積二百八十八尺相減餘三百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也 設上下不等長方體形上方長四尺濶三尺下方長八尺濶六尺髙十尺問積幾何 法以上長四尺與上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十四尺下長八尺與下濶六尺相乗得四十八尺倍之得九十六尺又以上濶三尺與下長八尺相乗得二十四尺以下濶六尺與上長四尺相乗得二十四尺四數相并得一百六十八尺與髙十尺相乗得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也 又法以上長四尺倍之得八尺加下長八尺共十六尺與上濶三尺相乗得四十八尺又以下長八尺倍之得十六尺加上長四尺得二十尺與下濶六尺相乗得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺與髙十尺相乗得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也 設上下不等芻甍體形上長十尺下長十四尺下濶五尺髙十二尺問積幾何 法以上長十尺與下濶五尺相乗得五十尺以髙十二尺再乗得六百尺折半得三百尺為上下相等芻甍體積又以上長十尺與下長十四尺相減餘四尺與下濶五尺相乗得二十尺以髙十二尺再乗得二百四十尺三歸之得八十尺與先所得上下相等芻甍體積三百尺相并得三百八十尺即上下不等芻甍體之積也如甲乙丙丁戊上下不等芻甍體形自其上稜之甲戊兩端直剖之則分為甲己辛壬戊一芻甍體甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體故以與上長相等之己庚與己辛濶相乗即得己辛壬庚芻甍體之面積與甲癸髙相乗折半得甲己辛壬戊芻甍體積又以甲戊上長與丙丁下長相減所餘丙辛壬丁二叚即二尖方體之共長與乙丙濶相乗得 乙辛與庚辛二尖方體之底面積與髙相乗三歸之即得甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體積與一甲己辛壬戊一芻甍積相加即得甲乙丙丁戊一上下不等芻甍體之總積也 設兩兩平行邊斜長方體形長二尺四寸濶八寸髙二尺七寸問積幾何 法以長二尺四寸與濶八寸相乗得一尺九十二寸又以髙三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即兩兩平行邊斜長方體形之積也如圖甲乙丙丁戊己斜長方體形以乙丙濶與丙丁長相乗得乙丙丁庚長方面積以戊丙髙再乗成己乙丙丁辛壬長方體凡平行平面之間所有立于等積底之各平行體其積俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之長方體必與己乙丙丁辛壬正立長方之體積為相等也 設空心正方體積一千二百一十六寸厚二寸問内外方邊各幾何 法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸與共積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸六歸之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸 為内方邊與外方邊相乗長方面積乃以厚二寸倍之得四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶八寸即内方邊得長一尺二寸即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體其甲丑即空心正方體之厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸類八小隅體與空心正方體相減則餘空心正方體之六面丑寅巳子類六長方扁體六歸之得丑寅己子一長方扁體用厚二寸除之得丑寅夘辰一長方面積其丑寅濶與戊己等即内方邊其丑辰長與甲乙等即外方邊其丑戊辛辰皆與甲丑厚度等丑戊辛辰並之即長濶之較故以厚二寸倍之為帶縱求得濶為内方邊長為外方邊也 又法以厚二寸倍之得四寸為内方邊與外方邊之較自乗再乗得六十四寸與空心正方體積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸三歸之得三百八十四寸以内外方邊之較四寸除之得九十六寸為長方面積以内外方邊之較四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶八寸即内方邊加較四寸得一尺一寸即外方邊也 設大小兩正方體大正方體比小正方體每邊多四寸積多二千三百六十八寸問大小兩正方邊多幾何 法以大正方邊比小正方邊所多之較四寸自乗再乗得六十四寸與大正方體比小正方體所多之積二千 三百六十八寸相減餘二千三百零四寸三歸之得七百六十八寸以邊較四寸除之得一百九十二寸為長方面積乃以邊較四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶十二寸即小正方之邊數加較四寸得十六寸即大正方之數也如甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體試于甲乙丙丁大正方體減出戊己庚辛一小正方體餘壬申戊辛庚丙丁三面磬折體形即大正方積比小正方積所多之較甲戊為磬折體之厚即大正方邊比小正方邊所多之較此三面磬折體形依開立方次商法分之則得癸子丑三方亷體寅夘辰三長亷體己一小隅體以甲戊邊較自乗再乗得己一小隅體與磬折體積相減餘三方亷體三長亷體三 歸之則得癸一方亷體寅一長亷體共成午甲已未庚甲乙扁方體其午甲厚與甲戊等以午甲厚除之則得甲乙庚未之長方面形甲戊即長濶之較故用帶縱開平方法算之得乙庚濶與戊乙等即小正方之邊數以甲戊與戊乙相加得甲乙即大正方之邊數也 設大小二正方體共邊二十四尺共積四千六百零八尺問兩體之每邊及體積各幾何 法以共邊二十四尺自乗再乗得一萬三千八百二十四尺内減共積四千六百零八尺餘九千二百十六尺三歸之得三千零七十二尺以共邊二十四尺除之得 一百二十八尺為長方面積乃以共邊二十四尺為長濶和用𢃄縱和數開平方法算之得濶八尺即小正方之邊數與共濶二十四尺相減餘十六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體以共邊二十四尺自乗再乗則成壬乙癸子一總 正方體内減甲乙丙丁戊己庚辛大小兩正方體之共積餘丑寅夘三方亷體辰已午三長亷體三歸之則得丑一方亷體辰一長亷體共成未壬乙丙戊甲一扁方體用壬乙共邊除之則得未壬戊甲之長方面形其未壬濶與壬申等其壬戊長與甲乙等故以壬乙共邊為長濶和用帶縦和數開平方法算之得未壬濶即小正方之邊數與長濶和相減餘壬戊長即大正方之邊數也 設人立河坡平處欲知水邊低于平地之數用重表之法測之 法于河坡平處立四尺表杆測之稍前再立二尺表杆㸔兩表端參對水邊低處量得距分六尺向前直量三丈復立四尺表杆重測稍前仍立二尺表杆㸔兩表端參對水邊低處量得距分四尺八寸乃以前測之距分六尺與後測之距分四尺八寸相減餘一尺二寸為一率表杆四尺與二尺相減餘二尺為二率前測與後測相距三丈為三率求得四率五丈為水邊低于表尖之數内減去表髙四尺餘四丈六尺即水邊低于河坡平處之數也 設人在山上欲知山澗之深用重表測之 法于山邊立二尺表杆稍後立四尺表杆測之看兩表端參對澗底量得兩杆相距得三尺再退量五尺復立四尺表杆重測稍前仍立二尺表杆㸔兩表端參對澗底量得兩杆相距得三尺四寸乃以後測之距分三尺四寸與前測之距分三尺相減餘四寸為一率表杆四尺與二尺相減餘二尺為二率兩表相距五尺為三率求得四率二丈五尺為山澗距表尖之深内減去表髙四尺餘二丈一尺即所求山澗之深也 設東西二樹欲知其相距之逺測距東樹七十丈距西樹五十丈問二樹相距 法用同式形比例先以距東樹七十丈取其五十分之一得一丈四尺即對東樹直量一丈四尺作記又以距西樹五十丈亦取其五十分之一得一丈即對西樹直量一丈作記乃于兩作記處斜量如得四尺五寸是為 同式形之相距數然後以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺 〈因兩作記處為二樹測處五十分之一則所得同式形之相距數亦必為二樹相距數五十分之一〉即二樹相距之逺也 設東西二樹欲知其相距之逺用重表或取同式形測之問二樹相距 法先用不取直角測逺法 〈如測石測樹之法〉求得二樹距測處之逺再用知兩逺求相距之法求之 設左右兩峰不知其髙逺欲求兩峰相距 法先用重表求髙逺法各求得髙與逺 〈其髙為尖峰距地平之髙其逺為山根距測處之逺〉如求得左峰髙四十八丈逺六十四丈右峰髙六十五丈逺七十二丈乃用勾股求 法以左峰四十八丈為股逺六十四丈為勾求得 八十丈即左峰距人之逺以右峰髙六十五丈為股逺七十二丈為勾求得 九十七丈即右峰距人之逺然後用知兩逺求相距法各取其百分之一對左峰直量八尺作記對右峰直量九尺七寸作記如于兩作記處横量得一丈二尺即加一百倍為一百二十丈得兩峰相距之逺 左峰髙如左甲逺如甲丙右峰髙如右乙逺如乙丙兩峰相距如 設如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸測之問水面距地之深 設井口徑濶九尺法于井沿取直角立表杆測之人目對表端斜向井沿看水以恰見水邊為凖如表髙四尺量得表距井沿一尺五寸則以一尺五寸為一率表髙四尺為二率井口濶九尺為三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也 方圓諸率 徑○七 周二二 徑○五○ 周一五七 徑○三二 周一○○ 徑一一三 周三五五 徑一○○○○○○ 周三一四一五九二 凡徑求周者以周率乗以徑率除得周周求徑者以徑率乗以周率除得徑 平方積四○○○○○○○○ 平圓積三一四一五九二六五 平方積一○○○○○○○○ 平圓積○七八五三九八一六 平方積四五二 平圓積三五五 平方積一四 平圓積一一 立方積 同平方率 圓柱積同平圓率 圓周自乗積八八 圓周中占積○七 方柱積三 方錐積一 圓柱積三 圓尖積一 圓柱積三 圓球積二 立方積六○○○○○○○○ 立圓積三一四一五九二六五 立方積一○○○○○○○○ 渾圓積○五二三五九八七七 立方積六八七 渾圓積三五五 立方積二一 渾圓積一一 立方積二一 渾圓積一 一 渾圓面積四 平圓面積一 撱圓求積 兩徑相乗數以十一乗之十四除之得所求 解曰取撱圓兩徑之中率作圓其容與撱圓等渾撱圓求積 小徑自乗再以大徑乗之以十一乗二十一除得所求解曰方體渾撱圓之比例猶立方與渾圓也 弧矢求徑及離徑半徑 置 折半自乗以矢除之得所求 解曰半 股也矢 句較也餘徑 句和也股之自乗積以和除之得較以較除之得和故以矢除之得餘徑餘徑加矢折半為半徑半徑減矢為離徑也弧矢求積 〈舊法以矢 相并得弧背徑一圍三之義也疎甚不可法〉 置弧背以離徑并矢 〈即半徑〉乗之别置 以離徑乗之兩數相減餘折半得所求 解曰弧背圓周分線也離徑并矢圓半徑也于弧背兩端作線㑹于圓心成雜線形求積之法當與圓同故以半徑乗背折半得積也又雜線形内除弧矢形餘一三角形以 為濶以離徑為高高乘濶折半得積以減雜線形積則所餘者弧矢積矣故以半徑乗背離徑乗 相減折半得積也 求中率法 以兩率相乗得數平方開之得中率 截方錐體求積法 置上方自乗下方自乗上下方相乗三數并以髙乗之以三除之得所求 右形得方體一塹堵方錐各四今方體三塹堵方錐體各十二故以三除也 〈凡塹堵二之一方錐三之一〉 截圓錐體求積法 置上徑自乗下徑自乗上下徑相乗三數並以髙乗之再十一乗四十二除得所求 〈元當用三除之又十一乗十四除之今用四十二除者三因十四得四十二合兩次除為一次除也〉 截直鋭體求積 倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之兩數并以髙乗之以六除之得所求 右形具體如截方錐今得直體六塹堵錐體各二十四故以六除也 截撱圓鋭體求積 倍面大徑加底大徑以面小徑乗之又倍底大徑加面大徑以底小徑乗之兩數並以髙乗之再以十一乗八十四除得所求 〈此以六因十四得八十四也〉 莊氏算學卷七